平面向量的運算【新教材】人教A版高中數(shù)學(xué)必修同步講義（Word）

第六章平面向量及其應(yīng)用平面向量的運算第1課時向量的加法、減法運算【課程標(biāo)準(zhǔn)】借助實例和平面向量的幾何表示，掌握平面向量加、減運算法則及運算律，理解其幾何意義掌握向量加法與減法的關(guān)系，并能正確做出兩個向量的差向量【知識要點歸納】向量加法的定義及運算法則定義求兩個向量和的運算，叫做向量的加法法則三角形法則前提已知非零向量a，b作法在平面內(nèi)任取一點A，作＝a，＝b，再作向量結(jié)論向量叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝＋＝圖形法則平行四邊形法則前提已知不共線的兩個向量a，b作法在平面內(nèi)任取一點O，以同一點O為起點的兩個已知向量a，b為鄰邊作?OACB結(jié)論對角線就是a與b的和圖形規(guī)定對于零向量與任一向量a，我們規(guī)定a＋0＝0＋a＝a注意：(1)兩個法則的使用條件不同．三角形法則適用于任意兩個非零向量求和，平行四邊形法則只適用于兩個不共線的向量求和，需要根據(jù)具體題目選擇合適法則。(2)在使用三角形法則時，應(yīng)注意“首尾連接”；在使用平行四邊形法則時應(yīng)注意范圍的限制及和向量與兩向量起點相同．(3)位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型．力的合成可以看作向量加法平行四邊形法則的物理模型．2．向量的有關(guān)性質(zhì)一般地，|a＋b|≤|a|＋|b|，當(dāng)且僅當(dāng)a，b方向相同時等號成立．（2）在中，.（3）向量加法的運算律交換律a＋b＝b＋a結(jié)合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)3．相反向量(1)定義：與a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向差，記作－a，并且規(guī)定，零向量的相反向量仍是零向量．(2)結(jié)論①－(－a)＝a，a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；②如果a與b互為相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0．注意：相反向量與相等向量一樣，從“長度”和“方向”兩方面進(jìn)行定義，相反向量必為平行向量．4．向量的減法(1)向量a加上b的相反向量，叫做a與b的差，即a－b＝a＋(－b)．求兩個向量差的運算叫做向量的減法．(2)作法：在平面內(nèi)任取一點O，作a，b，則向量a－b，如圖所示．(3)幾何意義：a－b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量．注意：(1)減去一個向量相當(dāng)于加上這個向量的相反向量．(2)在用三角形法則作向量減法時，只要記住“連接向量終點，箭頭指向被減向量”即可．(3)對于任意兩個向量a，b，都有||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.【經(jīng)典例題】例題1．如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點，F(xiàn)為線段DE延長線上一點，DE∥BC，AB∥CF，連接CD，那么(在橫線上只填一個向量)：①＝________；②＝________；③＝________.【答案】①②③例題2（1）化簡等于A． B． C．0 D．（2）．A． B． C． D．2．化簡等于A． B． C．0 D．【分析】根據(jù)向量加法的幾何意義進(jìn)行運算即可．【解答】解：．故選：．3．A． B． C． D．【分析】直接利用向量的加法及減法法則寫出結(jié)果即可．【解答】解：由向量加法及減法的運算法則可知：向量．故選：．例題3.(1)如圖所示，①用a，b表示；②用b，c表示.(2)化簡下列各向量的表達(dá)式：①；②；③．【當(dāng)堂檢測】一．選擇題（共9小題）1．如圖，正方形的邊長為1，則A．0 B． C．2 D．4．中，，，，則A． B． C． D．5．下列各式不能化簡為的是A． B． C． D．6．在中，為線段上一點，且，則A． B． C． D．7．在中，為中點，，，則A．1 B． C． D．8．化簡后等于A． B．3 C． D．9．在四邊形中，若，則四邊形的形狀一定是A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．正方形二．填空題（共2小題）10．化簡．11．化簡．三．解答題（共1小題）12．判斷下列命題正確與否：（1）向量是共線向量，則、、、在同一直線上；（2）向量；（3）；（4）如果非零向量的方向相同或相反，那么的方向必與之一的方向相同．

當(dāng)堂檢測答案一．選擇題（共9小題）1．如圖，正方形的邊長為1，則A．0 B． C．2 D．【分析】先化簡可得，再將平方后計算即可得解．【解答】解：，四邊形為正方形，，即，由正方形的性質(zhì)可知，對角線，，．故選：．【點評】本題考查平面向量的加法，模長的計算，同時還涉及了兩向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．4．中，，，，則A． B． C． D．【分析】根據(jù)向量的加減的幾何意義即可求出．【解答】解：中，，，，則，故選：．【點評】本題考查了向量的加減的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．5．下列各式不能化簡為的是A． B． C． D．【分析】直接利用向量的表示，求出結(jié)果即可．【解答】解：因為，，所以．故選：．【點評】本題考查向量的加減運算，基本知識的考查．6．在中，為線段上一點，且，則A． B． C． D．【分析】可畫出圖形，根據(jù)即可得出，從而得出，解出向量即可．【解答】解：如圖，；；；．故選：．【點評】考查向量數(shù)乘、減法的幾何意義，以及向量的數(shù)乘運算．7．在中，為中點，，，則A．1 B． C． D．【分析】可畫出圖形，根據(jù)為的中點，，即可得出，然后根據(jù)平面向量基本定理即可求出，的值，從而得出的值．【解答】解：如圖，為中點，；；又，且不共線；根據(jù)平面向量基本定理得，；．故選：．【點評】考查向量加法、減法和數(shù)乘的幾何意義，向量的數(shù)乘運算，平面向量基本定理．8．化簡后等于A． B．3 C． D．【分析】利用向量的三角形法則與多邊形法則即可得出．【解答】解：，故選：．【點評】本題考查了向量的三角形法則與多邊形法則，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．9．在四邊形中，若，則四邊形的形狀一定是A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．正方形【分析】根據(jù)題意，結(jié)合平面向量的三角形法則，求出，且，得出四邊形是平行四邊形．【解答】解：在四邊形中，，且，；即，且，如圖所示；四邊形是平行四邊形．故選：．【點評】本題考查了平面向量的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)結(jié)合圖形解答問題，是基礎(chǔ)題．二．填空題（共2小題）10．化簡．【分析】由向量的加法法則把等價轉(zhuǎn)化為，由此能求出其結(jié)果．【解答】．故答案為：．【點評】本題考查向量的加法及其幾何意義，解題時要注意減去一個向量等于加上這個向量的相反向量．11．化簡．【分析】把要求的式子展開重新組合，利用向量加法的三角形法則，化簡所給的式子，得出結(jié)果【解答】解：．故答案為：【點評】本題考查向量加法的運算法則，向量加法的幾何意義，向量加法滿足交換律．三．解答題（共1小題）12．判斷下列命題正確與否：（1）向量是共線向量，則、、、在同一直線上；（2）向量；（3）；（4）如果非零向量的方向相同或相反，那么的方向必與之一的方向相同．【分析】本題考查共線向量的性質(zhì)，對于兩個共線的向量，它們的四個起點和終點不一定在同一條直線上，敘述共線向量時常常忽略零向量而使得題目出錯．【解答】解：（1）不正確，因為向量是自由向量，只要兩個向量方向相同或相反，這兩個向量就是共線向量或說是平行向量，（2）不正確，因為兩個向量平行時對于向量若不做限制，那么這兩個向量中可能有零向量，零向量的方