建筑力學(xué)第7章平面彎曲桿件

第七章平面彎曲桿件本章內(nèi)容：第一節(jié)截面的幾何性質(zhì)第二節(jié)平面彎曲桿件的內(nèi)力第三節(jié)彎曲應(yīng)力和強(qiáng)度第四節(jié)拉壓與彎曲組合變形桿件的應(yīng)力和強(qiáng)度第一節(jié)截面的幾何性質(zhì)一、截面的靜矩和形心位置dAxyOyxCxC

yC

靜矩(面積矩)：如果將微面積看作力,則ydA和xdA就相當(dāng)于力矩,由合力矩定理知形心位置：靜矩也可表達(dá)為:Sx=A·yC,Sy=A·xC

靜矩也可表達(dá)為:Sx=A·yC,Sy=A·xC

⑴當(dāng)坐標(biāo)軸通過截面的形心時(shí),則該軸稱為此截面的形心軸,此時(shí),截面形心軸的靜矩為零；反之,若截面對某軸的靜矩為零,則該軸必為截面的形心軸。⑵有對稱軸的截面，對稱軸一定是截面的形心軸。⑶組合截面（由若干個(gè)簡單圖形組合而成的截面）對某軸的靜矩等于其所有組成部分對該軸靜矩的代數(shù)和:

Sx=∑Sxi=∑Ai·yCi，Sy=∑Syi=∑Ai·xCi組合截面形心位置：例7-1計(jì)算半徑為r的半圓形對其直徑軸x的靜矩及其形心坐標(biāo)yC。解：平行于x軸取一窄長條作為微面積dA,其面積為dyyr則:形心坐標(biāo)：yCC例7-2計(jì)算圖示截面的形心位置。解：由對稱性可知,xC=0(即形心一定在y軸上,只需求yC)。方法一：將此圖形看成是由Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分組成。A1=A2=30×300=9000mm2

A3=30×250=7500mm2

yC1=yC2=150mmyC3=300mm+15mm=315mm例7-2計(jì)算圖示截面的形心位置。解：由對稱性可知,xC=0(即形心一定在y軸上,只需求yC)。

方法二：將此圖形看成是由一個(gè)250×330的矩形Ⅰ減去一個(gè)190×300的矩形Ⅱ組成。A1=250×330=82500mm2

A2=190×300=57000mm2

yC1=165mmyC2=150mm二、截面的慣性矩、慣性積和慣性半徑dAxyOyx慣性矩：慣性積：在有些問題中,為了應(yīng)用的方便,將截面的慣性矩表示為截面面積A與慣性半徑平方的乘積,即：慣性半徑：例7-3計(jì)算圖示矩形截面對x軸和y軸的慣性矩和慣性積。因?yàn)閤、y軸均為對稱軸，所以：Ixy=0慣性矩：慣性積：二、截面的慣性矩、慣性積和慣性半徑三、平行移軸公式和組合截面的慣性矩兩個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)有以下關(guān)系：可得：同理,可得：組合截面對某坐標(biāo)軸的慣性矩等于所有組成部分對該軸慣性矩之和,即:例7-4計(jì)算圖示截面對形心軸的慣性矩。解：⑴計(jì)算形心位置。⑵計(jì)算對形心軸的慣性矩。⑵計(jì)算對形心軸的慣性矩。第二節(jié)平面彎曲桿件的內(nèi)力一、彎曲的概念與梁的計(jì)算簡圖外力作用線與桿軸線垂直,桿軸線將由直線變成曲線,這種變形稱為彎曲。AB對稱軸縱向?qū)ΨQ面梁變形后的軸線與外力在同一平面內(nèi)梁的軸線FByF1F2FAy平面彎曲梁的計(jì)算簡圖梁的計(jì)算簡圖就是梁的力學(xué)模型的簡化。由于所研究的是等截面直梁,且外力均作用在梁的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi),所以通?？梢杂昧旱妮S線來代替梁,將荷載和支座直接加在軸線上,構(gòu)成梁的計(jì)算簡圖。靜定梁

—僅用靜力平衡方程即可求出全部未知量的梁。超靜定梁

—僅用靜力平衡方程不能求出全部未知量的梁?？缍?/p>

—梁在兩支座之間的長度。單跨梁

—只有一跨的梁。多跨梁

—兩跨及兩跨以上的梁。本章僅討論單跨靜定梁。二、梁的彎曲內(nèi)力—剪力與彎矩（截面法）求支座反力：求m-m截面的內(nèi)力：二、梁的彎曲內(nèi)力—剪力與彎矩（截面法）求支座反力：內(nèi)力的符號規(guī)定

剪力符號:FSdxmmFS++使dx

微段有左端向上而右端向下的相對錯(cuò)動(dòng)時(shí),橫截面m-m上的剪力為正。即使dx微段有順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢的剪力為正。dxmmFSFS--使dx微段有左端向下而右端向上的相對錯(cuò)動(dòng)時(shí),橫截面m-m上的剪力為負(fù)。即使dx微段有逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢的剪力為負(fù)。內(nèi)力的符號規(guī)定

彎矩符號:mm+（受拉）MM+當(dāng)dx

微段的彎曲下凸（即該段的下半部受拉）時(shí),橫截面m-m上的彎矩為正；mm（受壓）MM--當(dāng)dx

微段的彎曲上凸（即該段的下半部受壓）時(shí),橫截面m-m上的彎矩為負(fù).例7-5計(jì)算圖示簡支梁1-1和2-2截面上的剪力和彎矩。FAFB11.5kNFS1M1解:⑴求支座反力;

⑵求1-1截面的內(nèi)力:10.5kNFS1例7-5計(jì)算圖示簡支梁1-1和2-2截面上的剪力和彎矩。FAFB解:⑴求支座反力;

⑶求2-2截面的內(nèi)力:M2三、梁的剪力圖與彎矩圖用函數(shù)關(guān)系表示沿梁軸線各橫截面上剪力和彎矩的變化規(guī)律，分別稱作剪力方程和彎矩方程.剪力方程：FS=FS(x)彎矩方程：M=M(x)以平行于梁軸的橫坐標(biāo)x表示橫截面的位置,以縱坐標(biāo)表示相應(yīng)截面上的剪力和彎矩.分別稱為剪力圖和彎矩圖xFS(x)FS

圖的坐標(biāo)系OM

圖的坐標(biāo)系xOM(x)剪力圖為正值畫在x

軸上側(cè),負(fù)值畫在x

軸下側(cè)彎矩圖為正值畫在x

軸上側(cè),負(fù)值畫在x

軸下側(cè)例7-6作圖示簡支梁在均布荷載q作用下的剪力圖和彎矩圖。解:⑴求支座反力由對稱性知:⑵列剪力方程和彎矩方程⑶作剪力圖和彎矩圖例7-7作圖示懸臂梁的剪力圖和彎矩圖。解:⑴建立剪力方程和彎矩方程⑵作剪力圖和彎矩圖例7-8作圖示簡支梁的剪力圖和彎矩圖。解:⑴求支座反力⑵列剪力方程和彎矩方程例7-8作圖示簡支梁的剪力圖和彎矩圖。⑵列剪力方程和彎矩方程

例7-9用疊加法作圖示梁的彎矩圖。

疊加法：即梁在多個(gè)荷載作用下所產(chǎn)生的內(nèi)力,可以由各個(gè)荷載單獨(dú)作用下所產(chǎn)生的內(nèi)力疊加而得到。解:⑴

先作出由集中力F單獨(dú)作用下所產(chǎn)生的彎矩圖。

⑵再作出由均布荷載q單獨(dú)作用下所產(chǎn)生的彎矩圖。

⑶然后由上面兩個(gè)圖的縱坐標(biāo)疊加得最終彎矩圖。

注意：這里所說的兩個(gè)彎矩圖疊加不是簡單地將兩個(gè)圖形拼在一起，而是將兩個(gè)圖形中相同截面處的縱坐標(biāo)相疊加。四、剪力、彎矩與荷載集度的微分關(guān)系公式的幾何意義:

⑴

剪力圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處荷載集度的大小;

⑵

彎矩圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處剪力的大小;⑶可以根據(jù)q(x)＞0或q(x)＜0來判斷彎矩圖的凹凸性。四、剪力、彎矩與荷載集度的微分關(guān)系⒈

梁上有向下的均布荷載,即q(x)<0：

FS(x)圖為一向右下方傾斜的直線；

M(x)圖為一向上凸的二次拋物線。xFS(x)OxOM(x)四、剪力、彎矩與荷載集度的微分關(guān)系⒉梁上無荷載區(qū)段，q(x)=0

：

FS(x)圖為一條水平直線；

M(x)圖為一斜直線。xFS(x)OxOM(x)FS(x)<0FS(x)>0OM(x)x四、剪力、彎矩與荷載集度的微分關(guān)系⒊

在集中力作用處剪力圖有突變,其突變值等于集中力的值。彎矩圖有轉(zhuǎn)折。⒋

在集中力偶作用處彎矩圖有突變，其突變值等于集中力偶的值，但剪力圖無變化。⒌

最大剪力可能發(fā)生在集中力所在截面的一側(cè);或分布載荷發(fā)生變化的區(qū)段上。

梁上最大彎矩Mmax可能發(fā)生在FS(x)=0

的截面上;或發(fā)生在集中力所在的截面上;或集中力偶作用處的一側(cè)。例7-10作圖示外伸梁的內(nèi)力圖。解:⑴求支座反力⑵判斷各段FS、M圖形狀:CA和BD段:q=0,FS為水平線,M為斜直線;AB段:q<0,FS為向右下斜直線,M為下凸拋物線。例7-10作圖示外伸梁的內(nèi)力圖。CA和BD段:q=0,FS為水平線,M為斜直線;AB段:q<0,FS為向右下斜直線,M為下凸拋物線。⑶作剪力圖CA段只需一個(gè)控制點(diǎn):AB段需兩個(gè)控制點(diǎn):BD段只需一個(gè)控制點(diǎn):例7-10作圖示外伸梁的內(nèi)力圖。CA和BD段:q=0,FS為水平線,M為斜直線;AB段:q<0,FS為向右下斜直線,M為下凸拋物線。⑷作彎矩圖CA段兩個(gè)控制點(diǎn):(上拉)AB段需三個(gè)控制點(diǎn):BD段需一個(gè)控制點(diǎn):第三節(jié)彎曲應(yīng)力和強(qiáng)度彎曲構(gòu)件橫截面上的應(yīng)力：當(dāng)梁上有橫向外力作用時(shí)，一般情況下，梁的橫截面上既又彎矩M，又有剪力FS。mmFSMmmFSmmM只有與切應(yīng)力有關(guān)的切向內(nèi)力元素dFS=dA

才能合成剪力；只有與正應(yīng)力有關(guān)的法向內(nèi)力元素

dFN=dA

才能合成彎矩。所以，在梁的橫截面上一般既有正應(yīng)力，又有切應(yīng)力。一、純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力若梁在某段內(nèi)各橫截面的彎矩為常量，剪力為零，則該段梁的彎曲就稱為純彎曲。FFaaCDAB++FFFS圖CADBFaM圖CADB簡支梁CD段任一橫截面上，剪力等于零，而彎矩為常量，所以該段梁的彎曲就是純彎曲變形現(xiàn)象：縱向線：各縱向線段彎成弧線,且靠近頂端的縱向線縮短,靠近底端的縱向線段伸長。橫向線：各橫向線仍保持為直線,相對轉(zhuǎn)過了一個(gè)角度,仍與變形后的縱向弧線垂直。提出假設(shè)：⑴平面假設(shè)：變形前為平面的橫截面變形后仍保持為平面且垂直于變形后的梁軸線。⑵單向受力假設(shè)：縱向纖維不相互擠壓,只受單向拉壓。提出假設(shè)：⑴平面假設(shè)：變形前為平面的橫截面變形后仍保持為平面且垂直于變形后的梁軸線。⑵單向受力假設(shè)：縱向纖維不相互擠壓，只受單向拉壓。推論：必有一層變形前后長度不變的纖維—中性層。中性軸

中性層橫截面對稱軸推論：必有一層變形前后長度不變的纖維—中性層。中性軸

中性層橫截面對稱軸中性層與橫截面的交線稱為中性軸,梁發(fā)生彎曲變形時(shí),橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)。dx圖（b）yzxO圖（a）dx變形幾何關(guān)系：圖（c）yρzyxO’O’b’b’ybbOO應(yīng)變分布規(guī)律：直梁純彎曲時(shí)縱向纖維的應(yīng)變與它到中性層的距離成正比應(yīng)變分布規(guī)律：直梁純彎曲時(shí)縱向纖維的應(yīng)變與它到中性層的距離成正比由于梁的縱向纖維處于單向拉伸或壓縮，在彈性范圍內(nèi)，由胡克定律可得正應(yīng)力：物理關(guān)系：yzxOMdAzyσdA靜力關(guān)系：橫截面上內(nèi)力系為垂直于橫截面的空間平行力系，這一力系簡化得到三個(gè)內(nèi)力分量.FNMzMy內(nèi)力與外力相平衡可得：=0(c)=0(d)=M(e)=0(c)=0(d)=M(e)將應(yīng)力表達(dá)式代入(c)式,得:中性軸通過橫截面形心將應(yīng)力表達(dá)式代入(d)式,得:自然滿足將應(yīng)力表達(dá)式代入(e)式,得:得到純彎曲時(shí)橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式:M為梁橫截面上的彎矩；y為梁橫截面上任意一點(diǎn)到中性軸的距離；Iz

為梁橫截面對中性軸的慣性矩

⑴

應(yīng)用公式時(shí),一般將My

以絕對值代入.根據(jù)梁變形的情況直接判斷

的正負(fù)號。以中性軸為界,梁變形后凸出邊的應(yīng)力為拉應(yīng)力(

為正號);凹入邊的應(yīng)力為壓應(yīng)力(為負(fù)號)。

⑵最大正應(yīng)力發(fā)生在橫截面上離中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)處：梁的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件為：例7-11試校核圖示T形截面鑄鐵梁的正應(yīng)力強(qiáng)度。解:⑴作出梁的彎矩圖,其最大值為⑵分別進(jìn)行彎曲抗拉(梁截面的下邊緣)、抗壓強(qiáng)度(梁截面的上邊緣)校核由例7-4知:最大拉應(yīng)力:滿足！最大壓應(yīng)力:例7-11試校核圖示T形截面鑄鐵梁的正應(yīng)力強(qiáng)度。解:⑴作出梁的彎矩圖,其最大值為⑵分別進(jìn)行彎曲抗拉(梁截面的下邊緣)、抗壓強(qiáng)度(梁截面的上邊緣)校核由例7-4知:滿足！例7-12試校核圖示工字鋼梁(l=1m)的許用均布荷載[q]。已知:解:⑴作出梁的彎矩圖,其最大值為⑵根據(jù)正應(yīng)力強(qiáng)度確定荷載[q]=2×8330N/m=16.66kN/m二、梁的切應(yīng)力和強(qiáng)度⒈矩形截面梁Iz—整個(gè)橫截面對中性軸的慣性矩;b—矩型截面的寬度;Sz*—

距中性軸為y的橫線以外部分橫截面面積對中性軸的靜矩;Fs—橫截面上的剪力。式中，A=bh為矩形截面的面積。⒉工字形截面梁Iz—整個(gè)橫截面對中性軸的慣性矩;

d—腹板的厚度;Sz*—

距中性軸為y的橫線以外部分橫截面面積對中性軸的靜矩;Fs—橫截面上的剪力。⒊圓形截面梁薄壁圓環(huán)形截面：例7-13矩形截面梁,截面的高寬比h/b=3/2,確定梁的截面尺寸。解:⑴作剪力圖和彎矩圖⑵根據(jù)正應(yīng)力強(qiáng)度確定截面例7-13矩形截面梁,截面的高寬比h/b=3/2,確定梁