《電動力學(xué)》課后答案

...wd......wd......wd...電動力學(xué)答案第一章電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律1.根據(jù)算符的微分性與向量性，推導(dǎo)以下公式：解：〔1〕〔2〕在〔1〕中令得：，所以即2.設(shè)是空間坐標(biāo)的函數(shù)，證明：，，證明：〔1〕〔2〕〔3〕3.設(shè)為源點(diǎn)到場點(diǎn)的距離，的方向規(guī)定為從源點(diǎn)指向場點(diǎn)?！?〕證明以下結(jié)果，并體會對源變量求微商與對場變量求微商的關(guān)系：；；；，?！?〕求，，，，及，其中、及均為常向量?！?〕證明：eq\o\ac(○,1)可見eq\o\ac(○,2)可見eq\o\ac(○,3)eq\o\ac(○,4)，〔2〕解：eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3)eq\o\ac(○,4)因?yàn)?，為常向量，所以，，，又，eq\o\ac(○,5)為常向量，，而，所以eq\o\ac(○,6)4.應(yīng)用高斯定理證明，應(yīng)用斯托克斯〔Stokes〕定理證明證明：〔I〕設(shè)為任意非零常矢量，那么根據(jù)矢量分析公式，令其中，，便得所以因?yàn)槭侨我夥橇愠Ｏ蛄?，所以〔II〕設(shè)為任意非零常向量，令，代入斯托克斯公式，得〔1〕〔1〕式左邊為：〔2〕〔1〕式右邊為：〔3〕所以〔4〕因?yàn)闉槿我夥橇愠Ｏ蛄?，所?.一個電荷系統(tǒng)的偶極矩定義為，利用電荷守恒定律證明p的變化率為：證明：方法〔I〕因?yàn)榉忾]曲面S為電荷系統(tǒng)的邊界，所以電流不能流出這邊界，故，同理，所以方法〔II〕根據(jù)并矢的散度公式得：6.假設(shè)m是常向量，證明除點(diǎn)以外，向量的旋度等于標(biāo)量的梯度的負(fù)值，即，其中R為坐標(biāo)原點(diǎn)到場點(diǎn)的距離，方向由原點(diǎn)指向場點(diǎn)。證明：其中，〔〕，〔〕又所以，當(dāng)時，7.有一內(nèi)外半徑分別為和的空心介質(zhì)球，介質(zhì)的電容率為，使介質(zhì)球內(nèi)均勻帶靜止自由電荷，求：〔1〕空間各點(diǎn)的電場；〔2〕極化體電荷和極化面電荷分布。解：〔1〕由對稱性可知，電場沿徑向分布，且一樣處場強(qiáng)大小一樣。當(dāng)時，，。當(dāng)時，，，向量式為當(dāng)時，向量式為〔2〕當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，8.內(nèi)外半徑分別為和的無窮長中空導(dǎo)體圓柱，沿軸向流有恒定均勻自由電流，導(dǎo)體的磁導(dǎo)率為，求磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁化電流。解：〔1〕以圓柱軸線上任一點(diǎn)為圓心，在垂直于軸線平面內(nèi)作一圓形閉合回路，設(shè)其半徑為。由對稱性可知，磁場在垂直于軸線的平面內(nèi)，且與圓周相切。當(dāng)時，由安培環(huán)路定理得：當(dāng)時，由環(huán)路定理得：所以，向量式為當(dāng)時，所以，向量式為〔2〕當(dāng)時，磁化強(qiáng)度為所以在處，磁化面電流密度為在處，磁化面電流密度為向量式為9.證明均勻介質(zhì)內(nèi)部的體極化電荷密度總是等于體自由電荷密度的倍。證明：在均勻介質(zhì)中所以10.證明兩個閉合的恒定電流圈之間的相互作用力大小相等方向相反(但兩個電流元之間的相互作用力一般并不服從牛頓第三定律)證明:線圈1在線圈2的磁場中受的力:,而，(1)同理可得線圈2在線圈1的磁場中受的力：(2)(1)式中：同理(2)式中：11.平行板電容器內(nèi)有兩層介質(zhì)，它們的厚度分別為和，電容率為和，今在兩板接上電動勢為E的電池，求：〔1〕電容器兩極板上的自由電荷面密度和；〔2〕介質(zhì)分界面上的自由電荷面密度。(假設(shè)介質(zhì)是漏電的，電導(dǎo)率分別為和當(dāng)電流到達(dá)恒定時，上述兩物體的結(jié)果如何)解：忽略邊緣效應(yīng)，平行板電容器內(nèi)部場強(qiáng)方向垂直于極板，且介質(zhì)中的場強(qiáng)分段均勻，分別設(shè)為和，電位移分別設(shè)為和，其方向均由正極板指向負(fù)極板。當(dāng)介質(zhì)不漏電時，介質(zhì)內(nèi)沒有自由電荷，因此，介質(zhì)分界面處自由電荷面密度為取高斯柱面，使其一端在極板A內(nèi)，另一端在介質(zhì)1內(nèi)，由高斯定理得：同理，在極板B內(nèi)和介質(zhì)2內(nèi)作高斯柱面，由高斯定理得：在介質(zhì)1和介質(zhì)2內(nèi)作高斯柱面，由高斯定理得：所以有，由于E所以E當(dāng)介質(zhì)漏電時，重復(fù)上述步驟，可得：，，介質(zhì)1中電流密度介質(zhì)2中電流密度由于電流恒定，，再由E得EEEEE12.證明：〔1〕當(dāng)兩種絕緣介質(zhì)的分界面上不帶面自由電荷時，電場線的曲折滿足其中和分別為兩種介質(zhì)的介電常數(shù)，和分別為界面兩側(cè)電場線與法線的夾角?！?〕當(dāng)兩種導(dǎo)電介質(zhì)內(nèi)流有恒定電流時，分界面上電場線的曲折滿足其中和分別為兩種介質(zhì)的電導(dǎo)率。證明：〔1〕由的切向分量連續(xù)，得〔1〕交界面處無自由電荷，所以的法向分量連續(xù)，即〔2〕〔1〕、〔2〕式相除，得〔2〕當(dāng)兩種電介質(zhì)內(nèi)流有恒定電流時由的法向分量連續(xù)，得〔3〕〔1〕、〔3〕式相除，即得13.試用邊值關(guān)系證明：在絕緣介質(zhì)與導(dǎo)體的分界面上，在靜電情況下，導(dǎo)體外的電場線總是垂直于導(dǎo)體外表；在恒定電流情況下，導(dǎo)體內(nèi)電場線總是平行于導(dǎo)體外表。證明：〔1〕設(shè)導(dǎo)體外外表處電場強(qiáng)度為，其方向與法線之間夾角為，那么其切向分量為。在靜電情況下，導(dǎo)體內(nèi)部場強(qiáng)處處為零，由于在分界面上的切向分量連續(xù)，所以因此即只有法向分量，電場線與導(dǎo)體外表垂直。〔2〕在恒定電流情況下，設(shè)導(dǎo)體內(nèi)外表處電場方向與導(dǎo)體外表夾角為，那么電流密度與導(dǎo)體外表夾角也是。導(dǎo)體外的電流密度，由于在分界面上電流密度的法向分量連續(xù)，所以因此即只有切向分量，從而只有切向分量，電場線與導(dǎo)體外表平行。14.內(nèi)外半徑分別為a和b的無限長圓柱形電容器，單位長度荷電為，板間填充電導(dǎo)率為的非磁性物質(zhì)。〔1〕證明在介質(zhì)中任何一點(diǎn)傳導(dǎo)電流與位移電流嚴(yán)格抵消，因此內(nèi)部無磁場?！?〕求隨時間的衰減規(guī)律?！?〕求與軸相距為的地方的能量耗散功率密度?！?〕求長度l的一段介質(zhì)總的能量耗散功率，并證明它等于這段的靜電能減少率。解：〔1〕以電容器軸線為軸作一圓柱形高斯面，其半徑為r，長度為L，其中那么由高斯定理得：〔1〕所以，〔2〕再由電流連續(xù)性方程得：〔3〕所以〔4〕即與嚴(yán)格抵消，因此內(nèi)部無磁場?！?〕由得：〔5〕聯(lián)立〔2〕〔4〕〔5〕得〔6〕所以〔7〕設(shè)初始條件為，那么由〔7〕式得所以，〔8〕〔3〕〔9〕〔4〕將上式在長度為l的一段介質(zhì)內(nèi)積分，得〔10〕由得：所以〔11〕由〔6〕〔10〕〔11〕得：即總的能量耗散功率等于這段介質(zhì)的靜電能減少率。第二章靜電場1.一個半徑為R的電介質(zhì)球，極化強(qiáng)度為，電容率為?！?〕計算束縛電荷的體密度和面密度：〔2〕計算自由電荷體密度；〔3〕計算球外和球內(nèi)的電勢；〔4〕求該帶電介質(zhì)球產(chǎn)生的靜電場總能量。解：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕2.在均勻外電場中置入半徑為的導(dǎo)體球，試用別離變量法求以下兩種情況的電勢：〔1〕導(dǎo)體球上接有電池，使球與地保持電勢差；〔2〕導(dǎo)體球上帶總電荷解：〔1〕該問題具有軸對稱性，對稱軸為通過球心沿外電場方向的軸線，取該軸線為極軸，球心為原點(diǎn)建設(shè)球坐標(biāo)系。當(dāng)時，電勢滿足拉普拉斯方程，通解為因?yàn)闊o窮遠(yuǎn)處，所以，，當(dāng)時，所以即：所以〔2〕設(shè)球體待定電勢為，同理可得當(dāng)時，由題意，金屬球帶電量所以3.均勻介質(zhì)球的中心置一點(diǎn)電荷，球的電容率為，球外為真空，試用別離變量法求空間電勢，把結(jié)果與使用高斯定理所得結(jié)果比較。提示：空間各點(diǎn)的電勢是點(diǎn)電荷的電勢與球面上的極化電荷所產(chǎn)生的電勢的迭加，后者滿足拉普拉斯方程。解：〔一〕別離變量法空間各點(diǎn)的電勢是點(diǎn)電荷的電勢與球面上的極化電荷所產(chǎn)生的電勢的迭加。設(shè)極化電荷產(chǎn)生的電勢為，它滿足拉普拉斯方程。在球坐標(biāo)系中解的形式為：當(dāng)時，，。當(dāng)時，為有限，。所以，由于球?qū)ΨQ性，電勢只與R有關(guān)，所以，所以空間各點(diǎn)電勢可寫成當(dāng)時，由得：由得：，那么所以〔二〕應(yīng)用高斯定理在球外，R>R0，由高斯定理得：，〔整個導(dǎo)體球的束縛電荷〕，所以，積分后得：在球內(nèi)，R<R0，由介質(zhì)中的高斯定理得：，所以，積分后得：結(jié)果一樣。4.均勻介質(zhì)球〔電容率為〕的中心置一自由電偶極子，球外充滿了另一種介質(zhì)〔電容率為〕，求空間各點(diǎn)的電勢和極化電荷分布。解：以球心為原點(diǎn)，的方向?yàn)闃O軸方向建設(shè)球坐標(biāo)系?？臻g各點(diǎn)的電勢可分為三種電荷的奉獻(xiàn)，即球心處自由電偶極子、極化電偶極子及球面上的極化面電荷三局部的奉獻(xiàn)，其中電偶極子產(chǎn)生的總電勢為。所以球內(nèi)電勢可寫成：；球外電勢可寫成：其中和為球面的極化面電荷激發(fā)的電勢，滿足拉普拉斯方程。由于對稱性，和均與無關(guān)?？紤]到時為有限值；時，故拉普拉斯方程的解為：由此〔1〕〔2〕邊界條件為：〔3〕〔4〕將〔1〕〔2〕代入〔3〕和〔4〕，然后比較的系數(shù)，可得：于是得到所求的解為：在均勻介質(zhì)內(nèi)部，只在自由電荷不為零的地方，極化電荷才不為零，所以在球體內(nèi)部，只有球心處存在極化電荷。所以在兩介質(zhì)交界面上，極化電荷面密度為由于，所以5.空心導(dǎo)體球殼的內(nèi)外半徑為和，球中心置一偶極子球殼上帶電，求空間各點(diǎn)的電勢和電荷分布。解：以球心為原點(diǎn)，以的方向?yàn)闃O軸方向建設(shè)球坐標(biāo)系。在及兩均勻區(qū)域，電勢滿足拉普拉斯方程。通解形式均為當(dāng)時，電勢趨于零，所以時,電勢可寫為(1)當(dāng)時，電勢應(yīng)趨于偶極子激發(fā)的電勢：所以時，電勢可寫為(2)設(shè)球殼的電勢為,那么(3)(4)由(3)得：；由(4)得：；；所以(5)(6)再由得：(7)將(7)代入(5)(6)得：在處，電荷分布為：在處，電荷分布為：6.在均勻外電場中置入一帶均勻自由電荷的絕緣介質(zhì)球〔電容率為〕，求空間各點(diǎn)的電勢。解：以球心為原點(diǎn)，以的方向?yàn)闃O軸方向建設(shè)球坐標(biāo)系。將空間各點(diǎn)的電勢看作由兩局部迭加而成，一局部為絕緣介質(zhì)球內(nèi)的均勻自由電荷產(chǎn)生，另一局部為外電場及感應(yīng)的極化電荷產(chǎn)生。前者可用高斯定理求得，后者滿足拉普拉斯方程。由于對稱性，的形式為對于，當(dāng)時，由高斯定理得：，當(dāng)時，由高斯定理得：，的球外局部：〔1〕的球內(nèi)局部：〔2〕對于，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，為有限，所以邊界條件為：時，，。即：比較的系數(shù)，解得：所以(3)(4)由(1)(2)(3)(4)得:7.在一很大的電解槽中充滿電導(dǎo)率為的液體，使其中流著均勻的電流Jf0。今在液體中置入一個電導(dǎo)率為的小球，求穩(wěn)恒時電流分布和面電荷分布，討論及兩種情況的電流分布的特點(diǎn)。解：此題雖然不是靜電問題，但當(dāng)電流到達(dá)穩(wěn)定后，由于電流密度Jf0與電場強(qiáng)度E0成正比〔比例系數(shù)為電導(dǎo)率〕，所以E0也是穩(wěn)定的。這種電場也是無旋場，其電勢也滿足拉普拉斯方程，因而可以用靜電場的方法求解。(1)未放入小球時，電流密度Jf0是均勻的，由Jf0可知，穩(wěn)恒電場E0也是一個均勻場。因此在未放入小球時電解液中的電勢便是均勻電場E0的電勢。放入小球后，以球心為原點(diǎn)，E0的方向?yàn)闃O軸方向，建設(shè)球坐標(biāo)系。為方便起見，以坐標(biāo)原點(diǎn)為電勢零點(diǎn)。在穩(wěn)恒電流條件下，，所以：(1)由(1)式可推出穩(wěn)恒電流條件下的邊界條件為:(2)設(shè)小球內(nèi)的電勢為，電解液中的電勢為，那么在交界面上有：(3)(4)將及代入(1)，得：可見滿足拉普拉斯方程考慮到對稱性及時，球外電勢的解可寫成：(5)其中利用了。考慮到時電勢為有限值，球內(nèi)電勢的解可寫成：(6)因?yàn)檫x處為電勢零點(diǎn)，所以，將(5)(6)代入(3)(4)得：(7)(8)由(7)(8)兩式可得:,所以：()()由此可得球內(nèi)電流密度:電解液中的電流密度為:(2)兩導(dǎo)體交界面上自由電荷面密度(3)當(dāng)，即球的電導(dǎo)率比周圍電解液的電導(dǎo)率大的多時，，所以，當(dāng)時，同理可得：8.半徑為的導(dǎo)體球外充滿均勻絕緣介質(zhì)，導(dǎo)體球接地，離球心為a處〔a>〕置一點(diǎn)電荷，試用別離變量法求空間各點(diǎn)電勢，證明所得結(jié)果與電象法結(jié)果一樣。解：以球心為原點(diǎn)，以球心到點(diǎn)電荷的連線為極軸建設(shè)球坐標(biāo)系。將空間各點(diǎn)電勢看作由兩局部迭加而成。一是介質(zhì)中點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電勢，二是球面上的感應(yīng)電荷及極化面電荷產(chǎn)生的。后者在球內(nèi)和球外分別滿足拉普拉斯方程。考慮到對稱性，與無關(guān)。由于時，為有限值，所以球內(nèi)的解的形式可以寫成〔1〕由于時，應(yīng)趨于零，所以球外的解的形式可以寫成〔2〕由于〔3〕當(dāng)時，〔4〕當(dāng)時，〔5〕因?yàn)閷?dǎo)體球接地，所以〔6〕〔7〕將〔6〕代入〔4〕得:〔8〕將〔7〕代入〔5〕并利用〔8〕式得:〔9〕將〔8〕〔9〕分別代入〔4〕〔5〕得:〔10〕,〔11〕用鏡像法求解：設(shè)在球內(nèi)r0處的像電荷為Q’。由對稱性，Q’在球心與Qf的連線上，根據(jù)邊界條件：球面上電勢為0，可得：〔解略〕，所以空間的電勢為9.接地的空心導(dǎo)體球的內(nèi)外半徑為和，在球內(nèi)離球心為a處(a<)置一點(diǎn)電荷。用鏡像法求電勢。導(dǎo)體球上的感應(yīng)電荷有多少分布在內(nèi)外表還是外外表解：假設(shè)可以用球外一個假想電荷代替球內(nèi)外表上感應(yīng)電荷對空間電場的作用，空心導(dǎo)體球接地，球外外表電量為零，由對稱性，應(yīng)在球心與的連線上?？紤]球內(nèi)外表上任一點(diǎn)P，邊界條件要求：(1)式R為Q到P的距離，R’為到P的距離，因此，對球面上任一點(diǎn)，應(yīng)有常數(shù)(2)只要選擇的位置，使，那么常數(shù)(3)設(shè)距球心為b，那么，即(4)由〔2〕〔3〕兩式得:導(dǎo)體內(nèi)電場為零，由高斯定理可知球面上的感應(yīng)電荷為，分布于內(nèi)外表。由于外外表沒有電荷，且電勢為零，所以從球外表到無窮遠(yuǎn)沒有電場，。10.上題的導(dǎo)體球殼不接地，而是帶總電荷，或使具有確定電勢，試求這兩種情況的電勢。又問與是何種關(guān)系時，兩情況的解是相等的解：由上題可知，導(dǎo)體球殼不接地時，球內(nèi)電荷和球的內(nèi)外表感應(yīng)電荷的總效果是使球殼電勢為零。為使球殼總電量為，只需滿足球外外表電量為+即可。因此，導(dǎo)體球不接地而使球帶總電荷時，可將空間電勢看作兩局部的迭加，一是與內(nèi)外表的產(chǎn)生的電勢，二是外外表+產(chǎn)生的電勢。，，；，；，，所以由以上過程可見，球面電勢為。假設(shè)球面電勢，可設(shè)導(dǎo)體球總電量為，那么有：，即：電勢的解為：當(dāng)和滿足時，兩種情況的解一樣。11.在接地的導(dǎo)體平面上有一半徑為a的半球凸部〔如圖〕，半球的球心在導(dǎo)體平面上，點(diǎn)電荷Q位于系統(tǒng)的對稱軸上，并與平面相距為b〔b>a〕，試用電象法求空間電勢。解：如圖，根據(jù)一點(diǎn)電荷附近置一無限大接地導(dǎo)體平板和一點(diǎn)電荷附近置一接地導(dǎo)體球兩個模型，可確定三個鏡像電荷的電量和位置。，；，；，，所以12.有一點(diǎn)電荷Q位于兩個互相垂直的接地導(dǎo)體平面所圍成的直角空間內(nèi)，它到兩個平面的距離為a和b，求空間電勢。解：用電像法，可以構(gòu)造如以下列圖的三個象電荷來代替兩導(dǎo)體板的作用。13.設(shè)有兩平面圍成的直角形無窮容器，其內(nèi)充滿電導(dǎo)率為σ的液體。取該兩平面為xz面和yz面在和兩點(diǎn)分別置正負(fù)電極并通以電流I，求導(dǎo)電液體中的電勢。解：此題的物理模型是，由外加電源在A、B兩點(diǎn)間建設(shè)電場，使溶液中的載流子運(yùn)動形成電流I，當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時，屬恒定場，即，。對于恒定的電流，可按靜電場的方式處理。于是在A點(diǎn)取包圍A的高斯面，那么，由于，，所以可得：。同理，對B點(diǎn)有：又，在容器壁上,，即無電流穿過容器壁。由可知，當(dāng)時，。所以可取如右圖所示電像，其中上半空間三個像電荷Q，下半空間三個像電荷-Q，容器內(nèi)的電勢分布為：14.畫出函數(shù)的圖，說明是一個位于原點(diǎn)的偶極子的電荷密度。解：〔1〕1〕時，2〕時，a)對于，b)對于，圖象如右圖所示。其中第一項(xiàng)為：應(yīng)用，即，可得：(x=0)同理可得另外兩項(xiàng)分別為及，所以，,即p是一個位于原點(diǎn)的偶極子的電荷密度。15.證明：〔1〕，〔假設(shè)，結(jié)果如何〕〔2〕證明：1)顯然，當(dāng)時，成立；又所以在全空間成立。假設(shè)，即，所以在全空間成立。2)由的選擇性證明。，而，進(jìn)而16.一塊極化介質(zhì)的極化矢量為，根據(jù)偶極子靜電勢的公式，極化介質(zhì)所產(chǎn)生的靜電勢為，另外根據(jù)極化電荷公式及，極化介質(zhì)所產(chǎn)生的電勢又可表為，試證明以上兩表達(dá)式是等同的。證明：由第一種表達(dá)式得，所以，兩表達(dá)式是等同的。實(shí)際上，繼續(xù)推演有：剛好是極化體電荷的總電勢和極化面電荷產(chǎn)生的總電勢之和。17.證明下述結(jié)果，并熟悉面電荷和面偶極層兩側(cè)電勢和電場的變化?！?〕在面電荷兩側(cè)，電勢法向微商有躍變，而電勢是連續(xù)的?！?〕在面偶極層兩側(cè)，電勢有躍變，而電勢的法向微商是連續(xù)的?！哺鲙У攘空?fù)面電荷密度±σ而靠的很近的兩個面，形成面偶極層，而偶極矩密度〕證明：1〕如圖，由高斯定理可得：，，即，電勢是連續(xù)的，但是，φ1+σ即，電勢法向微商有躍變nEl2〕如圖，由高斯定理可得：φ2－σz又，，即電勢的法向微商是連續(xù)的。18.一個半徑為R0的球面，在球坐標(biāo)的半球面上電勢為在的半球面上電勢為，求空間各點(diǎn)電勢。提示：，，解：由題意，球內(nèi)外電勢均滿足拉普拉斯方程：；球內(nèi)電勢在時為有限，球外電勢在時為0，所以通解形式為：，。在球面上，，即將按球函數(shù)展開為廣義傅立葉級數(shù)，那么，下面求。由于，所以當(dāng)n為偶數(shù)時，；當(dāng)n為奇數(shù)時，至此，可寫出球內(nèi)外的電勢為第三章靜磁場1.試用表示一個沿z方向的均勻恒定磁場，寫出的兩種不同表示式，證明二者之差為無旋場。解：是沿z方向的均勻恒定磁場，即，由矢勢定義得；；三個方程組成的方程組有無數(shù)多解，如：eq\o\ac(○,1)，即：；eq\o\ac(○,2)，即：解eq\o\ac(○,1)與解eq\o\ac(○,2)之差為那么這說明兩者之差是無旋場2.均勻無窮長直圓柱形螺線管，每單位長度線圈匝數(shù)為n，電流強(qiáng)度I，試用唯一性定理求管內(nèi)外磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：根據(jù)題意，取螺線管的中軸線為z軸。此題給定了空間中的電流分布，故可由求解磁場分布，又J只分布于導(dǎo)線上，所以dl1)螺線管內(nèi)部：由于螺線管是無限長r理想螺線管，所以其內(nèi)部磁場是Oz均勻強(qiáng)磁場，故只須求出其中軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度，即可知道管內(nèi)磁場。由其無限長的特性，不I妨取場點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建設(shè)柱坐標(biāo)系。，取的一小段，此段上分布有電流2)螺線管外部：由于螺線管無限長，不妨就在過原點(diǎn)而垂直于軸線的平面上任取一點(diǎn)為場點(diǎn)，其中。3.設(shè)有無限長的線電流I沿z軸流動，在z<0空間充滿磁導(dǎo)率為的均勻介質(zhì)，z>0區(qū)域?yàn)檎婵?，試用唯一性定理求磁感?yīng)強(qiáng)度，然后求出磁化電流分布。解：設(shè)z>0區(qū)域磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度為，；z<0區(qū)域?yàn)?，，由對稱性可知和均沿方向。由于的切向分量連續(xù)，所以。由此得到，滿足邊值關(guān)系，由唯一性定理可知，該結(jié)果為唯一正確的解。以z軸上任意一點(diǎn)為圓心，以r為半徑作一圓周，那么圓周上各點(diǎn)的大小相等。根據(jù)安培環(huán)路定理得：，即，，(z>0)；，(z<0)。在介質(zhì)中所以，介質(zhì)界面上的磁化電流密度為：總的感應(yīng)電流：，電流在z<0區(qū)域內(nèi)，沿z軸流向介質(zhì)分界面。4.設(shè)x<0半空間充滿磁導(dǎo)率為的均勻介質(zhì)，x>0空間為真空，今有線電流I沿z軸流動，求磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁化電流分布。解：假設(shè)此題中的磁場分布仍呈軸對稱，那么可寫作它滿足邊界條件：及。由此可得介質(zhì)中：由得：在x<0的介質(zhì)中，那么：再由可得，所以，〔沿z軸〕5.某空間區(qū)域內(nèi)有軸對稱磁場。在柱坐標(biāo)原點(diǎn)附近，其中為常量。試求該處的。提示：用，并驗(yàn)證所得結(jié)果滿足。解：由于B具有對稱性，設(shè)，其中，，即：，〔常數(shù)〕。當(dāng)時，為有限，所以；，即：〔1〕因?yàn)?，，所以，即?〕直接驗(yàn)證可知，〔1〕式能使〔2〕式成立，所以，(c為常數(shù))6.兩個半徑為a的同軸圓形線圈，位于面上。每個線圈上載有同方向的電流I?！?〕求軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度。〔2〕求在中心區(qū)域產(chǎn)生最接近于均勻常常時的L和a的關(guān)系。提示：用條件解：1〕由畢—薩定律，L處線圈在軸線上z處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為，同理，-L處線圈在軸線上z處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：，。所以，軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度：〔1〕2〕因?yàn)?，所以；又因?yàn)?，所以，。代入?〕式并化簡得：將z=0帶入上式得：，7.半徑為a的無限長圓柱導(dǎo)體上有恒定電流均勻分布于截面上，試解矢勢的微分方程。設(shè)導(dǎo)體的磁導(dǎo)率為，導(dǎo)體外的磁導(dǎo)率為。解：矢勢所滿足的方程為：自然邊界條件：時，有限。邊值關(guān)系：；選取柱坐標(biāo)系，該問題具有軸對稱性，且解與z無關(guān)。令，，代入微分方程得：；解得：；由自然邊界條件得，由得：，由并令其為零，得：，。；8.假設(shè)存在磁單極子，其磁荷為，它的磁場強(qiáng)度為。給出它的矢勢的一個可能的表示式，并討論它的奇異性。解：由得：(1)令,得:,(2)顯然滿足(1)式，所以磁單極子產(chǎn)生的矢勢討論：當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，故的表達(dá)式在具有奇異性，此時不合理。9.將一磁導(dǎo)率為，半徑為的球體，放入均勻磁場內(nèi)，求總磁感應(yīng)強(qiáng)度和誘導(dǎo)磁矩m。(比照P49靜電場的例子。)解：根據(jù)題意，以球心為原點(diǎn)建設(shè)球坐標(biāo)，取H0的方向?yàn)?，此球體被外加磁場磁化后，產(chǎn)生一個附加磁場，并與外加均勻場相互作用，最后到達(dá)平衡，呈現(xiàn)軸對稱。此題所滿足的微分方程為：〔1〕自然邊界條件：為有限；。銜接條件：在處滿足及由自然邊界條件可確定方程組〔1〕的解為：；由兩個銜接條件，有：比較的系數(shù)，解得：；；，即：，〔〕，〔〕在R<R0區(qū)域內(nèi)，10.有一個內(nèi)外半徑為和的空心球，位于均勻外磁場內(nèi)，球的磁導(dǎo)率為，求空腔內(nèi)的場，討論時的磁屏蔽作用。解：根據(jù)題意，以球心為原點(diǎn)，取球坐標(biāo)，選取H0的方向?yàn)椋谕鈭鯤0的作用下，空心球被磁化，產(chǎn)生一個附加磁場，并與原場相互作用，最后到達(dá)平衡，B的分布呈現(xiàn)軸對稱。磁標(biāo)勢的微分方程為：；；自然邊界條件：為有限；。銜接條件：；；；由軸對稱性及兩個自然邊界條件，可寫出三個泛定方程的解的形式為：；；因?yàn)榉憾ǚ匠痰慕馐前旬a(chǎn)生磁場的源H0做頻譜分解而得出的，分解所選取的基本函數(shù)系是其本征函數(shù)系。在此題中源的表示是：所以上面的解中，，解的形式簡化為：；；代入銜接條件得：，，，。解方程組得：，，，。從而，空間各點(diǎn)磁標(biāo)勢均可確定。空腔內(nèi)：當(dāng)時，，所以。即空腔中無磁場，類似于靜電場中的靜電屏蔽。11.設(shè)理想鐵磁體的磁化規(guī)律為，其中是恒定的與無關(guān)的量。今將一個理想鐵磁體做成的均勻磁化球〔為常值〕浸入磁導(dǎo)率為的無限介質(zhì)中，求磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁化電流分布。解：根據(jù)題意，取球心為原點(diǎn)，建設(shè)球坐標(biāo)系，以M0的方向?yàn)?，此題具有軸對稱的磁場分布，磁標(biāo)勢的微分方程為：；自然邊界條件：為有限；。銜接條件：；；由軸對稱性及兩個自然邊界條件，可寫出拉普拉斯方程通解的形式為：；；代入銜接條件，比較各項(xiàng)的系數(shù)，得：，；；，，由此又，〔其中〕將B的表達(dá)式代入，得：12.將上題的永磁球置入均勻外磁場中，結(jié)果如何解：根據(jù)題意假設(shè)均勻外場的方向與M0的方向一樣，定為坐標(biāo)z軸方向。磁標(biāo)勢的微分方程為：；自然邊界條件：為有限；。銜接條件：；；解得滿足自然邊界條件的解是：，，代入銜接條件，得：解得：，，，，其中，13.有一個均勻帶電的薄導(dǎo)體殼其半徑為，總電荷為，今使球殼繞自身某一直徑以角速度轉(zhuǎn)動，求球內(nèi)外的磁場。提示：此題通過解或的方程都可以解決，也可以比較此題與§5例2的電流分布得到結(jié)果。解：根據(jù)題意，取球體自轉(zhuǎn)軸為z軸，建設(shè)球坐標(biāo)系。磁標(biāo)勢的微分方程為：；自然邊界條件：為有限；。銜接條件：；；其中是球殼外表自由面電流密度。解得滿足自然邊界條件的解是：，，代入銜接條件，得：；解得：，，，，，其中，14.電荷按體均勻分布的剛性小球，其總電荷為，半徑為，它以角速度繞自身某一直徑轉(zhuǎn)動，求〔1〕它的磁矩；〔2〕它的磁矩與自轉(zhuǎn)角動量之比〔設(shè)質(zhì)量M0是均勻分布的〕。解：1〕磁矩又，又2)自轉(zhuǎn)動量矩：15.有一塊磁矩為m的小永磁體，位于一塊磁導(dǎo)率非常大的實(shí)物的平坦界面附近的真空中，求作用在小永磁體上的力。解：根據(jù)題意，因?yàn)闊o窮大平面的μ很大，那么在平面上所有的H均和平面垂直，類比于靜電場，構(gòu)造磁矩m關(guān)于平面的鏡像,那么外場為：而m受力為：第四章電磁波的傳播1.考慮兩列振幅一樣、偏振方向一樣、頻率分別為和的線偏振平面波，它們都沿z軸方向傳播。〔1〕求合成波，證明波的振幅不是常數(shù)，而是一個波?！?〕求合成波的相位傳播速度和振幅傳播速度。解：根據(jù)題意，設(shè)兩列波的電場表達(dá)式分別為：；那么合成波為其中，；，所以用復(fù)數(shù)表示相速由確定，群速由確定，2.一平面電磁波以45°從真空入射到的介質(zhì)，電場強(qiáng)度垂直于入射面，求反射系數(shù)和折射系數(shù)。解：設(shè)n為界面法向單位矢量，、、分別為入射波、反射波和折射波的玻印亭矢量的周期平均值，那么反射系數(shù)R和折射系數(shù)T定義為：，又根據(jù)電場強(qiáng)度垂直于入射面的菲涅耳公式，可得，根據(jù)折射定律可得：，代入上式，得，3.有一可見平面光波由水入射到空氣，入射角為60°，證明這時將會發(fā)生全反射，并求折射波沿外表傳播的相速度和透入空氣的深度。設(shè)該波在空氣中的波長為cm，水的折射率為n=1.33。解：由折射定律得，臨界角，所以當(dāng)平面光波以60°角入射時，將會發(fā)生全反射。由于所以折射波相速度透入空氣的深度為cm4.頻率為的電磁波在各向異性介質(zhì)中傳播時，假設(shè)仍按變化，但不再與平行〔即不成立〕?！?〕證明，但一般?！?〕證明?！?〕證明能流S與波矢k一般不在同一方向上。證明：1〕麥?zhǔn)戏匠探M為：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕由〔4〕式得：〔5〕同理由〔3〕式得：〔6〕由〔2〕式得：〔7〕〔8〕由〔1〕式得：〔9〕〔10〕由〔5〕、〔8〕可知：；；，所以共面。又由〔6〕可知：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，。所以，各向異性介質(zhì)中，一般。2〕將〔9〕式代入〔7〕式，便得：3〕由〔9〕式得由于一般情況下，所以S除了k方向的分量外，還有E方向的分量，即能流S與波矢k一般不在同一方向上。5.有兩個頻率和振幅都相等的單色平面波沿z軸傳播，一個波沿x方向偏振，另一個沿y方向偏振，但相位比前者超前，求合成撥的偏振。反之，一個圓偏振可以分解為怎樣的兩個線偏振解：偏振方向在x軸上的波可記為在y軸上的波可記為合成得軌跡方程為：所以，合成的振動是一個圓頻率為的沿z軸方向傳播的右旋圓偏振。反之一個圓偏振可以分解為兩個偏振方向垂直，同振幅，同頻率，相位差為的線偏振的合成。6.平面電磁波垂直射到金屬外表上，試證明透入金屬內(nèi)部的電磁波能量全部變?yōu)榻苟鸁?。證明：設(shè)在z>0的空間中是金屬導(dǎo)體，電磁波由z<0的空間中垂直于導(dǎo)體外表入射。導(dǎo)體中電磁波的電場局部表達(dá)式是：于是，單位時間內(nèi)由z=0外表的單位面積進(jìn)入導(dǎo)體的能量為：，其中S的平均值為在導(dǎo)體內(nèi)部：金屬導(dǎo)體單位體積消耗的焦耳熱的平均值為：作積分：即得界面上單位面積對應(yīng)的導(dǎo)體中消耗的平均焦耳熱。又因?yàn)椋?，原題得證。7.海水的，S·m-1，試計算頻率為50，106和109Hz的三種電磁波在海水中的透入深度。解：取電磁波以垂直于海水外表的方式入射，透射深度為：由于，所以，當(dāng)Hz時,m當(dāng)Hz時,m當(dāng)Hz時,mm8.平面電磁波由真空傾斜入射到導(dǎo)電介質(zhì)外表上，入射角為。求導(dǎo)電介質(zhì)中電磁波的相速度和衰減長度。假設(shè)導(dǎo)電介質(zhì)為金屬，結(jié)果如何提示：導(dǎo)電介質(zhì)中的波矢量，只有z分量?！矠槭裁础辰猓焊鶕?jù)題意,取入射面為xz平面，z軸沿分界面法線方向，如以下列圖。設(shè)導(dǎo)體中的電磁波表示為：z而k上式中滿足：〔1〕x〔2〕根據(jù)邊界條件得：k1k2〔3〕〔4〕，，，。將結(jié)果代入〔1〕、〔2〕得：〔5〕〔6〕解得：其相速度為：。衰減深度為：。如果是良導(dǎo)體，的實(shí)部與其虛部相比忽略，那么：9.無限長的矩形波導(dǎo)管，在z=0處被一塊垂直插入的理想導(dǎo)體平板完全封閉，求在到z=0這段管內(nèi)可能存在的波模。解：在此構(gòu)造的波導(dǎo)管中，電磁波的傳播滿足亥姆霍茲方程：，，電場的三個分量通