第三章3計(jì)算機(jī)組成與結(jié)構(gòu)

第三章：運(yùn)算方法和運(yùn)算器3．1數(shù)據(jù)與文字的表示方法

3．2定點(diǎn)加法、減法運(yùn)算

3．3定點(diǎn)乘法運(yùn)算

3．4定點(diǎn)除法運(yùn)算

3．5定點(diǎn)運(yùn)算器的組成

3．6浮點(diǎn)運(yùn)算方法和浮點(diǎn)運(yùn)算器

3.1數(shù)據(jù)的表示方法和轉(zhuǎn)化3.1.1數(shù)值型數(shù)據(jù)的表示和轉(zhuǎn)化1.數(shù)制:基于r個(gè)基本符號表示數(shù)值，稱其為基r數(shù)制。2.不同數(shù)制間的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化

（1）二進(jìn)制數(shù)、八進(jìn)制數(shù)和十六進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)化從二進(jìn)制到八進(jìn)制，以3位為1組例3.4(1101.0101)2=（001101.010100)2=（15.24)8從二進(jìn)制到十六進(jìn)制，以4位為1組例3.5（11101.0101)2=(00011101.0101)2=(1D.5)16

從八進(jìn)制或十六進(jìn)制到二進(jìn)制，順序?qū)?位寫成3位或4位例3.6（15.24)8=(001101.010100)2=(1101.0101)2從八進(jìn)制到十六進(jìn)制，用二進(jìn)制為媒介（2）二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化成十進(jìn)制數(shù)利用（N）2=∑Di*2i

Di為權(quán)，2為“底”。（3）十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化成二進(jìn)制數(shù)整數(shù)部分采用除2取余，小數(shù)部分采用乘2取整（4）十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化成八進(jìn)制數(shù)參照上面3.數(shù)據(jù)符號的標(biāo)示用正（+）負(fù)（－）號后跟絕對值表示真值，在計(jì)算機(jī)中用0表示正號，1表示負(fù)號，正號有時(shí)可以省略。3.1.2十進(jìn)制數(shù)位的編碼與運(yùn)算1.十進(jìn)制數(shù)位的編碼與運(yùn)算（1）有權(quán)碼

表示一位十進(jìn)制數(shù)的二進(jìn)制碼的每一位有確定的權(quán)。

BCD碼：4位二進(jìn)制表示一位十進(jìn)制數(shù)，每一位的權(quán)值分別為8、4、2、1，所以又稱8421碼。

運(yùn)算規(guī)則：如果兩個(gè)一位BCD碼相加之和小于或等于（1001）2，即（9）10，不需要修正；否則加6修正，并向高位進(jìn)位。例3.101+8=90001+10001001不需要修正4+9=130100+10011101+0110修正100119+7=161001+011110000+01110修正10110還有幾種有權(quán)碼，如2421，5211，4311碼，見課本63頁表3.2（2）無權(quán)碼表示一個(gè)十進(jìn)制的二進(jìn)制的每一位沒有固定的權(quán)值。

余3碼：在8421碼的基礎(chǔ)上，給每個(gè)編碼都加3。

運(yùn)算規(guī)則：兩個(gè)余3碼相加不產(chǎn)生進(jìn)位時(shí)，減去3；否則加上3，同時(shí)將進(jìn)位送入高位。例3.1128+55=83

0101+1000111000111011101110000011+00110110另外的無權(quán)碼參見課本63頁表3.32.數(shù)字串在計(jì)算機(jī)的表示與存儲（1）字符形式。一個(gè)字節(jié)存放一個(gè)十進(jìn)制的數(shù)位或符號位。為了指明這樣一個(gè)數(shù)，需要給出該數(shù)在主存中的起始地址和位數(shù)(串的長度)。例：+15400101011001100010011010100110100即2B313534-23001011010011001000110011即2D3233（2）壓縮的十進(jìn)制數(shù)形式。一個(gè)字節(jié)存放兩個(gè)十進(jìn)制的數(shù)位。它比前一種形式節(jié)省存儲空間，又便于直接完成十進(jìn)制數(shù)的算術(shù)運(yùn)算，是廣泛采用的較為理想的方法。用壓縮的十進(jìn)制數(shù)串表示一個(gè)數(shù),要占用主存連續(xù)的多個(gè)字節(jié)。每個(gè)數(shù)位占用半個(gè)字節(jié)(即4個(gè)二進(jìn)制位),其值可用二－十編碼(BCD碼)或數(shù)字符的ASCII碼的低4位表示。符號位也占半個(gè)字節(jié)并放在最低數(shù)字位之后,其值選用四位編碼中的六種冗余狀態(tài)中的有關(guān)值,如用12(c)表示正號用13(d)表示負(fù)號。在這種表示中,規(guī)定數(shù)位加符號位之和必須為偶數(shù),當(dāng)和不為偶數(shù)時(shí),應(yīng)在最高數(shù)字位之前補(bǔ)一個(gè)0。此時(shí),表示一個(gè)數(shù)要占用該偶數(shù)值的一半那么多個(gè)字節(jié)。例：假定用1110即E表示正（+）號，用1111即F表示負(fù)（－）號

+5630101011000111110即十六進(jìn)制的563E－5630101011000111111即十六進(jìn)制的563F－370000001101111111

即十六進(jìn)制的037F注意：規(guī)定數(shù)字，符號位個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)；否則，前邊補(bǔ)零湊足偶數(shù)。采用字符形式表示時(shí)，符號在最前面表示；采用壓縮的十進(jìn)制數(shù)形式表示時(shí)，符號在最后表示。3.2帶符號的二進(jìn)制數(shù)據(jù)在計(jì)算機(jī)中的表示方法及加減法運(yùn)算3.2.1原碼、補(bǔ)碼、反碼及其加減運(yùn)算

1.原碼表示法

若定點(diǎn)小數(shù)的原碼形式為ｘ0ｘ1ｘ2…ｘn,則原碼表示的定義是

在計(jì)算機(jī)中對數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)算操作時(shí)，符號位如何表示呢？是否也同數(shù)值位一道參加運(yùn)算操作呢？為了妥善的處理好這些問題，就產(chǎn)生了把符號位和數(shù)字位一起編碼來表示相應(yīng)的數(shù)的各種表示方法，如原碼、補(bǔ)碼、反碼、移碼等。為了區(qū)別一般書寫表示的數(shù)和機(jī)器中這些編碼表示的數(shù)，通常將前者稱為真值，后者稱為機(jī)器數(shù)或機(jī)器碼。式中[ｘ]原是機(jī)器數(shù)，ｘ是真值例如，ｘ＝+0.1001,則[ｘ]原＝0.1001ｘ＝-0.1001,則[ｘ]原＝1.1001對于0，原碼機(jī)器中往往有“+0”、“-0”之分，故有兩種形式：

[+0]原=0.000...0[-0]原=1.000...0若定點(diǎn)整數(shù)的原碼形式為ｘ0ｘ1ｘ2…ｘn,則原碼表示的定義是

采用原碼表示法簡單易懂，但它的最大缺點(diǎn)是加法運(yùn)算復(fù)雜。這是因?yàn)?，?dāng)兩數(shù)相加時(shí)，如果是同號則數(shù)值相加；如果是異號，則要進(jìn)行減法。而在進(jìn)行減法時(shí)還要比較絕對值的大小，然后大數(shù)減去小數(shù)，最后還要給結(jié)果選擇符號。為了解決這些矛盾，人們找到了補(bǔ)碼表示法。2.補(bǔ)碼表示法

我們先以鐘表對時(shí)為例說明補(bǔ)碼的概念。假設(shè)現(xiàn)在的標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間為4點(diǎn)正；而有一只表已經(jīng)7點(diǎn)了，為了校準(zhǔn)時(shí)間，可以采用兩種方法：一是將時(shí)針退7-4=3格；一是將時(shí)針向前撥12-3=9格。這兩種方法都能對準(zhǔn)到4點(diǎn)，由此可以看出，減3和加9是等價(jià)的，就是說9是(-3)對12的補(bǔ)碼，可以用數(shù)學(xué)公式表示

-3＝+9（mod12）mod12的意思就是12模數(shù)，這個(gè)“?！北硎颈粊G掉的數(shù)值。上式在數(shù)學(xué)上稱為同余式。

上例中其所以7-3和7+9(mod12)等價(jià)，原因就是表指針超過12時(shí)，將12自動丟掉，最后得到16-12=4。從這里可以得到一個(gè)啟示，就是負(fù)數(shù)用補(bǔ)碼表示時(shí)，可以把減法轉(zhuǎn)化為加法。這樣，在計(jì)算機(jī)中實(shí)現(xiàn)起來就比較方便。若定點(diǎn)小數(shù)補(bǔ)碼形式為ｘ0.ｘ1ｘ2…ｘn,則補(bǔ)碼表示的定義是例如，ｘ＝+0.1011,則[ｘ]補(bǔ)＝0.1011ｘ＝-0.1011,則[ｘ]補(bǔ)＝10+ｘ＝10.0000-0.1011＝1.0101對于0，[＋0]補(bǔ)＝[－0]補(bǔ)＝0.0000

(mod2)

注意，0的補(bǔ)碼表示只有一種形式。

采用補(bǔ)碼表示法進(jìn)行減法運(yùn)算就比原碼方便得多了。因?yàn)椴徽摂?shù)是正還是負(fù),機(jī)器總是做加法,減法運(yùn)算可變?yōu)榧臃ㄟ\(yùn)算。但根據(jù)補(bǔ)碼定義,求負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼要從2減去|x|。為了用加法代替減法,結(jié)果還得在求補(bǔ)碼時(shí)作一次減法,這顯然是不方便的。下面介紹的反碼表示法可以解決負(fù)數(shù)的求補(bǔ)問題。例3.19設(shè)X=-0.1011，Y=-0.0101，則有[X+Y]補(bǔ)=[X]補(bǔ)+[Y]補(bǔ)=1.0101+1.1011=11.0000=1.0000mod2而X+Y的真值=-0.1011+（-0.0101）=-1.0000，為-1。由此說明一個(gè)數(shù)的補(bǔ)碼值的范圍在-1和（1-2-n）之間（假設(shè)數(shù)值部分為n位）。

對定點(diǎn)整數(shù),補(bǔ)碼表示的定義是3.反碼表示法

所謂反碼,就是二進(jìn)制的各位數(shù)碼0變?yōu)?,1變?yōu)?。也就是說，若Xi=1，則反碼為xi=0；若xi=0，則反碼xi=1。數(shù)值上面的一橫表示反碼的意思。在計(jì)算機(jī)中用觸發(fā)器寄存數(shù)碼，若觸發(fā)器Q端輸出表示原碼，則其Q端輸出就是反碼。由此可知，反碼是容易得到的。對定點(diǎn)小數(shù),反碼表示的定義為一般情況下,對于正數(shù)ｘ＝＋0.ｘ1ｘ2…ｘn,

則

[ｘ]反＝0.ｘ1ｘ2…ｘn

對于負(fù)數(shù)ｘ＝－0.ｘ1ｘ2…ｘn,則有

[ｘ]反＝1.ｘ1ｘ2…ｘn對于0,有[＋0]反和[－0]反之分:

[＋0]反＝0.00...0[－0]反＝1.11...1我們比較反碼與補(bǔ)碼的公式

[ｘ]反＝(2－2－n)＋ｘ[ｘ]補(bǔ)＝2＋ｘ可得到

這就是通過反碼求補(bǔ)碼的重要公式。這個(gè)公式告訴我們，若要一個(gè)負(fù)數(shù)變補(bǔ)碼,其方法是符號位置1,其余各位0變1,1變0,然后在最末位（2-n）上加1。

對定點(diǎn)整數(shù),反碼表示的定義為4.數(shù)據(jù)從補(bǔ)碼和反碼表示表示形式轉(zhuǎn)換成原碼（1）將反碼表示的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成原碼。轉(zhuǎn)換方法：符號位保持不變，正數(shù)的數(shù)值部分不變，負(fù)數(shù)的數(shù)值部分取反。例3.23設(shè)〔x〕反＝0.1010，則〔x〕原＝0.1010，真值x＝0.1010例3.24設(shè)〔x〕反＝1.1010，則〔x〕原＝1.0101，真值x＝－0.0101（2）將補(bǔ)碼表示的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成原碼。例3.25設(shè)〔x〕補(bǔ)＝0.1010，則〔x〕原＝0.1010，真值x＝0.1010例3.25設(shè)〔x〕補(bǔ)＝1.1010，則〔x〕原＝1.0110，真值x＝－0.0110（3）原碼和補(bǔ)碼、反碼之間相互轉(zhuǎn)換的實(shí)現(xiàn)。例3.27設(shè)〔x〕原＝1.1010，則〔x〕反＝1.0101，〔x〕補(bǔ)＝1.0110補(bǔ)充：補(bǔ)碼加法

：負(fù)數(shù)用補(bǔ)碼表示后，可以和正數(shù)一樣來處理。這樣,運(yùn)算器里只需要一個(gè)加法器就可以了,不必為了負(fù)數(shù)的加法運(yùn)算,再配一個(gè)減法器。

補(bǔ)碼加法的公式是

現(xiàn)分四種情況來證明。假設(shè)采用定點(diǎn)小數(shù)表示,因此證明的先決條件是︱ｘ︱﹤1,︱ｙ︱﹤1,︱ｘ＋ｙ︱﹤1。(1)ｘ﹥0,ｙ﹥0,則ｘ＋ｙ﹥0。

相加兩數(shù)都是正數(shù),故其和也一定是正數(shù)。正數(shù)的補(bǔ)碼和原碼是一樣的,可得：

[ｘ]補(bǔ)＋[ｙ]補(bǔ)＝ｘ＋ｙ＝[ｘ＋ｙ]補(bǔ)(mod2)

(2)ｘ﹥0,ｙ﹤0,則ｘ＋ｙ>0或ｘ＋ｙ<0。

相加的兩數(shù)一個(gè)為正,一個(gè)為負(fù),因此相加結(jié)果有正、負(fù)兩種可能。根據(jù)補(bǔ)碼定義，

∵[ｘ]補(bǔ)＝ｘ,[ｙ]補(bǔ)＝2＋ｙ

∴[ｘ]補(bǔ)＋[ｙ]補(bǔ)＝ｘ＋2＋ｙ＝2＋(ｘ＋ｙ)當(dāng)ｘ＋ｙ>0時(shí),2＋(ｘ＋ｙ)>2,進(jìn)位2必丟失,又因(ｘ＋ｙ)>0，故[ｘ]補(bǔ)＋[ｙ]補(bǔ)＝ｘ＋ｙ＝[ｘ＋ｙ]補(bǔ)(mod2)

當(dāng)ｘ＋ｙ<0時(shí),2＋(ｘ＋ｙ)<2,又因(ｘ＋ｙ)<0，故

[ｘ]補(bǔ)＋[ｙ]補(bǔ)＝2＋(ｘ＋ｙ)＝[ｘ＋ｙ]補(bǔ)(mod2)(3)ｘ<0,ｙ>0,則ｘ＋ｙ>0或ｘ＋ｙ<0。這種情況和第2種情況一樣,把ｘ和ｙ的位置對調(diào)即得證。(4)ｘ<0,ｙ<0,則ｘ＋ｙ<0。

相加兩數(shù)都是負(fù)數(shù),則其和也一定是負(fù)數(shù)?！遊ｘ]補(bǔ)＝2＋ｘ,[ｙ]補(bǔ)＝2＋ｙ∴[ｘ]補(bǔ)＋[ｙ]補(bǔ)＝2＋ｘ＋2＋ｙ＝2＋(2＋ｘ＋ｙ)上式右邊分為”2”和(2＋ｘ＋ｙ)兩部分.既然(ｘ＋ｙ)是負(fù)數(shù),而其絕對值又小于1,那么(2＋ｘ＋ｙ)就一定是小于2而大于1的數(shù),進(jìn)位”2”必丟失.又因(ｘ＋ｙ)<0,所以[ｘ]補(bǔ)＋[ｙ]補(bǔ)＝2＋(ｘ＋ｙ)＝[ｘ＋ｙ]補(bǔ)(mod2)

至此我們證明了,在模2意義下,任意兩數(shù)的補(bǔ)碼之和等于該兩數(shù)之和的補(bǔ)碼.這是補(bǔ)碼加法的理論基礎(chǔ),其結(jié)論也適用于定點(diǎn)整數(shù)。補(bǔ)碼減法

負(fù)數(shù)的減法運(yùn)算也要設(shè)法化為加法來做,其所以使用這種方法而不使用直接減法,是因?yàn)樗梢院统Ｒ?guī)的加法運(yùn)算使用同一加法器電路,從而簡化了計(jì)算機(jī)的設(shè)計(jì)。數(shù)用補(bǔ)碼表示時(shí),減法運(yùn)算的公式為只要證明[－ｙ]補(bǔ)＝－[ｙ]補(bǔ),上式即得證?，F(xiàn)證明如下：∵[ｘ＋ｙ]補(bǔ)＝[ｘ]補(bǔ)＋[ｙ]補(bǔ)(mod2)∴[ｙ]補(bǔ)＝[ｘ＋ｙ]補(bǔ)－[ｘ]補(bǔ)

(a)∵[ｘ－ｙ]補(bǔ)＝[ｘ＋(－ｙ)]補(bǔ)＝[ｘ]補(bǔ)＋[－ｙ]補(bǔ)∴[－ｙ]補(bǔ)＝[ｘ－ｙ]補(bǔ)－[ｘ]補(bǔ)

(b)將式(a)與(b)相加,得

[－ｙ]補(bǔ)＋[ｙ]補(bǔ)＝[ｘ＋ｙ]補(bǔ)＋[ｘ－ｙ]補(bǔ)－[ｘ]補(bǔ)－[ｘ]補(bǔ)＝[ｘ＋ｙ＋ｘ－ｙ]補(bǔ)－[ｘ]補(bǔ)－[ｘ]補(bǔ)＝[ｘ＋ｘ]補(bǔ)－[ｘ]補(bǔ)－[ｘ]補(bǔ)＝0故

從[ｙ]補(bǔ)求[－ｙ]補(bǔ)的法則是：對[ｙ]補(bǔ)包括符號位“求反且最末位加1”,即可得到[－ｙ]補(bǔ)。寫成運(yùn)算表達(dá)式，則為其中符號﹁表示對[ｙ]補(bǔ)作包括符號位在內(nèi)的求反操作,2－n表示最末位的13..2.2加減法運(yùn)算的溢出處理

當(dāng)運(yùn)算結(jié)果超出機(jī)器數(shù)所能表示的范圍時(shí)，稱為溢出。

在定點(diǎn)小數(shù)機(jī)器中,數(shù)的表示范圍為|ｘ|<1.在運(yùn)算過程中如出現(xiàn)大于1的現(xiàn)象,稱為“溢出”。在定點(diǎn)機(jī)中,正常情況下溢出是不允許的。兩個(gè)正數(shù)相加,結(jié)果大于機(jī)器所能表示的最大正數(shù),稱為上溢。而兩個(gè)負(fù)數(shù)相加,結(jié)果小于機(jī)器所能表示的最小負(fù)數(shù),稱為下溢。為了判斷“溢出”是否發(fā)生,可采用三種檢測的方法。第一種方法是當(dāng)符號相同的兩數(shù)相加時(shí)，如果結(jié)果的符號與加數(shù)（或被加數(shù)）不相同，則為溢出例3.28中（3）、（4）。即溢出條件=fAfBfS+fAfBfS.第二種方法是當(dāng)任意符號相加時(shí)，如果C=Cf，運(yùn)算結(jié)果正確，其中C為數(shù)值最高位的進(jìn)位，Cf為符號位的進(jìn)位。如果C=Cf，則為溢出，所以溢出條件=C

Cf。

第三種方法是采用雙符號位fs1fs2.正數(shù)雙符號位為00，負(fù)數(shù)的雙符號位為11.符號位參與運(yùn)算，當(dāng)結(jié)果的兩個(gè)符號位fs1和fs2不相同時(shí)，為溢出。所以溢出條件=fs1fs2。

采用多符號位的補(bǔ)碼又叫“變形補(bǔ)碼”。采用變形補(bǔ)碼后，如果兩個(gè)數(shù)相加后，其結(jié)果的符號位出現(xiàn)“01”或“10”兩種組合時(shí),表示發(fā)生溢出。這是因?yàn)閮蓚€(gè)絕對值小于1的數(shù)相加,其結(jié)果不會大于或等于2,所以最高符號位永遠(yuǎn)表示結(jié)果的正確符號。3.2.3定點(diǎn)數(shù)和浮點(diǎn)數(shù)

1、定點(diǎn)數(shù)：約定機(jī)器中所有數(shù)據(jù)的小數(shù)點(diǎn)位置是固定不變的。將數(shù)據(jù)表示成定點(diǎn)純小數(shù)或定點(diǎn)純整數(shù)。

假設(shè)用一個(gè)n+1位字來表示一個(gè)定點(diǎn)數(shù)X,在定點(diǎn)機(jī)中可表示為如下形式：

X0

X1X2...Xn-1

Xn符號

數(shù)值部分

如果數(shù)X表示的是純小數(shù):0≤|X|≤1-2-n

如果數(shù)X表示的是純整數(shù):

0≤|X|≤2n-1

2、浮點(diǎn)數(shù)，即小數(shù)點(diǎn)的位置是浮動的：

N=RE.M

其中M稱為浮點(diǎn)數(shù)的尾數(shù)，用定點(diǎn)小數(shù)表示。E稱為浮點(diǎn)的指數(shù)，是一個(gè)整數(shù)，常稱為階碼。比例因子的基數(shù)R對二進(jìn)制的機(jī)器是一個(gè)常數(shù)，一般規(guī)定R為2，8或16。因此一個(gè)機(jī)器浮點(diǎn)數(shù)應(yīng)當(dāng)由階碼和尾數(shù)及其符號位組成：

階符

階碼

數(shù)符

尾數(shù)

EsE1E2...Em

MsM1M2...Mn

313023220

IEEE標(biāo)準(zhǔn):32位浮點(diǎn)數(shù)

32位浮點(diǎn)數(shù)中，Ms是浮點(diǎn)數(shù)的符號位，占1位，安排在最高位，Ms=0表示正數(shù)，Ms=1表示負(fù)數(shù)。M是尾數(shù)，放在低位部分，占有23位，用小數(shù)表示，小數(shù)點(diǎn)放在尾數(shù)域的最前面。E是階碼，占有8位，階符采用隱含方式，即采用移碼方法來表示正負(fù)指數(shù)。MsEM

尾數(shù)通常用規(guī)格化形式表示：當(dāng)R=2，且尾數(shù)值不為0時(shí)，其絕對值應(yīng)大于或等于（0.5）10。對非規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)，通過將尾數(shù)左移或右移，并修改階碼值使之滿足規(guī)格化要求。假設(shè)浮點(diǎn)數(shù)的尾數(shù)為0.0011，階碼為0100（設(shè)定R＝2），規(guī)格化時(shí)，將尾數(shù)左移2位，而成為0.1100，階碼減去（10）2修改成0010，浮點(diǎn)數(shù)的值保持不變。移碼的數(shù)學(xué)定義：〔X〕移＝2n＋X－2n≦X﹤2n整數(shù)補(bǔ)碼定義：與整數(shù)補(bǔ)碼定義作比較，可知

當(dāng)0

≦X﹤2n時(shí)，〔X〕移＝2n＋X＝2n＋〔X〕補(bǔ)當(dāng)－2n≦X﹤0時(shí)〔X〕移＝2n＋X＝2n＋〔X〕補(bǔ)由此可知，將〔X〕補(bǔ)的符號位取反就可得〔X〕移例3.30X=＋1011〔X〕補(bǔ)＝01011〔X〕移＝11011

X=－1011〔X〕補(bǔ)＝10101〔X〕移＝00101移碼具有以下特點(diǎn)：（1）最高位為符號位，1表示正號，0表示負(fù)號。（2）在計(jì)算機(jī)中，移碼執(zhí)行加減運(yùn)算，且需要對得到的結(jié)果進(jìn)行修正，修正量為2n，即對結(jié)果的符號位取反，得到〔X〕移。設(shè)X=＋1010Y=＋0011，則〔X〕移＝11010〔Y〕移＝100113.計(jì)算機(jī)中數(shù)據(jù)的數(shù)值范圍和精度

數(shù)值范圍是指機(jī)器所能表示的一個(gè)最大值和最小值之間的范圍。數(shù)值精度是指一個(gè)數(shù)的有效位數(shù)。例如，32位定點(diǎn)小數(shù)（補(bǔ)碼）的范圍為-1~1-2-31，定點(diǎn)整數(shù)（補(bǔ)碼）的范圍是-231~+231-1，數(shù)據(jù)精度為31位?！惭a(bǔ)充〕〔X+Y〕移＝〔X〕移＋〔Y〕補(bǔ)當(dāng)Y≧0時(shí)，〔X〕移＋〔Y〕補(bǔ)＝2n＋X＋Y＝〔X+Y〕移當(dāng)Y﹤0時(shí)，〔X〕移＋〔Y〕補(bǔ)＝2n＋X＋2n+1＋Y＝2n+1＋2n＋X＋Y＝〔X+Y〕移例X=＋1010Y=＋0011，則〔X〕移＝11010〔Y〕補(bǔ)＝00011

〔X+Y〕移＝11010＋00011＝11101（3）數(shù)據(jù)0有唯一編碼，即〔＋0〕移＝〔－0〕移＝1000…0。執(zhí)行加法運(yùn)算〔X〕移＋〔Y〕移＝11010＋10011＝101101，加2n后得〔X+Y〕移，X+Y〕移＝01101＋10000＝11101一、計(jì)算：1、x=23/128[x]補(bǔ)=[x]原=2、x=-35/64[x]補(bǔ)=[x]原=3、x+y=1010[x+y]補(bǔ)=[x+y]原=4、x-y=-1101[x-y]補(bǔ)=[x-y]原=二、設(shè)機(jī)器字長為5位,采用定點(diǎn)整數(shù)表示，x=+110,求[x]原,[x]補(bǔ)解：因?yàn)閚+1=5，所以n=4，[x]原=0，0110[x]補(bǔ)=0，0110↑↑↑

x0x1…x4

顯然，正數(shù)的原碼與補(bǔ)碼形式相同。三、設(shè)機(jī)器字長8位并用定點(diǎn)整數(shù)表示,模為28,若x=-110,求[x]原,[x]補(bǔ)。解：因?yàn)閚+1=8，所以n=7，[x]原=10000110[x]補(bǔ)=M+x=28+（-110）=（100000000）2-110=11111010

【習(xí)題】四、由補(bǔ)碼求原碼與真值：對于正數(shù)，原碼與補(bǔ)碼相同，其真值在略去正號后，形式上與機(jī)器數(shù)相同；對于負(fù)數(shù)，保持符號位為1，其余各位變反末位加1，即得到原碼表示，將負(fù)數(shù)原碼符號恢復(fù)為負(fù)號，即得到真值表示。例：如[x]補(bǔ)=00000110，則[x]原=00000110，x=+110

如[x]補(bǔ)=11111010，則[x]原=10000110，所以x=-110[x]原的具體計(jì)算如下：

[x]補(bǔ)=11111010

變反10000101

末位加1+1

10000110

五、

以定點(diǎn)整數(shù)為例，用數(shù)軸形式說明原碼、反碼、補(bǔ)碼表示范圍和可能的數(shù)碼組合情況。

解：原碼、反碼、補(bǔ)碼表示分別示于下圖。與原碼、反碼不同，在補(bǔ)碼表示中“0”只有一種形式，且用補(bǔ)碼表示負(fù)數(shù)時(shí)范圍可到-2n。

11...1

10...01

10...0

00...0

00...01

01...1

-(2n-1)

-1

-00

+1

+(2n-1)

原碼

10...0

11...10

11...1

00...0

00...01

01...1

-(2n-1)

-1

-0

0

+1

+(2n-1)

反碼

10...0

10...01

11...1

00...0

00...01

01...1

-2n

-(2n-1)

-1

0

+1

+(2n-1)

補(bǔ)碼

六、設(shè)機(jī)器字長16位，定點(diǎn)表示，尾數(shù)15位，數(shù)符1位，問：

（1）定點(diǎn)原碼整數(shù)表示時(shí)，最大正數(shù)是多少？最小負(fù)數(shù)是多少？

（2）定點(diǎn)原碼小數(shù)表示時(shí)，最大正數(shù)是多少？最小負(fù)數(shù)是多少？

解：（1）定點(diǎn)原碼整數(shù)表示

最大正數(shù)值=（215-1）10=（+32767）10

0

111111

111

111

111

最小負(fù)數(shù)值=（215-1）10=（-32767）10

1

111111

111

111

111

（2）定點(diǎn)原碼小數(shù)表示

最大正數(shù)值=（1-2-15）10=（+0.111...11）2

最小負(fù)數(shù)值=（1-2-15）10=（-0.111...11）23.3二進(jìn)制乘法運(yùn)算3.3.1定點(diǎn)數(shù)一位乘法1.定點(diǎn)原碼一位乘法在定點(diǎn)計(jì)算機(jī)中，兩個(gè)原碼表示的數(shù)相乘的運(yùn)算規(guī)則是：乘積的符號位由兩數(shù)的符號位按異或運(yùn)算得到，而乘積的數(shù)值部分則是兩個(gè)正數(shù)相乘之積。設(shè)n位被乘數(shù)和乘數(shù)用定點(diǎn)小數(shù)表示(定點(diǎn)整數(shù)也同樣適用)被乘數(shù)[X]原=X0·X1…Xn-1Xn

乘數(shù)[Y]原=Y0·Y1…Yn-1Yn

乘積[Z]原=(X0⊕Y0)·(0.X1…Xn-1Xn)(0.Y1…Yn-1Yn)

式中，X0為被乘數(shù)符號，Y0為乘數(shù)符號。

乘積符號的運(yùn)算法則是：同號相乘為正，異號相乘為負(fù)。由于被乘數(shù)和乘數(shù)

和符號組合只有四種情況(XfYf)=(00,01,10,11)，因此積的符號可按"異或"(按位加)運(yùn)算得到。為了說明在計(jì)算機(jī)中如何實(shí)現(xiàn)定點(diǎn)原碼一位乘法先從人工計(jì)算開始，舉例如下：設(shè)X=0.1101，Y=0.1011，讓我們先用習(xí)慣方法求其乘積，其過程如下：

0.1101(X)

×0.1011(Y)--------------------

1101

1101

0000

+1101

--------------------

0.10001111(Z)

運(yùn)算的過程與十進(jìn)制乘法相似：從乘數(shù)Y的最低位開始，若這一位為"1"，則將被乘數(shù)X寫下；若這一位為"0"，則寫下全0。然后再對乘數(shù)Y的高一位進(jìn)行乘法運(yùn)算，其規(guī)則同上，不過這一位乘數(shù)的權(quán)與最低位乘數(shù)的權(quán)不一樣，

因此被乘數(shù)X要左移一位。依次類推，直到乘數(shù)各位乘完為止，最后將它們統(tǒng)統(tǒng)加起來，便得到最后乘積Z。

如果被乘數(shù)和乘數(shù)用定點(diǎn)整數(shù)表示，我們也會得到同樣的結(jié)果。

但是人們習(xí)慣的算法對機(jī)器并不完全適用。原因之一，機(jī)器通常只有n位長，兩個(gè)n位數(shù)相乘，乘積可能為2n位。原因之二，只有兩個(gè)操作數(shù)相加的加法器，難以勝任將n個(gè)位積一次相加起來的運(yùn)算。原因之三，部分積右移時(shí)，乘數(shù)寄存器同時(shí)右移一位。因此，在早期計(jì)算機(jī)中為了簡化硬件結(jié)構(gòu)，采用串行的1位乘法方案，而多次執(zhí)行“加法、移位”操作來實(shí)現(xiàn)。這種方法并不需要很多器件。然而串行方法畢竟太慢，不能滿足科學(xué)技術(shù)對

高速乘法所提出的要求。在計(jì)算機(jī)中實(shí)現(xiàn)定點(diǎn)原碼一位乘法如例3.32所示。定點(diǎn)原碼一位乘流程圖如右圖所示：從流程圖上可以清楚地看到，這里的原碼一位乘是通過循環(huán)迭代的辦法實(shí)現(xiàn)的。每次迭代得到的部分積（P0,P1,…,Pn）可用下述式（3.14）表示：式（3.14）中的2-1表示二進(jìn)制數(shù)據(jù)右移一位，相當(dāng)于乘以2-1.2.定點(diǎn)補(bǔ)碼一位乘法有的機(jī)器為方便加減法運(yùn)算，數(shù)據(jù)以補(bǔ)碼形式存放。如采用原碼乘法，則在相乘之前，要將負(fù)數(shù)還原成原碼形式，相乘之后，如乘積為負(fù)數(shù)，又要將其轉(zhuǎn)換成補(bǔ)碼形式，增加了操作步驟。為此，有不少計(jì)算機(jī)直接采用補(bǔ)碼相乘。為了得出補(bǔ)碼乘法規(guī)律，先討論補(bǔ)碼與真值的轉(zhuǎn)換關(guān)系和補(bǔ)碼右移的性質(zhì)。（1）補(bǔ)碼與真值的轉(zhuǎn)換關(guān)系設(shè)[X]補(bǔ)=X0。.X1X2…Xn,當(dāng)真值X≥0時(shí)，X0=0，[X]補(bǔ)=0.X1…Xn-1Xn=∑Xi·

2-I=X

當(dāng)真值X<0時(shí)，X0=1，

[X]補(bǔ)=1.X1…Xn-1Xn=2+XX=[X]補(bǔ)-2=1.X1…Xn-1Xn–2=-1+0.X1…Xn-1Xn=-1+∑Xi·

2-I

得出對X為正負(fù)數(shù)都合適的公式如下：

X=-X0

+∑Xi·

2-I=-X0+0.X1…Xn-1Xn

(2)補(bǔ)碼的右移在補(bǔ)碼運(yùn)算中，不論正負(fù)，連同符號位將數(shù)右移一位，并保持符號位不變，相當(dāng)于乘1/2.現(xiàn)證明如下：設(shè)[X]補(bǔ)=X0.X1X2…Xn

X=-X0+0.X1X2…Xn=-X0+∑Xi·

2-i

（I=1~n)

得出（1/2）X＝-（1/2）X0+（1/2）

∑Xi·

2-i=-X0+（1/2）X0+（1/2）

∑Xi·

2-i=-X0+（1/2）(X0+∑Xi·

2-i)=-X0+∑Xi·

2-(I+1)=-X0+0.X0

X1X2…Xn[（1/2）X]補(bǔ)=X0.X0X1…Xn(3)補(bǔ)碼一位乘法設(shè)被乘數(shù)[X]補(bǔ)＝X0·X1…Xn-1Xn，乘數(shù)[Y]補(bǔ)=Y0·Y1…Yn-1Yn，則有：

[X·

Y]補(bǔ)=[X]補(bǔ)·(-Y0+∑Yi·

2-I）

證明如下：①

X正負(fù)任意，Y為正數(shù)根據(jù)補(bǔ)碼定義及模2運(yùn)算性質(zhì)：[X]補(bǔ)＝2＋X＝2n+1+Xmod2[Ｙ]補(bǔ)＝Y(jié)則：[X]補(bǔ)·

[Ｙ]補(bǔ)＝2n+1·Y＋X·

Y＝2＋X·

Y

mod2

[X]補(bǔ)·

[Ｙ]補(bǔ)＝[X·Y]補(bǔ)即：[X·Y]補(bǔ)＝[X]補(bǔ)·

[Ｙ]補(bǔ)＝[X]補(bǔ)·

Y＝[X]補(bǔ)·

（-Y0+∑Yi·

2-I）

＝[X]補(bǔ)·（∑Yi·

2-I）

＝[X]補(bǔ)(0.Y1…Yn-1Yn)②

X正負(fù)任意，Y為負(fù)數(shù)[X]補(bǔ)=X0。.X1X2。。。Xn

[Y]補(bǔ)=1。Y1Y2。。。Yn＝2＋Y

得Y＝[Y]補(bǔ)－2＝0.Y1…Yn-1Yn－1

X·Y＝X(0.Y1…Yn-1Yn)－X

[X·Y]補(bǔ)＝[X(0.Y1…Yn-1Yn)]補(bǔ)＋[－

X]補(bǔ)因?yàn)?.Y1…Yn-1Yn>0,所以[X(0.Y1…Yn-1Yn)]補(bǔ)＝[X]補(bǔ)(0.Y1…Yn-1Yn)

[X·Y]補(bǔ)＝[X]補(bǔ)(0.Y1…Yn-1Yn)＋[－X]補(bǔ)即按①的方法運(yùn)算后，還需要補(bǔ)充進(jìn)行加[－

X]補(bǔ)操作。③

X和Y正負(fù)都任意將上述①與②兩種情況綜合起來，可得補(bǔ)碼乘法的統(tǒng)一算法，具體式子如下：[X·Y]補(bǔ)＝[X]補(bǔ)(0.Y1…Yn-1Yn)－[X]補(bǔ)·

Y0

＝[X]補(bǔ)(－Y0＋0.Y1…Yn-1Yn)＝[X]補(bǔ)(－Y0＋∑Yi·

2-I)具體實(shí)例請看例3.33和例3.34.將前述補(bǔ)碼乘法公式進(jìn)行變換，可得出另一公式，是由布斯提出的，又稱為“布斯公式”。[X·Y]補(bǔ)＝[X]補(bǔ)·

(－Y0＋∑Yi·

2-I)＝[X]補(bǔ)·

[－Y0＋Y12－1＋Y22－2＋……＋Yn2－n]＝[X]補(bǔ)·

[－Y0＋（Y1－

Y12－1)

＋（Y22－1－Y22－2)

＋……＋Yn2－（n－1）－

Yn2－n)

]＝[X]補(bǔ)·

[（Y1－

Y0)

＋（Y2－

Y1)

2－1＋……＋（Yn－

Yn－1)

2－（n－1）＋（0－

Yn)

2－n

]＝[X]補(bǔ)·

∑（Yi＋1－Yi）2-I乘數(shù)的最低1位為Yn，在其后面再添加1位

Yn＋1，其值為0。再將式（3.17）加以變換：按機(jī)器執(zhí)行順序求出每一步的部分積。

Yi＋1與Y為相鄰兩位，（Yi＋1－Yi）有0，1，－1三種情況，其運(yùn)算規(guī)則如下：（1）Yi＋1－Yi＝0，部分積加0，右移一位

（2）Yi＋1－Yi＝1，部分積加[X]補(bǔ)，右移一位

（3）Yi＋1－Yi＝－1，部分積加[－X]補(bǔ)，右移一位最后一步不移位。具體實(shí)例見例3.35。本小節(jié)所舉例中，X與Y的絕對值都沒有變化，所以最后的乘積（真值）的數(shù)值部分都相等。

3.3.2定點(diǎn)數(shù)二位乘法1.原碼兩位乘兩位乘數(shù)有四種組合，每種組合對應(yīng)于以下操作：00——相當(dāng)于0·X。部分積Pi右移2位，不進(jìn)行其他操作。01——相當(dāng)于1·X。部分積Pi＋X，右移2位。10——相當(dāng)于2·X。部分積Pi＋2X，右移2位。11——相當(dāng)于3·X。部分積Pi＋3X，右移2位。＋2X是利用X左移1位得到的，在機(jī)器中是通常采用向左斜送1位來實(shí)現(xiàn)。＋3X是利用（4X-X)代替的。在本次運(yùn)算中執(zhí)行－X，＋4X則歸并到下一步來執(zhí)行。此時(shí)部分積已經(jīng)右移，上一步欠下的＋4X變?yōu)椋玐。在實(shí)際線路中用觸發(fā)器C來記錄是否欠下＋4X，若是則1→C。表3.4原碼兩位乘法規(guī)則Yi-1YiC操作000001010011100101110111(Pi+0)2-2(Pi+X)2-2(Pi+X)2-2(Pi+2X)2-2(Pi+2X)2-2(Pi-X)2-2(Pi-X)2-2(Pi+0)2-20→C0→C0→C0→C0→C1→C1→C1→C例3.36，如果最后一次欠下＋X，則最后一次右移2位需補(bǔ)充＋X操作，＋X后不移位。2.補(bǔ)碼兩位乘根據(jù)前述的布斯算法，將兩步合成一步，即可退到出補(bǔ)碼兩位乘的公式。假設(shè)上一步的部分積為[Pi]補(bǔ)，本步的部分積為[Pi+1]補(bǔ)={[Pi]補(bǔ)+(Yn-i＋1-Yn-i)·[X]補(bǔ)}2-1下一步的部分積應(yīng)為：[Pi+2]補(bǔ)={[Pi＋1]補(bǔ)+(Yn-i-Yn-i-1)·[X]補(bǔ)}2-1將上式的[Pi+1]補(bǔ)代入[Pi+2]補(bǔ)，則[Pi+2]補(bǔ)＝{[Pi]補(bǔ)+(Yn-i+1-Yn-i)·[X]補(bǔ)}2-1＋(Yn-i-Yn-i-1)·[X]補(bǔ)}2-1＝{[Pi]補(bǔ)+(Yn-i+1-Yn-i)·[X]補(bǔ)}＋2(Yn-i-Yn-i-1)·[X]補(bǔ)}2-2＝{[Pi]補(bǔ)+(Yn-i＋1+Yn-i-2Yn-i-1)·[X]補(bǔ)}2-2上述公式表明，產(chǎn)生了部分積[Pi]補(bǔ)之后，可加上乘數(shù)寄存器最低兩位和附加位的組合值于[X]補(bǔ)的積，再右移兩位，可得到[Pi+2]補(bǔ)。Yn-i-1

Yn-iYn-i+1

組合值[Pi+2]補(bǔ)0000010100111001011101110112－2－1－10([Pi]補(bǔ)+0)2-2([Pi]補(bǔ)+[X]補(bǔ))2-2([Pi]補(bǔ)+[X]補(bǔ))2-2([Pi]補(bǔ)+2[X]補(bǔ))2-2([Pi]補(bǔ)+2[－X]補(bǔ))2-2([Pi]補(bǔ)+[－X]補(bǔ))2-2([Pi]補(bǔ)+[－X]補(bǔ))2-2([Pi]補(bǔ)+0)2-2表3—5組合值Yn-i-1Yn-iYn-i+1與[Pi+2]補(bǔ)的關(guān)系

由上表可得，執(zhí)行補(bǔ)碼兩位乘過程中，有[Pi]補(bǔ)+0，[Pi]補(bǔ)+[X]補(bǔ)，[Pi]補(bǔ)+2[X]補(bǔ)

，[Pi]補(bǔ)+2[－X]補(bǔ)，[Pi]補(bǔ)+[－X]補(bǔ)五種操作，應(yīng)有[X]補(bǔ)，[－X]補(bǔ)及其左斜一位（相當(dāng)與2[X]補(bǔ)和2[－X]補(bǔ)）送加法器的線路；另外部分積和乘數(shù)每次右移兩位，應(yīng)用向右斜送兩位的邏輯電路和移位寄存器實(shí)現(xiàn)。與此相應(yīng)的，加法器可使用三位符號位，以避免[X]補(bǔ)左斜送一位加法器時(shí)運(yùn)算結(jié)果溢出的情形。求部分積的次數(shù)和右移操作的控制問題。當(dāng)乘數(shù)由1位符號位和n位（奇數(shù)）位數(shù)值位組成時(shí)，求部分積的次數(shù)為（1＋n)/2,而且最后一次的右移操作只右移一位。若數(shù)值位本身為偶數(shù)n，則可以采取以下方法：（1）可在乘數(shù)的最后一位補(bǔ)一個(gè)0，乘數(shù)的數(shù)據(jù)位就成為奇數(shù)，而且其值不變，求部分積的次數(shù)為[1＋（n+1)]/2，即n/2+1，最后一次右移操作也只右移一位。（2）乘數(shù)增加一位符號位，使總位數(shù)仍為偶數(shù)，此時(shí)求部分積的次數(shù)為n/2＋1，而且最后一次不再執(zhí)行右移操作?，F(xiàn)舉例3.37（1）

3.37（2）3.3.3陣列乘法器如書上P823.4二進(jìn)制除法運(yùn)算3.4.1定點(diǎn)除法運(yùn)算1.定點(diǎn)原碼一位除法恢復(fù)余數(shù)法和加減交替法，在計(jì)算機(jī)中常用的是加減交替法。兩個(gè)原碼相除，商的符號位為兩數(shù)符號位的異或值，數(shù)值則為兩數(shù)絕對值相除后的結(jié)果。（1）恢復(fù)余數(shù)法設(shè)被除數(shù)X＝0.1011，除數(shù)Y=0.1101除法的人工計(jì)算過程如下：0.11010.1101）0.10110

110110100

11010111人工進(jìn)行二進(jìn)制除法的規(guī)則：判斷被除數(shù)和除數(shù)的大小，若被除數(shù)小，則上商0，并在余數(shù)最低位補(bǔ)0，再用余數(shù)和最低一位的除數(shù)比，若夠除，則商1，否則商0。然后繼續(xù)重復(fù)上述步驟，直到除盡或以得到的商的位數(shù)滿足精度要求為止。在進(jìn)行除法操作的時(shí)候，要求加法器的位數(shù)為除數(shù)位數(shù)的兩倍。右移除數(shù)可以通過左移被除數(shù)來替代，并且利用被除數(shù)和除數(shù)做劍法判斷結(jié)果的符號位。當(dāng)差為負(fù)數(shù)的時(shí)候，上商為0，同時(shí)余數(shù)左移且要恢復(fù)余數(shù)；若減的差為0或正值，商為1，余數(shù)左移。例3.38恢復(fù)余數(shù)法的缺點(diǎn)是：當(dāng)被減數(shù)的絕對值小于減數(shù)的絕對值時(shí)，要恢復(fù)余數(shù)。所以我們采用了加減交替法。（2）加減交替法加減交替法是對恢復(fù)余數(shù)法的一種修正。當(dāng)求得的差為負(fù)數(shù)時(shí)，不是恢復(fù)他，而是繼續(xù)求下一位商。用加上（＋Y）的辦法來取代（－Y）操作。原理證明如下：在恢復(fù)余數(shù)除法中，若第i-1次求商的余數(shù)為Ri-1,下一次求商的余數(shù)為R，則Ri=2Ri-1-Y如果Ri<0，商的第I位上0，恢復(fù)余數(shù)（＋Y），將余數(shù)左移一位，再減Y，得2Ri＋1。用公式表示如下：Ri＋1=2（Ri＋Y）－Y＝2Ri＋Y加減交替法得規(guī)則：當(dāng)余數(shù)為正時(shí)，商上1，求下一位商得辦法，是余數(shù)左移一位，再減去除數(shù)；當(dāng)余數(shù)為負(fù)時(shí)，商上0，求下一位商得辦法，是余數(shù)左移一位，再加上除數(shù)。又名不恢復(fù)余數(shù)法。例3.39所以總結(jié)原碼一位除法得步驟如下：（1）首先比較被除數(shù)和除數(shù)得大小，以檢查是否商溢出得情況。（2）商得符號為相除二數(shù)得符號得半加和。（3）被除數(shù)得位數(shù)是除數(shù)得兩倍，其低位得數(shù)值部分開始放在商寄存器中。運(yùn)算過程中，被除數(shù)和商寄存器同時(shí)移位，并將商寄存器得最高位移到被除數(shù)寄存器得最低位中。（4）與乘法得邏輯電路相似。A中放被除數(shù)、余數(shù)，B中放除數(shù)，C放商。此外，移位電路應(yīng)有左移1位得功能，及將Y/[Y]補(bǔ)送ALU得功能。2.定點(diǎn)補(bǔ)碼一位除法（加減交替法）運(yùn)算說明：判別是否夠減，要比較他們絕對值得大小。若兩數(shù)同符號，要用減法，若異號，要用加法。當(dāng)商為正時(shí)，商得值為原碼表示形式。當(dāng)商為負(fù)時(shí)，商得值一般為反碼形式的，然后采用最低位加1得辦法求出正確得補(bǔ)碼值。運(yùn)算規(guī)則：（1）被除數(shù)和除數(shù)同號，用被除數(shù)減去除數(shù)；若兩數(shù)相異，用被除數(shù)加上除數(shù)。若所得余數(shù)和商同號商1，若余數(shù)和除數(shù)異號，商0，這是結(jié)果得符號位。（2）如果上次商為1，將余數(shù)左移一位后減去除數(shù)；如果上次商0，將余數(shù)左移一位后加上除數(shù)。然后判斷本次得操后得余數(shù)與除數(shù)得符號是否相同。若相同則商1，若異號則商0。如此重復(fù)n-1次。（3)商的最后一位一般采用恒置1得辦法，并省略最低位得加1操作。例3.40例3.41例3.42X補(bǔ).Y補(bǔ)符號商符第一步操作r補(bǔ)，Y補(bǔ)符號上商下一步操作同號0減同號（夠減）12[r]補(bǔ)-Y補(bǔ)異號（不夠減）02[r]補(bǔ)＋Y補(bǔ)異號1加同號（不夠減）12[r]補(bǔ)-Y補(bǔ)異號（夠減）02[r]補(bǔ)＋Y補(bǔ)3.4.2提高除法運(yùn)算速度得方法舉例1.跳0跳1除法規(guī)則：（1）如果余數(shù)R≥0，且其高K個(gè)數(shù)位均為0，則本次直接商1，后跟K-1個(gè)0。R左移K位后，減去除數(shù)Y，得新余數(shù)。（2）如果余數(shù)R≤0，且其高K個(gè)數(shù)位均為1，則本次直接商0，后跟K-1個(gè)1。R左移K位后，加上除數(shù)Y，得新余數(shù)。（3）不滿不（1）（2）按一位除法上商。例3.432.除法運(yùn)算通過乘法操作來實(shí)現(xiàn)即找尋一組數(shù)使分母趨向于1，則分子等于分母。3.5浮點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算方法3.5.1浮點(diǎn)加法、減法運(yùn)算設(shè)有兩個(gè)浮點(diǎn)數(shù)ｘ和ｙ,它們分別為ｘ＝2Eｘ·Mｘｙ＝2Eｙ·Mｙ其中Eｘ和Eｙ分別為數(shù)ｘ和ｙ的階碼,Mｘ和Mｙ為數(shù)ｘ和ｙ的尾數(shù)。兩浮點(diǎn)數(shù)進(jìn)行加法和減法的運(yùn)算規(guī)則是ｘ±ｙ＝(Mｘ2Eｘ－Eｙ±Mｙ)2Eｙ，Eｘ>＝Eｙ完成浮點(diǎn)加減運(yùn)算的操作過程大體分為四步：

1.0操作數(shù)的檢查；

2.比較階碼大小并完成對階；

3.尾數(shù)進(jìn)行加或減運(yùn)算；

4.結(jié)果規(guī)格化并進(jìn)行舍入處理。5.判溢，檢查階碼是否溢出。浮點(diǎn)加減運(yùn)算的操作流程(1)0操作數(shù)檢查浮點(diǎn)加減運(yùn)算過程比定點(diǎn)運(yùn)算過程復(fù)雜。如果判知兩個(gè)操作數(shù)ｘ或ｙ中有一個(gè)數(shù)為0,即可得知運(yùn)算結(jié)果而沒有必要再進(jìn)行后續(xù)的一系列操作以節(jié)省運(yùn)算時(shí)間。0操作數(shù)檢查步驟則用來完成這一功能。(2)比較階碼大小并完成對階兩浮點(diǎn)數(shù)進(jìn)行加減,首先要看兩數(shù)的階碼是否相同,即小數(shù)點(diǎn)位置是否對齊。若二數(shù)階碼相同,表示小數(shù)點(diǎn)是對齊的,就可以進(jìn)行尾數(shù)的加減運(yùn)算。反之,若二數(shù)階碼不同,表示小數(shù)點(diǎn)位置沒有對齊,此時(shí)必須使二數(shù)階碼相同,這個(gè)過程叫作對階。

要對階,首先應(yīng)求出兩數(shù)階碼Eｘ和Eｙ之差,即

△E＝Eｘ－Eｙ若△E＝0,表示兩數(shù)階碼相等,即Eｘ＝Eｙ；若△E>0,表示Eｘ>Eｙ；若△E<0,表示Eｘ<Eｙ。當(dāng)Eｘ≠Eｙ時(shí),要通過尾數(shù)的移動以改變Eｘ或Eｙ,使之相等。原則上,既可以通過Mｘ移位以改變Eｘ來達(dá)到Eｘ＝Eｙ,也可以通過Mｙ移位以改變Eｙ來實(shí)現(xiàn)Eｘ＝Eｙ。但是,由于浮點(diǎn)表示的數(shù)多是規(guī)格化的,尾數(shù)左移會引起最高有效位的丟失,造成很大誤差。尾數(shù)右移雖引起最低有效位的丟失,但造成誤差較小。

因此,對階操作規(guī)定使尾數(shù)右移,尾數(shù)右移后階碼作相應(yīng)增加,其數(shù)值保持不變。顯然,一個(gè)增加后的階碼與另一個(gè)階碼相等,增加的階碼的一定是小階。因此在對階時(shí),總是使小階向大階看齊,即小階的尾數(shù)向右移位(相當(dāng)于小數(shù)點(diǎn)左移）每右移一位,其階碼加1,直到兩數(shù)的階碼相等為止,右移的位數(shù)等于階差△E。(3)尾數(shù)求和運(yùn)算對階結(jié)束后,即可進(jìn)行尾數(shù)的求和運(yùn)算。不論加法運(yùn)算還是減法運(yùn)算,都按加法進(jìn)行操作,其方法與定點(diǎn)加減法運(yùn)算完全一樣。(4)結(jié)果規(guī)格化在浮點(diǎn)加減運(yùn)算時(shí),尾數(shù)求和的結(jié)果也可以得到01.ф…ф或10.ф…ф,即兩符號位不等,這在定點(diǎn)加減法運(yùn)算中稱為溢出,是不允許的。但在浮點(diǎn)運(yùn)算中,它表明尾數(shù)求和結(jié)果的絕對值大于1,向左破壞了規(guī)格化。此時(shí)將運(yùn)算結(jié)果右移以實(shí)現(xiàn)規(guī)格化表示,稱為向右規(guī)格化。規(guī)則是：尾數(shù)右移1位,階碼加1。當(dāng)尾數(shù)不是1.M時(shí)需向左規(guī)格化。(5)舍入處理在對階或向右規(guī)格化時(shí),尾數(shù)要向右移位,這樣,被右移的尾數(shù)的低位部分會被丟掉,從而造成一定誤差,因此要進(jìn)行舍入處理。簡單的舍入方法有兩種：一種是"0舍1入"法,即如果右移時(shí)被丟掉數(shù)位的最高位為0則舍去,為1則將尾數(shù)的末位加"1"。另一種是"恒置一"法,即只要數(shù)位被移掉,就在尾數(shù)的末尾恒置"1"。在IEEE754標(biāo)準(zhǔn)中,舍入處理提供了四種可選方法：就近舍入其實(shí)質(zhì)就是通常所說的"四舍五入"。例如,尾數(shù)超出規(guī)定的23位的多余位數(shù)字是10010,多余位的值超過規(guī)定的最低有效位值的一半,故最低有效位應(yīng)增1。若多余的5位是01111,則簡單的截尾即可。對多余的5位10000這種特殊情況：若最低有效位現(xiàn)為0,則截尾；若最低有效位現(xiàn)為1,則向上進(jìn)一位使其變?yōu)?。朝0舍入即朝數(shù)軸原點(diǎn)方向舍入,就是簡單的截尾。無論尾數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù),截尾都使取值的絕對值比原值的絕對值小。這種方法容易導(dǎo)致誤差積累。朝＋∞舍入對正數(shù)來說,只要多余位不全為0則向最低有效位進(jìn)1;對負(fù)數(shù)來說則是簡單的截尾。朝－∞舍入處理方法正好與朝＋∞舍入情況相反。對正數(shù)來說,只要多余位不全為0則簡單截尾;對負(fù)數(shù)來說,向最低有效位進(jìn)1。(6)浮點(diǎn)數(shù)的溢出下圖表示了浮點(diǎn)機(jī)器數(shù)在數(shù)軸上的分布情況。當(dāng)機(jī)器浮點(diǎn)數(shù)值大于最大正數(shù)A值，或小于最小負(fù)數(shù)B值時(shí)，稱為上溢，這兩種情況意味著階碼運(yùn)算值超出了它所表示的范圍，機(jī)器必須做中斷處理。當(dāng)機(jī)器浮點(diǎn)數(shù)值小于最小正數(shù)a值，或大于最大負(fù)數(shù)b值時(shí)，稱為下溢。下溢不是一個(gè)嚴(yán)重問題，通?？醋鳛闄C(jī)器零。

浮點(diǎn)數(shù)的溢出是以其階碼溢出表現(xiàn)出來的。在加\減運(yùn)算過程中要檢查是否產(chǎn)生了溢出：若階碼正常,加(減)運(yùn)算正常結(jié)束；若階碼溢出,則要進(jìn)行相應(yīng)處理。另外對尾數(shù)的溢出也需要處理。階碼上溢超過了階碼可能表示的最大值的正指數(shù)值,一般將其認(rèn)為是＋∞和－∞。

階碼下溢超過了階碼可能表示的最小值的負(fù)指數(shù)值,一般將其認(rèn)為是0。

尾數(shù)上溢

兩個(gè)同符號尾數(shù)相加產(chǎn)生了最高位向上的進(jìn)位,將尾數(shù)右移,階碼增1來重新對齊。

尾數(shù)下溢在將尾數(shù)右移時(shí),尾數(shù)的最低有效位從尾數(shù)域右端流出,要進(jìn)行舍入處理。[例25]設(shè)ｘ＝2010×0.11011011,ｙ＝2100×(－0.10101100),求ｘ＋ｙ。解：

為了便于直觀理解,假設(shè)兩數(shù)均以補(bǔ)碼表示,階碼采用雙符號位,尾數(shù)采用單符號位,則它們的浮點(diǎn)表示分別為[ｘ]?。?0010,0.11011011

[ｙ]?。?0100,1.01010100<1>求階差并對階△E＝Eｘ－Eｙ＝[Eｘ]補(bǔ)＋[－Eｙ]補(bǔ)＝00010＋11100＝11110

即△E為－2,ｘ的階碼小,應(yīng)使Mｘ右移兩位,Eｘ加2,

[ｘ]浮＝00100,0.00110110(11)

其中(11)表示Mｘ右移2位后移出的最低兩位數(shù)。<3>規(guī)格化處理尾數(shù)運(yùn)算結(jié)果的符號位與最高數(shù)值位同值,應(yīng)執(zhí)行左規(guī)處理,結(jié)果為1.00010101(10),階碼為00011。<4>舍入處理采用0舍1入法處理,則有<5>判溢出

階碼符號位為00,不溢出,故得最終結(jié)果為

ｘ＋ｙ＝2011×(－0.11101010)<2>尾數(shù)求和3.5.2浮點(diǎn)乘法、除法運(yùn)算1.浮點(diǎn)乘法、除法運(yùn)算規(guī)則設(shè)有兩個(gè)浮點(diǎn)數(shù)ｘ和ｙ：

ｘ＝2Eｘ·Mｘｙ＝2Eｙ·Mｙ浮點(diǎn)乘法運(yùn)算的規(guī)則是

ｘ×ｙ＝2(Eｘ＋Eｙ)·(Mｘ×Mｙ)

即乘積的尾數(shù)是相乘兩數(shù)的尾數(shù)之積,乘積的階碼是相乘兩數(shù)的階碼之和。當(dāng)然,這里也有規(guī)格化與舍入等步驟。浮點(diǎn)除法運(yùn)算的規(guī)則是ｘ÷ｙ＝2(Eｘ－Eｙ)·(Mｘ÷Mｙ)商的尾數(shù)是相除兩數(shù)的尾數(shù)之商,商的階碼是相除兩數(shù)的階碼之差。也有規(guī)格化和舍入等步驟。2.浮點(diǎn)乘、除法運(yùn)算步驟浮點(diǎn)數(shù)的乘除運(yùn)算大體分為四步：第一步,0操作數(shù)檢查；第二步,階碼加/減操作；第三步,尾數(shù)乘/除操作；第四步,結(jié)果規(guī)格化及舍入處理。(1)浮點(diǎn)數(shù)的階碼運(yùn)算對階碼的運(yùn)算有＋1、－1、兩階碼求和、兩階碼求差四種,運(yùn)算時(shí)還必須檢查結(jié)果是否溢出。在計(jì)算機(jī)中,階碼通常用補(bǔ)碼或移碼形式表示。補(bǔ)碼運(yùn)算規(guī)則和判定溢出的方法,前面已經(jīng)講過。這里只對移碼的運(yùn)算規(guī)則和判定溢出的方法進(jìn)行講解。移碼的定義為

[ｘ]移＝2n＋ｘ2n＞ｘ≥－2n按此定義,則有

[ｘ]移＋[ｙ]移＝2n＋ｘ＋2n＋ｙ

＝2n＋(2n＋(ｘ＋ｙ))

＝2n＋[ｘ＋ｙ]移即直接用移碼實(shí)現(xiàn)求階碼之和時(shí),結(jié)果的最高位多加了個(gè)1,要得到正確的移碼形式結(jié)果,必須對結(jié)果的符號再執(zhí)行一次求反。當(dāng)混合使用移碼和補(bǔ)碼時(shí),考慮到移碼和補(bǔ)碼的關(guān)系：對同一個(gè)數(shù)值,其數(shù)值位完全相同,而符號位正好完全相反。而[ｙ]補(bǔ)的定義為

[ｙ]補(bǔ)＝2n＋1＋ｙmod2n＋1則求階碼和用如下方式完成：

[ｘ]移＋[ｙ]補(bǔ)＝2n＋ｘ＋2n＋1＋ｙ

＝2n＋1＋(2n＋(ｘ＋ｙ))即[ｘ＋ｙ]移＝[ｘ]移＋[ｙ]補(bǔ)(mod2n＋1)同理

[ｘ－ｙ]移＝[ｘ]移＋[－ｙ]補(bǔ)

上二式表明執(zhí)行階碼加減時(shí),對加數(shù)或減數(shù)ｙ來說,應(yīng)送移碼符號位正常值的反碼。如果階碼運(yùn)算的結(jié)果溢出,上述條件則不成立。此時(shí),使用雙符號位的階碼加法器,并規(guī)定移碼的第二個(gè)符號位,即最高符號位恒用0參加加減運(yùn)算,則溢出條件是結(jié)果的最高符號位為1。此時(shí),當(dāng)?shù)臀环栁粸?時(shí),表明結(jié)果上溢,為1時(shí),表明結(jié)果下溢。當(dāng)最高符號位為0時(shí),表明沒有溢出；低位符號位為1,表明結(jié)果為正；為0時(shí),表明結(jié)果為負(fù)。[例26]ｘ＝＋011,ｙ＝＋110,求[ｘ＋ｙ]移和[ｘ－ｙ]移,并判斷是否溢出。[解:][ｘ]移＝01011,[ｙ]補(bǔ)＝00110,[－ｙ]補(bǔ)＝11010

[ｘ＋ｙ]移＝[ｘ]移＋[ｙ]補(bǔ)＝10001,結(jié)果上溢。

[ｘ－ｙ]移＝[ｘ]移＋[－ｙ]補(bǔ)＝00101,結(jié)果正確,為－3。(2)尾數(shù)處理浮點(diǎn)加減法對結(jié)果的規(guī)格化及舍入處理也適用于浮點(diǎn)乘除法。第一種簡單方法是,無條件地丟掉正常尾數(shù)最低位之后的全部數(shù)值。這種辦法被稱為截?cái)嗵幚?好處是處理簡單,缺點(diǎn)是影響結(jié)果的精度。第二種簡單辦法是,運(yùn)算過程中保留右移中移出的若干高位的值,最后再按某種規(guī)則用這些位上的值修正尾數(shù)。這種處理方法被稱為舍入處理。3.7校驗(yàn)碼元件故障\噪聲干擾等各種因素常常導(dǎo)致計(jì)算機(jī)在處理信息過程中出現(xiàn)錯(cuò)誤。為了防止錯(cuò)誤,可將信號采用專門的邏輯線路進(jìn)行編碼以檢測錯(cuò)誤,甚至校正錯(cuò)誤。通常的方法是,在每個(gè)字上添加一些校驗(yàn)位,用來確定字中出現(xiàn)錯(cuò)誤的位置。1.奇偶校驗(yàn)碼

最簡單且應(yīng)用廣泛的檢錯(cuò)碼是采用一位校驗(yàn)位的奇校驗(yàn)或偶校驗(yàn)。設(shè)ｘ＝(ｘ0ｘ1…ｘn－1)是一個(gè)n位字,則奇校驗(yàn)位Ｃ定義為