函數(shù)的概念習(xí)題課教案（Word）

《函數(shù)的概念及其表示習(xí)題課》教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)1．復(fù)習(xí)函數(shù)的概念以及構(gòu)成函數(shù)的要素，能求簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域；在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法）表示函數(shù)；能用分段函數(shù)正確表示一些相關(guān)的函數(shù)問(wèn)題，構(gòu)建函數(shù)性質(zhì)的概念及其表示的知識(shí)結(jié)構(gòu)．2．能應(yīng)用函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)與整合的思想進(jìn)行抽象概括、運(yùn)算求解，提升數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：理解函數(shù)的概念，結(jié)合實(shí)際問(wèn)題選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)，掌握分段函數(shù)的表示及其圖象．教學(xué)難點(diǎn)：在具體的問(wèn)題中，如何抓住條件，解決問(wèn)題．課前準(zhǔn)備用軟件制作動(dòng)畫(huà)；PPT課件．教學(xué)過(guò)程一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入問(wèn)題1：請(qǐng)同學(xué)們?yōu)g覽第節(jié)（課本P60～P71）的內(nèi)容，你能梳理一下本小節(jié)的學(xué)習(xí)過(guò)程嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立閱讀思考，老師根據(jù)學(xué)生的回答補(bǔ)充．預(yù)設(shè)的答案：答案如圖1．圖圖1設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生梳理學(xué)習(xí)內(nèi)容，構(gòu)建函數(shù)的概念及其表示的知識(shí)結(jié)構(gòu)．引語(yǔ)：函數(shù)是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的主線，這節(jié)課我們一起來(lái)夯實(shí)與之相關(guān)的基本概念．（板書(shū)：函數(shù)的概念及其表示習(xí)題課）二、新知探究1．函數(shù)的概念及其構(gòu)成要素例1（習(xí)題P72第1題）求下列函數(shù)的定義域：（1）f(x)＝eq\f(3x,x－4)；（2）f(x)＝eq\r(x2)；（3）f(x)＝eq\f(6,x2－3x＋2)；（4）f(x)＝eq\f(\r(4－x),x－1)．師生活動(dòng)：老師先引導(dǎo)學(xué)生回憶求定義域的一般步驟，然后學(xué)生獨(dú)立完成，老師點(diǎn)評(píng)．追問(wèn)：求解函數(shù)定義域的一般步驟是什么？（第一步：根據(jù)解析式有意義轉(zhuǎn)化成不等式；第二步：解不等式或不等式組求得原來(lái)函數(shù)的定義域．）預(yù)設(shè)的答案：（1）要使該函數(shù)有意義，則需x－4≠0．解得：x≠4．所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，4)∪(4，＋∞)．（2）要使該函數(shù)有意義，則需x2≥0．解得：x∈R．所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽．（3）要使該函數(shù)有意義，則需x2－3x＋2≠0．解得：x≠1且x≠2．所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠1且x≠2}．（4）要使該函數(shù)有意義，則需eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－x≥0,x－1≠0))．解得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤4,x≠1))．所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，1)∪(1，4]．設(shè)計(jì)意圖：例1借助求解函數(shù)的定義域，加深學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解，訓(xùn)練學(xué)生運(yùn)用函數(shù)與方程的思想進(jìn)行運(yùn)算求解的能力．例2（習(xí)題P72第2題）下列哪一組中的函數(shù)f(x)與g(x)是同一個(gè)函數(shù)？（1）f(x)＝x－1，g(x)＝eq\f(x2,x)－1；（2）f(x)＝x2，g(x)＝(eq\r(x))4；（3）f(x)＝x2，g(x)＝eq\r(,x6)．追問(wèn)：判斷兩個(gè)函數(shù)是否相等的一般的步驟是什么？（第一步，求兩個(gè)函數(shù)的定義域．第二步，判斷定義域是否相同．若否，則不是相等函數(shù)，結(jié)束判斷；若是，則進(jìn)行第三步．第三步，化簡(jiǎn)兩個(gè)函數(shù)的解析式，若解析式也相同，則為相等函數(shù)；若解析式不相同，則不是相等函數(shù)．）師生活動(dòng)：老師先引導(dǎo)學(xué)生回憶判斷函數(shù)是否相等的一般步驟，然后學(xué)生獨(dú)立完成，老師點(diǎn)評(píng)．預(yù)設(shè)的答案：第（3）組中，二者的定義域均為R，且eq\r(,x6)＝x2，因此解析式也相同，所以f(x)＝x2與g(x)＝eq\r(,x6)是同一個(gè)函數(shù)．第（1）組中，f(x)＝x－1的定義域?yàn)镽，g(x)＝eq\f(x2,x)－1的定義域?yàn)閧x|x≠0}，定義域不同，所以不是同一個(gè)函數(shù)．第（2）組中，f(x)＝x2的定義域?yàn)镽，g(x)＝(eq\r(x))4的定義域?yàn)閧x|x≥0}，定義域不同，所以不是同一個(gè)函數(shù)．設(shè)計(jì)意圖：例2借助判斷函數(shù)是否相等，加深學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解，訓(xùn)練學(xué)生運(yùn)用化歸與轉(zhuǎn)化的思想進(jìn)行運(yùn)算求解的能力．例3（習(xí)題第16題）給定數(shù)集A＝R，B＝(－∞，0]，方程u2＋2v＝0，①（1）任給u∈A，對(duì)應(yīng)關(guān)系f使方程①的解v與u對(duì)應(yīng)，判斷v＝f(u)是否為函數(shù)并說(shuō)明理由；（2）任給v∈B，對(duì)應(yīng)關(guān)系g使方程①的解v與u對(duì)應(yīng)，判斷u＝g(v)是否為函數(shù)并說(shuō)明理由．追問(wèn)1：判斷某個(gè)給定的對(duì)應(yīng)關(guān)系是否函數(shù)的依據(jù)是什么？（函數(shù)的概念，具體內(nèi)容是：對(duì)于數(shù)集A中的任意一個(gè)數(shù)x，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)．）師生活動(dòng)：老師引導(dǎo)學(xué)生尋找判斷的依據(jù)，學(xué)生應(yīng)用函數(shù)的概念獨(dú)立判斷，老師點(diǎn)評(píng)．預(yù)設(shè)答案：（1）根據(jù)u2＋2v＝0，可得v＝－eq\f(u2,2)，任給u∈A，根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系v＝－eq\f(u2,2)，在數(shù)集B中都能找到唯一的元素v＝－eq\f(u2,2)與之對(duì)應(yīng)，所以是函數(shù)．（2）根據(jù)u2＋2v＝0，可得u＝±eq\r(－2v)，任給v∈B且v≠0，根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系u＝±eq\r(－2v)，在數(shù)集A中都能找到兩個(gè)元素u＝±eq\r(－2v)與之對(duì)應(yīng)，所以不是函數(shù)．追問(wèn)2：結(jié)合v＝f(u)和u＝g(v)的圖象驗(yàn)證你的判斷，其中v＝f(u)和u＝g(v)的圖象分別如圖2和圖3．圖圖2圖3圖圖4圖5（根據(jù)圖4，在橫軸上任取一點(diǎn)u＝u0，過(guò)該點(diǎn)作橫軸的垂線，與曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)（u0，v0），即對(duì)于任意的u0∈R，按照對(duì)應(yīng)關(guān)系①有唯一的v0與之對(duì)應(yīng)，所以v＝f(u)是函數(shù)．根據(jù)圖5，在橫軸負(fù)半軸上任取一點(diǎn)v＝v0，過(guò)該點(diǎn)作橫軸的垂線，與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)（v0，u0）、（v0，－u0），即對(duì)于任意的v0∈(－∞，0)，按照對(duì)應(yīng)關(guān)系①有兩個(gè)值與之對(duì)應(yīng)，所以u(píng)＝g(v)不是函數(shù)．）追問(wèn)3：根據(jù)方程u2＋2v＝0，寫(xiě)出一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系h使它成為u關(guān)于v的函數(shù)．（u＝－eq\r(－2v)或u＝eq\r(－2v)．）設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例3對(duì)函數(shù)概念進(jìn)行辨析，幫助學(xué)生深入理解函數(shù)的概念，感受函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系的多樣性．2．求函數(shù)的解析式例4（1）已知f(x)是二次函數(shù)，且滿足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的解析式；（2）已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)；（3）已知函數(shù)f(x)對(duì)于任意的x都有f(x)＋2f(－x)＝3x－2，求f(x)．師生活動(dòng)：第（1）小題大部分學(xué)生能比較順利地完成，其它兩個(gè)小題需要老師合理的引導(dǎo)、講解、示范以及學(xué)生的模仿練習(xí)完成．預(yù)設(shè)答案：（1）由f(x)是二次函數(shù)，設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c（a≠0），由f(0)＝1，得c＝1，則f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2ax＋a＋b＝2x這個(gè)式子對(duì)于任意x∈R均成立，所以2a＝2，a＋b＝0，可得a＝1，b＝－1，解析式為f(x)＝x2－x＋1．（2）方法一：令x＋1＝t，則x=t－1．將x＝t－1代入f(x＋1)＝x2－3x＋2，得f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，則解析式為f(x)＝x2－5x＋6．方法二：x2－3x＋2＝(x＋1)2－2x－1－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋5＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6，即f(x＋1)＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6，則解析式為f(x)＝x2－5x＋6．（3）因?yàn)閷?duì)于任意的x都有f(x)＋2f(－x)＝3x－2……②，所以f(－x)＋2f(－(－x))＝3×(－x)－2，即2f(x)＋f(－x)＝－3x－2……③，2×③－②得：3f(x)＝－9x－2，則解析式為f(x)＝－3x－eq\f(2,3)．教師點(diǎn)撥：第（1）題中的方法叫待定系數(shù)法，適用于當(dāng)函數(shù)類(lèi)型給定，且函數(shù)某些性質(zhì)已知時(shí)求函數(shù)解析式的題型．第（2）題中的方法一叫換元法，適用于已知函數(shù)f(g(x))的表達(dá)式，求f(x)的解析式的題型．具體步驟為：令g(x)＝t，并反解出x，然后x把代入f(g(x))中，求出f(t)，從而求出f(x)；第（2）題中的方法二叫湊配法，適用于已知函數(shù)f(g(x))的解析式，且f(g(x))的表達(dá)式可變形為關(guān)于g(x)的形式，從而將式子兩端的g(x)看成一個(gè)整體代換為函數(shù)的自變量，從而求出f(x)；在這兩種方法中，都要注意函數(shù)的定義域，方法一中函數(shù)的定義域?yàn)樾略猼的取值范圍；方法二中函數(shù)的定義域?yàn)間(x)的值域．第（3）題中的方法叫方程組法，適用于當(dāng)函數(shù)f(x)滿足形如af(x)＋bf(－x)＝g(x)（a≠b且ab≠0）或af(x)＋bf(eq\f(1,x))＝g(x)（a≠b且ab≠0）等關(guān)系時(shí)，我們可以用－x或eq\f(1,x)代替關(guān)系式中的x，將得到的新式子與原關(guān)系式聯(lián)立方程組，經(jīng)消元后將f(x)從方程組中解出來(lái)．設(shè)計(jì)意圖：解析式是高中階段函數(shù)的主要表示方法，同時(shí)也是我們研究函數(shù)的主要依據(jù)．但函數(shù)解析式較為抽象，求解析式對(duì)于高一學(xué)生是一個(gè)難點(diǎn)，例4涉及了四種常見(jiàn)的求函數(shù)解析式的方法，幫助學(xué)生初步理解抽象問(wèn)題的處理方法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．3．分段函數(shù)例5（習(xí)題第13題）函數(shù)f(x)＝[x]的函數(shù)值，表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如，[－]＝－4，[]＝2．當(dāng)x∈(－，3]時(shí)，寫(xiě)出函數(shù)f(x)的解析式，并畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖象．預(yù)設(shè)答案：f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3，－＜x＜－2，,－2，－2≤x＜－1，,－1，－1≤x＜0，,0，0≤x＜1，,1，1≤x＜2，,2，2≤x＜3，,3，x＝3．,))函數(shù)f(x)的圖象如圖6．圖6圖6追問(wèn)1：設(shè)函數(shù)g(x)＝x－[x]，x∈(－，3]，寫(xiě)出函數(shù)g(x)的解析式，并畫(huà)出函數(shù)g(x)的圖象．（g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3，－＜x＜－2，,x＋2，－2≤x＜－1，,x＋1，－1≤x＜0，,x，0≤x＜1，,x－1，1≤x＜2，,x－2，2≤x＜3，,0，x＝3．,))函數(shù)g(x)的圖象如圖7．）圖7圖7追問(wèn)2：求函數(shù)f(x)與g(x)的值域．（函數(shù)f(x)的值域?yàn)閧－3，－2，－1，0，1，2，3}，函數(shù)g(x)的值域?yàn)閇0，1)．）追問(wèn)3：求方程g(x)＝的解集.（當(dāng)－＜x＜－2時(shí)，令g(x)＝，則x＋3＝，解得x＝－，－?(－，－2)，此時(shí)方程無(wú)解；當(dāng)－2＜x＜－1時(shí)，令g(x)＝，則x＋2＝，解得x＝－，－∈[－2，－1)，此時(shí)方程的解為x＝－；同理可以求得其他區(qū)間內(nèi)的解．綜上，方程g(x)＝的解集為{－，－，，，}．）設(shè)計(jì)意圖：例4加深學(xué)生對(duì)分段函數(shù)的了解，訓(xùn)練學(xué)生運(yùn)用分類(lèi)與整合、數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行運(yùn)算求解的能力，提升學(xué)生的直觀想象和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．三、歸納小結(jié)，布置作業(yè)問(wèn)題2：回憶本節(jié)課的內(nèi)容，請(qǐng)你回答以下幾個(gè)問(wèn)題：（1）你能談?wù)剬?duì)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系的認(rèn)識(shí)嗎？（2）你能談?wù)労瘮?shù)圖象在解決問(wèn)題中的作用嗎？師生活動(dòng)：師生一起總結(jié)．預(yù)設(shè)的答案：（1）對(duì)應(yīng)關(guān)系f是函數(shù)的核心要素，只要滿足：對(duì)于數(shù)集A中的任意一個(gè)數(shù)x，按照對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么f：A→B就為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)；它的表現(xiàn)形式多種多樣：文字語(yǔ)言、解析式、表格、圖象、方程等，可以根據(jù)需要靈活選擇．（2）函數(shù)圖象很直觀，在解題過(guò)程中常用來(lái)幫助理解問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，依托函數(shù)圖象可以更直觀地尋求問(wèn)題的解決思路和要點(diǎn)．設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生提煉本節(jié)課的主要內(nèi)容和方法．作業(yè)布置：教科書(shū)復(fù)習(xí)參考題3第1，2，7，8，13題．四、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)1．下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的一組是（）A．y＝|x|，u＝eq\r(v2)B．y＝eq\r(x2)，s＝(eq\r(t))2C．y＝eq\f(x2－1,x－1)，m＝n＋1D．y＝eq\r(x＋1)·eq\r(x－1)，y＝eq\r(x2－1)設(shè)計(jì)意圖：考查對(duì)函數(shù)概念的理解．2．函數(shù)y＝eq\r(x＋1)＋eq\f(1,2－x)定義域是___________．設(shè)計(jì)意圖：考查函數(shù)定義域的求解．3．f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≤0，,－2x，x＞0，,))若f(x)＝10，則x＝___________．設(shè)計(jì)意圖：考查對(duì)分段函數(shù)的了解，以及運(yùn)用函數(shù)與方程的思想進(jìn)行運(yùn)算求解的能力．4．某位同學(xué)要在暑假的八月上旬完成一定量的英語(yǔ)單詞的記憶，計(jì)劃是：第一天記憶300個(gè)單詞；第一天后的每一天，在復(fù)習(xí)前面記憶的單詞的基礎(chǔ)上增加50個(gè)新單詞的記憶量．（1）該同學(xué)記憶的單詞總量y是關(guān)于記憶天數(shù)x的函數(shù)嗎？如果是，你能用哪些方法表示這個(gè)函數(shù)；如果不是，請(qǐng)你說(shuō)明理由．設(shè)計(jì)意圖：考查對(duì)函數(shù)概念的理解，以及運(yùn)用函數(shù)與方程的思想進(jìn)行抽象概括的能力．參考答案：1．A．2．[－1，2)∪(2，＋∞)．3．－3．4．解：用x表示記憶天數(shù)，用y表示記憶的單詞總量，那么y＝50x＋250，x∈A，其中A＝{1，2，3，4，5，6，7，