線性代數(shù)試題及答案

線性代數(shù)習(xí)題和答案好東西第一部分選擇題（共28分）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共28分）在每小題列出的四個選項(xiàng)中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填在題后的括號內(nèi)。錯選或未選均無分.TOC\o"1-5"\h\z設(shè)行列式=m，=n，則行列式等于（）A。m+nB.-（m+n）C.r-mD.m—n設(shè)矩陣A=，則A-1等于（）A。B.C.D。設(shè)矩陣A=，A*是A的伴隨矩陣，則A中位于（1,2的元素是（）6B.6C。2D。2設(shè)A是方陣，如有矩陣關(guān)系式AB=AC，則必有（）A=0B.BC時A=0C。A0時B=CD。|A|0時B=C已知3x4矩陣A的行向量組線性無關(guān)，則秩（At）等于（）A.1B。2C。3D。46。設(shè)兩個向量組％,以2，...，as和。1，02，…，0s均線性相關(guān)，則（）有不全為0的數(shù)入，入，…，入使入a+入a+...+入a=0和入0+入6+..?入0=0▲?.'>r，'、c，，12s1122ss1122ss有不全為0的數(shù)入］，入2,...，入s使入］（a］+6］）+入2（a2+62）+...+入，（以‘+6）=0sillsss有不全為0的數(shù)入1,入，，...，入使入1（a—0）+入，（a,一6）+...+入（a-0）12s111222sss=0D。有不全為0的數(shù)入1，入2,…，入s和不全為0的數(shù)Pi,%，..?川、使入ia「入2a2+???+入ssa=0和p0+p0+...+p6=07。 7。 設(shè)矩陣A的秩為r，則A中（A。所有r-1階子式都不為0C.至少有一個r階子式不等于08。 設(shè)Ax=b是一非齊次線性方程組,nA.n1+n2是Ax=0的一個解C.n1—n2是Ax=0的一個解9。 設(shè)n階方陣A不可逆，則必有（A。秩（A）〈nC.A=0所有r—1階子式全為0D。所有r階子式都不為0n2是其任意2個解，則下列結(jié)論錯誤的是（）n1+n2是Ax=b的一個解D.2n1—n2是Ax=b的一個解）秩（A）=n—1D。方程組Ax=0只有零解設(shè)A是一個n（>3）階方陣，下列陳述中正確的是（）如存在數(shù)入和向量a使Aa=入a，則a是A的屬于特征值入的特征向量如存在數(shù)入和非零向量a，使（入E—A）a=0,則入是A的特征值A(chǔ)的2個不同的特征值可以有同一個特征向量如入『入2，入3是A的3個互不相同的特征值，a1，a2，a3依次是A的屬于入『入2,入3的特征向量，則a1，a2，a3有可能線性相關(guān)設(shè)入0是矩陣A的特征方程的3重根,A的屬于入0的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)為k，則必有（）A。k<3B.k<3TOC\o"1-5"\h\zk=3D。k〉312。設(shè)A是正交矩陣，則下列結(jié)論錯誤的是（）AO|A|2必為1B°|A|必為1CoA-i=AtD.A的行（列）向量組是正交單位向量組13。設(shè)A是實(shí)對稱矩陣，C是實(shí)可逆矩陣，B=CtAC.則（）AoA與B相似B。A與B不等價C。A與B有相同的特征值D。A與B合同14。下列矩陣中是正定矩陣的為（）B。A。B。C.D.C.D.第二部分非選擇題共72分）、填空題本大題共10小題，每小題2分，共20分）不寫解答過程，將正確的答案寫在每小題的空格內(nèi).錯填或不填均無分.15。設(shè)A=，B=。則A+2B=.17.設(shè)入=3）％3,Al=2Aj17.設(shè)入=3）％3,Al=2Aj表示AI中元素a..的代數(shù)余子式（i,j=12,3），則（％A21+a12A22+a13A232+(a21A_|_nA-I—nA|n_|_[nA -I—nA-I—nA ]n—21+a22A22+a23A23) (a31A21+a32A22+a33A23)2=18.設(shè)向量（2，-3，5）與向量（一4，6，a）線性相關(guān)，則a=.19。設(shè)A是3x4矩陣，其秩為3,若n19。設(shè)A是3x4矩陣，其秩為3,若n

它的通解為.n2為非齊次線性方程組Ax=b的2個不同的解，則20。設(shè)A是mxn矩陣，A的秩為r（〈n），則齊次線性方程組Ax=0的一個基礎(chǔ)解系中含有解的20。設(shè)A是mxn矩陣，A的秩為r（〈n），則齊次線性方程組Ax=0的一個基礎(chǔ)解系中含有解的個數(shù)為。21。設(shè)向量a、0的長度依次為2和3,則向量a+0與a-。的內(nèi)積（a+。，a—。）=22。設(shè)3階矩陣A的行列式IA|=8，已知A有2個特征值-1和4,則另一特征值為。設(shè)矩陣A=，已知a=是它的一個特征向量，則a所對應(yīng)的特征值為.設(shè)實(shí)二次型f（x，x2,乂3,%,。的秩為4,正慣性指數(shù)為3,則其規(guī)范形為。三、計(jì)算題（本大題共7小題，每小題6分，共42分）25。設(shè)A=,B=。求（1）ABt;（2）|4A|。26。試計(jì)算行列式.27。設(shè)矩陣A=,求矩陣B使其滿足矩陣方程AB=A+2B.28。給定向量組a1=,a2=,a3=,a4=.試判斷a4是否為a1，a2，a3的線性組合；若是，則求出組合系數(shù)。設(shè)矩陣A=.求：（1）秩（A）;（2）A的列向量組的一個最大線性無關(guān)組。設(shè)矩陣A=的全部特征值為1,1和一8。求正交矩陣T和對角矩陣D,使T-1AT=D.31。試用配方法化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形f（x，x2，x3）=,并寫出所用的滿秩線性變換。四、證明題（本大題共2小題，每小題5分，共10分）32。設(shè)方陣A滿足A3=0,試證明E-A可逆，且E—A）-1=E+A+A2。33。設(shè)n0是非齊次線性方程組Ax=b的一個特解，孔，匕是其導(dǎo)出組Ax=0的一個基礎(chǔ)解系.試證明（1）n1=n0+孔，n2=n0+亳2均是Ax=b的解；（2）n,n,n線性無關(guān)。答案：。12一、單項(xiàng)選擇題（本大題共14小題,每小題2分，共28分）1.D2.B3。B4。D5。C6.D7.C8。A9。A10。B11.A12.B13.D14。C二、填空題(本大題共10空，每空2分，共20分)TOC\o"1-5"\h\z616.4101Qn+p(nn)ri+p(ri—ri))f為親kA.11『JI’’2i|]/琢j112cn/11^/，c/y|_L盡rp艾知n—r52124.三、計(jì)算題(本大題共7小題，每小題6分，共42分)解(1)ABt=。(2)|4A|=林l=64|A|,而AI=.所以|從|=64(-2)=-128解解AB=A+2B即（A—2E）B=A，而（A-2E）—1=所以B=（A—2E）-1A=解一所以a4=2a1+a2+a3，組合系數(shù)為（2,1,1）。Ct—YCt+YCt+YCtatt—二勺/心a4X]51~x2a2~x3^3，即方程組有唯一解（2,1,1）T，組合系數(shù)為（2，1，1）。解對矩陣A施行初等行變換A=B.（1）秩（B）=3所以秩（入）=秩（B）=3.（2）由于A與B的列向量組有相同的線性關(guān)系，而B是階梯形，B的第1、2、4列是B的列向量組的一個最大線性無關(guān)組，故A的第1、2、4列是A的列向量組的一個最大線性無關(guān)組。（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）解A的屬于特征值入=1的2個線性無關(guān)的特征向量為孔=（2，—1，0）T，e2=（2,01）T.經(jīng)正交標(biāo)準(zhǔn)化，得n1=，n2=。入=-8的一個特征向量為匕3=，經(jīng)單位化得n3=所求正交矩陣為T=.對角矩陣D=(也可取T=.)71F(VVV=fV+7V7V9v7+4Yv—7Y70^。^^J-樹)*2，xy\Xi^zx^ZX3J2￡入22丁^*2*3/x^z=(X1+2X2-2X3)2-2(X2-X3)2—5x32.設(shè)，即，因其系數(shù)矩陣C=可逆，故此線性變換滿秩。經(jīng)此變換即得f(X1,X2，X3)的標(biāo)準(zhǔn)形y]2-2y22-5y32。四、證明題本大題共2小題，每小題5分，共10分)證由于(E-A)(E+A+A2)=E—A3=E，所以E—A可逆，且(E-A)—1=E+A+A2.33。證由假設(shè)An0=b,A孔=0,A?2=0.A^i=A(n0+^i)=An0+AW1=