第4章軸向拉壓桿的應(yīng)力及變形

第4章軸向拉壓桿的應(yīng)力及變形4.1材料力學(xué)的基本假設(shè)及基本概念4.2拉壓桿橫截面上的軸力及軸力圖4.3應(yīng)力.拉壓桿內(nèi)的應(yīng)力4.4軸向拉（壓）桿的變形.胡克定律4.5拉壓超靜定問(wèn)題4.1材料力學(xué)的基本假設(shè)及基本概念4.1材料力學(xué)的基本假設(shè)及基本概念

在外力作用下，一切固體都將發(fā)生變形，故稱(chēng)為變形固體（deformablebody），而構(gòu)件一般均由固體材料制成，故構(gòu)件一般都是變形固體。

靜力學(xué)中，力為滑移矢量，力偶矩矢為自由矢。材料力學(xué)中，力與力偶矩矢均不能自由平移。變形不等效力的平移定理力的可傳性一、研究對(duì)象4.1材料力學(xué)的基本假設(shè)及基本概念構(gòu)件的分類(lèi)：桿件（bar）:直桿、曲桿、等截面桿、變截面桿板殼塊體板（plate）:平板、殼塊體（body）4.1材料力學(xué)的基本假設(shè)及基本概念二、材料力學(xué)的任務(wù)強(qiáng)度(Strength)：即抵抗破壞的能力剛度(Stiffness)：即抵抗變形的能力穩(wěn)定性(Stability)：即保持原有平衡狀態(tài)的能力

構(gòu)件的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性不僅與構(gòu)件的形狀有關(guān)，而且與所用材料的力學(xué)性能有關(guān)，因此在進(jìn)行理論分析的基礎(chǔ)上，實(shí)驗(yàn)研究是完成材料力學(xué)的任務(wù)所必需的途徑和手段。構(gòu)件（element）的承載能力4.1材料力學(xué)的基本假設(shè)及基本概念重慶彩虹橋坍塌“豆腐渣”工程綦江彩虹橋僅僅通車(chē)兩年零222天后，于1999年1月4日整體坍塌，造成死亡40人，輕重傷14人。4.1材料力學(xué)的基本假設(shè)及基本概念美國(guó)紐約馬爾克大橋坍塌4.1材料力學(xué)的基本假設(shè)及基本概念強(qiáng)度不足破壞4.1材料力學(xué)的基本假設(shè)及基本概念剛度不足破壞4.1材料力學(xué)的基本假設(shè)及基本概念穩(wěn)定性不足破壞4.1材料力學(xué)的基本假設(shè)及基本概念

在滿足強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性的要求下，以最經(jīng)濟(jì)的代價(jià)，為構(gòu)件確定合理的形狀和尺寸、選擇適宜的材料，而提供必要的理論基礎(chǔ)和計(jì)算方法。材料力學(xué)的任務(wù):4.1材料力學(xué)的基本假設(shè)及基本概念三、基本假設(shè)2各向同性假設(shè)

(isotropyassumption)認(rèn)為在物體內(nèi)各個(gè)不同方向的力學(xué)性能相同3小變形假設(shè)ABCFδ1δ2δ遠(yuǎn)小于構(gòu)件的最小尺寸，所以通過(guò)節(jié)點(diǎn)平衡求各桿內(nèi)力時(shí)，把支架的變形略去不計(jì)。計(jì)算得到很大的簡(jiǎn)化。B’1均勻連續(xù)性假設(shè)（continuityassumption）認(rèn)為材料無(wú)空隙地分布于物體所占的整個(gè)空間中認(rèn)為物體內(nèi)的任何部分，其力學(xué)性能相同4.1材料力學(xué)的基本假設(shè)及基本概念四、外力與內(nèi)力外力：按外力作用的方式體積力:如物體的自重和慣性力。表面力連續(xù)作用于物體表面的力。如油缸內(nèi)壁的油壓力，水壩受到的水壓力。若外力作用面積遠(yuǎn)小于物體表面的尺寸，可作為作用于一點(diǎn)的集中力。如火車(chē)輪對(duì)鋼軌的壓力,滾動(dòng)軸承對(duì)軸的反作用力等。分布力：集中力：連續(xù)分布于物體內(nèi)部各點(diǎn)的力。4.1材料力學(xué)的基本假設(shè)及基本概念按時(shí)間靜載：動(dòng)載：緩慢加載（a≈0）快速加載（a≠0），或沖擊加載——指由外力作用所引起構(gòu)件內(nèi)部的附加相互作用力。是物體內(nèi)相鄰部分之間分布內(nèi)力系的合力。內(nèi)力4.1材料力學(xué)的基本假設(shè)及基本概念拉壓變形(1)拉伸或壓縮五、桿件的基本變形變形特點(diǎn):

桿的變形主要是軸向伸縮伴隨橫向縮擴(kuò)。外力特點(diǎn):

外力的合力作用線與桿的軸線重合。4.1材料力學(xué)的基本假設(shè)及基本概念剪切變形(2)剪切外力特點(diǎn)：

作用在構(gòu)件兩側(cè)面上的外力合力大小相等、方向相反且作用線很近。變形特點(diǎn)：

位于兩力之間的截面發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)。4.1材料力學(xué)的基本假設(shè)及基本概念扭轉(zhuǎn)變形(3)扭轉(zhuǎn)變形特點(diǎn)：

各橫截面繞軸線發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng).外力特點(diǎn)：

在垂直于桿件軸線的兩個(gè)平面內(nèi)，作用一對(duì)大小相等、轉(zhuǎn)向相反的力偶。4.1材料力學(xué)的基本假設(shè)及基本概念彎曲變形(4)彎曲外力特點(diǎn)：桿受垂直于軸線的外力或外力偶矩矢的作用。變形特點(diǎn)：軸線由變形前的直線變成了曲線。求內(nèi)力的方法－－截面法1、切2、拋3、代4、平F1FnF3F2F1FRF3M內(nèi)力主矢與內(nèi)力主矩主矢主矩橫截面及內(nèi)力分量xyzNTQyQzMyMz橫截面上的內(nèi)力分量軸向分量力：軸力N力矩：扭矩T橫向分量力：剪力Qy、Qz力矩：彎矩My、MzFSMFFaa4.2拉壓桿橫截面上的軸力及軸力圖4.2拉壓桿橫截面上的軸力及軸力圖APPAPPPAN截開(kāi)：代替：平衡：1軸力(axialforce)

——軸向拉壓桿的內(nèi)力，用N表示。2軸力的正負(fù)規(guī)定:

引起軸向拉伸變形的軸力為正(拉力)引起軸向壓縮變形的軸力為負(fù)(壓力)3

軸力圖：軸力沿桿件軸線變化的圖形。拉為正，壓為負(fù)。4.2拉壓桿橫截面上的軸力及軸力圖已知F1=10kN；F2=20kN；F3=35kN；F4=25kN;試畫(huà)出圖示桿件的軸力圖。11[例題4-1]N1F1解：1、計(jì)算各段的軸力。F1F3F2F4ABCDAB段BC段2233N3F4N2F1F2CD段2、繪制軸力圖。–++4.2拉壓桿橫截面上的軸力及軸力圖1反映出軸力與截面位置變化關(guān)系，較直觀；2確定出最大軸力的數(shù)值及其所在橫截面的位置，即確定危險(xiǎn)截面位置，為強(qiáng)度計(jì)算提供依據(jù)。軸力圖意義:3特點(diǎn)：突變值=集中載荷大小

–++（方向？同學(xué)自己思考）4.2拉壓桿橫截面上的軸力及軸力圖

設(shè)軸力為正時(shí)，任一橫截面上的軸力等于橫截面一側(cè)所有外力在桿軸線上投影的代數(shù)和，背離截面的外力為正，指向截面的外力為負(fù)。

軸力(圖)的簡(jiǎn)便求法F1F3F2F4ABCDN2F1F222由內(nèi)力方程得：

[例4-2]桿受力如圖所示。試畫(huà)出桿的軸力圖。BD段：解：DE段：AB段：注：內(nèi)力的大小與桿截面的大小無(wú)關(guān)，與材料無(wú)關(guān)。軸力圖要求：1.正負(fù)號(hào)2.數(shù)值3.陰影線與軸線垂直30KN20KN30KN402010–++1122334.2拉壓桿橫截面上的軸力及軸力圖圖示磚柱，高h(yuǎn)=3.5m，橫截面面積A=370×370mm2，磚砌體的容重γ=18KN/m3。柱頂受有軸向壓力F=50KN，試做此磚柱的軸力圖。y350FnnFFNy5058.6kN4.3應(yīng)力·拉壓桿內(nèi)的應(yīng)力4.3應(yīng)力·拉壓桿內(nèi)的應(yīng)力一、應(yīng)力的概念一點(diǎn)的應(yīng)力：當(dāng)面積趨于零時(shí)，平均應(yīng)力的大小和方向都將趨于一定極限，得到應(yīng)力總量P可以分解成:

垂直于截面的分量σ－－正應(yīng)力平行于截面的分量τ－－切應(yīng)力平均應(yīng)力:某范圍內(nèi)單位面積上內(nèi)力的平均集度由外力引起的內(nèi)力集度稱(chēng)為應(yīng)力。4.3應(yīng)力·拉壓桿內(nèi)的應(yīng)力應(yīng)力的國(guó)際單位為Pa1N/m2=1Pa（帕斯卡）

1MPa=106Pa1GPa=109Pa應(yīng)力的特點(diǎn)（2）應(yīng)力是矢量。（3）截面上各點(diǎn)應(yīng)力在截面合成結(jié)果為該截面的內(nèi)力。（1）應(yīng)力定義在受力構(gòu)件某一截面的某一點(diǎn)處。4.3應(yīng)力·拉壓桿內(nèi)的應(yīng)力二、軸向拉壓桿橫截面上的應(yīng)力變形前1實(shí)驗(yàn)觀察變形：2

平面假設(shè)(planeassumption)：變形前原為平面的橫截面，變形后仍保持為平面，且垂直于軸線。abcd受載后PPd′a′c′b′4.3應(yīng)力·拉壓桿內(nèi)的應(yīng)力驗(yàn)證平面假設(shè)的正確性4.3應(yīng)力·拉壓桿內(nèi)的應(yīng)力3橫截面上應(yīng)力分布受拉力P均勻性假設(shè)連續(xù)性假設(shè)4.3應(yīng)力·拉壓桿內(nèi)的應(yīng)力計(jì)算機(jī)模擬橫截面上正應(yīng)力的分布4.3應(yīng)力·拉壓桿內(nèi)的應(yīng)力xFN4、橫截面上應(yīng)力公式正應(yīng)力符號(hào)規(guī)定:單位:FN

牛頓(N)A平方米(m2)

帕斯卡(pa)1MPa=106Pa1GPa=109Pa當(dāng)N為拉力時(shí)，為拉應(yīng)力，規(guī)定為正，當(dāng)N為壓力時(shí)，為壓應(yīng)力，規(guī)定為負(fù)．

4.3應(yīng)力·拉壓桿內(nèi)的應(yīng)力5、公式的應(yīng)用條件圣文南原理：離開(kāi)載荷作用處一定范圍，應(yīng)力分布與大小不受外載荷作用方式的影響。一、截面到載荷作用點(diǎn)有一定的距離。二、直桿的截面無(wú)突變。4.3應(yīng)力·拉壓桿內(nèi)的應(yīng)力[例題4-3]圖示結(jié)構(gòu)，試求桿件AB、CB的應(yīng)力。已知F=20kN；斜桿AB為直徑20mm的圓截面桿，水平桿CB為15×15的方截面桿。FABC解：1、計(jì)算各桿件的軸力。（設(shè)斜桿為1桿，水平桿為2桿）取節(jié)點(diǎn)B為研究對(duì)象：45°12FBF45°2、計(jì)算各桿件的應(yīng)力。FABC45°12BF45°4.3應(yīng)力·拉壓桿內(nèi)的應(yīng)力4.3應(yīng)力·拉壓桿內(nèi)的應(yīng)力三、斜截面上應(yīng)力4.3應(yīng)力·拉壓桿內(nèi)的應(yīng)力正應(yīng)力σ：拉為正，壓為負(fù)。剪應(yīng)力τ：繞脫離體順時(shí)針轉(zhuǎn)向時(shí)為正。α的符號(hào)：由x軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)到外法線n時(shí)為正。符號(hào)規(guī)定：4.4軸向拉壓桿的變形·胡克定律4.4軸向拉壓桿的變形·胡克定律縱向伸長(zhǎng)量:縱向線應(yīng)變:

虎克定律:

EA值愈大，變形愈小，因此，EA值反映了桿件抵抗拉伸(或壓縮)變形的能力，稱(chēng)之為桿件的抗拉剛度(tensilerigidity)。4.4軸向拉壓桿的變形·胡克定律桿件橫向絕對(duì)變形為

由試驗(yàn)可知，二橫向線應(yīng)變相等，μ為材料的橫向變形系數(shù)或泊松比

應(yīng)力不超過(guò)比例極限時(shí)：4.4軸向拉壓桿的變形·胡克定律[例4-4]

一階梯軸鋼桿如圖，AB段A1＝200mm2，BC和CD段截面積相同A2＝A3＝500mm2；l1=l2=l3=100mm。荷載P1＝20kN，P2＝40kN，彈性模量E＝200GPa。試求：(1)各段的軸向變形；(2)全桿AD的總變形；(3)A和B截面的位移。解：(1)求各段軸力，作軸力圖(2)求各段變形BC段AB段CD段+-20kN20kN4.4軸向拉壓桿的變形·胡克定律(3)求全桿總變形（縮短）(4)求A和B截面的位移4.4軸向拉壓桿的變形·胡克定律4.4軸向拉壓桿的變形·胡克定律[例4-5]

一薄壁圓環(huán)，平均直徑為D，截面面積為A，彈性模量為E，在內(nèi)側(cè)承受均布載荷q作用，求圓環(huán)周長(zhǎng)的增量。解：4.4軸向拉壓桿的變形·胡克定律2變形圖嚴(yán)格畫(huà)法，圖中弧線；1求各桿的變形量△Li;3近似畫(huà)法，切線代圓弧切線代圓弧法4.4軸向拉壓桿的變形·胡克定律[例4-6]

寫(xiě)出圖中B點(diǎn)位移與兩桿變形間的關(guān)系。解：設(shè)AB桿為拉桿，BC桿為壓桿，則B點(diǎn)位移至B′點(diǎn)：4.4軸向拉壓桿的變形·胡克定律[例4-7]

如圖所示一簡(jiǎn)易托架，BC桿為圓截面鋼桿，其直徑d=18.5mm，BD桿為8號(hào)槽鋼。若兩桿的[σ]=160MPa，E=200GPa，設(shè)P=60kN。試求B點(diǎn)的位移。解：(1)計(jì)算桿的內(nèi)力

(2)計(jì)算B點(diǎn)的位移

4.4軸向拉壓桿的變形·胡克定律由“切線代圓弧”法，B點(diǎn)的垂直位移為

B點(diǎn)的水平位移B點(diǎn)的總位移

B2B1B5B4B3B4.5拉壓超靜定問(wèn)題2超靜定問(wèn)題：?jiǎn)螒{靜力平衡方程不能確定出全部未知力（外力、內(nèi)力、應(yīng)力）的問(wèn)題。4.5.1基本方程1靜定問(wèn)題：?jiǎn)螒{靜力平衡方程能確定出全部未知力（外力、內(nèi)力、應(yīng)力）的問(wèn)題。4.5拉壓超靜定問(wèn)題4.5拉壓超靜定問(wèn)題

3超靜定次數(shù)n：n=未知內(nèi)力數(shù)－有效的平衡方程數(shù)4超靜定問(wèn)題的解題方法步驟：

(1)平衡方程

(2)幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程

(3)物理方程——虎克定律

(4)補(bǔ)充方程：由幾何方程和物理方程得

(5)解由平衡方程和補(bǔ)充方程組成的方程組4.5拉壓超靜定問(wèn)題4.5.2超靜定問(wèn)題的基本分析方法的應(yīng)用[例4-7]

設(shè)1、2、3三桿用鉸鏈連接如圖，已知：各桿長(zhǎng)為：L1=L2=L、L3；各桿面積為A1=A2=A、A3

；各桿彈性模量為：E