高中數(shù)學(xué)空間幾何體

． 空間幾何體的三視圖和直觀圖 中心投影與平行投影 空間幾何體的三視圖 空間幾何體的直觀圖知識(shí)導(dǎo)圖學(xué)法指導(dǎo)圖的畫(huà)法，這是畫(huà)空間幾何體的直觀圖的基礎(chǔ)．．會(huì)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出簡(jiǎn)單幾何體的直觀圖．．充分利用直觀圖的作圖規(guī)則，順利實(shí)現(xiàn)實(shí)物圖與直觀圖之間的轉(zhuǎn)化．高考導(dǎo)航掌握直觀圖的畫(huà)法是學(xué)好立體幾何的基礎(chǔ)，必須熟練、準(zhǔn)確地掌握常見(jiàn)幾何體的直觀圖的畫(huà)法．學(xué)習(xí)過(guò)程中要重點(diǎn)把握直觀圖與原圖形之間的關(guān)系.知識(shí)點(diǎn)一 用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟知識(shí)點(diǎn)二 立體圖形直觀圖的畫(huà)法用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)空間幾何體的直觀圖時(shí)，與平面圖形相比只多了一個(gè)

軸，其直觀圖中對(duì)應(yīng)于

軸的是

′軸，平面

′′′表示

′′′和

′′行于

軸或在

軸上的線段，其平行性和長(zhǎng)度都不變．畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖，關(guān)鍵是確定多邊形頂點(diǎn)的位置，借助于平面直角坐標(biāo)系確定頂點(diǎn)后，只需把這些頂點(diǎn)順次連接即可．2．用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)直觀圖要掌握水平長(zhǎng)不變，垂線長(zhǎng)減半，直角畫(huà)

45

°(或

135

°小試身手．判斷下列命題是否正確．正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的∠

的兩邊分別平行于

軸和

軸，且∠＝，則在直觀圖中，∠＝ 用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)平面圖形的直觀圖時(shí)，平行的線段在直觀圖中仍平行，且長(zhǎng)度不變． ☆答案☆：× ×．水平放置的梯形的直觀圖是 A．梯形 B．矩形．三角形 ．任意四邊形解析：斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則中平行性保持不變，故選A.☆答案☆：A．利用斜二測(cè)畫(huà)法可以得到：①水平放置的三角形的直觀圖是三角形；②水平放置的平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；③水平放置的正方形的直觀圖是正方形；④水平放置的菱形的直觀圖是菱形．以上結(jié)論正確的是 A．①② B．①．③④ ．①②③④解析：根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則可知①②正確；對(duì)于

③④，只有平行于

軸的線段長(zhǎng)度不變，所以不正確．☆答案☆：A．如圖，矩形

′′′′是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中

′′＝

，′′＝

，則原圖形是 A．正方形B．矩形．菱形．一般的平行四邊形解析：如圖，在原圖形

中，應(yīng)有

＝′′＝×

＝

，＝′′＝

，所以

＝ ＋＝

＋＝

，所以

＝，故四邊形

是菱形，故選

C.☆答案☆：類(lèi)型一 水平放置的平面圖形的直觀圖的畫(huà)法例 畫(huà)一個(gè)銳角為的平行四邊形的直觀圖尺寸自定．【解析】 畫(huà)軸：

如圖

所示，以直線

為

軸，線段

的垂直平分線為

軸，建立直角坐標(biāo)系

，再建立斜坐標(biāo)系′′′，使∠′′′＝，如圖

上取

′′＝，過(guò)

′作

′′∥′軸，上取

′′＝，過(guò)

′作

′′∥′軸，且

′′＝，如圖

連線：連接

′′，′′，如圖

′′′′即為一個(gè)銳角是的平行四邊形

的直觀圖.以直線

AB

為

AB

的垂直平分線為

系

，再建立斜坐標(biāo)系

′

′

′，利用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)直觀圖．方法歸納在畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，選取適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系是關(guān)鍵，一般要使得平面多邊形盡可能多的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，便于畫(huà)點(diǎn)；原圖中的共線點(diǎn)，在直觀圖中仍是共線點(diǎn)；原圖中的平行線，在直觀圖中仍是平行線．跟蹤訓(xùn)練

畫(huà)水平放置的直角梯形的直觀圖，如圖所示．解析：在已知的直角梯形

中，以底邊

所在直線為

的腰

所在直線為

的

′軸和

′軸，使∠′′′＝，如圖①②所示．在

′軸上截取

′′＝

′軸上截取

′′＝，過(guò)點(diǎn)

′作

′軸的平行線

l，在

l

上沿

′軸正方向取點(diǎn)

′使得′′＝.連接

′′，如圖②.所得四邊形

′′′′就是直角梯形

的直觀圖．如圖③.觀察圖形先以

為

軸，

為

軸建平面直角坐標(biāo)系，再用斜二測(cè)畫(huà)直觀圖．類(lèi)型二 立體圖形的直觀圖的畫(huà)法例

畫(huà)正六棱柱

ABCDEF－′′′′E′F′的直觀圖尺寸自定．＝＝

，分別過(guò)點(diǎn)M，N

作

ED∥，＝＝

，分別過(guò)點(diǎn)M，N

作

ED∥，∥，ED＝＝，點(diǎn)

，使∠＝，∠＝②

軸上取

＝

軸上取

且

M，N

分別為

DE，

的中點(diǎn)．連接

，，EF，，得到正六棱柱的底面直觀圖

ABCDEF.③畫(huà)側(cè)棱．在六邊形ABCDEF

所在平面的同側(cè)過(guò)點(diǎn)

，，，，E，F(xiàn)

分別作

軸的平行線，在這些平行線上分別截取

′，′，′，′，EE′，F(xiàn)F′都等于側(cè)棱長(zhǎng)．④成圖．順次連接

′，′，′，′，E′，F(xiàn)′，并加以整理去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線就得到正六棱柱的直觀圖，如圖所示.建立坐標(biāo)系，根據(jù)畫(huà)軸、畫(huà)底面、畫(huà)側(cè)棱的順序畫(huà)直觀圖．方法歸納畫(huà)柱體、錐體的直觀圖的步驟①畫(huà)軸：通常以高所在直線為′軸建系．②畫(huà)底面：根據(jù)平面圖形的直觀圖畫(huà)法確定底面．③確定頂點(diǎn)：利用與

′軸平行或在

′軸上的線段確定有關(guān)頂點(diǎn)．④連線成圖．畫(huà)臺(tái)體的直觀圖的步驟為中點(diǎn)，在

′軸上取

為中點(diǎn)，在

′軸上取

′′＝，在

′軸上取

M′N(xiāo)′＝MN，①畫(huà)軸：通常以高所在直線為′軸建系．②畫(huà)下底面．③畫(huà)高，畫(huà)上底面．④連線成圖．跟蹤訓(xùn)練

用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出六棱錐P－ABCDEF

中底面

ABCDEF

為正六邊形，點(diǎn)P

在底面上的投影是正六邊形的中心尺寸自定．解析：畫(huà)出六棱錐

P－ABCDEF

的底面．①在正六邊形

ABCDEF中，取

所在的直線為

軸，線段

的中垂線為

軸，兩軸相交于點(diǎn)

如圖，畫(huà)相應(yīng)的

′軸、′軸、′軸，三軸相交于點(diǎn)

′，使∠′′′＝，∠′′′＝如圖；②在圖中，以′以點(diǎn)

N′

′′∥′

′′＝

M′為中點(diǎn)，畫(huà)

E′F′∥′軸，且

E′F′＝EF；③連接

′′，′′，′E′，F(xiàn)′′，得到正六邊形

ABCDEF

水平放置的直觀圖′′′′E′F′.畫(huà)正六棱錐P－ABCDEF′軸的正半軸上取點(diǎn)P′，點(diǎn)

P′異于點(diǎn)

′.P P P P PP′′，′′，′′，′′，′P P P P P并擦去

′軸、′軸和

′錐

P－ABCDEF

的直觀圖

P′－′′′′E′F′如圖．建立坐標(biāo)系，根據(jù)畫(huà)底面、確定頂點(diǎn)、連線的順序畫(huà)直觀圖．類(lèi)型三 直觀圖與原平面圖形的面積關(guān)系例

如圖所示，四邊形

是一個(gè)梯形，∥，＝＝

為等腰直角三角形，

為

的梯形

的直觀圖的面積．作

′E′⊥′′于

E′，如圖所示，在直觀圖中，′′＝作

′E′⊥′′于

E′，如圖所示，在直觀圖中，′′＝的面積為×＋×

＝

.＋× 積為

×＝

.放置的梯形

的直觀圖仍為梯形，且上底和下底的長(zhǎng)度都不變，＝

′′′′的高

′E′＝

′′′′ 方法二 因?yàn)樘菪?/p>

的面積為 ＝

研究直觀圖的面積問(wèn)題時(shí)，一定要注意：畫(huà)三角形的直觀圖時(shí)，不僅是

′軸與

′軸的夾角也變?yōu)?/p>

或

，因此直觀圖中三角形的高不是原來(lái)高的一半．方法歸納解答此類(lèi)題目的關(guān)鍵是首先要能夠?qū)⑺椒胖玫钠矫鎴D形的直觀圖還原為原來(lái)的實(shí)際圖形，其依據(jù)就是逆用斜二測(cè)畫(huà)法，也就是使平行于

軸的線段長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的倍．求直觀圖的面積的關(guān)鍵是依據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法，求出相應(yīng)的直觀圖的底邊和高．在原來(lái)實(shí)際圖形中的高線，在直觀圖中變?yōu)榕c水平直線成

即可．跟蹤訓(xùn)練

已知水平放置的△

按“斜二測(cè)畫(huà)法”得到如圖所示的直觀圖，其中

′′＝′′＝，∠′′′＝，則△

的面積為_(kāi)_______．解析：∵∠′′′＝，′′＝′′＝，∴′′＝eq

\o\ac(△,，)∴

的高為

eq

\o\ac(△,，)∴

的面積為××＝☆答案☆：由斜二測(cè)畫(huà)直觀圖，還原原圖再計(jì)算．基礎(chǔ)鞏固

分鐘，

分一、選擇題每小題

分，共

分．關(guān)于“斜二測(cè)畫(huà)法”，下列說(shuō)法不正確的是 A．原圖形中平行于

軸的線段，其對(duì)應(yīng)線段平行于′軸，長(zhǎng)度不變B．原圖形中平行于

軸的線段，其對(duì)應(yīng)線段平行于

′軸，長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的．在畫(huà)與直角坐標(biāo)系

對(duì)應(yīng)的

′′′時(shí)，∠′′′必須是

．在畫(huà)直觀圖時(shí)，由于選軸的不同，所得的直觀圖可能不同解析：在畫(huà)與直角坐標(biāo)系

對(duì)應(yīng)的

′′′時(shí)，∠′′′可以是

，也可以是

☆答案☆：．

山東日照校級(jí)檢測(cè)在畫(huà)水平放置的平面圖形時(shí)，若在原 A．平行且相等 B．平行不相等．相等不平行 ．既不平行也不相等解析：在原圖形中平行且相等的線段在直觀圖中保持平行且相等．☆答案☆：A．如圖所示的直觀圖的平面圖形是 A．等腰梯形B．直角梯形．任意四邊形．平行四邊形解析：由斜二測(cè)畫(huà)法知，

⊥，∥，因此具有如圖所示直觀圖的平面圖形是直角梯形．☆答案☆：B．已知一條邊在

軸上的正方形的直觀圖是一個(gè)平行四邊形，此平行四邊形中有一邊長(zhǎng)為，則原正方形的面積是 A． B．．

或

．以上都不對(duì)解析：根據(jù)直觀圖的畫(huà)法，平行于

軸的線段長(zhǎng)度不變，平行于的邊如果平行于′軸，則正方形的邊長(zhǎng)為

，面積為；長(zhǎng)為

的邊如果平行于

′軸，則正方形的邊長(zhǎng)為

，面積為

☆答案☆：．若用斜二測(cè)畫(huà)法把一個(gè)高為

的圓柱的底面畫(huà)在′′′平面上，則該圓柱的高應(yīng)畫(huà)成 A．平行于

′軸且長(zhǎng)度為

B．平行于

′軸且長(zhǎng)度為

．與

′軸成

且長(zhǎng)度為

．與

′軸成

且長(zhǎng)度為

解析：平行于

軸的線段，在直觀圖中平行性和長(zhǎng)度都不變，故選

A.☆答案☆：A二、填空題每小題

分，共

分．已知正三角形

的邊長(zhǎng)為 ，那么△

的直觀圖eq

\o\ac(△,A)′′′的面積為_(kāi)_______．′′＝＝

′′＝＝

′′＝′′＝

×

＝

從圖②可知，′′＝＝， ，4.＝′＝′′·

′′＝××

＝

eq

\o\ac(△,A)

4.☆答案☆：

＋，高為

，故面積為＋，高為

，故面積為×＋

＋×＝＋

.∠

＝

，

＝

＝

，⊥，則這個(gè)平面圖形的面積為_(kāi)_______．解析：

＋

☆答案☆：．一條邊在

軸上的正方形的面積是

，按斜二測(cè)畫(huà)法所得的直觀圖是一個(gè)平行四邊形，則這個(gè)平行四邊形的面積是________．解析：正方形的面積為

，則邊長(zhǎng)為，由斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則，知平行四邊形的底為

，高為

，故面積為

☆答案☆：

三、解答題每小題

分，共

分．將圖中所給水平放置的直觀圖繪出原形．解析：．畫(huà)棱長(zhǎng)為

的正方體的直觀圖．解析：作水平放置的正方形的直觀圖，使∠＝，＝

，＝

過(guò)點(diǎn)

作

′軸，使∠′＝，分別過(guò)點(diǎn)，，，，沿′軸的正方向取

＝＝＝＝

連接

，，，如下圖①，擦去輔助線，把被遮住的線改為虛線，得到的圖形如下圖②就是所求的正方體的直觀圖．能力提升

分鐘，

分．已知一個(gè)建筑物上部為四棱錐，下部為長(zhǎng)方體，且四棱錐的底面與長(zhǎng)方體的上底面尺寸一樣，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為

m，四棱錐的高為

m．如果按

的比例畫(huà)出它的直觀圖，那么在直觀圖中，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高和四棱錐的高應(yīng)分別為 A．

B．

．

．

解析：由比例尺可知，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高和四棱錐的高應(yīng)分別為

和

，再結(jié)合直觀圖的畫(huà)法，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高和四棱錐的高應(yīng)分別為

，

☆答案☆：如圖為△

水平放置的直觀圖△′′eq

\o\ac(△,O)′，由圖判斷 中，，，，

由小到大的順序是______________________．解析：由題圖可知，△

中，＝，＝，＝

，＝

☆答案☆：<<<eq

\o\ac(△,13)．用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出圖中水平放置的

的直觀圖．過(guò)點(diǎn)

M′作

M′′∥′過(guò)點(diǎn)

M′作

M′′∥′軸，取

M′′＝.連接

′′，′′，直于

的直線分別為

軸與

作

垂直

軸于點(diǎn)

M，如圖

另選一平面畫(huà)直觀圖，任取一點(diǎn)

′，畫(huà)出相應(yīng)的

′軸、′軸，使∠′′′＝在

′軸上取點(diǎn)

′，M′，使

′′＝，′M′＝，如圖

擦去輔助線，則 eq

\o\ac(△,O)′′′為水平放置的△

的直觀圖．．一個(gè)幾何體，它的下面是一個(gè)圓柱，上面是一個(gè)圓錐，并且圓錐的底面與圓