彈塑性斷裂力學(xué)基礎(chǔ)

第七章彈塑性斷裂力學(xué)線彈性斷裂力學(xué)

脆性材料或高強(qiáng)度鋼所發(fā)生的脆性斷裂小范圍屈服：塑性區(qū)的尺寸遠(yuǎn)小于裂紋尺寸彈塑性斷裂力學(xué)

大范圍屈服：端部的塑性區(qū)尺寸接近或超過(guò)裂紋尺寸。如，中低強(qiáng)度鋼制成的構(gòu)件全面屈服：材料處于全面屈服階段。如，壓力容器的接管部位

彈塑性斷裂力學(xué)的任務(wù)：在大范圍屈服下，確定能定量描述裂紋尖端區(qū)域彈塑性應(yīng)力、應(yīng)變場(chǎng)強(qiáng)度的參量。以便利用理論建立起這些參量與裂紋幾何特性、外加載荷之間的關(guān)系，通過(guò)試驗(yàn)來(lái)測(cè)定它們，并最后建立便于工程應(yīng)用的斷裂準(zhǔn)則。主要包括COD理論和J積分理論一、COD

COD(CrackOpeningDisplacement)：裂紋張開(kāi)位移裂紋體受載后，裂紋尖端附近的塑性區(qū)導(dǎo)致裂紋尖端表面張開(kāi)量——裂紋張開(kāi)位移。表達(dá)材料抵抗延性斷裂能力?！狢OD準(zhǔn)則裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展的臨界值COD準(zhǔn)則需解決的3個(gè)問(wèn)題：

的計(jì)算公式;的測(cè)定;COD準(zhǔn)則的工程應(yīng)用第一節(jié)COD準(zhǔn)則二、小范圍屈服條件下的CTOD準(zhǔn)則1、平面應(yīng)力的Irwin解—小范圍屈服時(shí)的CTOD計(jì)算公式KI4KIKIKI2CTOD：裂紋尖端張開(kāi)位移Dugdale模型假設(shè)：裂紋尖端的塑性區(qū)沿裂紋尖端兩端延伸呈尖劈帶狀。塑性區(qū)的材料為理想塑性狀態(tài)，整個(gè)裂紋和塑性區(qū)周圍仍為廣大的彈性區(qū)所包圍。塑性區(qū)與彈性區(qū)交界面上作用有均勻分布的屈服應(yīng)力。假想：挖去塑性區(qū)在彈性區(qū)與塑性區(qū)的界面上加上均勻拉應(yīng)力線彈性問(wèn)題2、平面應(yīng)力的Dugdale解2aCODxyo2aeff=2a+2rpCTODs

平面應(yīng)力條件下，在全面屈服之前凈/ys<1，Dugdale給出裂尖張開(kāi)位移與間的關(guān)系為：)]2ln[sec(8ssEaspspsd=

如果/ys<<1，則可將上式中sec項(xiàng)展開(kāi)后略去高次項(xiàng)，得到：1222]81ln[sssp)]2ln[sec(ssps-=-2222228)]8(1ln[sssspssp=+=)]2ln[sec(ssps得到：

注意到當(dāng)x<<1時(shí)有：11-x1+x1-x2=≈1+x;ln(1+x)≈x

故在小范圍屈服時(shí)，平面應(yīng)力的CTOD成為：EKEasssspsd212==

在發(fā)生斷裂的臨界狀態(tài)下，K1=K1c，=c。故上式給出了平面應(yīng)力情況下，小范圍屈服時(shí)c與材料斷裂韌性K1c的換算關(guān)系。

寫(xiě)為一般式：=1，平面應(yīng)力；=(1-2)/2，平面應(yīng)變。

由和)]2ln[sec(8ssEaspspsd=2228sssp=)]2ln[sec(sspsEKssbd21=Dugdale模型不適用于全面屈服（）。有限元計(jì)算表明：對(duì)小范圍屈服或大范圍屈服。當(dāng)時(shí)，上式的預(yù)測(cè)是令人滿意的。Dugdale模型是一個(gè)無(wú)限大板含中心穿透裂紋的平面應(yīng)力問(wèn)題。它消除了裂紋尖端的奇異性，實(shí)質(zhì)上是一個(gè)線彈性化的模型。當(dāng)塑性區(qū)較小時(shí)，COD參量與線彈性參量Ｋ之間有著一致性。將按級(jí)數(shù)展開(kāi)歐文小范圍屈服時(shí)的結(jié)果Dugdale模型的適用條件

平面應(yīng)力情況下的無(wú)限大平板含中心穿透裂紋

引入彈性化假設(shè)后，分析比較簡(jiǎn)單，適用于

塑性區(qū)內(nèi)假定材料為理想塑性（沒(méi)有考慮材料強(qiáng)化）三、全面屈服條件下的COD

高應(yīng)力集中區(qū)及殘余應(yīng)力集中區(qū)，使裂紋處于塑性區(qū)的包圍中全面屈服。

對(duì)于全面屈服問(wèn)題，載荷的微小變化都會(huì)引起應(yīng)變和COD的很大變形。在大應(yīng)變情況下不宜用應(yīng)力作為斷裂分析的依據(jù)。而需要尋求裂尖張開(kāi)位移與應(yīng)變，即裂紋的幾何和材料性能之間的關(guān)系。

用含中心穿透裂紋的寬板拉伸試驗(yàn)，得到無(wú)量綱的COD

與標(biāo)稱應(yīng)變的關(guān)系曲線。經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)曲線我國(guó)CVAD（壓力容器缺陷評(píng)定規(guī)范）設(shè)計(jì)曲線規(guī)定：四、COD準(zhǔn)則的工程應(yīng)用實(shí)驗(yàn)測(cè)定結(jié)果：平板穿透裂紋實(shí)際工程構(gòu)件：壓力容器、管道等必須加以修正1、鼓脹效應(yīng)修正

壓力容器表面穿透裂紋，由于內(nèi)壓作用，使裂紋向外鼓脹，而在裂紋端部產(chǎn)生附加的彎矩。附加彎矩產(chǎn)生附加應(yīng)力，使有效作用應(yīng)力增加，按平板公式進(jìn)行計(jì)算時(shí)，應(yīng)在工作應(yīng)力中引入膨脹效應(yīng)系數(shù)Ｍ。Folias分析得到：

取值如下：當(dāng)圓筒的軸向裂紋時(shí)取1.61，當(dāng)圓筒環(huán)向裂紋時(shí)取0.32，球形容器裂紋時(shí)取1.93。2、裂紋長(zhǎng)度修正壓力容器的表面裂紋和深埋裂紋應(yīng)換算為等效的穿透裂紋。非貫穿裂紋無(wú)限大板中心穿透裂紋

令非貫穿裂紋與無(wú)限大板中心穿透裂紋的相等，則等效穿透裂紋的長(zhǎng)度為3、材料加工硬化的修正

考慮材料加工硬化，當(dāng)時(shí)，低碳鋼取代替。其中為流變應(yīng)力。為材料的抗拉強(qiáng)度。綜合考慮上述3部分內(nèi)容Dugdale模型的計(jì)算公式

解：受內(nèi)壓薄壁殼體中的最大應(yīng)力是環(huán)向應(yīng)力，且：

=pd/2t=80.5/(22.510-3)=800MPa例題：直徑d=500mm，壁厚t=2.5mm的圓筒，已知E=200GPa,=0.3,ys=1200MPa，c=0.05mm。殼體的最大設(shè)計(jì)內(nèi)壓為p=8MPa,試計(jì)算其可容許的最大缺陷尺寸。最危險(xiǎn)的缺陷是縱向裂紋，方向垂直于環(huán)向應(yīng)力。pPtdNszzzzNsPcccsss=2scz

由于d>>t，可忽略筒體曲率的影響。視為無(wú)限大中心裂紋板，且為平面應(yīng)力。)]2ln[sec(8ssEaspspsd=)]12008002ln[sec(1020014.3120083=pa=0.0106a由DugdaleCTOD計(jì)算式：ss

在臨界狀態(tài)下有：=0.0106acc

得到：

ac0.05/0.0106=4.71mm

故可以容許的缺陷總長(zhǎng)度為2a=9.42mm。

討論：假設(shè)按小范圍屈服計(jì)算，由(7-11)式有：EKssd21=

可容許的缺陷總長(zhǎng)度為2a=11.94mm。

故當(dāng)/ys較大時(shí)，小范圍屈服假設(shè)將引入較大的誤差，且結(jié)果偏危險(xiǎn)。

對(duì)于本題則斷裂判據(jù)寫(xiě)為：

即:或?qū)憺镋asspsd2=cscEadspsd￡=214.380080010200120005.032=￡pssdEayscc=5.97mm一、J積分的定義和特性COD準(zhǔn)則的優(yōu)點(diǎn)：

測(cè)定方法簡(jiǎn)單經(jīng)驗(yàn)公式能有效地解決中、低強(qiáng)度強(qiáng)度鋼焊接結(jié)構(gòu)及壓力容器斷裂分析問(wèn)題缺點(diǎn)：

不是一個(gè)直接而嚴(yán)密的裂紋尖端彈、塑性應(yīng)變場(chǎng)的表征參量。Rice于1968年提出J積分概念，J積分主要應(yīng)用于發(fā)電工業(yè)，特別是核動(dòng)力裝置中材料的斷裂準(zhǔn)則。第二節(jié)J積分J積分的兩種定義：

回路積分：即圍繞裂紋尖端周圍區(qū)域的應(yīng)力應(yīng)變和位移所組成的圍線積分。J積分具有場(chǎng)強(qiáng)度的性質(zhì)。不僅適用于線彈性，而且適用于彈塑性。

形變功率定義：外加載荷通過(guò)施力點(diǎn)位移對(duì)試樣所做的形變功率給出。

根據(jù)塑性力學(xué)的全量理論，這兩種定義是等效的。

有兩個(gè)幾何形狀和受力完全相同的單位厚度板，各含有一個(gè)缺口，板1中缺口長(zhǎng)為，此板的總勢(shì)能為；板II中缺口長(zhǎng)為，此板的總勢(shì)能為。二板總勢(shì)能之差為：。這個(gè)差值是由引起的。

1、形變功率定義

定義：是缺口長(zhǎng)度不同造成的勢(shì)能差別率。這就是J的形變功定義?？梢钥吹剑?）J的定義對(duì)材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系沒(méi)有任何要求，所以J積分適用于彈性體（線彈性體和非線性彈性體）和塑性體的單調(diào)加載（無(wú)卸載）情況。

非線性彈性體和塑性體的曲線在加載時(shí)沒(méi)有區(qū)別，但卸載時(shí)塑性體不沿加載曲線回零（塑性變形不可逆），差的能量成熱能放出。因此J只可用于塑性體單調(diào)加載的情況。2）由于不允許卸載，J不再具有裂紋擴(kuò)展能量釋放率的物理意義，而是功的吸收率。

3）從J的定義可見(jiàn)，在線彈性范圍即J與G等價(jià)。所以J是G合理的延伸，是一種既適用于線彈性又適用于彈塑性的較一般的參數(shù)。

設(shè)一均質(zhì)板，板上有一穿透裂紋、裂紋表面無(wú)力作用，但外力使裂紋周圍產(chǎn)生二維的應(yīng)力、應(yīng)變場(chǎng)。圍繞裂紋尖端取回路下。始于裂紋下表面、終于裂紋上表面。按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)應(yīng)變能密度作用于路程邊界上的力路程邊界上的位移矢量與積分路徑無(wú)關(guān)的常數(shù)。即具有守恒性。

2、線積分定義

其中：為從缺口下表面上任一點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蚶@過(guò)缺口的頂端，而止于缺口上表面上任一點(diǎn)的曲線；為帶缺口變形體的形變功密度，包括彈性應(yīng)變能和塑性形變功；：回路上對(duì)應(yīng)的“表面力”矢量；：回路上各點(diǎn)的位移矢量；ds：回路的線元。

J的一個(gè)重要性質(zhì)，就是J積分與積分路徑無(wú)關(guān)（Path-independent）。這稱為J積分的守恒性。

J積分守恒性的前提是：①不允許卸載；②變形為小變形；③沒(méi)有體積力。由于J與路徑無(wú)關(guān)，所以可選擇一條容易求積分的路徑（例如沿試樣的周邊，可能只有彈性應(yīng)力和應(yīng)變），簡(jiǎn)單地求得J。

與靠近裂紋尖端處行為相關(guān)的奇異場(chǎng)解是斷裂力學(xué)發(fā)展中的核心問(wèn)題。1968年Rice提出J積分概念后，Hutchinson、Rice等人，導(dǎo)出了彈塑性材料裂尖應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)的表達(dá)式，即HRR理論，使斷裂力學(xué)從線彈性發(fā)展到了彈塑性。二、彈塑性裂紋尖端的應(yīng)力場(chǎng)1、采用以下基本公式，導(dǎo)出應(yīng)力函數(shù)的控制方程1）Airy公式：2）幾何方程：

3）物理方程：

n為硬化指數(shù)：n大硬化能力大；n小，硬化能力小。 無(wú)量綱應(yīng)力：；無(wú)量綱應(yīng)變：， E：材料彈性模量。導(dǎo)出的應(yīng)力函數(shù)的控制方程為：

邊界條件?。? （這時(shí)裂紋表面無(wú)外荷載作用）與上式對(duì)應(yīng)的多軸本構(gòu)關(guān)系是

其中

2、裂尖解的結(jié)構(gòu)如能從上式中解出j

，則問(wèn)題得解。但目前解不出該方程。故要抓主要矛盾，予以簡(jiǎn)化：

（1）設(shè)出j的形式：由于裂紋總是從裂尖向外擴(kuò)展，所以裂尖附近是我們最關(guān)心的。在線彈性斷裂力學(xué)中，當(dāng)r→0時(shí)，裂尖應(yīng)力→∞，而彈塑性解當(dāng)n=1時(shí)，就應(yīng)該是線彈性解。因此，比照Williams級(jí)數(shù)，可以設(shè)想上式的解是一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)，級(jí)數(shù)的第一項(xiàng)有奇異性。

當(dāng)只考慮裂尖附近行為時(shí)，r小到一定范圍，級(jí)數(shù)的第一項(xiàng)由于有奇性，比起其它項(xiàng)都大得多，其它項(xiàng)的值都可忽略不計(jì)。所以，當(dāng)r

相當(dāng)小時(shí)，可以取：其中K為修正幅值的系數(shù)，它決定了應(yīng)力場(chǎng)的強(qiáng)度。（2）簡(jiǎn)化方程：分析方程中各項(xiàng)

r

的冪次：雙調(diào)和項(xiàng)中r的冪次為（S-4），后面非線性諸項(xiàng)r

冪次為[(S-2)n-2]。而要使應(yīng)力分量有奇異性，必須S<2，又n>1故

因此，當(dāng)時(shí)，方程中非線性諸項(xiàng)值增大的速度比雙調(diào)和項(xiàng)快，這時(shí)非線性項(xiàng)是方程的主要部分，所以可以把式中雙調(diào)和項(xiàng)略去。從物理意義上說(shuō)，對(duì)任意S<2，總能選擇一個(gè)充分小的裂尖鄰域，使此區(qū)域中彈性變形能與塑性變形功相比任意地微小，這樣就可以把式中代表彈性部分的雙調(diào)和項(xiàng)略去。

因此，方程簡(jiǎn)化為：

將的裂尖解形式代入上式，得到關(guān)于S

和的微分方程為：其中“~”表示對(duì)應(yīng)量的角度部分。邊界條件有二：

i、處。這要求

ii、本問(wèn)題關(guān)于x軸對(duì)稱，所以在處 ，，。這要求

解上述方程是一個(gè)微分方程的邊值問(wèn)題。一般說(shuō)對(duì)于任意S

，滿足邊界條件的微分方程解不存在。只有當(dāng)S

取某些定值時(shí)，方程才有解。因此上述方程是一個(gè)關(guān)于

S

的特征方程。（3）S的取值范圍：

i、∵從得到的應(yīng)力場(chǎng)應(yīng)具有奇異性 ∴ S<2

ii、用從得到的應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)算出的余能必須有界，則因此

用數(shù)值迭代法在S

的取值范圍內(nèi)解此邊值問(wèn)題，求出n為整數(shù)時(shí)同時(shí)算出、、和的值（見(jiàn)圖），圖中曲線是將的最大值歸為1時(shí)的相對(duì)值。這樣，導(dǎo)出裂尖附近塑性解的結(jié)構(gòu)是：3、常數(shù)K的確定

在裂尖塑性奇異解有效的區(qū)域內(nèi)，以裂尖為圓心，作一半徑為r

的圓形積分路徑，進(jìn)行J積分，則

從而其中

由于J積分的路徑無(wú)關(guān)性，J與圓路徑半徑r無(wú)關(guān)，所以計(jì)算出的J表達(dá)式中無(wú)r

。

是n

的函數(shù)，可以由數(shù)值方法解出，其值為n35913平面應(yīng)力In3.863.413.032.87平面應(yīng)變In5.515.014.604.40將上式代入裂尖解，得到

裂紋尖端附近應(yīng)力、應(yīng)變場(chǎng)的平面應(yīng)變解與平面應(yīng)力解相同。

彈塑性裂紋尖端應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)的解是在1968年由Hutchinson,Rice和Rosenfild導(dǎo)出的，所以稱為HRR應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)。

當(dāng)裂尖附近材料符合冪乘硬化律時(shí)，裂尖應(yīng)力場(chǎng)具有階奇性，裂尖應(yīng)變場(chǎng)具有階奇性，裂尖位移場(chǎng)沒(méi)有奇性。

當(dāng)時(shí)，，，就是線彈性裂尖場(chǎng)。三、J判據(jù)

從HRR場(chǎng)應(yīng)力解可見(jiàn)，反映裂尖附近不同點(diǎn)處應(yīng)力的相對(duì)大小，與外載無(wú)關(guān)；而該應(yīng)力場(chǎng)的總體強(qiáng)度是由單參數(shù)J

唯一決定的，J

與外載有關(guān)。

對(duì)任何已知的，裂紋尖端處應(yīng)力、應(yīng)變與J有唯一的關(guān)系。而正是裂尖處的應(yīng)力、應(yīng)變決定著裂紋的起裂與擴(kuò)展。于是可以斷定，正如線彈性斷裂可以用K描述一樣，彈塑性斷裂這種受裂尖行為控制的事件，必能用J描述。因此，在小變形范圍內(nèi)，在很接近裂紋尖端的地方，由于應(yīng)力及應(yīng)變場(chǎng)和J之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，J是靠近裂紋尖端處行為的唯一有意義的量度。這就對(duì)彈塑性裂紋尖端處的行為，提出了合理的單參數(shù)表達(dá)。

從J

控制裂紋擴(kuò)展這一概念出發(fā)，可以引出一系列重要的推論，例如J

控制區(qū)概念，裂紋擴(kuò)展的J

判據(jù)概念等等。

彈塑性裂紋的啟裂，可以用單參數(shù)J來(lái)描述，對(duì)I型裂紋，J寫(xiě)成。是一個(gè)與外載和裂紋長(zhǎng)度有關(guān)的參數(shù)。當(dāng)一定時(shí)，隨外載增加，增大。當(dāng)達(dá)到該材料的臨界值時(shí)，裂紋開(kāi)始擴(kuò)展。臨界值稱為延性斷裂韌度，它是一個(gè)材料常數(shù)，可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)出。這樣，彈塑性裂紋啟裂的條件是：

與K控制一樣，J控制也是有條件的。為了清楚地討論，現(xiàn)引進(jìn)參數(shù)R來(lái)表示奇異場(chǎng)J主導(dǎo)區(qū)域的尺寸或半徑。R的數(shù)值隨平面應(yīng)力、平面應(yīng)變情況、載荷、硬化指數(shù)、幾何等因素而變化。找J控制的適用范圍，就是找R的上下限。1、HRR理論在有限應(yīng)變區(qū)內(nèi)不能用，R的下限

HRR場(chǎng)的推導(dǎo)中用了小變形和比例加載條件，而彈塑性裂尖塑性區(qū)內(nèi)有一小區(qū)域（有限應(yīng)變區(qū)）內(nèi)的變形很大，還有卸載發(fā)生，不滿足上述條件，J在該小區(qū)域內(nèi)失效。因此有限應(yīng)變區(qū)邊界是J控制區(qū)的下限。1977年，McMeeking對(duì)小范圍屈服I型平面應(yīng)變問(wèn)題，分析了大應(yīng)變（有限應(yīng)變）裂尖數(shù)值解和小應(yīng)變（比例應(yīng)變）裂尖數(shù)值解的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)，有限應(yīng)變效應(yīng)就可以忽略不計(jì)。上式中為材料的流變應(yīng)力。因此，對(duì)I型平面應(yīng)變問(wèn)題，J主導(dǎo)區(qū)的下界為：

2、HRR理論在J主導(dǎo)區(qū)外不能用，R的上限在裂尖塑性應(yīng)變比例變化區(qū)內(nèi)，用以全量理論為基礎(chǔ)的HRR裂尖奇異解代替級(jí)數(shù)全解描述裂尖應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)有一定誤差，這個(gè)誤差隨計(jì)算點(diǎn)距裂尖的距離R的增加而增大。當(dāng)該誤差增大到工程應(yīng)用上不能接受的程度時(shí)，就達(dá)到了J主導(dǎo)區(qū)的上限。

1979年Shih和German將用增量理論的數(shù)值計(jì)算結(jié)果作為全解與HRR奇異解進(jìn)行了對(duì)比，發(fā)現(xiàn)對(duì)彎曲型試樣，兩種解吻合區(qū)的最大尺寸為0.07c，c為試樣的韌帶長(zhǎng)度。對(duì)拉伸型試樣，吻合區(qū)的最大尺寸為0.01c。

因此，對(duì)彎曲型試樣，J主導(dǎo)區(qū)的上界為：

故J控制區(qū)的有效范圍為由

可得

如c小于此值，J控制區(qū)的上下限重合，實(shí)際上就不存在J控制區(qū)。