第一章數(shù)據(jù)處理插值法數(shù)學

2023/2/11化工應用數(shù)學青海大學化工學院化工系能源化工教研室李慧芳電話：2023/2/12教材《化工數(shù)學》（第三版）.周愛月主編.

化學工業(yè)出版社.2011.2023/2/13引言一、學習本課程的主要目的《化工應用數(shù)學》是在《高等數(shù)學》和《》化工原理等課程的基礎上開設的一門應用數(shù)學課程，主要討論化工中常用的數(shù)學方法。是高等工科院?；ゎ惐究茖I(yè)的一門主要基礎理論課，在化工領域中有廣泛的應用。通過本課程的學習，使學生掌握與化工有關的理論和常用的數(shù)學方法，逐步培養(yǎng)學生解決實際問題的能力，并為其他相關的課程奠定必要的應用數(shù)學基礎。2023/2/14二、本課程主要學習內(nèi)容第一章數(shù)據(jù)處理

第二章代數(shù)方程（組）的數(shù)值解法

主要了解插值、數(shù)值積分、數(shù)值微分以及如何由實驗數(shù)據(jù)建立數(shù)學模型利用代數(shù)方程組的數(shù)值解法解決化工中的一些問題（多組分體系的物料衡算、計算各種化合物的物理化學性質等）2023/2/15二、本課程主要學習內(nèi)容第三章常微分方程數(shù)值解第四章拉普拉斯變換第五章偏微分方程及特殊函數(shù)

利用這類方法解決化工中關于擴散、反應、傳質、傳熱和流體流動等問題。

掌握利用拉普拉斯變換求解常微分方程，線性差分方程，了解拉普拉斯變換及拉普拉斯逆變換性質

掌握利用分離變量法求解偏微分方程，非齊次方程邊界條件的處理2023/2/16三、本課程考核辦法平時成績40%考勤(20%)+作業(yè)(80%)期末考試60%

2023/2/17第一章數(shù)據(jù)處理1.1插值法1.2數(shù)值微分1.3數(shù)值積分1.4最小二乘曲線擬合*拉格朗日插值法、牛頓插值法*代數(shù)精度、復化求積公式*線性最小二乘法2023/2/18第一章數(shù)據(jù)處理1.1插值法1.1.1概述

化工物性數(shù)據(jù)或數(shù)學手冊附錄中各種函數(shù)表，如三角函數(shù)、對數(shù)表、特殊函數(shù)表等，將自變量與函數(shù)關系通過表格形式給出。2023/2/19第一章數(shù)據(jù)處理1.1插值法1.1.1概述

代數(shù)插值可以這樣描述：給定函數(shù)在區(qū)間有n+1個互異點，節(jié)點的函數(shù)值，建立一個次數(shù)不超過n的代數(shù)多項式。使?jié)M足2023/2/1101.1插值法1.1.1概述幾何意義：在給定函數(shù)節(jié)點值的n+1個已知點上，建立一條函數(shù)多項式曲線，使它嚴格通過這些已知函數(shù)點，以此多項式曲線來近似原函數(shù)曲線。2023/2/1111.1插值法1.1.1概述插值函數(shù)的唯一性？節(jié)點上節(jié)點以外假設有兩個這樣的插值函數(shù)均滿足插值條件，

,那么對于即將有n+1個零點，由此可斷定2023/2/112用近似代替，除了在插值節(jié)點沒有誤差外，在其它點上一般是存在有誤差的，記截斷誤差

插值多項式的截斷誤差1.1插值法1.1.1概述n次多項式余項插值余項2023/2/1131.1插值法1.1.2拉格朗日插值（1）線性插值求線性插值多項式使?jié)M足條件假定已知區(qū)間端點值2023/2/114（1）線性插值

幾何意義：用通過兩點的直線來近似表示。表達式可由兩點公式給出特點：基函數(shù)2023/2/1151.1插值法1.1.2拉格朗日插值（2）二次插值幾何意義：用通過三點的拋物線來近似表示函數(shù)。2023/2/116?基本多項式為二次多項式；?其插值基函數(shù)可根據(jù)因式分解定理求出。（2）二次插值和線性插值一樣，可以采用插值基函數(shù)的方法構造需滿足以下兩個條件：2023/2/117（2）二次插值基函數(shù)例

已知用線性插值和二次插值計算解：由題意得用線性插值計算時，由線性插值可得用二次插值計算2023/2/1191.1插值法1.1.2拉格朗日插值（3）n次插值2023/2/120（3）n次插值n次插值多項式可表示為拉朗格朗日多項式2023/2/121已知丙烷在如下溫度、壓力下的導熱系數(shù)數(shù)據(jù)。例：（3）n次插值2023/2/122（3）n次插值2023/2/123（3）n次插值作業(yè)習題P62(3)2023/2/1251.1插值法1.1.3差商與牛頓插值公式拉格朗日插值的優(yōu)點：對稱性、便于記憶、編程；

缺點：基函數(shù)的計算依賴于全部插值節(jié)點?？朔@一缺點的有效方法：構造牛頓插值多項式。2023/2/1261.1插值法1.1.3差商與牛頓插值公式（1）差商2023/2/127（1）差商又引入符號二階差商是一階差商的差商。二階差商k階差商1.1插值法1.1.3差商與牛頓插值公式2023/2/1281.1插值法1.1.3差商與牛頓插值公式（2）差商的性質2023/2/1291.1插值法1.1.3差商與牛頓插值公式（2）差商的性質導數(shù)2023/2/1301.1插值法1.1.3差商與牛頓插值公式（3）牛頓插值公式及其余項引入差商的概念后，就可以用差商表示牛頓多項式的系數(shù)。2023/2/1311.1插值法1.1.3差商與牛頓插值公式（3）牛頓插值公式及其余項以此類推2023/2/132牛頓插值公式中的各階差商通常用列差商表的形式，計算方便。（3）牛頓插值公式及其余項2023/2/1331.1插值法1.1.3差商與牛頓插值公式（3）牛頓插值公式及其余項

牛頓插值公式和拉格朗日插值公式盡管形式不一樣，但從實質上理解二者是等價的，因此兩者余項也應是等價的。注意：1、為提高計算精度，應使盡量小。

2、若有較多節(jié)點可供選擇時，應選擇靠近插值節(jié)點的數(shù)據(jù)進行計算。2023/2/134（3）牛頓插值公式及其余項例：已知如下函數(shù)表，用牛頓插值法計算f(0.596)解：首先做差商表2023/2/135（3）牛頓插值公式及其余項因此，選擇節(jié)點誤差1.1插值法1.1.3差商與牛頓插值公式2023/2/136（3）牛頓插值公式及其余項例

已知丙烷飽和蒸氣壓與溫度變化的數(shù)據(jù)，試求-20℃和20℃丙烷的蒸氣壓。解：首先做差商表2023/2/137

按取未知插值點鄰近節(jié)點數(shù)據(jù)的原則，牛頓插值公式計算至三階差商需四個節(jié)點數(shù)據(jù)，計算-20℃取前面四個節(jié)點合適。（3）牛頓插值公式及其余項計算20℃下的飽和蒸氣壓應從表末開始，即得2023/2/1381.1插值法1.1.4差分與等距節(jié)點插值公式實際應用時經(jīng)常遇到等距節(jié)點的情形，這時插值公式可進一步簡化，計算也簡單很多。為了得到等距節(jié)點的插值公式，先介紹差分的概念。（1）差分及其性質一階向前差分一階向后差分一階中心差分2023/2/139利用一階差分可定義二階差分為（1）差分及其性質一般地可定義階差分為1.1插值法1.1.4差分與等距節(jié)點插值公式2023/2/140（2）差分與差商的關系1.1插值法1.1.4差分與等距節(jié)點插值公式因此，同理，差商與相向后差分關系為2023/2/1411.1插值法1.1.4差分與等距節(jié)點插值公式（3）等距節(jié)點插值公式引入牛頓前插公式2023/2/1421.1插值法1.1.4差分與等距節(jié)點插值公式（3）等距節(jié)點插值公式同理，引入（p為負值），可得當引入，可得牛頓前插公式牛頓后插公式2023/2/143（3）等距節(jié)點插值公式例利用下列數(shù)據(jù)，求液氮在下的蒸氣壓。解：由所給數(shù)據(jù)做差分表2023/2/144（3）等距節(jié)點插值公式前插后插前插外推后插外推可得到相同的結果。2023/2/1451.1插值法1.1.5分段插值法（1）分段線性插值求一個分段函數(shù)P(x),使其滿足:（1）P(xi)=yi(i=0,1,...,n)（2）

在每個子區(qū)間[xi，xi+1]

上是線性函數(shù).稱滿足上述條件的函數(shù)P(x)為分段線性插值函數(shù).2023/2/146（2）分段拋物線插值(2)在每個子區(qū)間[xi-1,xi+1]上，L(x)是次數(shù)不超過2的多項式.稱滿足上述條件的函數(shù)L(x)為分段拋物線插值函數(shù).（1）L(xi)=yi(i=0,1,...,n);對求一個分段函數(shù)L(x),使其滿足:即將區(qū)間[a,b]分為小區(qū)間[xi-1,xi+1](i=1,2,…,n)作業(yè)習題P62(7)2023/2/1481.1插值法1.1.6三次樣條插值函數(shù)

（1）定義

給定區(qū)間[a,b]的一個劃分a=x0<x1<…<xn=b，yi=f(xi)(i=0,1,…,n),如果函數(shù)S(x)滿足：（1）S(xi)=yi(i=0,1,…,n);（2）

在每個小區(qū)間[xi,xi+1](i=0,1,...,n-1)上是次數(shù)不超過3的多項式;(3)在每個內(nèi)節(jié)點xi(i=1,2,...,n-1)上具有二階連續(xù)導數(shù),則稱S(x)為關于上述劃分的一個三次樣條插值函數(shù)。2023/2/149

①

③在任一區(qū)間上是次數(shù)不高于3次的多項式。

②連續(xù)性

（1）定義S(x)滿足下列條件：1.1插值法1.1.6三次樣條插值函數(shù)

2023/2/1501.1插值法1.1.6三次樣條插值函數(shù)

（2）求解函數(shù)表達式A待定系數(shù)法由三次樣條函數(shù)的定義可得：另外2個方程由邊界條件給出。2023/2/151（2）求解函數(shù)表達式A待定系數(shù)法例

解：由已知條件知，由兩個區(qū)間就有兩個待定方程。首先利用插值條件2023/2/152（2）求解函數(shù)表達式A待定系數(shù)法即可求出然后連續(xù)條件邊界條件2023/2/153（2）求解函數(shù)表達式B三彎矩法思路：

是一個次數(shù)不超過三次的多項式，則為一個線性函數(shù)，對進行積分，即可求出。積分可得：合并可得：2023/2/154（2）求解函數(shù)表達式B三彎矩法2023/2/155（2）求解函數(shù)表達式B三彎矩法三對角矩陣2023/2/156（2）求解函數(shù)表達式B三彎矩法例：解：2023/2