多元線性回歸分析法

KUNMINGUNIVERSITYOFSCIENCEANDTECHNOLOGY院一系:院一系:專業(yè):年級(jí):學(xué)生姓名:學(xué)號(hào):任課教師:軟測(cè)量技術(shù)與應(yīng)用信息工程與自動(dòng)化學(xué)院模式識(shí)別與智能系統(tǒng)2011級(jí)* *****馮老師2012年6月26日多元線性回歸分析法預(yù)測(cè)商品零售價(jià)格一、 引言在市場(chǎng)的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，經(jīng)常會(huì)遇到某一市場(chǎng)現(xiàn)象的發(fā)展和變化取決于幾個(gè)影響因素的情況，也就是一個(gè)因變量和幾個(gè)自變量有依存關(guān)系的情況。而且有時(shí)幾個(gè)影響因素主次難以區(qū)分，或者有的因素雖屬次要，但也不能略去其作用。例如，某一商品的零售價(jià)格既與人口的增長(zhǎng)變化有關(guān)，也與商品的銷售量有關(guān)。這時(shí)采用一元回歸分析預(yù)測(cè)法進(jìn)行預(yù)測(cè)是難以奏效的，需要采用多元回歸分析預(yù)測(cè)法。二、 多元線性回歸分析法介紹多元回歸分析預(yù)測(cè)法，是指通過對(duì)兩上或兩個(gè)以上的自變量與一個(gè)因變量的相關(guān)分析，建立預(yù)測(cè)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)的方法。當(dāng)自變量與因變量之間存在線性關(guān)系時(shí)，稱為多元線性回歸分析。1.1多元線性回歸的計(jì)算模型設(shè)y為因變量，X,x，…x為自變量，并且自變量與因變量之間為線性關(guān)系時(shí)，則多TOC\o"1-5"\h\z1 2k元線性回歸模型為：y=b+bx+bxH bx+e0 11 22 kk其中，b為常數(shù)項(xiàng)，b,b，…b為回歸系數(shù)，b為x,x，…x固定時(shí)，x每增加一個(gè)0 1 2k 1 2 3k 1單位對(duì)y的效應(yīng)，即x對(duì)y的偏回歸系數(shù)；同理如為x,x，…x固定時(shí)，x每增加一個(gè)單1 2 2 3k 2位對(duì)y的效應(yīng)，即x2對(duì)y的偏回歸系數(shù)，等等。如果兩個(gè)自變量氣x2同一個(gè)因變量y呈線相關(guān)時(shí)，可用二元線性回歸模型描述為：y=b+bx+bx+—bx+e0 11 22 kk建立多元性回歸模型時(shí)，為了保證回歸模型具有優(yōu)良的解釋能力和預(yù)測(cè)效果，應(yīng)首先注意自變量的選擇，其準(zhǔn)則是：自變量對(duì)因變量必須有顯著的影響，并呈密切的線性相關(guān)；自變量與因變量之間的線性相關(guān)必須是真實(shí)的，而不是形式上的；自變量之彰應(yīng)具有一定的互斥性，即自變量之彰的相關(guān)程度不應(yīng)高于自變量與因變量之因的相關(guān)程度；自變量應(yīng)具有完整的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，其預(yù)測(cè)值容易確定。1.2多元線性回歸模型的檢驗(yàn)多元性回歸模型與一元線性回歸模型一樣，在得到參數(shù)的最小二乘法的估計(jì)值之后，也需要進(jìn)行必要的檢驗(yàn)與評(píng)價(jià)，以決定模型是否可以應(yīng)用。（1）擬合程度的測(cè)定。與一元線性回歸中可決系數(shù)R2相對(duì)應(yīng)，多元線性回歸中也有多重可決系數(shù)R2，它是在因變量的總變化中，由回歸方程解釋的變動(dòng)（回歸平方和）所占的比重，R2越大，回歸方各對(duì)樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)擬合的程度越強(qiáng)，所有自變量與因變量的關(guān)系越密切。計(jì)算公式為：N_2 ,人、2￡（y-y）￡（y-y）R2= =1 2 2￡（y-y） ￡（y-y）其中v(y-y)2=￡y2-(b￡y+b￡"+b￡”+b￡”)￡'J, 0 1122kk其中￡(y-y)2=￡y2-1(￡y)2n（2）回歸方程的顯著性檢驗(yàn)回歸方程的顯著性檢驗(yàn)，即檢驗(yàn)整個(gè)回歸方程的顯著性，或者說評(píng)價(jià)所有自變量與因變量的線性關(guān)系是否密切。通常采用F檢驗(yàn)，F(xiàn)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算公式為/人_、2￡（y-y）..???kR」k「=￡（y-y）2n-k-1=n-k-1根據(jù)給定的顯著水平a,自由度（k,n-k-1）查F分布表，得到相應(yīng)的臨界值％，若F＞七，則回歸方程具有顯著意義，回歸效果顯著；F＜七，則回歸方程無顯著意義，回歸效果不顯著。三、模型的假設(shè)與說明2.1模型的假設(shè)（1） 在理想情況下，價(jià)格指數(shù)問題只與給出的因素一一利率、消費(fèi)水平有關(guān)，我們只選取了一小部分而與其他部分無關(guān)。（2） 社會(huì)的發(fā)展平衡穩(wěn)定，排除突發(fā)事件導(dǎo)致數(shù)據(jù)的突變。（3） 假設(shè)因素之間的聯(lián)系較小，不存在一個(gè)因素的變化導(dǎo)致其他因素的劇烈變化。（4） 所給數(shù)據(jù)真實(shí)據(jù)可靠，反應(yīng)實(shí)際情況。表1各因素統(tǒng)計(jì)表（數(shù)據(jù)來源：2008中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒）年份199019911992199319941995199619971998年利率9.367.567.5610.0810.0810.088.325.674.59消費(fèi)水平229.2249.0282.0305.8320.0345.1377.6394.6417.8商品零售價(jià)格指數(shù)207.7213.7225.2254.9310.2356.1377.8380.8370.9年份199920002001200220032004200520062007年利率2.252.252.251.981.982.252.252.523.46消費(fèi)水平452.3491.0518.8552.5588.5632.3682.3747.8824.1商品零售價(jià)格指數(shù)359.8354.4351.6347.0346.7356.4359.3362.9376.7年利率——根據(jù)我國(guó)各大銀行，人民銀行、建設(shè)銀行的隨即的記錄結(jié)果進(jìn)行的數(shù)據(jù)處理得至U，一年中利率的調(diào)整粗略的取其均值。商品零售價(jià)格指數(shù)一一價(jià)格指數(shù)編制由國(guó)家統(tǒng)計(jì)局城市社會(huì)經(jīng)濟(jì)調(diào)查司組織實(shí)施。資料采用抽樣調(diào)查和重點(diǎn)調(diào)查相結(jié)合的方法取得，即在全國(guó)選擇不同經(jīng)濟(jì)區(qū)域和分布合理的地區(qū)，以及有代表性的商品作為樣本，對(duì)其市場(chǎng)價(jià)格進(jìn)行定期調(diào)查，以樣本推斷總體。商品零售價(jià)格指數(shù)的計(jì)算權(quán)數(shù)主要根據(jù)社會(huì)商品零售額資料確定。居民消費(fèi)水平一一其調(diào)查按類別分，計(jì)算權(quán)數(shù)根據(jù)近12萬戶城鄉(xiāng)居民家庭消費(fèi)支出構(gòu)成確定。四、模型的建立與求解Matlab上的散點(diǎn)圖程序如下：>>x1=[9.36,7.56,7.56,10.08,10.08,10.08,8.32,5.67,4.59,2.25,2.25,2.25,1.98,1.98,2.25,2.25,2.52,;>>x2=[229.2,249.0,282.0,305.8,320.0,345.1,377.6,394.6,417.8,452.3,491.0,518.8,552.5,588.5,632.3,682.3,747.8,824.1];>>y=[207.7,213.7,225.2,254.9,310.2,356.1,377.8,380.8,370.9,359.8,354.4,351.6,347.0,346.7,;>>subplot(2,1,1);plot(x1,y,'*');subplot(2,1,2);plot(x2,y,'+')

運(yùn)行結(jié)果如圖1所示：4003503002501 23456789 10 114003503002501 23456789 10 11400350300250200I L. 七—+L L七4七七七L七+L4rr+-- 4-—4r?七七 「 rr 「rr200 300 400 500 600 700 800 900圖1散點(diǎn)圖由圖可知：y與七有較明顯的線性關(guān)系，麗與氣則難以確定，做幾種嘗試，用統(tǒng)計(jì)分析決定優(yōu)劣。設(shè)多元線性回歸模型為y=。+Px+Px0 11 22X]為1990-2007年的利率，X為1990-2007年的消費(fèi)水平，y為商品零售價(jià)格指數(shù)。模型求解的MATLAB程序如下：>>x1=[9.36,7.56,7.56,10.08,10.08,10.08,8.32,5.67,4.59,2.25,2.25,2.25,1.98,1.98,2.25,2.25,2.52,;>>x2=[229.2,249.0,282.0,305.8,320.0,345.1,377.6,394.6,417.8,452.3,491.0,518.8,552.5,588.5,632.3,682.3,747.8,824.1];>>y=[207.7,213.7,225.2,254.9,310.2,356.1,377.8,380.8,370.9,359.8,354.4,351.6,347.0,346.7,;>>x=[ones(18,1)x1'x2'];>>[b,bint,r,rint,stats]=regress(y',x)b=251.2424-2.27540.1908bint=91.9188 410.5661-14.12359.5727-0.0320 0.4136r=-65.9753-67.8489-62.6452-31.752120.838561.949573.443967.170550.386527.379614.59576.4915-5.1527-12.3214-10.3640-17.0038-25.2867-23.9057rint=-153.091921.1412-155.209619.5119-153.330528.0401-123.714160.2099-71.7544113.4315-23.4503147.3494-15.1859162.0737-25.5579159.8989-44.8588145.6319-64.4279119.1870-80.7849109.9763-90.5133103.4964-102.432792.1274-110.031585.3887-108.266887.5388-112.803378.7956-115.303264.7298-98.838951.0276stats=0.44355.97710.0123參數(shù)回歸結(jié)果為P0=251.2424,。廣-2.2754,P2=0.1908，對(duì)應(yīng)的置信區(qū)間分別為［91.9188,410.5661］、［-14.1235,9.5727］和［-0.0320,0.4136］。其中：b為回歸系數(shù)估計(jì)值;bint為置信區(qū)間;stats包括判定系數(shù)R2，顯著性檢驗(yàn)F，概率p；r為殘差；rint為置信區(qū)間。其中判定系數(shù)R2是衡量擬合優(yōu)度的一個(gè)重要指標(biāo)，它的取值介于0與1之間，R2越接近于1，擬合度越好，反之越差。五、結(jié)果分析與預(yù)測(cè)接上面的程序繼續(xù)在Matlab中輸入指令：>>rcoplot(r,rint)>>set(gca,'Color','w');可得到殘差圖如圖2所示：

ResidualCaseOrderPlot150ooooo0550S.BUQIC&HResidualCaseOrderPlot150ooooo0550S.BUQIC&H-150「--Irrrrrrrr~TOC\o"1-5"\h\z2 4 6 8 10 12 14 16 18CaseNumber圖2殘差圖從殘差圖可以看出，數(shù)據(jù)的殘差基本上離零點(diǎn)均較近，且殘差的置信區(qū)間均包含零點(diǎn)，這說明回歸模型y=251.2424-2.2754x+0.1908x能較好的符合原始數(shù)據(jù)。1 2對(duì)于若干組具體的數(shù)據(jù)（x,y.），都可算出回歸系數(shù)s。，從而得到回歸方程。至于y與尤之間是否真的有如回歸模型所描述的關(guān)系，或者說用所得到的回歸模型去擬合實(shí)際數(shù)據(jù)是否有足夠好的近似，并不知道。所以必須對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn)。用上述擬合結(jié)果，得到 F=5.9771，現(xiàn)在取/=n-2=16；取顯著性水平d為0.05，查表可得相應(yīng)的F分布臨界值為F（1,16）=4.4940，顯然有F>F（1,16），F(xiàn)檢驗(yàn)通過，所以可以用前面的回歸方程來0.05 0.05描述年利率及消費(fèi)水平與商品零售價(jià)格指數(shù)的關(guān)系，置信度為95%。根據(jù)以下程序及圖得到商品零售價(jià)格指數(shù)：>>x1=[9.36,7.56,7.56,10.08,10.08,10.08,8.32,5.67,4.59,2.25,2.25,2.25,1.98,1.98,2.25,2.25,2.52,;>>x2=[229.2,249.0,282.0,305.8,320.0,