高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí):第4章《平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入》【1】_第1頁(yè)
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第一節(jié)平面向量的概念及其線性運(yùn)算[主干知識(shí)梳理]一、向量的有關(guān)概念1.向量:既有大小又有

的量叫向量;向量的大小叫做向量的

.2.零向量:長(zhǎng)度等于

的向量,其方向是任意的.3.單位向量:長(zhǎng)度等于

的向量.方向模01個(gè)單位4.平行向量:方向相同或

的非零向量,又叫共線向量,規(guī)定:0與任一向量共線.5.相等向量:長(zhǎng)度相等且方向

的向量.6.相反向量:長(zhǎng)度相等且方向

的向量.相反相同相反二、向量的線性運(yùn)算b+aa+(b+c)b+aa+(b+c)三、向量的數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義1.定義:實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量,這種運(yùn)算叫向量的數(shù)乘,記作

,它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下: (1)|λa|=

; (2)當(dāng)λ>0時(shí),λa的方向與a的方向

;當(dāng)λ<0時(shí),λa的方向與a的方向

;當(dāng)λ=0時(shí),λa=

.λa|λ||a|相同相反02.運(yùn)算律:設(shè)λ,μ是兩個(gè)實(shí)數(shù),則 (1)λ(μa)=(λμ)a; (2)(λ+μ)a=λa+μa; (3)λ(a+b)=λa+λb.四、共線向量定理

向量a(a≠0)與b共線,當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使得

.b=λa[基礎(chǔ)自測(cè)自評(píng)]1.下列命題正確的是() A.不平行的向量一定不相等 B.平面內(nèi)的單位向量有且僅有一個(gè) C.a(chǎn)與b是共線向量,b與c是平行向量,則a與c是方向相同的向量 D.若a與b平行,則b與a方向相同或相反A[對(duì)于B,單位向量不是僅有一個(gè),故B錯(cuò);對(duì)于C,a與c的方向也可能相反,故C錯(cuò);對(duì)于D,若b=0,則b的方向是任意的,故D錯(cuò),綜上可知選A.]2.如圖所示,向量a-b等于()

A.-4e1-2e2 B.-2e1-4e2 C.e1-3e2 D.3e1-e2

[關(guān)鍵要點(diǎn)點(diǎn)撥]共線向量定理應(yīng)用時(shí)的注意點(diǎn)(1)向量共線的充要條件中要注意“a≠0”,否則λ可能不存在,也可能有無(wú)數(shù)個(gè).(2)證明三點(diǎn)共線問(wèn)題,可用向量共線來(lái)解決,但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系,當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí),才能得出三點(diǎn)共線;另外,利用向量平行證明向量所在直線平行,必須說(shuō)明這兩條直線不重合.向量的有關(guān)概念

③若a與b同向,且|a|>|b|,則a>b;④λ,μ為實(shí)數(shù),若λa=μb,則a與b共線.其中假命題的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2C.3 D.4③不正確.兩向量不能比較大?。懿徽_.當(dāng)λ=μ=0時(shí),a與b可以為任意向量,滿足λa=μb,但a與b不一定共線.答案C[規(guī)律方法]1.平面向量的概念辨析題的解題方法 準(zhǔn)確理解向量的基本概念是解決該類問(wèn)題的關(guān)鍵,特別是對(duì)相等向量、零向量等概念的理解要到位,充分利用反例進(jìn)行否定也是行之有效的方法.2.幾個(gè)重要結(jié)論 (1)向量相等具有傳遞性,非零向量的平行具有傳遞性; (2)向量可以平移,平移后的向量與原向量是相等向量; (3)向量平行與起點(diǎn)的位置無(wú)關(guān).

[跟蹤訓(xùn)練]1.設(shè)a0為單位向量, ①若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量,則a=|a|a0; ②若a與a0平行,則a=|a|a0; ③若a與a0平行且|a|=1,則a=a0. 上述命題中,假命題的個(gè)數(shù)是() A.0 B.1 C.2 D.3D[向量是既有大小又有方向的量,a與|a|a0的模相同,但方向不一定相同,故①是假命題;若a與a0平行,則a與a0的方向有兩種情況:一是同向,二是反向,反向時(shí)a=-|a|a0,故②③也是假命題.綜上所述,假命題的個(gè)數(shù)是3.]向量的線性運(yùn)算

答案D答案A[規(guī)律方法]在進(jìn)行向量的線性運(yùn)算時(shí)要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中,運(yùn)用平行四邊形法則、三角形法則求解,并注意利用平面幾何的性質(zhì),如三角形中位線、相似三角形等知識(shí).答案C答案2共線向量

[規(guī)律方法]1.當(dāng)兩向量共線時(shí),只有非零向量才能表示與之共線的其他向量,解決向量共線問(wèn)題要注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用.2.證明三點(diǎn)共線問(wèn)題,可用向量共線來(lái)解決,但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系.【答案】D【高手支招】判斷與向量有關(guān)的基本概念問(wèn)題,首先考慮向量為零向量時(shí)是否成立,這樣可快速作出判斷.2.(2012·浙江高考)設(shè)a,b是兩個(gè)非零向量.() A.若|a+b|=|a|-|b|,則a⊥b B.若a⊥b,則|a+b|=|a|-|b| C.若|a+b|=|a|-|b|,則存在實(shí)數(shù)λ,使得b=λa D.若存在實(shí)數(shù)λ,使得b=λa,則|a+b|=|a|-|b|C[由|a+b|=|a|-|b|兩邊平方,得a2+b2+2a·b=|a|2+|b|2-2|a|·|b|,即a·b=-|a|·|b|,故a與b

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