第七講 相關(guān)分析

第七講相關(guān)分析——雙變量關(guān)系之描述一、基本概念與原理變量之間的關(guān)系：函數(shù)關(guān)系和統(tǒng)計關(guān)系

比如，家庭收入和支出、一個人所受教育程度與其收入、子女身高和父母身高等，…一、基本概念與原理相關(guān)分析：衡量事物之間或稱變量之間線性相關(guān)程度的強弱，并用適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計指標(biāo)表示出來的過程。相關(guān)系數(shù)：衡量變量之間相關(guān)程度的一個量值。相關(guān)關(guān)系正相關(guān)、負(fù)相關(guān)與零相關(guān)強相關(guān)、中度相關(guān)與弱相關(guān)線性相關(guān)與非線性相關(guān)相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)r的數(shù)值范圍是在一1到十1之間。相關(guān)系數(shù)r的正負(fù)號表示變化方向?！?”號表示變化方向一致，即正相關(guān)；“-”號表示變化方向相反，即負(fù)相關(guān)。r的絕對值表示變量之間的密切程度(即強度)。絕對值越接近1，表示兩個變量之間關(guān)系越密切；越接近0，表示兩個變量之間關(guān)系越不密切。相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)的值，僅僅是一個比值。它不是由相等單位度量而來(即不等距)，也不是百分比，因此，不能直接作加、減、乘、除運算。相關(guān)系數(shù)只能描述兩個變量之間的變化方向及密切程度，并不能揭示兩者之間的內(nèi)在本質(zhì)聯(lián)系，即存在相關(guān)的兩個變量，不一定存在因果關(guān)系。散點圖基本原理（以積差相關(guān)為例）若＞0，則x與y之間為正相關(guān)；若＜0，則x與y之間為負(fù)相關(guān)；若→0，則x與y之間無相關(guān)關(guān)系。

二、相關(guān)分析方法連續(xù)變量的相關(guān)分析等級變量的相關(guān)分析質(zhì)量相關(guān)分析品質(zhì)相關(guān)分析偏相關(guān)分析距離相關(guān)分析連續(xù)變量的相關(guān)分析連續(xù)變量即數(shù)據(jù)變量，它的取值之間可以比較大小，可以用加減法計算出差異的大小。如“年齡”、“收入”、“成績”等變量。當(dāng)兩個變量都是正態(tài)連續(xù)變量，而且兩者之間呈線性關(guān)系時，表示這兩個變量之間的相關(guān)稱為積差相關(guān)。通常用Pearson相關(guān)系數(shù)來衡量。連續(xù)變量的相關(guān)分析Pearson相關(guān)系數(shù)的計算公式積差相關(guān)的使用條件兩個變量都是由測量獲得的連續(xù)性數(shù)據(jù)；兩個變量的總體都是呈正態(tài)分布，或接近正態(tài)分布，至少是單峰的對稱分布。必須是成對數(shù)據(jù)，而且每對數(shù)據(jù)之間必須是相互獨立。兩個變量之間呈線性關(guān)系。要排除共變因素的影響。樣本容量要大于等于30，計算出的積差相關(guān)系數(shù)才具有有效意義。積差相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗ρ=0統(tǒng)計假設(shè)H0：ρ=0；H1：ρ≠0統(tǒng)計量T統(tǒng)計量服從n-2個自由度的t分布。積差相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗ρ≠0ρ≠0時r的樣本分布不是正態(tài)，這時需要將r與ρ都轉(zhuǎn)換成費舍。的分布可以認(rèn)為是正態(tài)，其平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)誤這樣就可以進(jìn)行Z檢驗了。統(tǒng)計量如表所示，10個學(xué)生初一數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)與初二數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)的相關(guān)系數(shù)為0.87，問從總體上來說，初一與初二數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)是否存在相關(guān)？序號12345678910總和X74717268767367706574710Y76757170767965776272723檢驗的步驟提出假設(shè)計算檢驗統(tǒng)計量統(tǒng)計決斷所以，從總體上說，初一數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)與初二數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)存在正相關(guān)。例如：29個學(xué)生幾何期中與期末考試成績的相關(guān)系數(shù)r=0.30，問全年級幾何期中與期末考試成績的相關(guān)系數(shù)是否為0.64？提出假設(shè)等距轉(zhuǎn)換選擇檢驗統(tǒng)計量并計算其值統(tǒng)計決斷即全年級幾何期中與期末考試成績之間的相關(guān)系數(shù)極少可能是0.64。等級變量的相關(guān)分析是指以等級次序排列或以等級次序表示的變量之間的相關(guān)。當(dāng)測量得到的數(shù)據(jù)不是等距或等比數(shù)據(jù)，而是具有等級順序的數(shù)據(jù)；或者得到的數(shù)據(jù)是等距或等比數(shù)據(jù)，但其所來自的總體分布不是正態(tài)的，不滿足求積差相關(guān)的要求。這時就要運用等級相關(guān)系數(shù)。它主要包括斯皮爾曼(spearman)二列等級相關(guān)及肯德爾和諧系數(shù)多列等級相關(guān).斯皮爾曼二列等級相關(guān)當(dāng)兩個變量值以等級次序排列或以等級次序表示時，兩個相應(yīng)總體并不一定呈正態(tài)分布，樣本容量也不一定大于30，表示這兩變量之間的相關(guān)，稱為Spearman等級相關(guān)。例：10名高三學(xué)生學(xué)習(xí)潛在能力測驗與自學(xué)能力測驗成績?nèi)缦卤硭?，問兩者相關(guān)情況如何？學(xué)生序號學(xué)習(xí)潛在能力自學(xué)能力等級差數(shù)差數(shù)平方X等級Y等級123456789109084767171716968666412355578910325786871092135.57.547.55.5109-110-0.5-2.51-0.52.5-111100.256.2510.256.2511總和18等級相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗與積差相關(guān)系數(shù)檢驗的方法相同10個學(xué)生學(xué)習(xí)潛在能力與自學(xué)能力測驗成績相關(guān)系數(shù)為0.891，問從總體上說，兩者是否存在相關(guān)？檢驗的步驟提出假設(shè)計算檢驗統(tǒng)計量的值統(tǒng)計決斷所以學(xué)生的學(xué)習(xí)潛在能力與自學(xué)能力之間存在著較高的正相關(guān)。肯德爾和諧系數(shù)（Kendall’stau-b）當(dāng)多個（兩個以上）變量值以等級次序排列或以等級次序表示，描述這幾個變量之間的一致性程度的量，稱為肯德爾和諧系數(shù)。它常用來表示幾個評定者對同一組學(xué)生成績用等級先后評定多次之間的一致性程度。無相同等級的情況當(dāng)同一位評定者對所有被評事物的評定無相同等級時，其肯德爾和諧系數(shù)的計算公式為：例:4位教師對6個學(xué)生作文競賽的名次排列次序如表第（2）列所示，問評定的一致性程度如何？

有相同等級的情況當(dāng)同一位評定者對所有被評事物的評定有相同等級時，其肯德爾和諧系數(shù)的計算公式為：同一位教師對5份研究生入學(xué)考試政治試卷根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)先后3次等級評定結(jié)果如下表所示，問3次評定結(jié)果的相關(guān)程度如何？質(zhì)量相關(guān)分析質(zhì)量相關(guān)是指一個變量為質(zhì)，另一個變量為量，這兩個變量之間的相關(guān)。如智商、學(xué)科分?jǐn)?shù)、身高、體重等是表現(xiàn)為量的變量，男與女、優(yōu)與劣、及格與不及格等是表現(xiàn)為質(zhì)的變量。質(zhì)與量的相關(guān)主要包括二列相關(guān)、點二列相關(guān)、多系列相關(guān)。二列相關(guān)當(dāng)兩個變量都是正態(tài)連續(xù)變量．其中一個變量被人為地劃分成二分變量(如按一定標(biāo)推將屬于正態(tài)連續(xù)變量的學(xué)科考試分?jǐn)?shù)劃分成及格與不及格，錄取與未錄取，把某一體育項目測驗結(jié)果劃分成通過與未通過，達(dá)標(biāo)與末達(dá)標(biāo)，把健康狀況劃分成好與差，等等)，表示這兩個變量之間的相關(guān)，稱為二列相關(guān)。

二列相關(guān)的使用條件

①兩個變量都是連續(xù)變量，且總體呈正態(tài)分布，或總體接近正態(tài)分布，至少是單峰對稱分布。②兩個變量之間是線性關(guān)系。③二分變量是人為劃分的，其分界點應(yīng)盡量靠近中值。④樣本容量應(yīng)當(dāng)大于80。二列相關(guān)系數(shù)的計算公式

點二列相關(guān)

當(dāng)兩個變量其中一個是正態(tài)連續(xù)性變量，另一個是真正的二分名義變量(例如，男與女，已婚和未婚，色盲與非色盲，生與死，等等)，這時，表示這兩個變量之間的相關(guān)，稱為點二列相關(guān)。

多系列相關(guān)

當(dāng)兩個變量都是正態(tài)連續(xù)變量，其中一個變量按不同質(zhì)被人為地分成多種類別(兩類以上)的正態(tài)名義變量。表示正態(tài)連續(xù)變量與多類正態(tài)名義變量之間的相關(guān)，稱為多系列相關(guān)。例如，學(xué)生的智商與學(xué)習(xí)努力程度之間的關(guān)系，智商和學(xué)習(xí)努力程度都是正態(tài)連續(xù)變量，但學(xué)習(xí)努力程度被人為地分成“努力”、“中等”、“不努力”三種類別，二者的相關(guān)稱為三系列相關(guān)。又如，不同學(xué)習(xí)成績的學(xué)生對某種教學(xué)改革的態(tài)度分為“極其不贊成”、“不贊成。、“不置可否”、“贊成”、“極其贊成”。學(xué)習(xí)成績與態(tài)度之間的相關(guān)稱五系列相關(guān)。多系列相關(guān)系數(shù)的計算公式

品質(zhì)相關(guān)分析兩個變量都是按質(zhì)劃分成幾種類別，表示這兩個變量之間的相關(guān)稱為品質(zhì)相關(guān)。如，一個變量按性別分成男與女，另一個變量按學(xué)科成績分成及格與不及格；又如，一個變量按學(xué)校類別分成重點及非重點，另一個變量按學(xué)科成績分成優(yōu)、良、中、差，等等。根據(jù)兩個變量的性質(zhì)及所分類別的多少，分為四分相關(guān)、φ相關(guān)及列聯(lián)相關(guān)。四分相關(guān)

當(dāng)兩個變量都是正態(tài)連續(xù)變量，且兩者呈直線關(guān)系，但兩者都被人為地劃分成二分變量，表示這兩個變量的相關(guān)，稱為四分相關(guān)。例如，將學(xué)科成績劃分成及格與不及格，達(dá)標(biāo)與未達(dá)標(biāo)，通過與未通過，將對事物的態(tài)度劃分成贊同與反對：將對問題的回答劃分成對與錯，等等。四分相關(guān)四分相關(guān)有多種計算方法，最常用的是皮爾遜的余弦π法，其計算公式為：

例如，45名學(xué)生跳高與跳遠(yuǎn)成績（達(dá)標(biāo)及未達(dá)標(biāo)）如表所示，問跳高與跳遠(yuǎn)成績的相關(guān)情況如何？

φ相關(guān)

當(dāng)兩個變量都是二分變量，無論是真正的二分變量還是人為的二分變量，這兩個變量之間的關(guān)系，可以用由φ相關(guān)來表示。其計算公式為：

例如，從研究生入學(xué)考試的學(xué)生中，隨機抽取60人．其大學(xué)應(yīng)屆與往屆畢業(yè)生錄取情況如表11．14，問應(yīng)屆和往屆大學(xué)畢業(yè)生同研究生錄取與否的相關(guān)情況如何?列聯(lián)相關(guān)

當(dāng)兩個變量均被分成兩個以上類別，或其中一個變量被分成兩個以上類別，表示這兩個變量之間的相關(guān)，稱為列聯(lián)相關(guān)。列聯(lián)相關(guān)系數(shù)的計算公式為：

數(shù)據(jù)類型與相關(guān)系數(shù)類型第一個變量數(shù)據(jù)類型第二個變量數(shù)據(jù)類型二分?jǐn)?shù)據(jù)等級數(shù)據(jù)等距數(shù)據(jù)人為二分型真正二分型二分?jǐn)?shù)據(jù)人為二分型四格相關(guān)Φ相關(guān)二列相關(guān)列聯(lián)系數(shù)二列相關(guān)真正二分型Φ相關(guān)Φ相關(guān)二列相關(guān)列聯(lián)系數(shù)點二列相關(guān)等級數(shù)據(jù)二列相關(guān)列聯(lián)系數(shù)二列相關(guān)列聯(lián)系數(shù)等級相關(guān)等級相關(guān)多列相關(guān)等距數(shù)據(jù)二列相關(guān)點二列相關(guān)等級相關(guān)多列相關(guān)積差相關(guān)偏相關(guān)分析所謂偏相關(guān)，是指在諸多相關(guān)的變量中，剔除其中的一個或若干個變量的影響后，兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系。對應(yīng)的相關(guān)分析即為偏相關(guān)分析。偏相關(guān)系數(shù)的計算公式假定有3個變量：x1、x2、x3，求剔除變量的影響后，變量和之間的偏相關(guān)系數(shù)r123：偏相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗公式距離相關(guān)分析距離相關(guān)分析是對觀測量之間或變量之間相似或不相似的程度的一種測量。距離相關(guān)分析可用于同一變量內(nèi)部各個取值間，以考察其相互接近程度；也可用于變量間，以考察預(yù)測值對實際值的擬合優(yōu)度。它有助于分析復(fù)雜的數(shù)據(jù)集合。距離相關(guān)分析根據(jù)統(tǒng)計量不同，分為兩種：（1）不相似性測量，通過計算樣本之間或變量之間的距離來表示。（2）相似性測量，通過計算Pearson相關(guān)系數(shù)或Cosine相關(guān)系數(shù)來表示。根據(jù)分析對象不同，分為兩種：

樣本間分析和變量間分析。三、相關(guān)分析中的可能錯誤

相關(guān)系數(shù)r是對兩個變量之間線性關(guān)系的簡單度量，因此當(dāng)r＝0時，只表示兩個變量之間不存在線性相關(guān)關(guān)系，并不說明變量之間沒有任何關(guān)系，比如，它們之間可能存在非線性關(guān)系，如圖8．1(e)就屬于這種情況。三、相關(guān)分析中的可能錯誤

r的計算涉及到變量的標(biāo)準(zhǔn)差和協(xié)方差，其數(shù)值大小易受極端值的影響，特別是與自變量x的變化范圍有很大關(guān)系。這時會產(chǎn)生兩種情況：—是多數(shù)觀察值不相關(guān)時，個別極瑞值引起中度相關(guān)，如圖8．4（a）；二是大多數(shù)觀察值存在線性相關(guān)，個別極端值使觀察數(shù)據(jù)呈非線性相關(guān)．如圖8．4（b）。

三、相關(guān)分析中的可能錯誤

在對兩個時間數(shù)列的相關(guān)分析中，r所表現(xiàn)的相關(guān)程度同樣本數(shù)據(jù)的時間范圍有很大關(guān)系。比如．兩個現(xiàn)象在某段時期內(nèi)的相關(guān)關(guān)系為線性的．而整個發(fā)展過程可能是非線性的，如圖(a)；或者在某段時期內(nèi)無線性關(guān)系，而整個發(fā)展過程可能存在線性關(guān)系，如圖(b)三、相關(guān)分析中的可能錯誤根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算的r帶有—定的隨機性，樣本數(shù)據(jù)越少，隨機性則越大。對于不相關(guān)的兩個變量計算出的r不—定為0，有時甚至?xí)芨?。但較大的r值不一定就意味著兩個變量之間確實存在著較高的相關(guān)；反之，較小的r也不一定就意味著變量之間無相關(guān)關(guān)系，這就是所謂的虛假相關(guān)。為避免出現(xiàn)分析上的錯誤，在實際應(yīng)用r時，必須對r的顯著性進(jìn)行檢驗，r在統(tǒng)計上是否顯著，才是它能否作為變量之間線性關(guān)系度量的依據(jù)。四、應(yīng)用（測驗分析）信度系數(shù)衡量一次測驗可靠性、穩(wěn)定性的統(tǒng)計指標(biāo)叫做信度。通常用不同次測驗結(jié)果的相關(guān)系數(shù)來衡量，即信度系數(shù)α。信度的高低反映了測驗中隨機因素影響的大小，一次測驗中隨機因素影響小則信度大，隨機因素影響大則信度小。信度的種類（1）再測信度系數(shù)——用同一套問卷在兩個不同時間內(nèi)來測試同一批對象，計算兩次測驗分?jǐn)?shù)的相關(guān)系數(shù)，又稱穩(wěn)定系數(shù)。（2）等值系數(shù)——用兩份等值的問卷對同一批對象進(jìn)行測驗，計算兩次測驗分?jǐn)?shù)的相關(guān)系數(shù)，又稱復(fù)本信度。（3）內(nèi)在一致性系數(shù)——一個測驗中所包含的各個項目上所的成績的一致性，又稱同質(zhì)信度。估計信度的方法用于衡量再測信度、復(fù)本信度——積差相關(guān)法。用于計算內(nèi)部一致性系數(shù)——折半相關(guān)分析法——克倫巴赫α系數(shù)法——庫德-理查遜（K-R）公式

四、應(yīng)用（測驗分析）效度所謂效度，就是衡量測驗有效性、準(zhǔn)確性的統(tǒng)計指標(biāo)。實質(zhì)上是指所測量到的東西與要測量的東西之間的相符合的程度。它與信度的區(qū)別在于：信度反映了測驗中隨機誤差的大小，而效度反映了測驗中系統(tǒng)誤差的大小。四、應(yīng)用（