不等式及其性質(zhì)設(shè)計(jì)

不等式及其性質(zhì)教學(xué)設(shè)計(jì)【教學(xué)目標(biāo)】1、掌握不等式5個(gè)性質(zhì)與5個(gè)推論.2、掌握用配方法、作差法、綜合法、反證法、分析法證明不等式.3、熟練靈活運(yùn)用不等式性質(zhì)、推論、思想方法證明不等式.【教學(xué)重點(diǎn)】1、掌握不等式5個(gè)性質(zhì)與5個(gè)推論.2、掌握用配方法、作差法、綜合法、反證法、分析法證明不等式.3、熟練靈活運(yùn)用不等式性質(zhì)、推論、思想方法證明不等式.【教學(xué)難點(diǎn)】正確選用性質(zhì)推理和思想方法來證明不等式.【教學(xué)過程】【情境與問題】你見過你見過下圖中的高速公路指示牌嗎？左邊的指示牌是指對(duì)應(yīng)的車道只能供小客車行駛，而且小客車的速率v1（單位：km/h，下同）應(yīng)該滿足100≤v1≤120；右邊的指示牌是指對(duì)應(yīng)的車道可供客車和貨車行駛，而且車的速率v2應(yīng)該滿足60≤v2≤100在現(xiàn)實(shí)世界里，量與量之間的不等關(guān)系是普遍的，不等式是刻畫不等關(guān)系的工具，我們用數(shù)學(xué)符號(hào)“≠”“>”“<”“≥”“≤”連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關(guān)系，含有這些不等號(hào)的式子，稱為不等式.上述不等式符號(hào)中，要特別注意“≥”“≤”.事實(shí)上，住意給定兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，那么a≥b?a＞b或a=ba≤b?a＜b或a=b5≥3，2≥2，2≤2這三個(gè)命題都是真命題嗎？5≥3，2≥2，2≤2這三個(gè)命題都是真命題嗎？怎樣理解兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的大小呢？我們已經(jīng)知道，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，即每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示；反過來，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù).一般地，如果點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為x，則稱x為點(diǎn)P的坐標(biāo)，并記作P（x）.另外，數(shù)軸上的點(diǎn)往數(shù)軸的正方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，它所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)會(huì)變大，這就是說，兩個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的相對(duì)位置決定了這兩個(gè)數(shù)的大小、如下圖所示的數(shù)軸中，A（a），B（b），不難看出b>1>0>a.此外，我們也知道，一個(gè)數(shù)加上一個(gè)正數(shù)，相當(dāng)于數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)向正方向移動(dòng)了一段距離；一個(gè)數(shù)減去一個(gè)正數(shù)（即加上一個(gè)負(fù)數(shù)），相當(dāng)于數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)向負(fù)方向移動(dòng)了一段距離。由此可以看出，要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b的大小，只要考察a-b與0的相對(duì)大小就可以了，即a-a-b<0?a<b,b=0?a=b,a-b>0?a>b.初中的時(shí)候，我們就已經(jīng)歸納出了不等式的三個(gè)性質(zhì)：性質(zhì)1如果a>b，那么a+c>b+c.性質(zhì)2如果a>b，c>0，那么ac>bx.性質(zhì)3如果a>b，c<0，那么ac<bc.【嘗試與發(fā)現(xiàn)】你能利用前面的知識(shí)，給出性質(zhì)1的直觀理解以及這三個(gè)性質(zhì)的證明嗎？你能利用前面的知識(shí)，給出性質(zhì)1的直觀理解以及這三個(gè)性質(zhì)的證明嗎？事實(shí)上，如下圖所示，a>b是指點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)，a+c和b+c表示點(diǎn)A和點(diǎn)B在數(shù)軸上做了相同的平移，平移后得到的點(diǎn)A'和B'的相對(duì)位置，與A和B的相對(duì)位置是一樣的，因此a+c>b+c.性質(zhì)1可以用如下方式證明：因?yàn)椋╝+c）-（b+c）=a+c-b-c=a-b，又因?yàn)閍>b，所以a-b>0，從而（a+c）-（b+c）>0.因此a+c>b+c.性質(zhì)2可以用類似的方法證明：因?yàn)閍c-bc=（a-b）c，又因?yàn)閍>b，所以a-b>0，而c>0，因此（a-b）c>0，因此ac-bx>0，即ac>bx.性質(zhì)3的證明留作練習(xí).用“充分不必要”“必要不充分”“充要”填空：（用“充分不必要”“必要不充分”“充要”填空：（1）a>b是a+c>b+c的充要條件；（2）如果c>0，則a>b是ac>bc的充要條件；（3）如果c<0，則a>b是ac<bc的充要條件.在不等式的證明與求解中，我們還經(jīng)常用到以下不等式的性質(zhì)。性質(zhì)4如果a>b，b>c，那么a>c.直觀上，如下圖所示，點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)，點(diǎn)B在點(diǎn)C的右側(cè)，因此點(diǎn)A必定在點(diǎn)C的右側(cè).證明因?yàn)閍-c=（a-b）+（b-c），又因?yàn)閍>b，所以a-b>0；且b>c，所以b-c>0，因此（a-b）+（b-c）>0，從而a-c>0，即a>c.性質(zhì)4通常稱為不等關(guān)系的傳遞性.我們前面在判斷x2>-1等類似命題的真假時(shí)就用過不等關(guān)系的傳遞性。性質(zhì)5a>b?b<a.這只要利用a-b=-（b-a）就可以證明，請(qǐng)讀者自行嘗試.另外，值得注意的是，上述不等式性質(zhì)對(duì)任意滿足條件的實(shí)數(shù)都成立，因此我們可以用任意滿足條件的式子去代替其中的字母?！镜湫屠}】例1比較x2-x和x-2的大小.解因?yàn)?x2-x)-(x-2)=x2-2x+2=(x-1)2+1,又因?yàn)?x-1)2≥0，所以(x-1)2+1≥1>0，從而(x2-x)-(x-2)>0，因此x2-x>x-2.例1的證明中用了配方法，這種方法經(jīng)常用于式子變形，大家應(yīng)熟練掌握.需要注意的是，前面我們證明不等式性質(zhì)和解答例1的方法，其實(shí)質(zhì)都是通過比較兩式之差的符號(hào)來判斷兩式的大小，這種方法通常稱為作差法.在證明不等式時(shí)，當(dāng)然也可直接利用已經(jīng)證明過的不等式性質(zhì)等。從已知條件出發(fā)，綜合利用各種結(jié)果，經(jīng)過逐步推導(dǎo)最后得到結(jié)論的方法，在數(shù)學(xué)中通常稱為綜合法.下面我們用綜合法來得出幾個(gè)常用的不等式性質(zhì)的推論.推論1如果a+b>c，那么a>c-b.證明a+b>c?a+b+（-b）>c+（-b）?a>c-b.推論1表明，不等式中的任意一項(xiàng)都可以把它的符號(hào)變成相反的符號(hào)后，從不等式的一邊移到另一邊.推論1通常稱為不等式的移項(xiàng)法則.推論2如果a>b，c>d，那么a+c>b+d.證明根據(jù)性質(zhì)1有b?a+c>b+c，d?b+c>b+d，再根據(jù)性質(zhì)4可知a+c>b+d.我們把a(bǔ)>b和c>d（或a<b和c<d）這類不等號(hào)方向相同的不等式，稱為同向不等式.推論2說明，兩個(gè)同向不等式的兩邊分別相加，所得到的不等式與原不等式同向.很明顯，推論2可以推廣為更一般的結(jié)論：有限個(gè)同向不等式的兩邊分別相加，所得到的不等式與原不等式同向。推論3如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.證明根據(jù)性質(zhì)2有a>b，c>0?ac>bc，c>d，b>0?bc>bd，再根據(jù)性質(zhì)4可知ac>bd.很明顯，這個(gè)推論也可以推廣為更一般的結(jié)論：幾個(gè)兩邊都是正數(shù)的同向不等式的兩邊分別相乘，所得到的不等式與原不等式同向.推論4如果a>b>0，那么an>bn（n∈N，n>1）.這個(gè)結(jié)論的證明只要多次使用推論3的結(jié)論即可.推論5如果a>b>0，那么>.證明假設(shè)≤，即<或=，根據(jù)推論4和二次根式的性質(zhì)，得a<b或a=b.這都與a>b矛盾，因此假設(shè)不成立，從而>.證明推論5中不等式的方法具有什么特征？【嘗試與發(fā)現(xiàn)】證明推論5中不等式的方法具有什么特征？可以看出，推論5中證明方法的實(shí)質(zhì)是：首先假設(shè)結(jié)論的否定成立，然后由此進(jìn)行推理得到矛盾，最后得出假設(shè)不成立。這種得到數(shù)學(xué)結(jié)論的方法通常稱為反證法，反證法是一種間接證明的方法.例2（1）已知a>b，c<d，求證：a-c>b-d；（2）已知a>b，ab>0，求證：（3）已知a>b>0，0<c<d，求證：證明（1）因?yàn)閍>b，c<d，所以b，-c>-d，根據(jù)推論2，得a-c>b-d.（2）因?yàn)閍b>0，所以又因?yàn)閍>b，所以即，，因此因?yàn)?<c<d，根據(jù)（2）的結(jié)論，得又因?yàn)閍>b>0，所以根據(jù)推論3可知即可以看出，例2中所使用的方法是綜合法.綜合法中，最重要的推理形式為p?q，其中p是已知或者已經(jīng)得出的結(jié)論，所以綜合法的實(shí)質(zhì)就是不斷尋找必然成立的結(jié)論?！緡L試與發(fā)現(xiàn)】你能證你能證明嗎？用綜合法證明這個(gè)結(jié)論方便嗎？你覺得可以怎樣證明這個(gè)結(jié)論？直接證明并不容易，因此可以考慮用反證法，請(qǐng)同學(xué)們自行嘗試。不過，為了方便起見，人們通常用下述方式來證明這個(gè)結(jié)論：要證，只需證明展開得10+2<20，即<5，這只需證明即21<25.因