第三章 復變函數(shù)的積分(余家榮2014)

第三章復變函數(shù)的積分§1

柯西定理一.復變函數(shù)的積分二.引理原函數(shù)與不定積分三.柯西定理§2

柯西公式一.柯西公式二.高階導數(shù)公式四.莫勒拉(Morera)定理目錄上頁下頁返回結(jié)束四.復合閉路定理三.柯西不等式與劉維爾定理目錄上頁下頁返回結(jié)束主要內(nèi)容1.

復變函數(shù)積分的概念、性質(zhì)、計算法2.復合閉路定理解析函數(shù)的導數(shù)仍是解析函數(shù)高階導數(shù)公式幾個引理柯西定理柯西積分公式Morera定理柯西定理的逆定理柯西不等式,劉維爾定理目錄上頁下頁返回結(jié)束一.

復變函數(shù)的積分1.定義1.1:函數(shù)w=f(z)定義在區(qū)域D內(nèi),一條光滑有向曲線,(1)分割，插入n-1個分點§1、柯西定理(2)求局部近似值(3)求和并取極限z0為起點,z為終點.其中C是D內(nèi)的目錄上頁下頁返回結(jié)束如果無論對C怎樣的分法，ζk

怎樣的取法,極限都存在，若C為封閉曲線，則記為則稱該極限值為f(z)在C上的積分,

記為即:①.計算方法令則：復變函數(shù)的積分可以化為u(x,y),v(x,y)的曲線積分.目錄上頁下頁返回結(jié)束該方法主要針對被積函數(shù)不是解析函數(shù)的積分,例如2、說明目錄上頁下頁返回結(jié)束【例1.1】設C為從0到1+i的直線段,求目錄上頁下頁返回結(jié)束②f(z)在C上連續(xù),則存在.Proof:

因為f(z)在C上連續(xù),則u(x,y),v(x,y)在C上連續(xù)從而存在,也存在.所以目錄上頁下頁返回結(jié)束③如果曲線C用參數(shù)方程表示,其中t0對應點z0,T對應點z,

黎曼積分的形式.則上積分可以寫成目錄上頁下頁返回結(jié)束3.復變函數(shù)積分的性質(zhì)①.線性性②.有向性③.可加性C=C1+C2(其中C,C1,C2同方向)推廣目錄上頁下頁返回結(jié)束④有界性若f(z)在C上滿足|f(z)|≤M,則(其中L為C的長度)推廣(其中C,C1,…,Cn同方向)目錄上頁下頁返回結(jié)束【例1.2】設C為從原點到點A(3,4)的直線段,求模的一個上界.解:由有界性,求出L,M即可(3,4)340目錄上頁下頁返回結(jié)束【例1.3】設C是圓周|z-α|=ρ>0的正向,α為復數(shù),求解：設,于是目錄上頁下頁返回結(jié)束【例1.4】設C為連接z0,z兩點的簡單曲線，求解:目錄上頁下頁返回結(jié)束積分與路徑無關(guān)由例1.4積分與路徑無關(guān)C-R條件

f(z)解析且u,v

可微積分與路徑無關(guān)事實上,只要被積函數(shù)f(z)解析,則積分與路徑無關(guān)且

u,

v可微

積分與路徑無關(guān)積分與路徑無關(guān)目錄上頁下頁返回結(jié)束二.

引理、原函數(shù)與不定積分1.引理2.1:設f(z)是單連通區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù),C是D內(nèi)的一個多角形周界,那么(一).引理目錄上頁下頁返回結(jié)束(二).原函數(shù)與不定積分1.De2.1:設f(z),Φ(z)是區(qū)域D內(nèi)的函數(shù),并且Φ(z)解析如果在D內(nèi)有,則稱Φ(z)是f(z)的一個原函數(shù)或不定積分.ez是ez的一個原函數(shù)lnz是1/z的一個原函數(shù)-

cosz是sinz的一個原函數(shù)

sinz是cosz的一個原函數(shù)目錄上頁下頁返回結(jié)束3.De2.2:設f(z)在D內(nèi)連續(xù),為變上限函數(shù).則稱4.引理2.2:f(z)在D內(nèi)有原函數(shù).積分上限為z,下限為α,設f(z)是在凸區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù),那么Proof:設F(z),Φ(z)為f(z)的任意兩個原函數(shù)2.結(jié)論:任意兩個原函數(shù)相差一個常數(shù).即：目錄上頁下頁返回結(jié)束引理2.2:設f(z)是在凸區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù),則f(z)在D內(nèi)有原函數(shù).Proof:取定α∈D,任取z0\{α}∈D,z\{α,

z0}∈D,令所以連接

α,z0,z由引理2.1因為D是凸區(qū)域,的三角形包含在D內(nèi),于是由例1.4目錄上頁下頁返回結(jié)束由于f(z)在z0處連續(xù),所以使得又從而在

α

點,由仿照上面的證明,得因此F(z)是f(z)在D內(nèi)的原函數(shù).目錄上頁下頁返回結(jié)束復變函數(shù)的牛頓-萊布尼茲公式原函數(shù)F(z),如果α

,

β

∈D,并且C是在D內(nèi)連接α

及β

的一條曲線,那么證明:如果C是光滑曲線z=z(t)(a≤t≤b),z(a)=α,z(b)=β,則設f(z)是在區(qū)域D內(nèi)的連續(xù)函數(shù),并且在

D內(nèi)有5.引理2.3:目錄上頁下頁返回結(jié)束解：【例1.5】計算積分作業(yè)P5（1,2）目錄上頁下頁返回結(jié)束補充題:其中C是圓周|z|=2的正向計算積分提示：利用及例1.3目錄上頁下頁返回結(jié)束三.

柯西定理(CauchyTh)1.定理3.1.設f(z)是單連通區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)(1).設C是D內(nèi)任一條簡單閉曲線,那么(2).設C是在D內(nèi)連接

z0,z兩點的任意一條簡單曲線,那么沿

C從

z0到z的積分值由z0到z點兩點決定,而不依賴曲線C,該積分仍記為f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析,則積分與路徑無關(guān)目錄上頁下頁返回結(jié)束證明:(1)在D內(nèi)找到有限個圓盤由于C是一個緊集,故可以并用F1(z)F2(z),…,K1,K2,…

,Kn-1覆蓋C,因圓盤是凸區(qū)域,由引理2.2f(z)在K1,K2,…,Kn-1內(nèi)有原函數(shù),Fn-1(z)表示f(z)在這些圓盤上的原函數(shù),取目錄上頁下頁返回結(jié)束其中是在C上依反時針方向取的,于是引理2.3引理2.3引理2.1所以(1)成立.目錄上頁下頁返回結(jié)束證明:(2)設C1是在D內(nèi)另一條連接

z0,z兩點的簡單曲線,記由(1)則有所以只與起點z0終點z有關(guān)與路徑C無關(guān),(2)成立2.定理3.1'.設C是一條簡單閉曲線,f(z)在以C為邊界的有界閉區(qū)域上解析,則目錄上頁下頁返回結(jié)束3.定理3.2:f(z)在D內(nèi)有原函數(shù).4.復變函數(shù)的牛頓-萊布尼茲公式設f(z)是單連通區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù),f(z)在D內(nèi)有原函數(shù)F(z),如果α,β∈D,則設f(z)是單連通區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù),那么被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)不解析,不能用牛頓·萊布尼茲公式目錄上頁下頁返回結(jié)束5.換元積分法6.分部積分法設f(z),g(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析,α,β∈D,則設f(z),g(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析,f(z)在D內(nèi)有原函數(shù)F(z),如果α,β∈D,則注意:求積分一定是在解析函數(shù)的某個解析分支上求.目錄上頁下頁返回結(jié)束【例1.6】設D是不含α的單連通區(qū)域,z0,z∈D,求解:當m≠1時當m=1時其中對數(shù)理解為Ln(z-α)在D內(nèi)的一個解析分支在z0,z的值,并且在D內(nèi)沒有割線.(*)目錄上頁下頁返回結(jié)束特別設D是沿α出發(fā)的任何射線作為割線而得的區(qū)域仍然有(*)成立.其中對數(shù)理解為Ln(z-α)在D內(nèi)的一個解析分支在

z0,z的值.z0,z∈D,則目錄上頁下頁返回結(jié)束【例1.7】計算下列積分積分路徑為任意曲線積分路徑為不過1的任意曲線其中對數(shù)理解為Ln(z-1)的一個解析分支在

a,b

的值.目錄上頁下頁返回結(jié)束(被積函數(shù)取的解析分支)的解析分支為k=0在|z|=1上解:在|z|=1內(nèi)lnz在z=0處不解析，取正實軸為割線【例1.8】計算下列積分,其中C:|z|=1的正向目錄上頁下頁返回結(jié)束(被積函數(shù)取的解析分支)的解析分支為k=1,在|z|=1上解:在|z|=1內(nèi)在z=0處不解析，取正實軸為割線目錄上頁下頁返回結(jié)束四.

復合閉路定理1.設D由n+1條簡單閉曲線C0

,C1,…,Cn圍成,為外曲線

C1,C2…,Cn為內(nèi)曲線,且內(nèi)曲線圍成的區(qū)域其中C0設f(z)在上解析,設C表示D的全部邊界,

兩兩不相交,那么其中C是區(qū)域

D的正向.即C0

是逆時針方向,C1,…,Cn是順時針方向目錄上頁下頁返回結(jié)束2.

復合閉路定理的推廣設簡單閉曲線C內(nèi)有n個奇點z1,z2,…,zn

,則：且作n個閉曲線C1,C2,…,Cn除特別聲明外,以后我們寫出沿簡單閉曲線的積分,都是按反時針方向取的.沿區(qū)域邊界的積分,都是按區(qū)域正向取的.曲線C圍成的區(qū)域其中C,C1,C2,…,Cn取曲線正向.目錄上頁下頁返回結(jié)束3.

復合閉路定理的推廣的應用α包含在C中,且n為整數(shù)時有：推廣：結(jié)論：C是以α為中心

,ρ為半徑的正向圓周，且n為整數(shù)時有：目錄上頁下頁返回結(jié)束【例1.9】計算下列積分3202020e解析為奇點為奇點目錄上頁下頁返回結(jié)束01c1c2目錄上頁下頁返回結(jié)束【例1.10】計算積分其中區(qū)域逆時針和順時針方向的簡單曲線.C1,C2是圓環(huán)D內(nèi)從z0到z1沿解:取定Argz在z0的值為argz0.當z從z0沿C1連續(xù)變動從z0沿C2連續(xù)到z1時,z的輻角從

argz0連續(xù)變動到argz1;變動到z1時,z的輻角從

argz0連續(xù)變動到argz1-2π.令則五.多連通區(qū)域內(nèi)的不定積分(注意:不能用CauchyTh)目錄上頁下頁返回結(jié)束從而從而事實上由求出一個積分,容易得出另一個積分.目錄上頁下頁返回結(jié)束【例1.11】證明,C為連接-i到i的線段.解:作業(yè)P567(1)(2)ln=2πi.9(3).10.目錄上頁下頁返回結(jié)束補充題:1.計算積分目錄上頁下頁返回結(jié)束一.

柯西公式1.定理4.1:設D是以有限條簡單閉曲線C§2、柯西公式(C由C0,C1,C2組成)為邊界的有界區(qū)域.那么在D內(nèi)任一點z,有設f(z)在D及C所組成的閉區(qū)域上解析,(*)(*)稱為柯西公式或柯西積分公式(*)還可以寫為目錄上頁下頁返回結(jié)束證明:以z為圓心作一包含在D內(nèi)的閉圓盤,得一閉區(qū)域在上解析,則由復合閉路定理設其半徑為ρ,邊界為圓Cρ.在D內(nèi)挖去Cρ為邊界的圓盤,并且該積分與ρ無關(guān),又目錄上頁下頁返回結(jié)束因為在z處連續(xù),則時,從而即于是,使得當∵積分與ρ無關(guān),∴目錄上頁下頁返回結(jié)束【例2.1】解:z=±i為奇點,（如圖所示）求積分其中C:|z|=2的正向i-i02方法一:方法二:目錄上頁下頁返回結(jié)束【例2.2】設C為橢圓的正向,設求解:由C圍成的開區(qū)域記為D,由柯西定理,柯西積分公式知1+i2-3i023目錄上頁下頁返回結(jié)束2.定理4.2:在定理4.1的假設條件下,f(z)在D內(nèi)任意階可導,并且其導數(shù)為3.系4.1:設函數(shù)f(z)在D內(nèi)解析,階導數(shù).(**)稱為高階導數(shù)公式(**)還可以寫為(**)二.

高階導數(shù)公式則f(z)在D內(nèi)有任意目錄上頁下頁返回結(jié)束解:∵f(z)=cos(zπ)解析【例2.3】求下列函數(shù)的積分其中C:|z|=r>1目錄上頁下頁返回結(jié)束其中C:|z|=r,1<r<20-2-1解:z=0,z=-1是奇點,由復合閉路定理目錄上頁下頁返回結(jié)束解:z=0為奇點,所以【例2.4】設f(z)在|z|≤1上解析,且f(0)=1,求積分目錄上頁下頁返回結(jié)束解:一方面由|z|=1,z=eiθ,所以【例2.5】通過計算證明目錄上頁下頁返回結(jié)束另一方面由高階導數(shù)公式所以作業(yè)P565.目錄上頁下頁返回結(jié)束補充題:3.求積分2.設f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,C是D內(nèi)的任意一條簡單閉曲線,從而證明證明對于D內(nèi)但不在C上任意一點z0,下列等式成立.其中C為不經(jīng)過a,-a的正向1.計算積分簡單閉曲線,a

為任意復數(shù).目錄上頁下頁返回結(jié)束1.定理4.3:設f(z)在以為邊界,則證明:由高階導數(shù)公式,在閉圓盤C上(柯西不等式)的閉區(qū)域上解析,設其中Cp是圓所以即三.

柯西不等式與劉維爾定理或目錄上頁下頁返回結(jié)束設函數(shù)f(z)在|z|≤r內(nèi)解析且有界M,證明【例2.6】設

z0

是|z|<r

內(nèi)的任一點,在閉圓盤利用柯西不等式,上立即得到由

z0

的任意性得:Proof:目錄上頁下頁返回結(jié)束2.定義:在整個復平面上解析的函數(shù)f(z)稱為整函數(shù).3.定理4.4:(劉維爾Th)其逆也真

常數(shù)是有界整函數(shù)逆否

非常數(shù)的整函數(shù)必無界證明:設f(z)是有界整函數(shù),則使得又f(z)在上解析,由柯西不等式得,由ρ的任意性,從而f(z)在C上有界整函數(shù)一定恒等于常數(shù)令ρ→+∞,可見恒等于常數(shù).目錄上頁下頁返回結(jié)束設f(z)為一整函數(shù),且對所有的z有Ref(z)<M.【例2.7】證明:令F(