第8章 梁的變形分析與剛度問題

第8章梁的變形分析與剛度問題本章主要內(nèi)容彎曲變形的概念梁的撓曲線近似微分方程積分法求梁的變形疊加法求梁的變形梁的剛度校核靜不定梁6-1彎曲變形的概念工程中的彎曲變形現(xiàn)象N8.2梁的撓曲線近似微分方程1、撓度與轉(zhuǎn)角

梁軸線上的一點(diǎn)在垂直于梁變形前軸線方向的線位移稱為該點(diǎn)的撓度

，用w表示。

比如，C截面的撓度為wC梁任一橫截面繞其中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度稱為該截面的轉(zhuǎn)角。

比如，C截面的轉(zhuǎn)角為θC撓度對坐標(biāo)的一階導(dǎo)等于轉(zhuǎn)角2、梁的撓曲線微分方程假設(shè)梁的撓曲線微分方程為第五章推導(dǎo)彎曲正應(yīng)力公式時(shí)已知不計(jì)剪力對變形的影響，上式可以推廣到非純彎曲的情況依據(jù)高等數(shù)學(xué)，從幾何方面看，平面曲線的曲率可寫成左式中由于略去剪力的影響，并略去了w的一次導(dǎo)數(shù)值，故稱為撓曲線近似微分方程。8.3積分法求梁的變形1、積分法的步驟

積分常數(shù)C和D的值可通過梁支承處已知的變形條件來確定，這個(gè)條件稱為邊界條件。2、舉例以A為原點(diǎn)，取直角坐標(biāo)系，x軸向右，y軸向上。（1）求支座反力列彎矩方程由平衡方程得：列彎矩方程為：（2）列撓曲線近似微分方程例8.1（3）積分（4）代入邊界條件，確定積分常數(shù)在x=0處：將邊界條件代入(c)、(d)得：將常數(shù)

C

和D

代入(c)、(d)得：（6）求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度（5）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程說明：轉(zhuǎn)角為正，說明橫截面繞中性軸順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)；撓度為正，說明B點(diǎn)位移向下。例8.2一簡支梁如圖6-9所示,在全梁上受集度為q的均布載荷作用.試求此梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程,并確定最大轉(zhuǎn)角|θ|max

和最大撓度|y|max由對稱關(guān)系得梁的兩個(gè)支座反力為以A點(diǎn)為原點(diǎn)，取坐標(biāo)如圖，列出梁的彎矩方程為：（2）列撓曲線近似微分方程并進(jìn)行積分(1)求支座反力，列彎矩方程簡支梁的邊界條件是：在兩支座處的撓度等于零在x=0處，wA=0；

在x=l處，wB=0（3）確定積分常數(shù)邊界條件代入（d），解得將積分常數(shù)C，D代入式（c）和（d）得（4）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程由對稱性可知，最大撓度在梁的中點(diǎn)處，將x=l/2代入（f），得：（5）求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度又由圖可見，在兩支座處橫截面的轉(zhuǎn)角相等，均為最大。由式（e）3、分段積分問題

當(dāng)梁上的外力將梁分為數(shù)段時(shí)，由于各段梁的彎矩方程不同，因而梁的撓曲線近似微分方程需分段列出。相應(yīng)地各段梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程也隨之而異。兩個(gè)邊界條件：連續(xù)條件：AC段：積分常數(shù)：C、DCB段：

積分常數(shù)：C、DD點(diǎn)的變形連續(xù)條件邊界條件積分常數(shù)得以確定梁的最大撓度與位置梁的最大撓度應(yīng)位于w*=0處。當(dāng)b無限小時(shí)，跨中C點(diǎn)的撓度8.4

疊加法求梁的變形

當(dāng)梁上同時(shí)作用幾個(gè)載荷時(shí)，梁的總變形為各個(gè)載荷單獨(dú)作用下梁的變形的代數(shù)和。疊加原理、疊加法前提是小變形、線彈性由疊加法得：直接查表例8.3如圖8.5

梁的剛度校核彎曲構(gòu)件的剛度條件:將吊車梁簡化為如圖例6-12b所示的簡支梁。計(jì)算梁撓度的有關(guān)數(shù)據(jù)為：P=50+5=55kN

（1）計(jì)算變形

由型鋼表查得

例8.4因P和q而引起的最大撓度均位于梁的中點(diǎn)C，由表6-1查得：由疊加法，得梁的最大撓度為：（2）校核剛度將梁的最大撓度與其比較知：故剛度符合要求。吊車梁的許用撓度為：例8.5將主軸簡化為如圖例所示的外伸梁，主軸橫截面的慣性矩為材料的彈性模量：（1）計(jì)算變形由表6-1查出，因P1在C處引起的撓度和在B引起的轉(zhuǎn)角（圖c）為：由表8.1查得，因P2在C處引起的撓度和在B處引起的轉(zhuǎn)角（d）為：主軸的許用撓度和許用轉(zhuǎn)角為：故主軸滿足剛度條件

（2）校核剛度

作業(yè)布置:8.2（b）（