第七章 兩個總體的假設檢驗

第七章

兩總體的假設檢驗第一節(jié)均值差異的假設檢驗第二節(jié)比例差異的假設檢驗第三節(jié)均值差異比較的SPSS應用兩個正態(tài)總體的參數(shù)檢驗兩個總體的檢驗Z

檢驗(大樣本)t

檢驗(小樣本)t

檢驗(小樣本)Z檢驗F

檢驗獨立樣本配對樣本均值比例方差兩個獨立樣本之差的抽樣分布m1s1總體1s2

m2總體2抽取簡單隨機樣樣本容量n1計算X1抽取簡單隨機樣樣本容量n2計算X2計算每一對樣本的X1-X2所有可能樣本的X1-X2m1-m2抽樣分布第一節(jié)均值差異的假設檢驗假設：H0：兩總體不存在差異，即u1=u2，H1：兩總體存在差異，即u1不等于u2。要求：隨機抽樣；每個總體都是正態(tài)分布；兩個總體的標準差相等。一、兩個獨立樣本均值之差的檢驗（一）兩個總體均值之差的Z檢驗(12、22

已知)（二）兩個總體均值之差的Z檢驗

(12、22

未知，大樣本）（三）兩個總體均值之差的t檢驗(12、22未知，小樣本)其中：（一）兩個總體均值之差的Z檢驗

(12、22

已知)1、假定條件兩個樣本是獨立的隨機樣本兩個總體都是正態(tài)分布若不是正態(tài)分布,可以用正態(tài)分布來近似(n130和n230；n1+n2100)2、原假設：H0:1-

2

=0；備擇假設：H1:1-

2

0檢驗統(tǒng)計量為兩個總體均值之差的Z檢驗(例子)

例1：有兩種方法可用于制造某種以抗拉強度為重要特征的產(chǎn)品。根據(jù)以往的資料得知，第一種方法生產(chǎn)出的產(chǎn)品其抗拉強度的標準差為8公斤，第二種方法的標準差為10公斤。從兩種方法生產(chǎn)的產(chǎn)品中各抽取一個隨機樣本，樣本容量分別為n1=32，n2=40，測得x2=50公斤，x1=40公斤。問這兩種方法生產(chǎn)的產(chǎn)品平均抗拉強度是否有顯著差別？(=0.05)兩個總體均值之差的Z檢驗

（計算結果）H0:

1-2=0H1:

1-2

0=

0.05n1=32，n2

=

40臨界值(s):檢驗統(tǒng)計量:決策:結論:

拒絕H0有證據(jù)表明兩種方法生產(chǎn)的產(chǎn)品其抗拉強度有顯著差異Z01.96-1.96.025拒絕H0拒絕H0.025例：某大學欲比較大學畢業(yè)后留校工作與分配到其他崗位的人工資水平的差別，因為工資還與工齡等其他因素有關，因此抽選大學畢業(yè)后滿10年在校工作的教師50人，另外抽選大學畢業(yè)后滿10年在機關、企業(yè)工作的人員進行比較，取得的數(shù)據(jù)如下。試比較大學畢業(yè)后留校當教師與分配在機關企業(yè)等工作人員的工資水平是否有差異？（α=.05)大學教師機關、企業(yè)工作人員兩個總體均值之差的Z檢驗(12、22

未知，大樣本）練習：1、為了比較已婚婦女對婚后生活得態(tài)度是否因為婚齡而有所區(qū)別，將已婚婦女按照對婚后生活得態(tài)度分為“不滿意”和“滿意”兩組，從“不滿意”組中隨機抽取500名婦女，平均婚齡為9.2年，標準差為2.8年；從“滿意”組隨機抽取600名婦女，均值為8.5年，標準差為2.3年，試問在顯著性水平為0.05情況下，兩組是否存在顯著差異？練習題2：為了比較就近上學和因家遠而乘車上學的小學生學習成績是否有差別。某校從就近上學的小學生中隨機抽查800名，平均學習總成績?yōu)?20分，標準差為40分；從乘車上學的小學生中抽查1000名，其平均總成績?yōu)?05分，標準差為50分。問二者學習成績是否有差別（0.05）？如果有差別那種方式更好些？（二）兩個總體均值之差的t檢驗

(12、22未知，小樣本)1、檢驗具有等方差的兩個總體的均值2、假定條件兩個樣本是獨立的隨機樣本兩個總體都是正態(tài)分布兩個總體方差未知但相等12=223、檢驗統(tǒng)計量其中：兩個總體均值之差的t

檢驗(例子)例：一個車間研究用兩種不同的工藝組裝某種產(chǎn)品所用的時間是否相同。讓一個組的10名工人用第一種工藝組裝該產(chǎn)品，平均所需時間為26.1分鐘，樣本標準差為12分鐘；另一組8名工人用第二種工藝組裝，平均所需時間為17.6分鐘，樣本標準差為10.5分鐘。已知用兩種工藝組裝產(chǎn)品所用時間服從正態(tài)分布，且s12＝s22

。試問能否認為用第二種方法組裝比用第一中方法組裝更好？(=0.05)兩個總體均值之差的t

檢驗H0:

1-2

0H1:

1-2>0=

0.05n1=10n2

=

8臨界值(s):檢驗統(tǒng)計量:決策:結論:

接受H0沒有證據(jù)表明用第二種方法組裝更好t0拒絕域0.051.7459某市衛(wèi)生局對市場上出售的甲乙兩種冰激淋進行了檢驗，甲種抽了11只，查明冰激淋含脂肪平均為127%，樣本標準差為038%；乙種抽了10只，查明冰激淋含脂肪平均為141%，樣本標準差為048%。試以5%的顯著水平檢驗甲種的脂肪含量是否比乙種低？解：NEXT決策：接受原假設。結論：即甲種的脂肪含量不高于乙種。二、二個相關（配對或匹配）樣本的均值檢驗（配對樣本t

檢驗）1、檢驗兩個相關總體的均值配對或匹配重復測量(前/后)2、假定條件兩個總體都服從正態(tài)分布如果不服從正態(tài)分布，可用正態(tài)分布來近似(n1

30,n230)有時為了比較兩種產(chǎn)品，或兩種儀器、兩種方法等的差異，我們常在相同的條件下作對比實驗，得到一批成對的觀察值，然后分析觀察數(shù)據(jù)作出判斷——配對比較法。

在人事測評中，假如我們用同一套測驗工具在不同時間對某位銷售主管施測兩次，結果如何呢？是否兩次的測評分數(shù)會有非常顯著的差異呢？ABCEFGHI第一次16PF測試結果769871093第二次16PF測試結果87109810103LMNOQ1Q2Q3Q4第一次16PF測試結果23756282第二次16PF測試結果24636592

配對樣本的t

檢驗（數(shù)據(jù)形式）觀察序號樣本1樣本2差值1x11x21D1=x11-x212x12x22D2=x12-x22MMMMix1ix2iDI=x1i-x2iMMMMnx1nx2nDn=x1n-x2n假設差值Di來自正態(tài)總體，若兩樣本無差異，則差值應屬于隨機誤差，而隨機誤差可以認為服從正態(tài)分布，均值為0。相關樣本eg：配對樣本（實驗組與控制組）；同一樣本前后時期的變化等；假設兩相關樣本間有n對個案，每對個案可能都有差異d＝（X1－X2），而這些差異的均值為Xd，標準差為Sd，Xd的抽樣分布符合t分布。

配對樣本的t

檢驗（檢驗統(tǒng)計量）樣本均值樣本標準差自由度df＝n

-1統(tǒng)計量例：一個以減肥為主要目標的健美俱樂部聲稱，參加其訓練班至少可以使減肥者平均體重減重8.5公斤以上。為了驗證該宣稱是否可信，調(diào)查人員隨機抽取了10名參加者，得到他們的體重記錄如下表：配對樣本的t

檢驗（例子）在

=0.05的顯著性水平下，調(diào)查結果是否支持該俱樂部的聲稱？訓練前94.5101110103.59788.596.5101104116.5訓練后8589.5101.5968680.58793.593102樣本差值計算表訓練前訓練后差值Di94.5101110103.59788.596.5101104116.58589.5101.5968680.58793.5931029.511.58.57.51189.57.51114.5合計—98.5配對樣本的t

檢驗（計算表）配對樣本的t

檢驗（計算結果）樣本均值樣本標準差H0:

m1

–

m2

8.5H1:

m1

–

m2

<8.5a=0.05df=

10-1=9臨界值(s):檢驗統(tǒng)計量:決策:結論:

接受H0有證據(jù)表明該俱樂部的宣稱是可信的配對樣本的t

檢驗（計算結果）-1.833t0拒絕域.05例：消費者先對公司打分，再讓他們一天兩次觀看公司錄像，一周后再對公司打分。數(shù)據(jù)如下表所示，令α=0.05，檢驗看過一周錄像后對公司的打分和之前相比是否有顯著差異？個人1234567事前32112117303814事后39153513413922d-7-4-144-11-1-81. 假定條件兩個總體是獨立的兩個總體都服從二項分布可以用正態(tài)分布來近似2.檢驗統(tǒng)計量第二節(jié)兩個總體比例之差的Z檢驗揚州大學283.總體成數(shù)差的檢驗步驟1.原假設

H0：pA-pB＝D0

2.備擇假設H1：雙邊H1（pA-pB

）≠D0

單邊H1（

pA-pB

）＞D0或H1（

pA-pB

）＜D0；3.統(tǒng)計量揚州大學29①單邊：Z＞Za[H1:（

pA-pB）＞D0]②單邊：Z＜－Za[H1:（

pA-pB)＜

D0]（續(xù)3）——4.拒絕域a③雙邊a-Zaa/2a/2-Za/2Za/2兩個總體比例之差的檢驗

（假設的形式）假設研究的問題沒有差異有差異比例1≥比例2比例1<比例2總體1≤比例2總體1>比例2H0P1–P2=0P1–P20P1–P20H1P1–P20P1–P2<0P1–P2>0兩個總體比例之差的Z檢驗

【例】對兩個大型企業(yè)青年工人參加技術培訓的情況進行調(diào)查，調(diào)查結果如下：甲廠：調(diào)查60人，18人參加技術培訓。乙廠調(diào)查40人，14人參加技術培訓。能否根據(jù)以上調(diào)查結果認為乙廠工人參加技術培訓的人數(shù)比例高于甲廠？(=0.05)兩個總體比例之差的Z檢驗

（計算結果）H0:

P1-P2

0H1:P1-P2<0=0.05n1=60，n2=40臨界值(s):檢驗統(tǒng)計量:決策:結論:接受H0沒有證據(jù)表明乙廠工人參加技術培訓的人數(shù)比例高于甲廠-1.65Z0拒絕域練習：一保險機構稱，對于新出臺的某險種，沿海地區(qū)的人們與內(nèi)地人們的喜愛程度無顯著性差異。為了了解事實，進行了一次抽樣調(diào)查，在沿海地區(qū)抽查了300人，195人喜歡該險種；內(nèi)地抽查了400人，220人喜歡該險種。在0.05顯著性水平下檢驗人們的態(tài)度是否有差異。

決策:拒絕H0。解：結論：

沿海和內(nèi)地人們的喜好有差異。多個樣本均值的檢驗假設：H0

：u1＝u2＝u3＝……H1

：至少有兩個樣本的均值M是不相等的。方法：方差分析；F檢驗法。第四節(jié)兩個變量相關的檢驗X2檢驗及其相關測量法；Gamma及其他級序相關的驗；

單因方差分析與F檢驗；

非參數(shù)檢驗：U檢驗與H檢驗；第四節(jié)兩個變量相關的檢驗兩個變量在樣本中相關并不能肯定它們在總體中也相關，因為樣本中的相關可能是由抽樣誤差造成的。我們關心的是總體情況，因此用根據(jù)抽樣理論，用樣本資料檢驗兩變量在總體中是否相關。在選用相關的檢驗法時，要注意檢驗法所要求的變量的測量層次；X2檢驗及其相關測量法X2檢驗法（非參數(shù)檢驗法）：要求：（1）隨機樣本；（2）兩定類變量假設：H0:總體中X與Y不相關；H1:總體中X與Y相關；公式：X2

＝sum[(f-e)2/e]自由度為Df=(r-1)(c-1)；f為樣本觀測的實際次數(shù)，e是預期次數(shù)。X2檢驗及其相關測量法預期次數(shù)：總體中兩變量無關時，每格所應有的次數(shù)；算法：相應的兩邊緣次數(shù)的乘積除以樣本量。eg:e11=B1*A1/ne12=B1*A2/ne21=B2*A1/ne22=B2*A2/n例題:某鄉(xiāng)鎮(zhèn)研究職業(yè)代際流動。調(diào)查了共140人，其結果如下表，問：父輩職業(yè)與子輩職業(yè)是否有關？具體相關程度如何？腦力體力農(nóng)業(yè)合計腦力205530體力10301050農(nóng)業(yè)555060合計3540651402、注意：針對2*2的列聯(lián)表，或者是某個預期次數(shù)等于或者小于5時，需要對卡方檢驗做修正；（修正值、fisher精確鑒定法）3、對單元格的要求：預期次數(shù)等于或者小于5的單元格建議不應該超過總格數(shù)的20%。處理方法：將期望值較小的各值合并。例題：是否有顯著性差異？期望值321138724241實際值3011086235544、列聯(lián)表的檢驗是通過頻次而不是通過相對頻次的比較進行的。練習題：1、根據(jù)研究問題：城鄉(xiāng)分割的二元結構是否會影響人們的消費水平，根據(jù)經(jīng)驗和研究的邏輯，研究假設分別為：（1）城市人的消費與農(nóng)村人的消費存在顯著差異；（2）城市人的消費水平高于農(nóng)村人；（3）戶口（代表城鄉(xiāng)二元結構的變量）對個人消費水平有顯著影響。請你回答采用什么統(tǒng)計技術來驗證這些假設。斯皮爾曼等級相關系數(shù)及其檢驗（P320）分兩種情況：（1）n大于等于10，滿足t分布統(tǒng)計量（2）n大于等于30，滿足Z分布統(tǒng)計量Gamma及其他級序相關的檢驗基本邏輯：以Gamma系數(shù)來求出樣本中X與Y的相關，然后以Z檢驗法或t檢驗法來推論在總體中的Gamma是否等于0。方法：對于隨機樣本中兩個定序變量，若n大于100，G值的抽樣分布近似正態(tài)分布，若樣本較小，G值的抽樣分布近似t分布。（P331）

2、在320戶5個孩子的家庭中，男女性別比例描述如下：

問：這一結果與“男孩、女孩的出生概率相同”的假設一致嗎？

5男4男3男2男1男0男合計0女1女2女3女4女5女185611088408320例題：一下是五百名文化程度代際流動的抽樣調(diào)查，試判斷二者是否有顯著關系（顯著性水平=0.05）大學中學小學大學1183715中學1813032小學94398Gamma及其他級序相關的檢驗直接檢驗S因子（S=Ns-Nd）,間接檢驗G系數(shù)：較為精確。方法（了解）：為使S的抽樣分布近似正態(tài)分布，S——S’；S’的標準誤se的求法；檢驗值Z=S’/se；凡是以S=Ns-Nd作為分子的級序相關系數(shù)，都可以通過S的檢定來推論總體情況。Gamma及其他級序相關的檢驗S’的取值：Se的取值：A代表x的邊際分布，B代表y的邊際分布例題：試就一下樣本等級列聯(lián)表進行統(tǒng)計檢驗（顯著性水平=0.001）1234合計1810022020412824合計814121044練習題：書后練習：第三題和第四題回歸系數(shù)和積距相關系數(shù)系數(shù)的檢驗回歸系數(shù)的檢驗知識回顧：三種變差研究假設的設置：H0：（回歸系數(shù)）=0H1：0檢驗統(tǒng)計量：F檢驗書上例題：P354相關系數(shù)的檢驗：研究假設的設定：H0：總體相關系數(shù)為零H1：總體相關系數(shù)不為零方法一：檢驗統(tǒng)計量：方法二：直接通過相關系數(shù)來進行檢驗（1）計算出r值；（2）根據(jù)給定的顯著性水平，和自由度（k=n-2），按照附表查出臨界相關系數(shù)；（3）比較r值，判斷是否接受研究假設。書后練習題：P373第二題方差分析方差分析適用范圍：定類-定距變量方差分析分類：一元方差分析、二元方差分析以及多元方差分析什么是方差分析?（一個例子）表8-1該飲料在五家超市的銷售情況超市無色粉色橘黃色綠色1234526.528.725.129.127.231.228.330.827.929.627.925.128.524.226.530.829.632.431.732.8【例8.1】某飲料生產(chǎn)企業(yè)研制出一種新型飲料。飲料的顏色共有四種，分別為橘黃色、粉色、綠色和無色透明。這四種飲料的營養(yǎng)含量、味道、價格、包裝等可能影響銷售量的因素全部相同?，F(xiàn)從地理位置相似、經(jīng)營規(guī)模相仿的五家超級市場上收集了前一時期該飲料的銷售情況，見表8-1。試分析飲料的顏色是否對銷售量產(chǎn)生影響什么是方差分析?（例子的進一步分析）檢驗飲料的顏色對銷售量是否有影響，也就是檢驗四種顏色飲料的平均銷售量是否相同設1為無色飲料的平均銷售量，2粉色飲料的平均銷售量，3為橘黃色飲料的平均銷售量，4為綠色飲料的平均銷售量，也就是檢驗下面的假設H0:1234

H1:1,2,3,4

不全相等檢驗上述假設所采用的方法就是方差分析方差分析的基本思想和原理

（幾個基本概念）因素或因子所要檢驗的對象稱為因子要分析飲料的顏色對銷售量是否有影響，顏色是要檢驗的因素或因子水平因素的具體表現(xiàn)稱為水平A1、A2、A3、A4四種顏色就是因素的水平觀察值在每個因素水平下得到的樣本值每種顏色飲料的銷售量就是觀察值方差分析的基本思想和原理

（幾個基本概念）試驗這里只涉及一個因素，因此稱為單因素四水平的試驗總體因素的每一個水平可以看作是一個總體比如A1、A2、A3、A4四種顏色可以看作是四個總體樣本數(shù)據(jù)上面的數(shù)據(jù)可以看作是從這四個總體中抽取的樣本數(shù)據(jù)方差分析的基本思想和原理

（兩類誤差）隨機誤差在因素的同一水平(同一個總體)下，樣本的各觀察值之間的差異如同一種顏色的飲料在不同超市上的銷售量是不同的不同超市銷售量的差異可以看成是隨機因素的影響，或者說是由于抽樣的隨機性所造成的，稱為隨機誤差

系統(tǒng)誤差在因素的不同水平(不同總體)下，各觀察值之間的差異如同一家超市，不同顏色飲料的銷售量也是不同的這種差異可能是由于抽樣的隨機性所造成的，也可能是由于顏色本身所造成的，后者所形成的誤差是由系統(tǒng)性因素造成的，稱為系統(tǒng)誤差方差分析的基本思想和原理

（兩類方差）組內(nèi)方差因素的同一水平(同一個總體)下樣本數(shù)據(jù)的方差比如，無色飲料A1在5家超市銷售數(shù)量的方差組內(nèi)方差只包含隨機誤差組間方差因素的不同水平(不同總體)下各樣本之間的方差比如，A1、A2、A3、A4四種顏色飲料銷售量之間的方差組間方差既包括隨機誤差，也包括系統(tǒng)誤差方差分析的基本思想和原理

（方差的比較）如果不同顏色(水平)對銷售量(結果)沒有影響，那么在組間方差中只包含有隨機誤差，而沒有系統(tǒng)誤差。這時，組間方差與組內(nèi)方差就應該很接近，兩個方差的比值就會接近1如果不同的水平對結果有影響，在組間方差中除了包含隨機誤差外，還會包含有系統(tǒng)誤差，這時組間方差就會大于組內(nèi)方差，組間方差與組內(nèi)方差的比值就會大于1當這個比值大到某種程度時，就可以說不同水平之間存在著顯著差異方差分析中的基本假定每個總體都應服從正態(tài)分布對于因素的每一個水平，其觀察值是來自服從正態(tài)分布總體的簡單隨機樣本比如，每種顏色飲料的銷售量必需服從正態(tài)分布各個總體的方差必須相同對于各組觀察數(shù)據(jù)，是從具有相同方差的總體中抽取的如四種顏色飲料的銷售量的方差都相同觀察值是獨立的如每個超市的銷售量都與其他超市的銷售量獨立方差分析中的基本假定在上述假定條件下，判斷顏色對銷售量是否有顯著影響，實際上也就是檢驗具有同方差的四個正態(tài)總體的均值是否相等的問題如果四個總體的均值相等，可以期望四個樣本的均值也會很接近四個樣本的均值越接近，我們推斷四個總體均值相等的證據(jù)也就越充分樣本均值越不同，我們推斷總體均值不同的證據(jù)就越充分方差分析中基本假定如果原假設成立，即H0:m1=m2=m3=m4四種顏色飲料銷售的均值都相等沒有系統(tǒng)誤差

這意味著每個樣本都來自均值為、方差為2的同一正態(tài)總體

Xf(X)1

2

3

4

方差分析中基本假定如果備擇假設成立，即H1:mi(i=1，2，3，4)不全相等至少有一個總體的均值是不同的有系統(tǒng)誤差

這意味著四個樣本分別來自均值不同的四個正態(tài)總體Xf(X)3

1

2

4

單因方差分析與F檢驗單方差分析中的F檢驗：通過對各觀察數(shù)據(jù)誤差來源的分析來判斷多個總體均值是否相等；是參數(shù)檢定法的一種；目的：推算在各組總體中的均值是否相等。要求：1.隨機樣本；2.有一個變量是定距變量；3.各組總體都是正態(tài)分布；4.各組總體具有相等的方差；構造檢驗的統(tǒng)計量為檢驗H0是否成立，需確定檢驗的統(tǒng)計量構造統(tǒng)計量需要計算水平的均值全部觀察值的總均值TSS：總離差平方和RSS：組內(nèi)平方和（剩余平方和）：個各觀測值對本組平均值的離差平方和BSS：組間平方和：觀測值的組平均值對總平均值的離差平方和單因方差分析與F檢驗基本邏輯：將全部方差（以TSS估計，自由度為：n-1）分解為兩個部分:消減方差（以BSS估計，自由度為k-1）和剩余方差（以RSS估計，自由度為n-k），然后從相互比較中推論X與Y在總體中是否相關。F=總體的消減誤差/總體的剩余誤差即F=（BSS/df1）/(RSS/df2)；或F＝組間方差/組內(nèi)方差單因方差分析與F檢驗例題：20名同學的家庭職業(yè)背景對語文水平的影響語文水平（得分）干部工人農(nóng)民7852838259759173829061788580808151836454各組個案數(shù)785各組均值84.2961.7579.60各組方差4.409.642.87單因方差分析與F檢驗問題：總體中三組家庭背景的學生是否有不同的語文成績？步驟：H0:M1=M2=M3;H1:不完全相同；E=0.84,n=20,k=3F=E2(n-k)/(1-E2)(k-1)=19.83在所要求的顯著度下查表得Fa。若F小于Fa

，則拒絕H0

，即總體中三類家庭背景的學生的語文成績存在差別。例題：1、研究地域（X）與教育年限(Y)的關系,隨機抽取96個30歲的青年。結果如下：農(nóng)村N=56,Y=11.72,城郊N=27,Y=12.63,城市N=13,Y=14.63。全部樣本均值為12.34，各分類Y平方和為804.24。試對兩變量的相關作檢驗（顯著度0.05）P386表13-4重點關注書后練習：P420練習題1.在0.05的顯著性水平下，檢驗四種教學方法對學生能力是否有不同的影響。教學方法測試人數(shù)得分和得分平方和1644833,7842754242,2703641929,7194434730,203非參數(shù)檢驗由于定類和定序變量都不具備運算功能，因此無法對于總體分布作出假定或檢驗總體的某種參數(shù)，所以應該采用非參數(shù)檢驗法；非參數(shù)檢驗方法，又稱為分布自由鑒定法，這類方法的使用不需要對總體分布作出任何事先的假定。非參數(shù)檢驗的優(yōu)點：對總體分布無須加以限制，計算量比較少，簡單易行；非參數(shù)檢驗的缺點：檢驗效率較差；非參數(shù)檢驗較參數(shù)檢驗需要更大的樣本量，才能獲得相似的檢驗效力；習題研究者認為工人的平均年齡有升高的趨勢，根據(jù)五年前的統(tǒng)計，總體工人的平均年齡是34歲。根據(jù)抽樣調(diào)查資料（N=374），工人的平均年齡為36.24歲，標準差為10.32歲，要求的顯著度是0.05，你認為工人平均年齡身高了嗎？研究者認為