【優(yōu)化方案】高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第9章§9.3直線與平面垂直、平面與平面垂直(A、B)精品課件 大綱人教

§9.3直線與平面垂直、平面與平面垂直(A、B)

考點探究·挑戰(zhàn)高考考向瞭望·把脈高考9.3直線與平面垂直、平面與平面垂直(A、B)雙基研習(xí)·面對高考雙基研習(xí)·面對高考基礎(chǔ)梳理1．直線和平面垂直(1)直線和平面垂直的定義如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，那么就稱這條直線和這個平面垂直，直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的______．垂面(2)判定定理和性質(zhì)定理(3)三垂線定理及其逆定理①三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的_____垂直，那么它也和這條斜線垂直．②三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條______垂直，那以它也和這條斜線的射影垂直．射影斜線2．平面和平面垂直(1)兩個平面互相垂直的定義兩個平面相交，如果所成的二面角是_________，就說這兩個平面互相垂直．(2)兩個平面垂直的判定與性質(zhì)直二面角1．一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，這條直線與這個平面垂直嗎？提示：不一定，可能平行(如圖①)，可能在平面內(nèi)(如圖②)，也可能斜交(如圖③)，也可能垂直．2．垂直于同一個平面的兩個平面有什么關(guān)系？提示：平行或相交．1．下列說法中，正確的是(

)A．若線段相等，則它們的射影相等B．若射影相等，則斜線也相等C．在平面的垂線段和斜線段中，垂線段最短D．線段的長不小于它在平面內(nèi)的射影長答案：D課前熱身2．平面α⊥β，α∩β＝l，點P∈α，點Q∈l，那么PQ⊥l是PQ⊥β的(

)A．充分不必要條件B．必要但不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案：C3．設(shè)a、b是兩條直線，α、β是兩個平面，則a⊥b的一個充分條件是(

)A．a(chǎn)⊥α，b∥β，α⊥β

B．a(chǎn)⊥α，b⊥β，α∥βC．a(chǎn)?α，b⊥β，α∥β

D．a(chǎn)?α，b∥β，α⊥β答案：C4．P為△△ABC所在在平平面面外外一一點點，，且且PA、PB、PC兩兩兩垂垂直直，，則則下下列列命命題題：：①PA⊥BC；②②PB⊥AC；③③PC⊥AB；④④AB⊥BC.其中中正正確確的的個個數(shù)數(shù)是是________．答案案：：35．(教材材例例5改編編)在△△ABC中，，∠∠ACB＝90°°，AB＝8，∠∠ABC＝60°°，PC⊥平平面面ABC，PC＝4，M是AB上一一個個動動點點，，則則PM的最最小小值值為為________．考點探究·挑戰(zhàn)高考考點點突突破破考點一有關(guān)平面上的射影問題線面面垂垂直直是是構(gòu)構(gòu)成成射射影影的的必必要要條條件件，，應(yīng)應(yīng)正正確確認認識識直直棱長為1的正方體體ABCD－A1B1C1D1中，若E、G分別為C1D1、BB1的中點，，F(xiàn)是正方形形ADD1A1的中心，，則空間間四邊形形BGEF在正方體體的六個個面內(nèi)射射影的面面積的最最大值為為________．【思路分析析】分別找出出四邊形形BGEF在各個面面上的射射影形狀狀，求其其面積．．例1【領(lǐng)悟歸納納】作圖形在在某面上上的射影影就是作作圖形的的邊界點點在平面面上的射射影．線面垂直直的判定定方法主主要是利利用判定定定理，，利用線線面垂直直的性質(zhì)質(zhì)可以證證明兩線線垂直和和兩線平平行，參參考教材材例2及練習(xí)第第2題．如圖所示，直直角△ABC所在平面外一一點S，且SA＝SB＝SC，斜邊AC的中點為D.(1)求證：SD⊥平面ABC；(2)若直角邊BA＝BC，求證：BD⊥平面SAC.考點二直線與平面垂直的判定與性質(zhì)例2【思路分析】由等腰三角形形底邊上的中中線得到線線線垂直，再利利用線面垂直直的判定定理理從而得到線線面垂直．【證明】(1)在等腰△SAC中，D為AC的中點，∴SD⊥AC，如圖所示，取取AB中點E，連結(jié)DE、SE，∵ED∥BC，BC⊥AB，∴DE⊥AB，又SE⊥AB，SE∩DE＝E，∴AB⊥平面SED.∴AB⊥SD，∴SD⊥平面ABC(AB、AC是面ABC內(nèi)兩相交直線線)．(2)∵BA＝BC，∴BD⊥AC，又∵SD⊥平面ABC，∴SD⊥BD，∵SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.【思維總結(jié)】本題中反復(fù)抓抓住“線面垂垂直”與“線線線垂直”的的轉(zhuǎn)化，借助助等腰三角形形最基本的性性質(zhì)找垂直關(guān)關(guān)系．互動探究1在(2)中，AC⊥平面SDB嗎？解：由(1)知SD⊥平面ABC?SD⊥AC，由(2)知BD⊥平面SAC?BD⊥AC，又SD∩BD＝D，∴AC⊥平面SDB.利用判定定理理證明面面垂垂直時，關(guān)鍵鍵在該面內(nèi)找找到與另一平平面垂直的直直線．考點三有關(guān)面面垂直的判定和性質(zhì)例3【思路分析】通過EF∥CD?EF⊥面ABC.【思維總結(jié)】本題是借用用平行關(guān)系系進行垂直直轉(zhuǎn)化．互動探究2在本例中當當λ為何值時，，平面BEF⊥平面ACD.三垂垂線線定定理理是是證證明明線線線線垂垂直直的的主主要要方方法法．．首首先先須須有有線線面面垂垂直直(面的的垂垂線線)，才才能能有有射射影影，，為為了了找找面面的的垂垂線線，，又又須須用用面面面面垂垂直直的的性性質(zhì)質(zhì)，，即即有有以以下下關(guān)關(guān)系系：：考點四三垂線定理、逆定理及空間垂直如圖圖所所示示，，△△ADB和△△ADC都是是以以D為直直角角頂頂點點的的直直角角三三角角形形，，且且AD＝BD＝CD，∠∠BAC＝60°°.(1)求證證：：BD⊥平平面面ADC；(2)若H為△△ABC的垂垂心心．．求證證：：H是D在平平面面ABC內(nèi)的的射射影影．．例4【思路路分分析析】(1)““射影影””與與““垂垂直直””相相連連，，““證證線線面面垂垂直直，，先先找找線線線線垂垂直直””；；(2)““垂心心””是是““高高線線””的的交交點點，，線線線線垂垂直直，，由由此此根根據(jù)據(jù)三三垂垂線線定定理理去去找找．．【證明明】(1)∵AD＝BD＝CD，∠∠ADB＝∠ADC＝90°，∴△ABD≌△ACD，AB＝AC.又∠BAC＝60°，∴△ABC為正三角形，，∴AB＝BC.∴△ABD≌△BCD，∴△BDC為直角三角形形，∠BDC＝90°，BD⊥CD.又BD⊥AD，AD∩CD＝D，∴BD⊥平面ADC.(2)如圖所示，設(shè)設(shè)D在△ABC內(nèi)的射影為H′，連結(jié)CH′并延長交AB于E，∵CD⊥AD，且CD⊥DB，∴CD⊥平面ADB，∴CD⊥AB，由三垂線定定理得CE⊥AB.同理，連BH′并延長交AC于F，得BF⊥AC.∴H′為△ABC的垂心，即D在平面ABC內(nèi)射影為△ABC的垂心，∵H為△ABC的垂心，∴H′與H重合，得證．．【思維總結(jié)】三垂線定理及及逆定理可合合起來表述為為，設(shè)l是平面α的一條斜線，，l′是l在α內(nèi)的射影，m是α內(nèi)的一條直線線，則有m⊥l′?m⊥l.方法技巧1．細化空間垂垂直的判定(1)利用線面垂直直的定義：證證一條直線垂垂直于平面內(nèi)內(nèi)任意一條直直線，這時直直線垂直于該該平面．即a與α內(nèi)任意一條直直線垂直?a⊥α.(2)利用線線面垂垂直的的判定定定理理：證證一直直線與與平面面內(nèi)兩兩相交交直線線都垂垂直，，這條條直線線與平平面垂垂直．．即m，n?α，m∩n＝A，l⊥m，l⊥n?l⊥α.方法感感悟(3)利用線線面垂垂直的的性質(zhì)質(zhì)：兩兩平行行線之之一垂垂直于于平面面，則則另一一條也也必垂垂直于于這個個平面面．即即a∥b，a⊥α?b⊥α.(4)利用面面面垂垂直的的性質(zhì)質(zhì)定理理：兩兩平面面垂直直，在在一個個面內(nèi)內(nèi)垂直直于交交線的的直線線必垂垂直于于另一一平面面．即即α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β.(5)利用面面面平平行的的性質(zhì)質(zhì)：一一直線線垂直直于兩兩平行行平面面之一一，則則必垂垂直于于另一一平面面．即即a⊥α，α∥β?a⊥β.(6)利用面面面垂垂直性性質(zhì)：：兩相相交平平面同同時垂垂直于于第三三個平平面，，那么么兩平平面交交線垂垂直于于第三三個平平面．．即α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ?l⊥γ.2．面面垂直直的判定方方法(1)利用面面垂垂直的定義義，即證明明兩平面所所成的二面面角為直角角．(2)利用兩個平平面垂直的的判定定理理，證明一一個平面過過另一個平平面的一條條垂線．(3)若a∥α，a⊥β，則α⊥β.(4)若α∥β，β⊥γ，則α⊥γ.(5)若α∥α1，β∥β1，α⊥β，則α1⊥β1.3．關(guān)于三垂垂線定理及及其逆定理理(1)三垂線定理理及其逆定定理所論述述的是三個個垂直關(guān)系系：一是直直線與平面面垂直；二二是平面內(nèi)內(nèi)一條直線線與斜線的的射影(或斜線)垂直；三是是這條直線線與斜線(或射影)垂直．構(gòu)成成定理的五五個元素是是“一面四四線”．運運用三垂線線定理及其其逆定理的的步驟是：：確定平面面→作出垂垂線→找到到斜線→連連成射影→→找面內(nèi)線線，其關(guān)鍵鍵是確定平平面及平面面的垂線．．(2)三垂線定理理及其逆定定理主要用用于：①立體幾何何的證明問問題．如線線線垂直，，線面垂直直，面面垂垂直．②二面角問問題，主要要是作二面面角的平面面角．③立體幾何何的計算問問題．如求求空間一點點到平面內(nèi)內(nèi)某一直線線的距離，，求兩平行行直線間的的距離，求求兩條異面面直線所成成的角等．．1．依據(jù)直線線與平面垂垂直的判定定定理證明明線面垂直直的關(guān)鍵在在于尋找直直線與平面面內(nèi)的兩條條相交直線線垂直．如如例2.2．在應(yīng)用三三垂線定理理及其逆定定理時，首首先應(yīng)尋找找線面垂直直的條件，，然后再確確定線線垂垂直關(guān)系．．失誤防范考向瞭望·把脈高考考情分析從近兩年的的高考試題題來看，考考查的內(nèi)容容有：(1)垂直關(guān)系的的判斷和證證明；(2)以垂直關(guān)系系為載體去去解決空間間角和距離離的計算或或證明．一一般以選擇擇題和解答答題的形式式出現(xiàn)，其其中解答題題出現(xiàn)的頻頻率比較高高且難度中中等偏上．．著重考查查直線與平平面、平面面與平面垂垂直關(guān)系的的判定和性性質(zhì)以及直直線與平面面、平面與與平面垂直直關(guān)系的相相互轉(zhuǎn)化，，同時注意意三垂線定定理及其逆逆定理的應(yīng)應(yīng)用和垂直直關(guān)系的拓拓展和延伸伸．2010年的高考中中，各省市市考的立體體幾何都涉涉及到了空空間垂直關(guān)關(guān)系，尤其其是涉及到到線面角的的計算時，，無不用到到空間垂直直關(guān)系的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化，如大大綱全國卷卷Ⅰ理第7題，重慶文文第20題等．預(yù)測2012年高考仍將將以選擇題題和解答題題的形式重重點考查線線面垂直和和面面垂直直的判定和和性質(zhì)的理理解和靈活活運用，特特別是垂直直關(guān)系的證證明及利用用垂直關(guān)系系去解決空空間角和距距離的求解解問題．規(guī)范解答例【解】(1)證明：如圖圖，由PA⊥底面ABCD得PA⊥AB.又PA＝AB，故△PAB為等腰直直角三角角形．而而點E是棱PB的中點，，所以AE⊥PB.由題意知知BC⊥AB，又AB是PB在平面ABCD內(nèi)的射影影，由三三垂線定定理得BC⊥PB，從而BC⊥平面PAB，故BC⊥AE.又因為AE