高一數(shù)學(xué)人教A版必修平面幾何中的向量方法向量在物理中的應(yīng)用舉例同步練習(xí)Word含解析

2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊平面幾何中的向量方法向量在物理中的應(yīng)用舉例同步練習(xí)學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________學(xué)號：___________一．選擇題在四邊形ABCD中，AC=(1,2)，BD=(?4,2)，則該四邊形的面積為(

)A.5 B.25 C.5 D.如圖，BC，DE是半徑為1的圓O的兩條不重合的直徑，BF=2FO，則FD?FE的值是

(

A.?34B.?89

C.已知河水的流速大小為5?m/s，若一艘小船沿垂直于河岸的方向以12?m/s的速度大小駛向?qū)Π叮瑒t小船在靜水中的速度大小為(????)A.13?m/s B.12?m/s C.17?m/s D.15?m/s如圖所示，矩形ABCD中，AB=4，點E為AB中點，若DE⊥AC，則|DEA.52B.23

C.3在△ABC所在平面內(nèi)有一動點P，令PA2+PB2+PC2=T，當(dāng)TA.垂心 B.重心 C.外心 D.內(nèi)心在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，AB=1，AD=DC=2，則AC?A.2 B.?2 C.3 D.6如圖所示，在矩形ABCD中，AB=4，點E為AB的中點，且DE⊥AC，則∣DE|等于

(

A.52B.23

C.3加強體育鍛煉是青少年生活學(xué)習(xí)中非常重要的組成部分．某學(xué)生做引體向上運動，處于如圖所示的平衡狀態(tài)時，若兩只胳膊的夾角為60°，每只胳膊的拉力大小均為400N，則該學(xué)生的體重(單位：kg)約為(

)

(參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為g=10m/A.63 B.69 C.75 D.81平面上有四個互異的點A，B，C，D，已知(DB+DC?2DA)?(AB?A.直角三角形 B.等邊三角形

C.等腰直角三角形 D.等腰三角形在四邊形ABCD中，AB=a+2b，BC=?3a?b，CD=?4a?3bA.平行四邊形 B.矩形 C.菱形 D.梯形如圖，O為△ABC的外心，AB=4，AC=2，∠BAC為鈍角，M是邊BC的中點，則AM?AO的值為(????)A.4

B.5

C.6

D.7(多選題)如圖1，“六芒星”是由兩個全等正三角形組成，中心重合于點O且三組對邊分別平行，點A，B是“六芒星”(如圖2)的兩個頂點，動點P在“六芒星”上(內(nèi)部以及邊界)，若OP=xOA+yOB，則x+y的取值可能是?6 B.1 C.5 D.9二．填空題在四邊形ABCD中，若AC=(1,2)，BD=(?4,2)，則向量AC與BD的夾角為

，四邊形ABCD的面積為

已知四邊形ABCD中，AB=2，AC=4，∠BAC=60°，P為線段AC上任意一點，則PB?PC的取值范圍是______．如圖，半圓的直徑AB=2，O為圓心，C為半圓上不同于A，B的任意一點，若P為半徑OC上的動點，則(PA+PB)?PC的最小值是______如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=3，BE⊥AC，垂足為E，則ED=________．如圖所示，小船被繩索拉向岸邊，小船在水中運動時，設(shè)水的阻力大小不變，那么小船勻速靠岸的過程中，下列說法中正確的是_______.(寫出所有正確答案的序號)

①繩子的拉力不斷增大；②繩子的拉力不斷變??；③船的浮力不斷變?。虎艽母×Ρ３植蛔儯獯痤}如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，|OA|=2|ABBC=(?1,3)(1)求點B，C的坐標(biāo)；(2)求證：四邊形OABC為等腰梯形．

如圖所示，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=3，點D在線段BC上，且BD=12DC.(1)AD的長；(2)∠DAC的大小．

已知正方形ABCD，E，F(xiàn)分別是CD，AD的中點，BE，CF交于點P.求證：(1)BE⊥CF；(2)AP=AB．

平面上有兩個向量e1=(1,0)，e2=(0,1)，今有動點P從P0(?1,2)開始沿著與向量e1+e2相同的方向做勻速直線運動，速度大小為|e1+e2|.另一點Q從Q0(?2,?1)出發(fā)，沿著與向量3e1+2e2相同的方向做勻速直線運動，速度大小為∣3e1答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本題考查向量在幾何中的應(yīng)用，向量的數(shù)量積判斷四邊形的形狀是解題的關(guān)鍵，考查分析問題解決問題的能力，屬于中檔題．

通過向量的數(shù)量積判斷四邊形的形狀，然后求解四邊形的面積即可．【解答】解：因為在四邊形ABCD中，AC=(1,2)，BD=(?4,2)，AC?BD=0，

所以四邊形ABCD的對角線互相垂直，

又|AC|=12+2

2.【答案】B【解析】【分析】本題考查平面幾何中的向量方法，向量在平面幾何中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型．

由FD=FO+OD，F(xiàn)E=【解答】解：FD=FO+OD，所以FD·

3.【答案】A【解析】【分析】本題考查向量在運動學(xué)中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型，為了使航向垂直河岸，船頭必須斜向上游方向，即小船在靜水中的速度

v1

斜向上游方向，河水速度

v2

平行于河岸，

合速度v指向?qū)Π?，靜水速度大小|

v1【解答】解：設(shè)小船在靜水中的速度為

v1

，河水的流速為

v2v1

與

v2

的合速度為∵為了使航向垂直河岸，船頭必須斜向上游方向，即小船在靜水中的速度

v1

斜向上游方向，河水速度

v2

平行于河岸，合速度∴靜水速度|

v1

|=|v|2

4.【答案】B【解析】解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．

則B(4,0)，E(2,0)．

設(shè)D(0,m)，(m>0)，C(4,m)．

∴DE=(2,?m)，AC=(4,m)．

∵DE⊥AC，

∴2×4?m2=0，

解得m2=8．

∴|DE|=22+8=23【解析】解：不妨設(shè)三角形為直角邊邊長為1的等腰三角形，

則A(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，設(shè)P(x,y)，

則T=PA2+PB2+PC2=x2+y2+(x?1)2+y2+x2+(y?1)2=3x2+3y2?2x?2y+2

=3(x?13【解析】解：AC?BD=(AD+DC)(BA+AD)=AD?BA+AD?AD+DC?BA+DC?AD，

因為四邊形【解析】【分析】本題考查向量在平面幾何中的應(yīng)用，根據(jù)條件建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，利用DE⊥AC求出AD的長，即可求出【解答】解：以A為坐標(biāo)原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．

設(shè)|AD|=a(a>0)，

則A(0,0)，C(4,a)，D(0,a)，所以DE=(2,?a)，AC因為DE⊥AC，

所以所以2×4+(?a)·a=0，即a2所以a=22，

所以DE所以|DE

8.【答案】B【解析】【試題解析】【分析】

本題考查了向量在物理中的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．

由題意知F1=F2=400(N)，夾角θ=60°，計算G=?(F1+F2)的模長，得到體重．

【解答】

解：由題意，設(shè)胳膊的拉力為F1，F(xiàn)2，兩只胳膊的夾角為θ，

則F1=F2=400(N)，夾角θ=60°，

所以G+F1+F2

9.【答案】D【解析】【分析】

本題為三角形形狀的判斷，記準(zhǔn)向量的加減法則，并準(zhǔn)確化簡向量式是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．由向量的運算法則可得(DB?DA+DC?DA)·(【解答】解：由(DB+DC?2所以(AB所以AB2則AB=AC，

故△ABC是等腰三角形．

故選

10.【答案】D【解析】【分析】

本題主要考查了平面向量的線性運算及向量法研究平面幾何問題，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)向量運算得到AD=2BC，知AD、BC共線且不等，得解．

【解答】

解：AD=AB+BC+CD=(a+2b)+(?3a?b)+(?4a?3b)=?6a?2【解析】【分析】本題考查向量數(shù)量積的運算，數(shù)形結(jié)合并熟練應(yīng)用數(shù)量積的定義是解決問題的關(guān)鍵，屬于中檔題．

取AB、AC的中點D、E，可知OD⊥AB，OE⊥AC，所求AM→?AO→=AD→解：取AB、AC的中點D、E，可知OD⊥AB，OE⊥AC∵M是邊BC的中點，

∴AM∴AM由數(shù)量積的定義可得AD·而AOcos?∠OAD=AD同理可得AE→故AD→故選：B．

12.【答案】BC【解析】【分析】

本題考查了平面向量的加法運算及其幾何意義問題，解題時應(yīng)根據(jù)題意，畫出圖形，結(jié)合圖形解答問題．

根據(jù)題意，畫出圖形，結(jié)合圖形，得出求x+y的最大值時，只需考慮圖中6個頂點的向量即可，分別求出即得結(jié)論．根據(jù)其對稱性，可知x+y的最小值．

【解答】

解：求x+y的最大值，只需考慮圖中6個頂點的向量即可，討論如下：

當(dāng)OP=OA=OA+0?OB時，x+y=1，

當(dāng)OP=OC=OB+OE=OB+OA+AE=3OB+OA時，x+y=4，

當(dāng)OP=OE=OA+AE=2OB+OA時，x+y=3，

當(dāng)OP=OD=OA+AF+FD=3OB+2OA時，x+y=5，【解析】解：∵AC?BD=?4+4=0，

∴AC⊥BD.所以向量AC,BD的夾角為；

又|AC|=12+22=5，|BD|=42+22=20．

【解析】解：

由AB=2，AC=4，∠BAC=60°可得

BC=23，AB⊥BC，

以B為原點建立坐標(biāo)系如圖，

作PE⊥BC于E，

設(shè)P點橫坐標(biāo)為x，則x∈[0,23]，

EC=23?x，

∴PE=33(23?x)，

∴P(x,33(23?x))，

∴PB?PC

=(?x,33(x?23))?(23?x,33(x?23))

=x(x?23)+13(x?23【解析】【分析】

本題考查數(shù)量積的運算，關(guān)鍵是根據(jù)O是AB的中點，得到PA+PB=2PO，屬于中檔題．

由向量的加法，可得PA+PB=2解：根據(jù)題意，O為圓心，即O是AB的中點，則PA+PB=2PO，

則(PA+PB)?PC=2PO?PC

16.【答案】21【解析】【分析】建立坐標(biāo)系，設(shè)AE→=λAC→，將點E的坐標(biāo)用λ表示，由BE⊥AC得BE→·AC【解答】解：以A為坐標(biāo)原點，AD、AB所在直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(0,3)，C(3,3)，設(shè)AE→=λAC→，則E的坐標(biāo)為∵BE⊥AC，∴BE即9λ+3λ?3=0，解得λ=1∴E34,∴ED故答案為212

17.【答案】?①?③【解析】【分析】本題主要考查平面向量的物理運用，涉及到向量的投影，以及正余弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.由已知設(shè)水的阻力為f，繩的拉力為F，

F與水平方向夾角為θ(0<θ<π2).則

|F|cos解：設(shè)水的阻力為f，繩的拉力為F，

F與水平方向夾角為θ(0<θ<π2).

則|F∵θ增大，

cosθ減小，

∴|∵|F|sinθ

18.【答案】(1)解：連接OB，設(shè)B(x則由已知有xB所以O(shè)C→所以B((2)證明：因為AB→所以3AB即AB→又OA與BC不平行，|OA所以四邊形OABC為等腰梯形．【解析】本題考查平面向量共線的條件及平面向量的幾何運用．(1)利用已知求出B的坐標(biāo)，然后利用OC→=OB→(2)利用向量共線的條件即可求解．

19.【答案】解：(1)設(shè)AB=a，則AD=所以|AD|2=故AD=3(2)設(shè)∠DAC=θ，則θ為AD與AC的夾角．因為

=13b2+23a【解析】本題考查平面向量的三角形法則以及模的定義及平面向量的數(shù)量積的定義及性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

(1)設(shè)出AB=a，AC=b，求得AD=(2)設(shè)∠DAC=θ，則θ為AD與AC的夾角．由夾角公式得到cos?θ=AD?AC|

20.【答案】證明：(1)如圖建立直角坐標(biāo)系xOy，其中A為原點，

不妨設(shè)AB=2，

則A0,0，B2,0，C2,2，E1,2，F(xiàn)0,1．BE=OE?OB=1,2?2,0=?1,2，CF=OF?OC=0,1?2,2=?2,?1，

∵BE?CF=?1×?2+2×?1=0，

∴BE⊥CF．

(2)設(shè)Px,y，則FP=x,y?1，CF=?2,?1【解析】本題考查利用平面向量證明線段垂直與線段相等，解題的關(guān)鍵是建立直角坐標(biāo)系將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題進行計算證明，即利用平面向量的坐標(biāo)運算及數(shù)量積運算證明線段垂直；利用平面向量的坐標(biāo)運算及計算平面向量模相等證明線段相等.屬中檔試題．

(1)解題的關(guān)鍵是將線段垂直轉(zhuǎn)化為平面向量數(shù)量積為0，即BE·CF=