專題3、定點定值問題

專題三、解析幾何中的定量問題一、定量問題的思想方法思想方法：定量問題包括定點，定值，定角，定直線，定面積等等。小題可以特殊化、極端化猜測得出，大題則一般可以先猜再證。能力要求：（1）會猜——特殊化，極端化（2）會證——①設(shè)方程（直線通常為y=kx+b或x=my+n)②聯(lián)立方程組得關(guān)鍵方程③轉(zhuǎn)化幾何條件建立代數(shù)關(guān)系④利用韋達(dá)定理建立等式，統(tǒng)一參數(shù)字母⑤求出定量二、定點問題例1、拋物線（1）過原點作兩條互相垂直的弦，則直線過定點為OAB解析：小題猜測：根據(jù)對稱性，定點肯定在x軸上，再取，易得猜測定點證：證明方法很多，這里略舉幾種，后面的例題通法為主。(一)拋物線類思路1：設(shè)直線AB(2字母)OAB代入拋物線得關(guān)鍵方程(2字母)OA⊥OB統(tǒng)一字母(1字母)得定點OAB法1：設(shè)思路2：設(shè)直線OA，OB(1字母)OAB代入拋物線解得A,B點得直線AB方程(1字母)得定點OAB法2：思路3：設(shè)點A，B(4字母)OAB代入拋物線消掉2字母得直線AB方程(2字母)得定點OA⊥OB統(tǒng)一字母(1字母)OAB法3：設(shè)規(guī)律：直線(曲線)過定點問題實質(zhì)是方程與動量(變量)無關(guān)，這里的變量要合理選取，如斜率、截距、坐標(biāo)等。在處理過程中，可以統(tǒng)一成一個變量，或統(tǒng)一成某個變量整體結(jié)構(gòu)去解決問題。（2）過任意一點作兩條互相垂直的弦，則直線過定點為解析：小題猜測：極端性，當(dāng)水平時此時在無窮遠(yuǎn)處，，直線所以定點縱坐標(biāo)為OABP當(dāng)豎直時，設(shè)為，代入拋物線方程，猜測定點為思路1：設(shè)直線點PA，PB(1字母)代入拋物線得A,B坐標(biāo)得直線AB方程(1字母)得定點OABP法1：OABP思路1：設(shè)點A，B(4字母)代入拋物線消掉2字母得直線AB方程(2字母)得定點PA⊥PB統(tǒng)一字母(1字母)OABP法1：OABP思路2：設(shè)直線AB(2字母)代入拋物線得關(guān)鍵方程k1k2=-1統(tǒng)一字母代直線AB方程(1字母）得定點OABP法2：解析：小題猜測：極端性，當(dāng)水平時，此時，所以定點縱坐標(biāo)為1、過原點作拋物線兩條弦，傾斜角分別為，(1)若，則直線過定點為當(dāng)時，，所以定點為的交點。跟蹤練習(xí)證：設(shè)(2)若，則直線過定點為解析：，證明思路：注意無意義，則(3)若，則直線過定點為證：設(shè)②

①(4)過準(zhǔn)線上任意一點作兩條切線，切點為，則直線過定點為解析：，特殊化猜測。證：設(shè)OABP2、已知拋物線方程為，過點作拋物線的兩條弦，且斜率為滿足，則直線過定點的坐標(biāo)為

OM(1,2)FE思路1：設(shè)直線ME(1字母)代入拋物線得E點OM(1,2)FE類比得F點得直線EF方程(1字母）得定點解析：法1：方程有一根為2，由韋達(dá)定理得另一根為思路2：設(shè)直線EF(2字母),點M,N(4字母)代入拋物線得關(guān)鍵方程OM(1,2)FEk1k2=1統(tǒng)一字母代直線EF方程(1字母）得定點法2：例3、橢圓（1）以左頂點

為直角頂點的的頂點都在橢圓上，則斜邊過定點AMN(二)橢圓類思路1：特殊化取AM:y=x+2代入橢圓得M,N坐標(biāo)(1字母)得直線AB方程(1字母)猜測得定點坐標(biāo)再證明AMN解析：思路2：設(shè)直線MN(2字母)代入橢圓得關(guān)鍵方程(2字母)得直線AB方程(1字母)得定點AM⊥AN統(tǒng)一字母(1字母)AMN解析：（2）設(shè)

，為橢圓上關(guān)于軸對稱的任意兩點，交橢圓另一點于，則直線過定點PMNE思路：設(shè)點M,N,E(4字母)，直線PN方程x=my+4(1字母)得直線ME方程(1字母)得定點直線PN與橢圓聯(lián)立(3字母可統(tǒng)一成1個)P(4,0)M(x1,-y1)N(x1,y1)E(x2,y2)N,E,P在直線PN上(3字母y1,y2,m)解析：當(dāng)M,N重合，則ME:x=0，所以定點縱坐標(biāo)為0P(4,0)M(x1,-y1)N(x1,y1)E(x2,y2)例4、若存在一個定點，對于圓上任意一點使得為定值，則該定值為，定點的坐標(biāo)為A(-2,0)M(x,y)B(m,n)思路1：設(shè)點M,B(4字母)，定值(1字母)得定值，定點x,y系數(shù),常數(shù)為0代入等式恒成立A(-2,0)M(x,y)B(m,n)解析1：設(shè)B(m,n)，M(x,y)，對圓上任意點M(x,y)恒成立思路2：取M特殊點，猜測出B點位置證明定點對任意M恒成立A(-2,0)M(x,y)B(m,n)解析2：不妨取M1(0,1)，M2(0,-1)又取M3(-1,0)，M4(1,0)例5、橢圓，過作直線l交橢圓于，若存在一個定點，使得恒成立，則點坐標(biāo)為解析：當(dāng)l水平時，則|BN|=|BM|，所以B只可能在y軸上，設(shè)B(0,t)當(dāng)l豎直時，則，則BA為角MBN的角平分線取下證對任意直線l都適合例6、橢圓的左右頂點分別為，分別交橢圓于其中，則直線過定點解析：直線TMA:直線TBN:分別與橢圓方程聯(lián)立，同時考慮到T(9,m)MNBADO法1：當(dāng)時，直線MN:令解得當(dāng)時，直線MN:所以直線MN必過定點(1,0)當(dāng)時，法2：當(dāng)時，直線MN:，過D(1,0)點所以直線MN必過定點(1,0)例7、橢圓的，過右焦點作與坐標(biāo)軸不垂直的直線交橢圓于，設(shè)點是點關(guān)于軸的對稱點，求一定點，使得三點共線，則點的坐標(biāo)為A(x1,y1)C(x1,-y1)F(2，0)ONB(x2,t2)解析：根據(jù)對稱性，知N必在x軸上，設(shè)N(t,0)斜率分別為且1、已知橢圓，過點作橢圓的兩條弦，又兩弦的中點分別為求證：直線過定點，并求出定點坐標(biāo)。答案：跟蹤練習(xí)解析：2、已知點A(-1,0)，B(1,-1)和拋物線C：y2=4x，O為坐標(biāo)原點，過點A的動直線l交拋物線C于M、P，直線MB交拋物線C于另一點Q.（1）證明：

為定值；

（2）若△POM的面積為

，求向量

與

的夾角；

（3）證明直線PQ恒過一個定點。

答案：解析(1)(2)(3)由(1)3、已知橢圓上下頂點分別為設(shè)直線斜率分別為在橢圓上且異于與直線分別交于（1）求證：為定值；（2）當(dāng)運動時，以為直徑的圓是否過定點？并證明。答案：解析(1)(2)三、定值問題例題分析例1、拋物線，動直線過點，交拋物線于，且原點為中點求證：為定值。OABNM(a,0)l解析：小題猜測：特殊化，當(dāng)豎直時，顯然證：設(shè)分子注意：此題可以有多種問法，如例2、不為原點的點

在拋物線上，過P作斜率相反的兩條弦PE,PF。求證：EF斜率為定值。OPEF解析：猜測：極端化，當(dāng)E,F重合時，EF為切線，所以定值為P關(guān)于x軸對稱點處的切線斜率。即為P處切線斜率的相反數(shù)推廣：橢圓，雙曲線，圓都有類似性質(zhì)。證法1：OPEF類比得到所以證法2：OPEF例3、A為拋物線上一動點,B(4,0)，是否存在垂直于x軸的定直線l被AB為直徑的圓截得的弦長為定值？有則求出定直線和定值，無則說明理由。OABCDEFL:x=m解析：假設(shè)存在滿足條件的直線l:x=m例4、已知橢圓中心在原點，焦點在x軸上，斜率為1的直線過右焦點交橢圓于A,B，與共線。（1）求橢圓離心率e;（2）設(shè)M為橢圓上任意一點，且求證：為定值。解析(1)解析(2)探尋定值，特殊化，若M=A，則證：例5、過橢圓右焦點F的弦AB求證：為定值;FOAB解析:特殊化易得定值法1：普通方程法2：直線參數(shù)方程法3：橢圓極坐標(biāo)方程例6、過橢圓右焦點F的弦AB在x軸上是否存在一個定點M(a,0)，使得為定值，有則求出，無則說明理由。解析:FOABM(t,0)跟蹤練習(xí)1、橢圓，過作斜率相反的兩條弦求證：EF斜率為定值。PEF答案：解析：略2、動圓過點P(2,0),且M在拋物線上，圓M被y軸截得的弦長|AB|為定值，求出該定值和拋物線方程。答案：解析：設(shè)M(a,b)OM(a,b)P(2,0)BA3、橢圓，過的直線l與橢圓交于A,B，與直線x=-4交于E，求證：為定值。QOABEl答案：0解析:QOABEl4、橢圓中心,在橢圓上求證：(1)為定值；(2)

為定值。dOAB答案:(1)解析(1)設(shè)普通坐標(biāo)運算復(fù)雜，考慮極坐標(biāo)解析(2)dOAB四、定直線問題例題分析例1、橢圓左右頂點分別為A,B，直線

與橢圓交于P,Q，AP與BQ交于S。求證：變化時，求證S在一定直線上。POABQS解析:法1：P(x1,y1)OA(-2,0)B(2,0)Q(x2,y2)SP(x1,y1)OA(-2,0)B(2,0)Q(x2,y2)S法2：