概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用第二版課后答案

...wd......wd......wd...第1章隨機(jī)變量及其概率1，寫出以下試驗(yàn)的樣本空間：連續(xù)投擲一顆骰子直至6個(gè)結(jié)果中有一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)兩次，記錄投擲的次數(shù)。連續(xù)投擲一顆骰子直至6個(gè)結(jié)果中有一個(gè)結(jié)果接連出現(xiàn)兩次，記錄投擲的次數(shù)。連續(xù)投擲一枚硬幣直至正面出現(xiàn)，觀察正反面出現(xiàn)的情況。拋一枚硬幣，假設(shè)出現(xiàn)H那么再拋一次；假設(shè)出現(xiàn)T，那么再拋一顆骰子，觀察出現(xiàn)的各種結(jié)果。解：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕。2，設(shè)是兩個(gè)事件，，求。解：，，，3，在100，101，…，999這900個(gè)3位數(shù)中，任取一個(gè)3位數(shù)，求不包含數(shù)字1個(gè)概率。解：在100，101，…，999這900個(gè)3位數(shù)中不包含數(shù)字1的3位數(shù)的個(gè)數(shù)為，所以所求得概率為4，在僅由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成且每個(gè)數(shù)字之多出現(xiàn)一次的全體三位數(shù)中，任取一個(gè)三位數(shù)?！?〕求該數(shù)是奇數(shù)的概率；〔2〕求該數(shù)大于330的概率。解：僅由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成且每個(gè)數(shù)字之多出現(xiàn)一次的全體三位數(shù)的個(gè)數(shù)有個(gè)?！?〕該數(shù)是奇數(shù)的可能個(gè)數(shù)為個(gè)，所以出現(xiàn)奇數(shù)的概率為〔2〕該數(shù)大于330的可能個(gè)數(shù)為，所以該數(shù)大于330的概率為5，袋中有5只白球，4只紅球，3只黑球，在其中任取4只，求以下事件的概率。〔1〕4只中恰有2只白球，1只紅球，1只黑球。〔2〕4只中至少有2只紅球?！?〕4只中沒有白球。解:〔1〕所求概率為；〔2〕所求概率為；〔3〕所求概率為。6，一公司向個(gè)銷售點(diǎn)分發(fā)張?zhí)嶝泦?，設(shè)每張?zhí)嶝泦畏职l(fā)給每一銷售點(diǎn)是等可能的，每一銷售點(diǎn)得到的提貨單不限，求其中某一特定的銷售點(diǎn)得到張?zhí)嶝泦蔚母怕?。解：根?jù)題意，張?zhí)嶝泦畏职l(fā)給個(gè)銷售點(diǎn)的總的可能分法有種，某一特定的銷售點(diǎn)得到張?zhí)嶝泦蔚目赡芊址ㄓ蟹N，所以某一特定的銷售點(diǎn)得到張?zhí)嶝泦蔚母怕蕿椤?，將3只球〔1~3號(hào)〕隨機(jī)地放入3只盒子〔1~3號(hào)〕中，一只盒子裝一只球。假設(shè)一只球裝入與球同號(hào)的盒子，稱為一個(gè)配對(duì)。〔1〕求3只球至少有1只配對(duì)的概率?！?〕求沒有配對(duì)的概率。解：根據(jù)題意，將3只球隨機(jī)地放入3只盒子的總的放法有3！=6種：123，132，213，231，312，321；沒有1只配對(duì)的放法有2種：312，231。至少有1只配對(duì)的放法當(dāng)然就有6-2=4種。所以〔2〕沒有配對(duì)的概率為；〔1〕至少有1只配對(duì)的概率為。8，〔1〕設(shè)，求,.〔2〕袋中有6只白球，5只紅球，每次在袋中任取1只球，假設(shè)取到白球，放回，并放入1只白球；假設(shè)取到紅球不放回也不放入另外的球。連續(xù)取球4次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球的概率。解：〔1〕由題意可得，所以，，，，?！?〕設(shè)表示“第次取到白球〞這一事件，而取到紅球可以用它的補(bǔ)來表示。那么第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球可以表示為，它的概率為〔根據(jù)乘法公式〕。9，一只盒子裝有2只白球，2只紅球，在盒中取球兩次，每次任取一只，做不放回抽樣，得到的兩只球中至少有一只是紅球，求另一只也是紅球的概率。解：設(shè)“得到的兩只球中至少有一只是紅球〞記為事件，“另一只也是紅球〞記為事件。那么事件的概率為〔先紅后白，先白后紅，先紅后紅〕所求概率為10，一醫(yī)生根據(jù)以往的資料得到下面的訊息，他的病人中有5%的人以為自己患癌癥，且確實(shí)患癌癥；有45%的人以為自己患癌癥，但實(shí)際上未患癌癥；有10%的人以為自己未患癌癥，但確實(shí)患了癌癥；最后40%的人以為自己未患癌癥，且確實(shí)未患癌癥。以表示事件“一病人以為自己患癌癥〞，以表示事件“病人確實(shí)患了癌癥〞，求以下概率?！?〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕。解：〔1〕根據(jù)題意可得；；〔2〕根據(jù)條件概率公式：；〔3〕；〔4〕；〔5〕。11，在11張卡片上分別寫上engineering這11個(gè)字母，從中任意連抽6張，求依次排列結(jié)果為ginger的概率。解：根據(jù)題意，這11個(gè)字母中共有2個(gè)g，2個(gè)i，3個(gè)n，3個(gè)e，1個(gè)r。從中任意連抽6張，由獨(dú)立性，第一次必須從這11張中抽出2個(gè)g中的任意一張來，概率為2/11；第二次必須從剩余的10張中抽出2個(gè)i中的任意一張來，概率為2/10；類似地，可以得到6次抽取的概率。最后要求的概率為；或者。12，據(jù)統(tǒng)計(jì)，對(duì)于某一種疾病的兩種病癥：病癥A、病癥B，有20%的人只有病癥A，有30%的人只有病癥B，有10%的人兩種病癥都有，其他的人兩種病癥都沒有。在患這種病的人群中隨機(jī)地選一人，求〔1〕該人兩種病癥都沒有的概率；〔2〕該人至少有一種病癥的概率；〔3〕該人有病癥B，求該人有兩種病癥的概率。解：〔1〕根據(jù)題意，有40%的人兩種病癥都沒有，所以該人兩種病癥都沒有的概率為；〔2〕至少有一種病癥的概率為；〔3〕該人有病癥B，說明該人屬于由只有病癥B的30%人群或者兩種病癥都有的10%的人群，總的概率為30%+10%=40%，所以在該人有病癥B的條件下該人有兩種病癥的概率為。13，一在線計(jì)算機(jī)系統(tǒng)，有4條輸入通訊線，其性質(zhì)如下表，求一隨機(jī)選擇的進(jìn)入訊號(hào)無誤差地被承受的概率。通訊線通訊量的份額無誤差的訊息的份額10.40.999820.30.999930.10.999740.20.9996解：設(shè)“訊號(hào)通過通訊線進(jìn)入計(jì)算機(jī)系統(tǒng)〞記為事件，“進(jìn)入訊號(hào)被無誤差地承受〞記為事件。那么根據(jù)全概率公式有=0.9997814，一種用來檢驗(yàn)50歲以上的人是否患有關(guān)節(jié)炎的檢驗(yàn)法，對(duì)于確實(shí)患關(guān)節(jié)炎的病人有85%的給出了正確的結(jié)果；而對(duì)于未患關(guān)節(jié)炎的人有4%會(huì)認(rèn)為他患關(guān)節(jié)炎。人群中有10%的人患有關(guān)節(jié)炎，問一名被檢驗(yàn)者經(jīng)檢驗(yàn)，認(rèn)為他沒有關(guān)節(jié)炎，而他卻有關(guān)節(jié)炎的概率。解：設(shè)“一名被檢驗(yàn)者經(jīng)檢驗(yàn)認(rèn)為患有關(guān)節(jié)炎〞記為事件，“一名被檢驗(yàn)者確實(shí)患有關(guān)節(jié)炎〞記為事件。根據(jù)全概率公式有，所以，根據(jù)條件概率得到所要求的概率為即一名被檢驗(yàn)者經(jīng)檢驗(yàn)認(rèn)為沒有關(guān)節(jié)炎而實(shí)際卻有關(guān)節(jié)炎的概率為17.06%.15，計(jì)算機(jī)中心有三臺(tái)打字機(jī)A,B,C，程序交與各打字機(jī)打字的概率依次為0.6,0.3,0.1，打字機(jī)發(fā)生故障的概率依次為0.01,0.05,0.04。一程序因打字機(jī)發(fā)生故障而被破壞了，求該程序是在A,B,C上打字的概率分別為多少解：設(shè)“程序因打字機(jī)發(fā)生故障而被破壞〞記為事件，“程序在A,B,C三臺(tái)打字機(jī)上打字〞分別記為事件。那么根據(jù)全概率公式有，根據(jù)Bayes公式，該程序是在A,B,C上打字的概率分別為，，。16，在通訊網(wǎng)絡(luò)中裝有密碼鑰匙，設(shè)全部收到的訊息中有95%是可信的。又設(shè)全部不可信的訊息中只有0.1%是使用密碼鑰匙傳送的，而全部可信訊息是使用密碼鑰匙傳送的。求由密碼鑰匙傳送的一訊息是可信訊息的概率。解：設(shè)“一訊息是由密碼鑰匙傳送的〞記為事件，“一訊息是可信的〞記為事件。根據(jù)Bayes公式，所要求的概率為17，將一枚硬幣拋兩次，以A,B,C分別記事件“第一次得H〞，“第二次得H〞，“兩次得同一面〞。試驗(yàn)證A和B，B和C，C和A分別相互獨(dú)立〔兩兩獨(dú)立〕，但A,B,C不是相互獨(dú)立。解：根據(jù)題意，求出以下概率為，；，，。所以有，，。即說明A和B，B和C，C和A兩兩獨(dú)立。但是所以A,B,C不是相互獨(dú)立。18，設(shè)A,B,C三個(gè)運(yùn)發(fā)動(dòng)自離球門25碼處踢進(jìn)球的概率依次為0.5,0.7,0.6，設(shè)A,B,C各在離球門25碼處踢一球，設(shè)各人進(jìn)球與否相互獨(dú)立，求〔1〕恰有一人進(jìn)球的概率；〔2〕恰有二人進(jìn)球的概率；〔3〕至少有一人進(jìn)球的概率。解：設(shè)“A,B,C進(jìn)球〞分別記為事件?！?〕設(shè)恰有一人進(jìn)球的概率為，那么〔由獨(dú)立性〕〔2〕設(shè)恰有二人進(jìn)球的概率為，那么〔由獨(dú)立性〕〔3〕設(shè)至少有一人進(jìn)球的概率為，那么。19，有一危重病人，僅當(dāng)在10分鐘之內(nèi)能有一供血者供給足量的A-RH+血才能得救。設(shè)化驗(yàn)一位供血者的血型需要2分鐘，將所需的血全部輸入病人體內(nèi)需要2分鐘，醫(yī)院只有一套驗(yàn)血型的設(shè)備，且供血者僅有40%的人具有該型血，各人具有什么血型相互獨(dú)立。求病人能得救的概率。解：根據(jù)題意，醫(yī)院最多可以驗(yàn)血型4次，也就是說最遲可以第4個(gè)人才驗(yàn)出是A-RH+型血。問題轉(zhuǎn)化為最遲第4個(gè)人才驗(yàn)出是A-RH+型血的概率是多少因?yàn)榈谝淮尉蜋z驗(yàn)出該型血的概率為0.4；第二次才檢驗(yàn)出該型血的概率為0.60.4=0.24；第三次才檢驗(yàn)出該型血的概率為0.620.4=0.144；第四次才檢驗(yàn)出該型血的概率為0.630.4=0.0864；所以病人得救的概率為0.4+0.24+0.144+0.0864=0.8704220，一元件〔或系統(tǒng)〕能正常工作的概率稱為元件〔或系統(tǒng)〕的可靠性。如圖設(shè)有5個(gè)獨(dú)立工作的元件1，2，3，4，5按先串聯(lián)再并聯(lián)的方式連接，設(shè)元件的可靠性均為，試求系統(tǒng)的可靠性。21第20題543解：設(shè)“元件1第20題543那么系統(tǒng)的可靠性為21，用一種檢驗(yàn)法檢測(cè)產(chǎn)品中是否含有某種雜質(zhì)的效果如下。假設(shè)真含有雜質(zhì)檢驗(yàn)結(jié)果為含有的概率為0.8；假設(shè)真不含有雜質(zhì)檢驗(yàn)結(jié)果為不含有的概率為0.9，據(jù)以往的資料知一產(chǎn)品真含有雜質(zhì)或真不含有雜質(zhì)的概率分別為0.4，0.6。今獨(dú)立地對(duì)一產(chǎn)品進(jìn)展了3次檢驗(yàn)，結(jié)果是2次檢驗(yàn)認(rèn)為含有雜質(zhì)，而一次檢驗(yàn)認(rèn)為不含有雜質(zhì)，求此產(chǎn)品真含有雜質(zhì)的概率?！沧ⅲ捍祟}較難，靈活應(yīng)用全概率公式和Bayes公式〕解：設(shè)“一產(chǎn)品真含有雜質(zhì)〞記為事件，“對(duì)一產(chǎn)品進(jìn)展3次檢驗(yàn)，結(jié)果是2次檢驗(yàn)認(rèn)為含有雜質(zhì)，而1次檢驗(yàn)認(rèn)為不含有雜質(zhì)〞記為事件。那么要求的概率為，根據(jù)Bayes公式可得又設(shè)“產(chǎn)品被檢出含有雜質(zhì)〞記為事件，根據(jù)題意有，而且，，所以；故，〔第1章習(xí)題解答完畢〕隨機(jī)變量及其分布1，設(shè)在某一人群中有40%的人血型是A型，現(xiàn)在在人群中隨機(jī)地選人來驗(yàn)血，直至發(fā)現(xiàn)血型是A型的人為止，以Y記進(jìn)展驗(yàn)血的次數(shù)，求Y的分布律。解：顯然，Y是一個(gè)離散型的隨機(jī)變量，Y取說明第個(gè)人是A型血而前個(gè)人都不是A型血，因此有，〔〕上式就是隨機(jī)變量Y的分布律〔這是一個(gè)幾何分布〕。2，水自A處流至B處有3個(gè)閥門1，2，3，閥門聯(lián)接方式如以下列圖。當(dāng)信號(hào)發(fā)出時(shí)各閥門以0.8的概率翻開，以X表示當(dāng)信號(hào)發(fā)出時(shí)水自A流至B的通路條數(shù)，求X的分布律。設(shè)各閥門的工作相互獨(dú)立。解：X只能取值0，1，2。設(shè)以記第個(gè)閥門沒有翻開這一事件。那么，類似有，AB2AB213X0120.0720.5120.4163,據(jù)信有20%的美國(guó)人沒有任何安康保險(xiǎn)，現(xiàn)任意抽查15個(gè)美國(guó)人，以X表示15個(gè)人中無任何安康保險(xiǎn)的人數(shù)〔設(shè)各人是否有安康保險(xiǎn)相互獨(dú)立〕。問X服從什么分布寫出分布律。并求以下情況下無任何安康保險(xiǎn)的概率：〔1〕恰有3人；〔2〕至少有2人；〔3〕不少于1人且不多于3人；〔4〕多于5人。解：根據(jù)題意，隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(15,0.2)，分布律為。〔1〕〔2〕；〔3〕；〔4〕4，設(shè)有一由個(gè)元件組成的系統(tǒng)，記為，這一系統(tǒng)的運(yùn)行方式是當(dāng)且僅當(dāng)個(gè)元件中至少有個(gè)元件正常工作時(shí)，系統(tǒng)正常工作?，F(xiàn)有一系統(tǒng)，它由相互獨(dú)立的元件組成，設(shè)每個(gè)元件的可靠性均為0.9，求這一系統(tǒng)的可靠性。解：對(duì)于系統(tǒng)，當(dāng)至少有3個(gè)元件正常工作時(shí)，系統(tǒng)正常工作。而系統(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)服從二項(xiàng)分布B(5,0.9)，所以系統(tǒng)正常工作的概率為5，某生產(chǎn)線生產(chǎn)玻璃制品，生產(chǎn)過程中玻璃制品常出現(xiàn)氣泡，以至產(chǎn)品成為次品，設(shè)次品率為0.001，現(xiàn)取8000件產(chǎn)品，用泊松近似，求其中次品數(shù)小于7的概率?！苍O(shè)各產(chǎn)品是否為次品相互獨(dú)立〕解：根據(jù)題意，次品數(shù)X服從二項(xiàng)分布B(8000,0.001)，所以〔查表得〕。6，〔1〕設(shè)一天內(nèi)到達(dá)某港口城市的油船的只數(shù)X~，求〔2〕隨機(jī)變量X~，且有，求。解：〔1〕；〔2〕根據(jù)，得到。所以。7，一公司有5名訊息員，各人在t分鐘內(nèi)收到訊息的次數(shù)〔設(shè)各人收到訊息與否相互獨(dú)立〕?！?〕求在一給定的一分鐘內(nèi)第一個(gè)訊息員未收到訊息的概率?！?〕求在給定的一分鐘內(nèi)5個(gè)訊息員恰有4人未收到訊息的概率?！?〕寫出在一給定的一分鐘內(nèi)，所有5個(gè)訊息員收到一樣次數(shù)的訊息的概率。解：在給定的一分鐘內(nèi)，任意一個(gè)訊息員收到訊息的次數(shù)?！?〕；〔2〕設(shè)在給定的一分鐘內(nèi)5個(gè)訊息員中沒有收到訊息的訊息員人數(shù)用Y表示，那么Y~B(5,0.1353)，所以。〔3〕每個(gè)人收到的訊息次數(shù)一樣的概率為8，一教授當(dāng)下課鈴打響時(shí)，他還不完畢講解。他常完畢他的講解在鈴響后的一分鐘以內(nèi)，以X表示鈴響至完畢講解的時(shí)間。設(shè)X的概率密度為，〔1〕確定；〔2〕求；〔3〕求；〔4〕求。解：〔1〕根據(jù)，得到；〔2〕；〔3〕；〔4〕。9，設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為，求t的方程有實(shí)根的概率。解：方程有實(shí)根說明，即，從而要求或者。因?yàn)椋苑匠逃袑?shí)根的概率為0.001+0.936=0.937.10，設(shè)產(chǎn)品的壽命X〔以周計(jì)〕服從瑞利分布，其概率密度為求壽命不到一周的概率；求壽命超過一年的概率；它的壽命超過20周，求壽命超過26周的條件概率。解：〔1〕；〔2〕；〔3〕。11，設(shè)實(shí)驗(yàn)室的溫度X〔以計(jì)〕為隨機(jī)變量，其概率密度為某種化學(xué)反響在溫度X>1時(shí)才能發(fā)生，求在實(shí)驗(yàn)室中這種化學(xué)反響發(fā)生的概率。在10個(gè)不同的實(shí)驗(yàn)室中，各實(shí)驗(yàn)室中這種化學(xué)反響是否會(huì)發(fā)生時(shí)相互獨(dú)立的，以Y表示10個(gè)實(shí)驗(yàn)室中有這種化學(xué)反響的實(shí)驗(yàn)室的個(gè)數(shù)，求Y的分布律。求，。解：〔1〕；〔2〕根據(jù)題意，所以其分布律為〔3〕，。12，〔1〕設(shè)隨機(jī)變量Y的概率密度為試確定常數(shù)C，求分布函數(shù)，并求，。〔2〕設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求分布函數(shù)，并求，。解：〔1〕根據(jù)，得到。；〔2〕；。13，在集合A={1,2,3,….,n}中取數(shù)兩次，每次任取一數(shù)，作不放回抽樣，以X表示第一次取到的數(shù)，以Y表示第二次取到的數(shù)，求X和Y的聯(lián)合分布律。并用表格形式寫出當(dāng)n=3時(shí)X和Y的聯(lián)合分布律。解：根據(jù)題意，取兩次且不放回抽樣的總可能數(shù)為n(n-1)，因此，〔，且〕當(dāng)n取3時(shí)，,〔，且〕,表格形式為YXY123101/61/621/601/631/61/6014,設(shè)一加油站有兩套用來加油的設(shè)備，設(shè)備A是加油站的工作人員操作的，設(shè)備B是有顧客自己操作的。A，B均有兩個(gè)加油管。隨機(jī)取一時(shí)刻，A，B正在使用的軟管根數(shù)分別記為X，Y，它們的聯(lián)合分布律為YXY01200.100.080.0610.040.200.1420.020.060.30求，；求至少有一根軟管在使用的概率；求，。解：〔1〕由表直接可得=0.2，=0.1+0.08+0.04+0.2=0.42〔2〕至少有一根軟管在使用的概率為〔3〕=0.1+0.2+0.3=0.615,設(shè)隨機(jī)變量〔X，Y〕的聯(lián)合概率密度為試確定常數(shù)，并求，，。解：根據(jù)，可得，所以。；。16，設(shè)隨機(jī)變量〔X，Y〕在由曲線所圍成的區(qū)域均勻分布。求〔X，Y〕的概率密度；求邊緣概率密度。解：〔1〕根據(jù)題意，〔X，Y〕的概率密度必定是一常數(shù)，故由，得到?！?〕；18，設(shè)是兩個(gè)隨機(jī)變量，它們的聯(lián)合概率密度為，求關(guān)于的邊緣概率密度；求條件概率密度，寫出當(dāng)時(shí)的條件概率密度；求條件概率。解：〔1〕?！?〕當(dāng)時(shí)，。特別地，當(dāng)時(shí)。〔3〕。19，〔1〕在第14題中求在的條件下的條件分布律；在的條件下的條件分布律?！?〕在16題中求條件概率密度，，。解：〔1〕根據(jù)公式，得到在的條件下的條件分布律為0125/121/31/4類似地，在的條件下的條件分布律為0124/1710/173/17〔2〕因?yàn)?。；。所以，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。20，設(shè)隨機(jī)變量〔X，Y〕在由曲線所圍成的區(qū)域均勻分布。寫出〔X，Y〕的概率密度；求邊緣概率密度；求條件概率密度，并寫出當(dāng)時(shí)的條件概率密度。解：〔1〕根據(jù)題意，〔X，Y〕的概率密度必定是一常數(shù)，故由，得到?！?〕；?！?〕當(dāng)時(shí)，。特別地，當(dāng)時(shí)的條件概率密度為。21，設(shè)是二維隨機(jī)變量，的概率密度為且當(dāng)時(shí)的條件概率密度為，求聯(lián)合概率密度；求關(guān)于的邊緣概率密度；求在的條件下的條件概率密度。解：〔1〕；〔2〕；〔3〕當(dāng)時(shí)，。22，〔1〕設(shè)一離散型隨機(jī)變量的分布律為-101又設(shè)是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且都與有一樣的分布律。求的聯(lián)合分布律。并求。〔2〕問在14題中是否相互獨(dú)立解：〔1〕由相互獨(dú)立性，可得的聯(lián)合分布律為，結(jié)果寫成表格為Y1Y2-101-101?！?〕14題中，求出邊緣分布律為YXY01200.100.080.060.2410.040.200.140.3820.020.060.300.380.160.340.501很顯然，，所以不是相互獨(dú)立。23，設(shè)是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，，的概率密度為試寫出的聯(lián)合概率密度，并求。解：根據(jù)題意，的概率密度為所以根據(jù)獨(dú)立定，的聯(lián)合概率密度為。24，設(shè)隨機(jī)變量具有分布律-2-10131/51/61/51/1511/30求的分布律。解：根據(jù)定義立刻得到分布律為125101/57/301/511/3025，設(shè)隨機(jī)變量，求的概率密度。解：設(shè)的概率密度分別為，的分布函數(shù)為。那么當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，。所以，。26，〔1〕設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為求的概率密度。〔2〕設(shè)隨機(jī)變量，求的概率密度?！?〕設(shè)隨機(jī)變量，求的概率密度。解：設(shè)的概率密度分別為，分布函數(shù)分別為。那么〔1〕當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，。所以，?！?〕此時(shí)。因?yàn)?，故，，所以，?！?〕當(dāng)時(shí)，，故，。所以，。27，設(shè)一圓的半徑X是隨機(jī)變量，其概率密度為求圓面積A的概率密度。解：圓面積，設(shè)其概率密度和分布函數(shù)分別為。那么，故所以，。28，設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，且都服從正態(tài)分布，驗(yàn)證的概率密度為。解：因?yàn)殡S機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，所以它們的聯(lián)合概率密度為。先求分布函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故，。29，設(shè)隨機(jī)變量，隨機(jī)變量Y具有概率密度，，設(shè)X,Y相互獨(dú)立，求的概率密度。解：因?yàn)?，所以的概率密度為?0隨機(jī)變量X和Y的概率密度分別為，，X,Y相互獨(dú)立。求的概率密度。解：根據(jù)卷積公式，得，。所以的概率密度為。31，設(shè)隨機(jī)變量X,Y都在(0,1)上服從均勻分布，且X,Y相互獨(dú)立，求的概率密度。解：因?yàn)閄,Y都在(0,1)上服從均勻分布，所以，根據(jù)卷積公式，得。32，設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，它們的聯(lián)合概率密度為求邊緣概率密度。求的分布函數(shù)。求概率。解：〔1〕；。〔2〕的分布函數(shù)為因?yàn)?；，所以，?！?〕。33，〔1〕一條繩子長(zhǎng)為，將它隨機(jī)地分為兩段，以表示短的一段的長(zhǎng)度，寫出的概率密度?！?〕兩條繩子長(zhǎng)度均為，將它們獨(dú)立地各自分成兩段，以表示四段繩子中最短的一段的長(zhǎng)度，驗(yàn)證的概率密度為。解：〔1〕根據(jù)題意，隨機(jī)變量，所以概率密度為?！?〕設(shè)這兩條繩子被分成兩段以后較短的那一段分別記為，那么它們都在上服從均勻分布。，其分布函數(shù)為，所以密度函數(shù)為。34，設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布律為求的分布律。求的分布律。求的分布律。YXY01201/121/61/2411/41/41/4021/81/20031/12000解：〔1〕的分布律為如，，其余類似。結(jié)果寫成表格形式為01231/122/329/1201/120〔2〕的分布律為如，，其余類似。結(jié)果寫成表格形式為0127/4013/40〔3〕的分布律為如，，其余類似。結(jié)果寫成表格形式為01231/125/125/121/12〔第2章習(xí)題解答完畢〕隨機(jī)變量的數(shù)字特征1，解：根據(jù)題意，有1/5的可能性取到5個(gè)單詞中的任意一個(gè)。它們的字母數(shù)分別為4，5，6，7，7。所以分布律為45671/51/51/52/5.2，解：５個(gè)單詞字母數(shù)還是４，５，６，７，７。這時(shí)，字母數(shù)更多的單詞更有可能被取到。分布律為45674/295/296/2914/29.3，解：根據(jù)古典概率公式，取到的電視機(jī)中包含的次品數(shù)分別為0，1，2臺(tái)的概率分別為，，。所以取到的電視機(jī)中包含的次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望為。4，解：根據(jù)題意，有1/6的概率得分超過6，而且得分為7的概率為兩個(gè)1/6的乘積〔第一次6點(diǎn)，第2次1點(diǎn)〕，其余類似；有5/6的概率得分小于6。分布律為12345789101112得分的數(shù)學(xué)期望為。5，解：〔1〕根據(jù)，可得，因此計(jì)算得到，即。所以=6?！?〕根據(jù)題意，按照數(shù)學(xué)期望的公式可得，因此期望存在?！怖昧恕场膊环麜洗鸢浮?，解：〔1〕一天的平均耗水量為〔百萬(wàn)升〕。〔2〕這種動(dòng)物的平均壽命為〔年〕。7，解：=1/4。8，解：。9，解：?！矊?duì)第一個(gè)積分進(jìn)展變量代換〕10，解：?！膊环麜洗鸢浮?1，解：R的概率密度函數(shù)為，所以。12，解：〔不符書上答案〕13，解：因?yàn)榈姆植己瘮?shù)為，所以可以求出的分布函數(shù)為，。的密度函數(shù)為，。所以的數(shù)學(xué)期望為，。14，解：求出邊緣分布律如下YXY01203/289/283/2815/2813/143/14012/2821/28001/2810/2815/283/281，，，，。15，解：，。16，解：，，。17，解：根據(jù)題意，可得利潤(rùn)的分布律為200010000-1000-20000.20.30.30.10.1因此，〔元〕。18解，，，?！泊祟}積分利用了，這個(gè)結(jié)果可以從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)中得到〕19，解：，，所以，。此題利用了冪級(jí)數(shù)求和中先積分再求導(dǎo)的方法。設(shè)，那么，所以。類似的，設(shè)，那么經(jīng)過兩次積分以后可得到，在經(jīng)過兩次求導(dǎo)得到。20，解：〔1〕當(dāng)時(shí)，。〔2〕當(dāng)時(shí)，，即不存在?！?〕，當(dāng)時(shí)，，所以，?！?〕當(dāng)時(shí)，，所以不存在。21，解：〔1〕根據(jù)14題中結(jié)果，得到；因?yàn)?，，所以，，。?〕根據(jù)16題結(jié)果可得：；因?yàn)?，，所以，，，。?〕在第2章14題中，由以下結(jié)果YXY01200.100.080.060.2410.040.200.140.3820.020.060.300.380.160.340.501得到，，，，，，所以，；，,.22，解：根據(jù)題意有。。23，解：〔1〕因?yàn)橄嗷オ?dú)立，所以。〔2〕根據(jù)題意，可得，。。24，解：因?yàn)?，，，所以，，即，?yàn)證了X,Y不相關(guān)。又因?yàn)椋?；，顯然，，所以驗(yàn)證了X,Y不是相互獨(dú)立的。25，解：引入隨機(jī)變量定義如下那么總的配對(duì)數(shù)，而且因?yàn)?，所以，。故所以，。正態(tài)分布1，〔1〕設(shè)，求，，；〔2〕設(shè)，且，，求。解：〔1〕，〔2〕，所以；，所以，即。2，設(shè)，求，。解：因?yàn)椋??！?，〔1〕設(shè)，試確定，使得?！?〕設(shè)，試確定，使得。解：〔1〕因?yàn)樗缘玫?即，?！?〕因?yàn)?，所以，即，從而，?，美國(guó)新生兒的體重〔以g計(jì)〕。求；在新生兒中獨(dú)立地選25個(gè)，以Y表示25個(gè)新生兒的體重小于2719的個(gè)數(shù)，求。解：根據(jù)題意可得?！?〕〔或0.8673〕〔2〕，根據(jù)題意，所以。5，設(shè)洗衣機(jī)的壽命〔以年計(jì)〕，一洗衣機(jī)已使用了5年，求其壽命至少為8年的條件概率。解：所要求的概率為6，一電路要求裝兩只設(shè)計(jì)值為12歐的電阻器，而實(shí)際上裝的電阻器的電阻值〔以歐計(jì)〕服從均值為11.9歐，標(biāo)準(zhǔn)差為0.2歐的正態(tài)分布。求〔1〕兩只電阻器的電阻值都在11.7歐和12.3歐之間的概率；〔2〕至少有一只電阻器大于12.4歐的概率〔設(shè)兩電阻器的電阻值相互獨(dú)立〕解：設(shè)兩個(gè)電阻器的電阻值分別記為隨機(jī)變量那么，〔1〕；〔2〕至少有一只電阻器大于12.4歐的概率為。7，一工廠生產(chǎn)的某種元件的壽命〔以小時(shí)計(jì)〕服從均值，均方差為的正態(tài)分布，假設(shè)要求，允許最大為多少解：根據(jù)題意，。所以有，即，，從而。故允許最大不超過31.25。8，將一溫度調(diào)節(jié)器放置在儲(chǔ)存著某種液體的容器內(nèi)，調(diào)節(jié)器整定在，液體的溫度〔以計(jì)〕是一個(gè)隨機(jī)變量，且，假設(shè)，求小于89的概率；假設(shè)要求保持液體的溫度至少為80的概率不低于0.99，問至少為多少解：因?yàn)?，所以?！?〕；〔2〕假設(shè)要求，那么就有，即或者，從而，最后得到，即至少應(yīng)為81.163。9，設(shè)相互獨(dú)立，且服從數(shù)學(xué)期望為150，方差為9的正態(tài)分布，服從數(shù)學(xué)期望為100，方差為16的正態(tài)分布。求，，的分布；求，。解：根據(jù)題意。根據(jù)正態(tài)分布的線性組合仍為正態(tài)分布〔本書101頁(yè)定理2〕的性質(zhì)，立刻得到，，因?yàn)?，，所以，。因此?0，〔1〕某工廠生產(chǎn)螺栓和墊圈。螺栓直徑〔以mm計(jì)〕，墊圈直徑〔以mm計(jì)〕，相互獨(dú)立。隨機(jī)地取一只螺栓，一只墊圈，求螺栓能裝入墊圈的概率。〔2〕在〔1〕中假設(shè)，，問控制至多為多少才能使螺栓能裝入墊圈的概率不小于0.90。解：〔1〕根據(jù)題意可得。螺栓能裝入墊圈的概率為。〔2〕，所以假設(shè)要控制，即要求，計(jì)算可得。說明至多為0.3348才能使螺栓能裝入墊圈的概率不小于0.90。11,設(shè)某地區(qū)女子的身高〔以m計(jì)〕，男子身高〔以m計(jì)〕。設(shè)各人身高相互獨(dú)立?！?〕在這一地區(qū)隨機(jī)選一名女子，一名男子，求女子比男子高的概率；〔2〕在這一地區(qū)隨機(jī)選5名女子，求至少有4名的身高大于1.60的概率；〔3〕在這一地區(qū)隨機(jī)選50名女子，求這50名女子的平均身高達(dá)于1.60的概率。解：〔1〕因?yàn)?，所以；?〕隨機(jī)選擇的女子身高達(dá)于1.60的概率為，隨機(jī)選擇的5名女子，身高大于1.60的人數(shù)服從二項(xiàng)分布，所以至少有4名的身高大于1.60的概率為〔3〕設(shè)這50名女子的身高分別記為隨機(jī)變量，。那么，所以這50名女子的平均身高達(dá)于1.60的概率為12，〔1〕設(shè)隨機(jī)變量，，，求和；〔2〕相互獨(dú)立且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，求。解：〔1〕由，得到；，得到；聯(lián)立和，計(jì)算得到?！?〕由相互獨(dú)立且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，得到。故所以13，一食品廠用紙質(zhì)容器灌裝飲料，容器的重量為30g，灌裝時(shí)將容器放在臺(tái)秤上，將飲料注入直到秤上刻度指到時(shí)完畢。以記容器中飲料的重量。設(shè)臺(tái)秤的誤差為，以g計(jì)?！泊颂幖s定臺(tái)秤顯示值大于真值時(shí)誤差為正〕〔1〕寫出的關(guān)系式；〔2〕求的分布；〔3〕確定使容器中所裝飲料至少為450g的概率不小于0.95。解：〔1〕根據(jù)題意有關(guān)系式或者；〔2〕因?yàn)?，所以；?〕要使得，即要，所以要求，即，。所以，要使容器中所裝飲料至少為450g的概率不小于0.95，至少為492.4g。14,在上題中假設(shè)容器的重量也是一個(gè)隨機(jī)變量，，設(shè)相互獨(dú)立?！?〕求的分布；〔2〕確定使容器中所裝飲料至少為450g的概率不小于0.90。解：〔1〕此時(shí)，根據(jù)，，可得?！?〕，可得，即。15，某種電子元件的壽命〔以年計(jì)〕服從數(shù)學(xué)期望為2的指數(shù)分布，各元件的壽命相互獨(dú)立。隨機(jī)取100只元件，求這100只元件的壽命之和大于180的概率。解：設(shè)這100只元件的壽命分別記為隨機(jī)變量，。那么，。根據(jù)獨(dú)立同分布的中心極限定理可得16，以記100袋額定重量為25〔kg〕的袋裝肥料的真實(shí)的凈重，服從同一分布，且相互獨(dú)立。，求的近似值。解：根據(jù)題意可得。由獨(dú)立同分布的中心極限定理可得17，有400個(gè)數(shù)據(jù)相加，在相加之前，每個(gè)數(shù)據(jù)被舍入到最接近它的數(shù)，其末位為10-7。設(shè)舍入誤差相互獨(dú)立，且在區(qū)間服從均勻分布。求誤差總和的絕對(duì)值小于的概率?！怖?5.345678419舍入到45.3456784〕解：以記這400個(gè)數(shù)據(jù)的舍入誤差，。那么。利用獨(dú)立同分布的中心極限定理可得18，據(jù)調(diào)查某一地區(qū)的居民有20%喜歡白顏色的機(jī)，〔1〕假設(shè)在該地區(qū)安裝1000部機(jī)，記需要安裝白色機(jī)的部數(shù)為，求，，；〔2〕問至少需要安裝多少部，才能使其中含有白色機(jī)的部數(shù)不少于50部的概率大于0.95。解：〔1〕根據(jù)題意，，且。由DeMoivre-Laplace定理，計(jì)算得；；?！?〕設(shè)要安裝部。那么要使得就要求，即，從而，解出或者〔舍去〕。所以最少要安裝305部。19，一射手射擊一次的得分是一個(gè)隨機(jī)變量，具有分布律89100.010.290.70求獨(dú)立射擊10次總得分小于等于96的概率。求在900次射擊中得分為8分的射擊次數(shù)大于等于6的概率。解：根據(jù)題意，，。〔1〕以分別記10次射擊的得分，那么〔2〕設(shè)在900次射擊中得分為8分的射擊次數(shù)為隨機(jī)變量，那么。由DeMoivre-Laplace定理，計(jì)算得?！驳?章習(xí)題解答完畢〕第5章樣本及抽樣分布1,設(shè)總體X服從均值為1/2的指數(shù)分布，是來自總體的容量為4的樣本，求〔1〕的聯(lián)合概率密度；〔2〕；〔3〕；〔4〕，；〔5〕。解：因?yàn)閄的概率密度為，，所以聯(lián)合概率密度為，〔〕〔2〕的聯(lián)合概率密度為，所以〔3〕；〔4〕，〔由獨(dú)立性〕；〔5〕。2，設(shè)總體，是來自的容量為3的樣本，求〔1〕，〔2〕，〔3〕，〔4〕，，〔5〕。解：〔1〕；〔2〕〔此題與答案不符〕〔3〕；〔4〕；；〔5〕因?yàn)?，所以?，設(shè)總體，是來自的容量為3的樣本，求〔1〕；〔2〕。解：〔1〕因?yàn)橄嗷オ?dú)立，所以；〔2〕。4，〔1〕設(shè)總體，是來自的容量為36的樣本，求；〔2〕設(shè)總體，是來自的容量為5的樣本，求樣本均值與總體均值之差的絕對(duì)值大于1的概率。解：〔1〕根據(jù)題意得，所以；因?yàn)?，所以?，求總體的容量分別為10和15的兩獨(dú)立樣本均值差的絕對(duì)值大于0.3的概率。解：設(shè)容量分別為10和15的兩獨(dú)立樣本的樣本均值分別記為和，那么，，所以，。6，下面給出了50個(gè)學(xué)生概率論課程的一次考試成績(jī)，試求樣本均值和樣本方差，樣本標(biāo)準(zhǔn)差，并作出頻率直方圖〔將區(qū)間〔35.5，105.5〕分為7等份〕。解：易得，，，處理數(shù)據(jù)得到以下表格組限頻數(shù)頻率35.5~45.520.0445.5~55.530.0655.5~65.560.1265.5~75.5140.2875.5~85.5110.2285.5~95.5120.2495.5~105.520.04根據(jù)以上數(shù)據(jù)，畫出直方圖〔略〕7，設(shè)總體，是來自的容量為4的樣本，是樣本方差。〔1〕問，分別服從什么分布，并求。〔2〕求，解：〔1〕因?yàn)?，所以，而根?jù)定理2，因?yàn)椋?。?〕=0.85〔第二步查表〕8，，求證。證明：因?yàn)椋源嬖陔S機(jī)變量使得，也即，而根據(jù)定義所以，證畢?！驳?章習(xí)題解答完畢〕參數(shù)估計(jì)1，設(shè)總體未知，是來自的樣本。求的矩估計(jì)量。今測(cè)得一個(gè)樣本值0.5，0.6，0.1，1.3，0.9，1.6，0.7，0.9，1.0，求的矩估計(jì)值。解：因?yàn)榭傮w，所以總體矩。根據(jù)容量為9的樣本得到的樣本矩。令總體矩等于相應(yīng)的樣本矩：，得到的矩估計(jì)量為。把樣本值代入得到的矩估計(jì)值為。2，設(shè)總體具有概率密度，參數(shù)未知，是來自的樣本，求的矩估計(jì)量。解：總體的數(shù)學(xué)期望為，令可得的矩估計(jì)量為。3，設(shè)總體參數(shù)未知，是來自的樣本，求的矩估計(jì)量〔對(duì)于具體樣本值，假設(shè)求得的不是整數(shù)，那么取與最接近的整數(shù)作為的估計(jì)值〕。解：總體的數(shù)學(xué)期望為，，二階原點(diǎn)矩為。令總體矩等于相應(yīng)的樣本矩：，得到，。4，〔1〕設(shè)總體未知，是來自的樣本，是相應(yīng)的樣本值。求的矩估計(jì)量，求的最大似然估計(jì)值?！?〕元素碳-14在半分鐘內(nèi)放射出到達(dá)計(jì)數(shù)器的粒子數(shù)，下面是的一個(gè)樣本：6496101163710求的最大似然估計(jì)值。解：〔1〕因?yàn)榭傮w的數(shù)學(xué)期望為，所以矩估計(jì)量為。似然函數(shù)為，相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為。令對(duì)數(shù)似然函數(shù)對(duì)的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到的最大似然估計(jì)值為。〔2〕根據(jù)〔1〕中結(jié)論，的最大似然估計(jì)值為。5，〔1〕設(shè)服從參數(shù)為的幾何分布，其分布律為。參數(shù)未知。設(shè)是一個(gè)樣本值，求的最大似然估計(jì)值。〔2〕一個(gè)運(yùn)發(fā)動(dòng)，投籃的命中率為，以表示他投籃直至投中為止所需的次數(shù)。他共投籃5次得到的觀察值為51749求的最大似然估計(jì)值。解：〔1〕似然函數(shù)為，相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為。令對(duì)數(shù)似然函數(shù)對(duì)的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到的最大似然估計(jì)值為?！?〕根據(jù)〔1〕中結(jié)論，的最大似然估計(jì)值為。6，〔1〕設(shè)總體，參數(shù)，未知，是來自一個(gè)樣本值。求的最大似然估計(jì)值?！?〕設(shè)總體，參數(shù)，〔>0〕未知，為一相應(yīng)的樣本值。求的最大似然估計(jì)值。解：〔1〕似然函數(shù)為，相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為。令對(duì)數(shù)似然函數(shù)對(duì)的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到的最大似然估計(jì)值為。〔2〕似然函數(shù)為，相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為。令對(duì)數(shù)似然函數(shù)對(duì)的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到的最大似然估計(jì)值為。7，設(shè)是總體的一個(gè)樣本，為一相應(yīng)的樣本值?？傮w的概率密度函數(shù)為，，求參數(shù)的最大似然估計(jì)量和估計(jì)值?？傮w的概率密度函數(shù)為，，求參數(shù)的最大似然估計(jì)值。設(shè)，未知，求的最大似然估計(jì)值。解：〔1〕似然函數(shù)為，相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為。令對(duì)數(shù)似然函數(shù)對(duì)的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到的最大似然估計(jì)值為。相應(yīng)的最大似然估計(jì)量為?！?〕似然函數(shù)為，相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為。令對(duì)數(shù)似然函數(shù)對(duì)的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到的最大似然估計(jì)值為?！?〕因?yàn)槠浞植悸蔀樗?，似然函?shù)為，相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為。令對(duì)數(shù)似然函數(shù)對(duì)的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到的最大似然估計(jì)值為。8，設(shè)總體具有分布律123其中參數(shù)未知。取得樣本值，試求的最大似然估計(jì)值。解：根據(jù)題意，可寫出似然函數(shù)為，相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為。令對(duì)數(shù)似然函數(shù)對(duì)的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到的最大似然估計(jì)值為。9，設(shè)總體，，未知，，和分別是總體和的樣本，設(shè)兩樣本獨(dú)立。試求最大似然估計(jì)量。解：根據(jù)題意，寫出對(duì)應(yīng)于總體和的似然函數(shù)分別為，，相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為，，令對(duì)數(shù)似然函數(shù)分別對(duì)和的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到，算出最大似然估計(jì)量分別為，。10，〔1〕驗(yàn)證均勻分布中的未知參數(shù)的矩估計(jì)量是無偏估計(jì)量?！?〕設(shè)某種小型計(jì)算機(jī)一星期中的故障次數(shù)，設(shè)是來自總體的樣本。①驗(yàn)證是的無偏估計(jì)量。②設(shè)一星期中故障維修費(fèi)用為，求。〔3〕驗(yàn)證是的無偏估計(jì)量。解：〔1〕均勻分布中的未知參數(shù)的矩估計(jì)量為。由于，所以是的無偏估計(jì)量?！?〕①因?yàn)椋允堑臒o偏估計(jì)量。②?！?〕因?yàn)?，所以，是的無偏估計(jì)量。11，是來自均值為的指數(shù)分布總體的樣本，其中未知。設(shè)有估計(jì)量，，。指出中哪幾個(gè)是的無偏估計(jì)量。在上述的無偏估計(jì)量中哪一個(gè)較為有效解：〔1〕因?yàn)椋?。所以，是的無偏估計(jì)量?！?〕根據(jù)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的獨(dú)立同分布性質(zhì)，可以計(jì)算出，所以，是比更有效的無偏估計(jì)量。12，以X表示某一工廠制造的某種器件的壽命〔以小時(shí)計(jì)〕，設(shè)，今取得一容量為的樣本，測(cè)得其樣本均值為，求〔1〕的置信水平為0.95的置信區(qū)間，〔2〕的置信水平為0.90的置信區(qū)間。解：這是一個(gè)方差的正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)問題。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)的結(jié)論，的置信水平為的置信區(qū)間為?！?〕的置信水平為0.95的置信區(qū)間為?！?〕的置信水平為0.90的置信區(qū)間為。13，以X表示某種小包裝糖果的重量〔以g計(jì)〕，設(shè)，今取得樣本〔容量為〕：55.95,56.54,57.58,55.13,57.48,56.06,59.93,58.30,52.57,58.46求的最大似然估計(jì)值。求的置信水平為0.95的置信區(qū)間。解：〔1〕根據(jù)結(jié)論，正態(tài)分布均值的最大似然估計(jì)量和矩估計(jì)量一樣：。所以的最大似然估計(jì)值為。〔2〕的置信水平為0.95的置信區(qū)間為。14，一農(nóng)場(chǎng)種植生產(chǎn)果凍的葡萄，以下數(shù)據(jù)是從30車葡萄中采樣測(cè)得的糖含量〔以某種單位計(jì)〕16.0,15.2,12.0,16.9,14.4,16.3,15.6,12.9,15.3,15.115.8,15.5,12.5,14.5,14.9,15.1,16.0,12.5,14.3,15.415.4,13.0,12.6,14.9,15.1,15.3,12.4,17.2,14.7,14.8設(shè)樣本來自正態(tài)總體，均未知。求的無偏估計(jì)值。求的置信水平為90%的置信區(qū)間。解：〔1〕的無偏估計(jì)值為，。〔2〕的置信水平為90%的置信區(qū)間為15，一油漆商希望知道某種新的內(nèi)墻油漆的枯燥時(shí)間。在面積一樣的12塊內(nèi)墻上做試驗(yàn)，記錄枯燥時(shí)間〔以分計(jì)〕，得樣本均值分，樣本標(biāo)準(zhǔn)差分。設(shè)樣本來自正態(tài)總體，均未知。求枯燥時(shí)間的數(shù)學(xué)期望的置信水平為0.95的置信區(qū)間。解：這是一個(gè)方差未知的正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)問題。根據(jù)結(jié)論，枯燥時(shí)間的數(shù)學(xué)期望的置信水平為0.95的置信區(qū)間為。16，Macatawa湖〔位于密歇根湖的東側(cè)〕分為東、西兩個(gè)區(qū)域。下面的數(shù)據(jù)是取自西區(qū)的水的樣本，測(cè)得其中的鈉含量〔以ppm計(jì)〕如下：13.0,18.5,16.4,14.8,19.4,17.3,23.2,24.9,20.8,19.3,18.8,23.1,15.2,19.9,19.1,18.1,25.1,16.8,20.4,17.4,25.2,23.1,15.3,19.4,16.0,21.7,15.2,21.3,21.5,16.8,15.6,17.6設(shè)樣本來自正態(tài)總體，均未知。求的置信水平為0.95的置信區(qū)間。解：根據(jù)題中數(shù)據(jù)，計(jì)算可得樣本均值，樣本方差。的置信水平為0.95的置信區(qū)間為17，設(shè)X是春天捕到的某種魚的長(zhǎng)度〔以cm計(jì)〕，設(shè)，均未知。下面是X的一個(gè)容量為13的樣本：13.1,5.1,18.0,8.7,16.5,9.8,6.8,12.0,17.8,25.4,19.2,15.8,23.0求的無偏估計(jì)；求的置信水平為0.95的置信區(qū)間。解：根據(jù)題中數(shù)據(jù)計(jì)算可得。方差的無偏估計(jì)即為樣本方差。的置信水平為0.95的置信區(qū)間為，所以的置信水平為0.95的置信區(qū)間為。18，為比較兩個(gè)學(xué)校同一年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)課程的成績(jī)，隨機(jī)地抽取學(xué)校A的9個(gè)學(xué)生，得分?jǐn)?shù)的平均值為，方差為；隨機(jī)地抽取學(xué)校B的15個(gè)學(xué)生，得分?jǐn)?shù)的平均值為，方差為。設(shè)樣本均來自正態(tài)總體且方差相等，參數(shù)均未知，兩樣本獨(dú)立。求均值差的置信水平為0.95的置信區(qū)間。解：根據(jù)兩個(gè)正態(tài)總體均值差的區(qū)間估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)結(jié)論，均值差的置信水平為0.95的置信區(qū)間為19，設(shè)以X,Y分別表示有過濾嘴和無過濾嘴的香煙含煤焦油的量〔以mg計(jì)〕，設(shè)，，均未知。下面是兩個(gè)樣本X:0.9,1.1,0.1,0.7,0.3,0.9,0.8,1.0,0.4Y:1.5,0.9,1.6,0.5,1.4,1.9,1.0,1.2,1.3,1.6,2.1兩樣本獨(dú)立。求的置信水平為0.95的置信區(qū)間。解：根據(jù)題中數(shù)據(jù)計(jì)算可得，?！参赐辍掣鶕?jù)兩個(gè)正態(tài)總體方差比的區(qū)間估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)結(jié)論，的置信水平為0.95的置信區(qū)間為。20，設(shè)以X,Y分別表示安康人與疑心有病的人的血液中鉻的含量〔以10億份中的份數(shù)計(jì)〕，設(shè)，，均未知。下面是分別來自X和Y的兩個(gè)獨(dú)立樣本：X:15,23,12,18,9,28,11,10Y:25,20,35,15,40,16,10,22,18,32求的置信水平為0.95的單側(cè)置信上限，以及的置信水平為0.95的單側(cè)置信上限。解：根據(jù)題中數(shù)據(jù)計(jì)算得到，。的置信水平為0.95的單側(cè)置信上限為。的置信水平為0.95的單側(cè)置信上限為，所以，的置信水平為0.95的單側(cè)置信上限為。21，在第17題中求魚長(zhǎng)度的均值的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限。解：根據(jù)單側(cè)區(qū)間估計(jì)的結(jié)論，正態(tài)總體均值的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限為。22，在第18題中求的置信水平為0.90的單側(cè)置信上限。解：兩個(gè)正態(tài)總體的均值差的置信水平為0.90的單側(cè)置信上限為?！驳?章習(xí)題解答完畢〕假設(shè)檢驗(yàn)1，一車床工人需要加工各種規(guī)格的工件，加工一工件所需的時(shí)間服從正態(tài)分布，均值為18分，標(biāo)準(zhǔn)差為4.62分?，F(xiàn)希望測(cè)定，是否由于對(duì)工作的厭煩影響了他的工作效率。今測(cè)得以下數(shù)據(jù)：21.01,19.32,18.76,22.42,20.49,25.89,20.11,18.97,20.90試依據(jù)這些數(shù)據(jù)〔取顯著性水平〕，檢驗(yàn)假設(shè)：。解：這是一個(gè)方差的正態(tài)總體的均值檢驗(yàn)，屬于右邊檢驗(yàn)問題，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為。代入此題具體數(shù)據(jù)，得到。檢驗(yàn)的臨界值為。因?yàn)?，所以樣本值落入拒絕域中，故拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為該工人加工一工件所需時(shí)間顯著地大于18分鐘。2，?美國(guó)公共安康?雜志〔1994年3月〕描述涉及20143個(gè)個(gè)體的一項(xiàng)大規(guī)模研究。文章說從脂肪中攝取熱量的平均百分比是38.4%〔范圍是6%到71.6%〕，在某一大學(xué)醫(yī)院進(jìn)展一項(xiàng)研究以判定在該醫(yī)院中病人的平均攝取量是否不同于38.4%，抽取了15個(gè)病人測(cè)得平均攝取量為40.5%，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為7.5%。設(shè)樣本來自正態(tài)總體，均未知。試取顯著性水平檢驗(yàn)假設(shè)：。解：這是一個(gè)方差未知的正態(tài)總體的均值檢驗(yàn)，屬于雙邊檢驗(yàn)問題，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為。代入此題具體數(shù)據(jù)，得到。檢驗(yàn)的臨界值為。因?yàn)?，所以樣本值沒有落入拒絕域中，故承受原假設(shè)，即認(rèn)為平均攝取量顯著地為38.4%。3，自某種銅溶液測(cè)得9個(gè)銅含量的百分比的觀察值為8.3，標(biāo)準(zhǔn)差為0.025。設(shè)樣本來自正態(tài)總體，均未知。試依據(jù)這一樣本取顯著性水平檢驗(yàn)假設(shè)：。解：這是一個(gè)方差未知的正態(tài)總體的均值檢驗(yàn)，屬于左邊檢驗(yàn)問題，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為。代入此題具體數(shù)據(jù)，得到。檢驗(yàn)的臨界值為。因?yàn)椤不蛘哒f〕，所以樣本值落入拒絕域中，故拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為銅含量顯著地小于8.42%。4，測(cè)得某地區(qū)16個(gè)成年男子的體重〔以公斤計(jì)〕為77.18,80.81,65.83,66.28,71.28,79.45,78.54,62.2069.01,77.63,74.00,77.18,61.29,72.19,90.35,59.47設(shè)樣本來自正態(tài)總體，均未知，試取檢驗(yàn)假設(shè)：。解：這是一個(gè)方差未知的正態(tài)總體的均值檢驗(yàn)，屬于雙邊檢驗(yàn)問題，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為。代入此題具體數(shù)據(jù)，得到。檢驗(yàn)的臨界值為。因?yàn)?，所以樣本值沒有落入拒絕域中，故承受原假設(shè)，即認(rèn)為該地區(qū)成年男子的平均體重為72.64公斤。5，一工廠的經(jīng)理主張一新來的雇員在參加某項(xiàng)工作之前至少需要培訓(xùn)200小時(shí)才能成為獨(dú)立工作者，為了檢驗(yàn)這一主張的合理性，隨機(jī)選取10個(gè)雇員詢問他們獨(dú)立工作之前所經(jīng)歷的培訓(xùn)時(shí)間〔小時(shí)〕記錄如下208，180，232，168，212，208，254，229，230，181設(shè)樣本來自正態(tài)總體，均未知。試取檢驗(yàn)假設(shè)：。解：這是一個(gè)方差未知的正態(tài)總體的均值檢驗(yàn)，屬于右邊檢驗(yàn)問題，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為。代入此題具體數(shù)據(jù)，得到。檢驗(yàn)的臨界值為。因?yàn)?，所以樣本值沒有落入拒絕域中，故承受原假設(shè)，即認(rèn)為培訓(xùn)時(shí)間不超過200小時(shí)。6，一制造商聲稱他的工廠生產(chǎn)的某種牌號(hào)的電池的壽命的方差為5000〔小時(shí)2〕，為了檢驗(yàn)這一主張，隨機(jī)地取26只電池測(cè)得樣本方差為7200小時(shí)2，有理由認(rèn)為樣本來自正態(tài)總體?，F(xiàn)需取檢驗(yàn)假設(shè)。解：這是一個(gè)正態(tài)總體的方差檢驗(yàn)問題，屬于雙邊檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為。代入此題中的具體數(shù)據(jù)得到。檢驗(yàn)的臨界值為。因?yàn)?，所以樣本值沒有落入拒絕域，因此承受原假設(shè)，即認(rèn)為電池壽命的方差為5000小時(shí)2。7，某種標(biāo)準(zhǔn)類型電池的容量〔以安-時(shí)計(jì)〕的標(biāo)準(zhǔn)差，隨機(jī)地取10只新類型的電池測(cè)得它們的容量如下146，141，135，142，140，143，138，137，142，136設(shè)樣本來自正態(tài)總體，均未知，問標(biāo)準(zhǔn)差是否有變動(dòng)，即需檢驗(yàn)假設(shè)〔取〕：。解：這是一個(gè)正態(tài)總體的方差檢驗(yàn)問題，屬于雙邊檢驗(yàn)問題。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為。代入此題中的具體數(shù)據(jù)得到。檢驗(yàn)的臨界值為。因?yàn)?，所以樣本值落入拒絕域，因此拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為電池容量的標(biāo)準(zhǔn)差發(fā)生了顯著的變化，不再為1.66。8，設(shè)X是一頭母牛生了小牛之后的305天產(chǎn)奶期內(nèi)產(chǎn)出的白脫油磅數(shù)。又設(shè)X~，均未知。今測(cè)得以下數(shù)據(jù)：425，710，661，664，732，714，934，761，744，653，725，657，421，573，535，602，537，405，874，791，721，849，567，468，975試取顯著性水平檢驗(yàn)假設(shè)。解：題中所要求檢驗(yàn)的假設(shè)實(shí)際上等價(jià)于要求檢驗(yàn)假設(shè)這是一個(gè)正態(tài)總體的方差檢驗(yàn)問題，屬于右邊檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為。代入此題中的具體數(shù)據(jù)得到。檢驗(yàn)的臨界值為。因?yàn)?，所以樣本值沒有落入拒絕域，因此承受原假設(shè)，即認(rèn)為標(biāo)準(zhǔn)差不大于140。9，由某種鐵的比熱的9個(gè)觀察值得到樣本標(biāo)準(zhǔn)差。設(shè)樣本來自正態(tài)總體，均未知。試檢驗(yàn)假設(shè)〔〕。解：題中所要求檢驗(yàn)的假設(shè)實(shí)際上等價(jià)于要求檢驗(yàn)假設(shè)這是一個(gè)正態(tài)總體的方差檢驗(yàn)問題，屬于左邊檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為。代入此題中的具體數(shù)據(jù)得到。檢驗(yàn)的臨界值為。因?yàn)?，所以樣本值沒有落入拒絕域，因此承受原假設(shè)，即認(rèn)為標(biāo)準(zhǔn)差不小于0.0100。10，以X表示耶路撒冷新生兒的體重〔以克計(jì)〕，設(shè)X~，均未知。現(xiàn)測(cè)得一容量為30的樣本，得樣本均值為3189，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為488。試檢驗(yàn)假設(shè)〔〕：〔1〕?！?〕。解：〔1〕這是一個(gè)方差未知的正態(tài)總體的均值檢驗(yàn)，屬于左邊檢驗(yàn)問題，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為。代入此題具體數(shù)據(jù)，得到。檢驗(yàn)的臨界值為。因?yàn)?，所以樣本值落入拒絕域中，故拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為?！?〕題中所要求檢驗(yàn)的假設(shè)實(shí)際上等價(jià)于要求檢驗(yàn)假設(shè)這是一個(gè)正態(tài)總體的方差檢驗(yàn)問題，屬于右邊檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為。代入此題中的具體數(shù)據(jù)得到。檢驗(yàn)的臨界值為。因?yàn)?，所以樣本值沒有落入拒絕域，因此承受原假設(shè)，即認(rèn)為標(biāo)準(zhǔn)差不大于525。11，兩個(gè)班級(jí)A和B，參加數(shù)學(xué)課的同一期終考試。分別在兩個(gè)班級(jí)中隨機(jī)地取9個(gè)，4個(gè)學(xué)生，他們的得分如下：A班656872758285879195B班50597180設(shè)A班、B班考試成績(jī)的總體分別為，，均未知，兩樣本獨(dú)立。試取檢驗(yàn)假設(shè)。解：這是兩個(gè)正態(tài)總體〔方差相等但未知〕均值之差的檢驗(yàn)問題，屬于右邊檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為代入此題中的具體數(shù)據(jù)得到。檢驗(yàn)的臨界值為。因?yàn)?，所以樣本值落入了拒絕域，因此拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為A班的考試成績(jī)顯著地大于B班的成績(jī)。12，溪流混濁是由于水中有懸浮固體，對(duì)一溪流的水觀察了26天，一半是在晴天，一半是在下過中到大雨之后，分別以X,Y表示晴天和雨天水的混濁度〔以NTU單位計(jì)〕的總體，設(shè)，，均未知。今取到X和Y的樣本分別為X:2.9,14.9,1.0,12.6,9.4,7.6,3.6,3.1,2.7,4.8,3.4,7.1,7.2Y:7.8,4.2,2.4,12.9,17.3,10.4,5.9,4.9,5.1,8.4,10.8,23.4,9.7設(shè)兩樣本獨(dú)立。試取檢驗(yàn)假設(shè)。解：這是兩個(gè)正態(tài)總體〔方差相等但未知〕均值之差的檢驗(yàn)問題，屬于左邊檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為代入此題中的具體數(shù)據(jù)得到。檢驗(yàn)的臨界值為。因?yàn)?，所以樣本值沒有落入拒絕域，因此接收原假設(shè)，即認(rèn)為雨天的混濁度不必晴天的高。13，用包裝機(jī)包裝產(chǎn)品，將產(chǎn)品分別裝入包裝機(jī)上編號(hào)為1~24的24個(gè)注入口，奇數(shù)號(hào)的注入口在機(jī)器的一邊，偶數(shù)號(hào)的在機(jī)器的另一邊。以分別表示自奇數(shù)號(hào)和偶數(shù)號(hào)注入口注入包裝機(jī)的產(chǎn)品的質(zhì)量〔以g計(jì)〕。設(shè)，，均未知。在總體X和Y中分別取到樣本:X:1071,1076,1070,1083,1082,1067,1078,1080,1084,1075,1080,1075Y:1074,1069,1067,1068,1079,1075,1082,1064,1073,1070,1072,1075設(shè)兩樣本獨(dú)立。試檢驗(yàn)假設(shè)()。解：這是兩個(gè)正態(tài)總體〔方差相等但未知〕均值之差的檢驗(yàn)問題，屬于雙邊檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為代入此題中的具體數(shù)據(jù)得到。檢驗(yàn)的臨界值為。因?yàn)?，所以樣本值落入拒絕域，因此拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為產(chǎn)品均值有顯著差異。14，測(cè)定家庭中的空氣污染。令X和Y分別為房間中無吸煙者和有一名吸煙者在24小時(shí)內(nèi)的懸浮顆粒量〔以計(jì)〕。設(shè)，，均未知。今取到總體X的容量的樣本，算得樣本均值為，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為；取到總體Y的容量為11的樣本，算得樣本均值為，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為，兩樣本獨(dú)立?！?〕試檢驗(yàn)假設(shè)()：?！?〕如能承受，接著檢驗(yàn)假設(shè)()：。解：〔1〕這是一個(gè)兩個(gè)正態(tài)總體的方差之比的檢驗(yàn)問題，屬于雙邊檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為代入此題中的具體數(shù)據(jù)得到。檢驗(yàn)的臨界值為。因?yàn)?，所以樣本值沒有落入拒絕域，因此承受原假設(shè)，即認(rèn)為兩總體方差相等?！?〕因?yàn)閮煽傮w方差相等，所以這是一個(gè)方差相等的兩個(gè)正態(tài)總體的均值之差的檢驗(yàn)問題，屬于左邊檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為代入此題中的具體數(shù)據(jù)得到。檢驗(yàn)的臨界值為。因?yàn)?，所以樣本值落入拒絕域，因此拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為有吸煙者的房間懸浮顆粒顯著大于沒有吸煙者的房間。15，分別在兩種牌號(hào)的燈泡中各取樣本容量為的樣本，測(cè)得燈泡的壽命〔以小時(shí)計(jì)〕的樣本方差分別為。設(shè)兩樣本獨(dú)立，兩總體分別為，分布，均未知。試檢驗(yàn)假設(shè)()：。解：這是一個(gè)兩個(gè)正態(tài)總體的方差之比的檢驗(yàn)問題，屬于右邊檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為代入此題中的具體數(shù)據(jù)得到。檢驗(yàn)的臨界值為。因?yàn)?，所以樣本值沒有落入拒絕域，因此承受原假設(shè)，即認(rèn)為第一個(gè)總體的方差不比第二個(gè)總體的方差大。16，在第13題中檢驗(yàn)假設(shè)〔取〕。以說明在該題中我們假設(shè)是合理的。解：這是一個(gè)兩個(gè)正態(tài)總體的方差之比的檢驗(yàn)問題，屬于雙邊檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為，代入第13題中的具體數(shù)據(jù)得到。檢驗(yàn)的臨界值為。因?yàn)?，所以樣本值沒有落入拒絕域，因此承受原假設(shè)，即認(rèn)為兩總體方差相等。17，將雙胞胎分開來?yè)狃B(yǎng)，一個(gè)由父母親自帶大，另一個(gè)不是由父母親自帶大?，F(xiàn)取14對(duì)雙胞胎測(cè)試他們的智商，智商測(cè)試得分如下，雙胞胎序號(hào)1234567891011121314父母親代大2331251819252818252822143436非父母帶大2231292428312715232726193028設(shè)各對(duì)數(shù)據(jù)的差是來自正態(tài)總體的樣本，均未知。問是否可以認(rèn)為在兩種不同的環(huán)境中長(zhǎng)大的孩子，其智商得分是不一樣的。即檢驗(yàn)假設(shè)〔取〕解：此題要求一個(gè)基于成對(duì)數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)，雙邊檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為代入此題中的具體數(shù)據(jù)得到檢驗(yàn)的臨界值為。因?yàn)?，所以樣本值沒有落入拒絕域，因此承受原假設(shè)，即認(rèn)為兩種環(huán)境中長(zhǎng)大的孩子智商沒有顯著差異。18，醫(yī)生對(duì)于慢走是否能降低血壓〔以Hg-mm計(jì)〕這一問題的研究感興趣。隨機(jī)地選取8個(gè)病人慢走一個(gè)月，得到以下數(shù)據(jù)。病人序號(hào)12345678慢走前134122118130144125127133慢走后130120123127138121132135設(shè)各對(duì)數(shù)據(jù)的差是來自正態(tài)總體的樣本，均未知。問是否可以認(rèn)為慢走后比慢走前血壓有了降低。即檢驗(yàn)假設(shè)〔取〕。并求的置信水平為0.95的置信區(qū)間。解：此題要求對(duì)一組成對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)展檢驗(yàn)，且為右邊檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為。代入此題中的具體數(shù)據(jù)得到檢驗(yàn)的臨界值為。因?yàn)?，所以樣本值沒有落入拒絕域，因此承受原假設(shè)，即認(rèn)為慢走對(duì)于血壓的下降沒有顯著效果。的置信水平為0.95的置信區(qū)間為。19，統(tǒng)計(jì)了日本西部地震在一天中發(fā)生的時(shí)間段，共觀察了527次地震，這些地震在一天中的四個(gè)時(shí)間段的分布如下表時(shí)間段0點(diǎn)—6點(diǎn)6點(diǎn)—12點(diǎn)12點(diǎn)—18點(diǎn)18點(diǎn)—24點(diǎn)次數(shù)123135141128試取檢驗(yàn)假設(shè)：地震在各個(gè)時(shí)間段內(nèi)發(fā)生時(shí)等可能的。解：根據(jù)題意，