高等數(shù)學二重積分總結

高等數(shù)學二重積分總結

個是物理的“原型”—平面薄片的質量如何求。從這兩個“原型”出發(fā)，對所抽象出來的二重積分的定義就易于理解了。

/

高等數(shù)學二重積分總結是將區(qū)域

成

個小區(qū)域

,

,L

,

的分法要任意，二是在每個 n小區(qū)域

上的點(

,

)

i i i i如果所對應的積分和當各小區(qū)域的直徑中的最大值

時總有同一個極限，才能稱二元函數(shù)

,在區(qū)域

上的二重積分存在。．明確二重積分的幾何意義。

若在

上

,≥，則

(

,

表示以區(qū)域

為底，以

,為曲頂?shù)那斨w的體積。

,＝

時，

(

,表示平面區(qū)域

的面積。

若在

上

,≤，則上述曲頂柱體在

面的下方，二重積分

(

,

的值是負的，其絕對值為該曲頂柱體的體積若

,在

的某些子區(qū)域上為正的，在

的另一些子區(qū)域上為負的，則

(

,

表示在這些子區(qū)域上曲頂柱體體積的代數(shù)和即在平面之上的曲頂柱體體積減去平面之下的曲頂柱體的體積).．二重積分的性質，即線性、區(qū)域可加性、有序性、估值不等二重積分的大小，估值不等式常用于估計一個二重積分的取值范圍，在用估值不等式對一個二重積分估值的時候，一般情形須按求函數(shù)

,在閉區(qū)域

上的最大值、最小值的方法求出其最大值與最小值，再應用估值不等式得到取值范圍。

/

高等數(shù)學二重積分總結1.二重積分的定義 設二元函數(shù)

在閉區(qū)域

上有定義且有界.，分割 用任意兩組曲線分割

成

個小區(qū)域

,

,L

,

同， n時用

表示它們的面積，i

,.

其中任意兩小塊

和

(i

j)i i j除邊界外無公共點。

既表示第

i

小塊,又表示第

i

in近似、求和

對任意點(

,

)

,作和式

,

.ni i i i i ii取極限 若

為

的直徑，記

,

,L

,

},若極限i i n

,

i

i

i

i

,

,

,

).

i

iii i此極限為

在

上的二重積分

記為n稱為被積函數(shù)，為積分區(qū)域，、為積分變元，d

為面積微元(或面積元素).2.二重積分

(

,

的幾何意義(1)

若在

上

≥，則

(

,

表示以區(qū)域

為底，以

為曲頂?shù)那斨w的體積.(2)

若在

上

≤，則上述曲頂柱體在

面的下方，二重

/

性質3

性質3 若可以分為兩個區(qū)域

,

積分

(

,

的值是負的，其絕對值為該曲頂柱體的體積(3)若

在

的另一些子區(qū)域上

(

,

表示在這些子區(qū)域上曲頂柱體體積的代數(shù)和(即在

平面之上的曲頂柱體體積減去

平面之下的曲頂柱體的體積).3．二重積分的存在定理3.1

若

在有界閉區(qū)域

在

上的二重積分必存在(即

在

上必可積).3.2

若有界函數(shù)

在有界閉區(qū)域

上除去有限個點或有限個光滑曲線外都連續(xù)，則在

可積.4．二重積分的性質二重積分有與定積分類似的性質.假設下面各性質中所涉及的函數(shù)

,，在區(qū)域

上都是可積的.性質

1 分等于各函數(shù)積分的代數(shù)和，即[

(

,)g

(

,

(

,

g

(

,

. 性質

2 被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到積分號前面，即

(

,

(

, (為常數(shù)). 則

,

,

,

.

/

高等數(shù)學二重積分總結性質

4 若在積分區(qū)域

上有

,，且用

表示區(qū)域

的面積，則

d

(

).性質

5 若在

上處處有

,)≤g,，則有

(

,

g

(

,

. 推論

(

,

(

,)

d

. 性質

6(估值定理) 若在

上處處有

m≤,)≤M，且

為區(qū)域

的面積，則mS

()

(

,

(

).性質

7(二重積分中值定理) 設

,在有界閉區(qū)域

上連續(xù)，則在

上存在一點

,,使

(

,

(

,)

(

).

根據(jù)二重積分的幾何意義或性質求解下列各題：1．

d

，其中

{(

,

)

}2．設

是由

軸，

軸與直線

所圍成的區(qū)域，則I

(

)d

,

I

(

)

d

的大小關系 是 .．若

,在有界閉區(qū)域

上連續(xù)，且在

的任一子區(qū)域

D上有

(

,

，試證明在

內恒有

,＝*．估計I

(

的值，其中

{(

,

/

的值為多少？或

的形式來表示，則我們可以將D3．設

D：x y a上的連續(xù)函數(shù)，則

和的極限，即分割求和、取極限，故可用微元法的思想來理解二重積分的概念與性質。

本章的重點是二重積分的計算問題，而直角坐標系中二重積分的計算問題關鍵是如何確定積分區(qū)域及確定

X

型區(qū)域還是

Y

型區(qū)域，這也是本章的難點。D

的形狀不能簡單地用類似 y

x a x b c y d分成若干塊，并由積分性質

1

2對右端各式進行計算。D

分次序下的積分容易計算，從而完成積分的求解。但是無論是先對

高等數(shù)學二重積分總結積分，再對

積分，還是先對

積分，再對

積分最終計算的結果應的積分次序將二重積分化成二次積分。具體步驟如下：①確定

的邊界曲線，畫出

的草圖；②求出

邊界曲線的交點坐標；③將

的邊界曲線表示為

或

的單值函數(shù)；④考慮是否要將

分成幾塊；⑤用

,

的不等式表示

.注：在積分次序選擇時，應考慮以下幾個方面的內容：ⅰ保證 各層積分的原函數(shù)能夠求出；ⅱ若為型型),先對積分； 若

既為

型又為

型，且滿足ⅰ時，要使對

的分塊最少。

利用對稱性等公式簡化計算設

,在區(qū)域

上連續(xù)，則①當區(qū)域

關于

軸對稱若

,

,，則

(

,

＝；若

,

,，則

(

,

＝

,

，其中

為

在

軸上方部分。②當區(qū)域

關于

軸對稱若

,

,，則

(

,

＝；若

,

,，則

(

,

＝

,

，其中

為

在

軸右側部分。③當區(qū)域

關于

軸和

軸都對稱

/

高等數(shù)學二重積分總結若

,

,或

,

,，則

(

,

＝；若

,

,

,，則

(

,

＝

,

，其中

為

在第一象限部分。④輪換對稱式設

關于直線

對稱，則

(

,

＝

(,

.

一．判斷題．

:

:

若

為連續(xù)函數(shù)，則

(

,)

(

,)

(

,)

當被積函數(shù)

,

且在

上連續(xù)時,

若

為

型區(qū)域

:

若

為

型區(qū)域

:

b

o

((

b

則

(

,d

bd

(

,

若

為

–型區(qū)域:

若

為

–型區(qū)域:

,

d

d

則

(

,則

(

,d

d

d

(

,

o

說明:若積分區(qū)域既是

–型區(qū)域又是

–型區(qū)域

,

則有

(

,d

bd

(

,

dd

(

,

1.(1992)計算I

12

e

e

/

設

設

e，計算

.

),

等形式時，計算二重積分時，往往采用極坐標系來計算。一般地，如果積分區(qū)域是圓域、扇形域或圓環(huán)形域，且被積函數(shù)為

(

), 若二重積分的積分區(qū)域是

則

＝

。．設:

,

將二重積分I

,化為極坐標形式的二次積分，則I

.．設:

b

b.將二重積分I

,化為極坐標形式的二次積分，則I

.利用極坐標系計算二重積分在極坐標系下,

用同心圓

r=常數(shù)及射線

=常數(shù),

分劃區(qū)域

為

(

L

,)。則

,

r

,r

rdrd

特別地

r()若:

(若:

,

o

r()則有

(r

,r

)rdrd

d

(r

,r

)rdr

/

o

r

()若:若:

r

(

)

則有

(r

,r

)rdrd

d

(r

,r

)rdr

若若:

r

(

)

則有

(r

,r

)rdrd

d

(r

,r

)rdr

o

r

．計算二重積分：

d

,其中:

．設:

計算二重積分：

.

用主要是平面薄片的質量。(1)

空間立體的體積V設空間立體由曲面

:

(

,

)與

:

g

(

,

)所圍成，在 面投影為平面區(qū)域

D，并且

,

g

,.則

[

(

,)g

(

,

或