平面圖形的鑲嵌

綜合與實(shí)踐

平面圖形的鑲嵌1.經(jīng)歷平面圖形鑲嵌的探索過程，進(jìn)一步發(fā)展探究意識(shí)、積累探究經(jīng)驗(yàn).2.認(rèn)識(shí)多邊形鑲嵌平面的條件，并能運(yùn)用其中的一種或幾種圖形進(jìn)行平面圖形鑲嵌；了解構(gòu)造基本鑲嵌圖案的一些方法。3.經(jīng)歷小組合作和交流過程，進(jìn)一步積累合作與交流的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)合作意識(shí).4.通過圖案設(shè)計(jì)活動(dòng)，發(fā)展空間觀念、以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力。一、認(rèn)識(shí)平面圖形的鑲嵌我們經(jīng)常能見到各種建筑物的地板，觀察地板，就能發(fā)現(xiàn)地板常用各種正多邊形地磚鋪砌成美麗的圖案.觀察在線美麗的鑲嵌圖案欣賞時(shí)空美麗的鑲嵌圖案欣賞時(shí)空用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進(jìn)行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的鑲嵌。平面圖形的鑲嵌觀察小結(jié)二、探索正多邊形的鑲嵌

探索活動(dòng)

在平面內(nèi)，各角相等，各邊也都相等的多邊形叫做正多邊形。邊數(shù)為n的多邊形的內(nèi)角和等于（n-2)·180°知識(shí)介紹：問題：用大小相同的正三角形、正六邊形能否鑲嵌平面？簡述你的理由。能否用正五邊形鑲嵌平面？正三角形的鑲嵌正六邊形的鑲嵌思考探究

除正三角形、正四邊形、正六邊形能鑲嵌平面外，還能找到其他能鑲嵌平面的正多邊形嗎？合作議論歸納2.用大小相同的正三角形、正四邊形、正六邊形都可以鑲嵌平面，其他正多邊形都不可以鑲嵌平面。1.同一種正多邊形是否可以鑲嵌平面的關(guān)鍵是：一種正多邊形的一個(gè)內(nèi)角的倍數(shù)是否360°。

對(duì)于正n邊形，其內(nèi)角都為，

在每個(gè)拼結(jié)點(diǎn)處，設(shè)可以將m個(gè)內(nèi)角彼此無重疊、無縫隙地拼結(jié)在一起，則×m=360°,m(n-2)=2n,mn-2m+4-2n=4m(n–2)-2(n-2)=4,(m-2)(n-2)=4,m

，n是正整數(shù)，因此m-2，n-2都是４的因子，m，n的取值僅有三種可能：m=6，n=3；m=4，n=4；m=3，n=6。(n-2)×180°n(n-2)×180°n合作議論歸納2.用大小相同的正三角形、正四邊形、正六邊形都可以鑲嵌平面，其他正多邊形都不可以鑲嵌平面。1.同一種正多邊形是否可以鑲嵌平面的關(guān)鍵是：一種正多邊形的一個(gè)內(nèi)角的倍數(shù)是否360°。

(n-2)×180°n三、探索用兩種正多邊形鑲嵌平面的條件.正方形的每個(gè)內(nèi)角是90°，正三角形的每個(gè)內(nèi)角是60°，對(duì)于某個(gè)拼結(jié)點(diǎn)處，設(shè)有x個(gè)60°角，有y個(gè)90°角，則：60x+90y=360即：2x+3y=12又x、y是正整數(shù)解得：x=3,y=2即：每個(gè)頂點(diǎn)處用正三角形的三個(gè)內(nèi)角，正方形的兩個(gè)內(nèi)角進(jìn)行拼接.(如上圖)(1)正三角形與正方形正三角形的每個(gè)內(nèi)角是60°，正六邊形的每個(gè)內(nèi)角是120°，對(duì)于某個(gè)拼結(jié)點(diǎn)處，設(shè)有x個(gè)60°角，有y個(gè)120°角，即：60x+120y=360°即x+2y=6x、y是正整數(shù)解得：即：每個(gè)頂點(diǎn)處用四個(gè)正三角形和一個(gè)正六邊形，或者用二個(gè)正三角形和兩個(gè)正六邊形，如上圖.(2)正三角形與正六邊形結(jié)論：由n種正多邊形組合起來鑲嵌成一個(gè)平面的條件：(1)n個(gè)正多邊形中一個(gè)內(nèi)角的和的倍數(shù)是360°(2)n個(gè)正多邊形的邊長相等，或其中一個(gè)或n個(gè)正多邊形的邊長是另一個(gè)或n個(gè)正多邊形的邊長的整數(shù)倍.(3)正三角形和正十二邊形與前一樣討論，得每個(gè)頂點(diǎn)處用一個(gè)正三角形和兩個(gè)正十二邊形由以上討論可找到鑲嵌平面的條件.四、探索任意三角形、四邊形的鑲嵌用形狀、大小完全相同的三角形能否鑲嵌平面？如果能，觀察每個(gè)拼接點(diǎn)處有幾個(gè)角，它們與這種三角形的三個(gè)內(nèi)角有什么關(guān)系。如果不能，說明為什么。用同一種四邊形能否鑲嵌平面呢？？？？？？問題實(shí)踐之窗實(shí)踐之窗任意三角形的鑲嵌任意四邊形的鑲嵌實(shí)踐小結(jié)用同一種三角形可以鑲嵌平面用同一種四邊形可以鑲嵌平面平面圖形能鑲嵌平面的條件是，每個(gè)拼接點(diǎn)處的多邊形各內(nèi)角之和能組合成180°或360°五、利用可以鑲嵌的基本圖形來設(shè)計(jì)新的鑲嵌圖形怎樣利用可以密鋪的基本圖形來設(shè)計(jì)新的可以密鋪的圖形？思考時(shí)空在原圖上截下一部分把它平移到相對(duì)位置，組成一個(gè)新的圖形，則新的圖形可以進(jìn)行密鋪從正方形出發(fā)，按下列步驟設(shè)計(jì)圖案：畫一個(gè)正方形；取正方形一邊的中點(diǎn)，12

畫出部分1，

并將其剪下

補(bǔ)在2的位置上；123411同樣，畫出部分3，3

并將其剪下補(bǔ)在2的位置上；3經(jīng)過上述步驟后，得到一個(gè)新的圖案。（1）按上述步驟，你得到了一個(gè)“箭頭”了嗎？（2）剪出若干個(gè)同樣的“箭頭”，拼出一個(gè)美麗的圖案1.全等的圖形之間無縫隙、不重疊4.圖案設(shè)計(jì)要有自己的創(chuàng)意設(shè)計(jì)密鋪圖案的方法與要求:2.選取一個(gè)可以密鋪的圖案(三角形,四邊形,六邊形等).在原圖上截下一部分把它平移到相對(duì)位置，組成一個(gè)新的圖形，以新的圖形為基本圖案可以進(jìn)行密鋪3.應(yīng)該是”鋪”出來的而不是”畫”出來的欣賞時(shí)空欣賞時(shí)空欣賞時(shí)空欣賞時(shí)空欣賞時(shí)空欣賞時(shí)空欣賞時(shí)空欣賞時(shí)空欣賞時(shí)空欣賞時(shí)空

如何以下圖中的（1）、（2）為拼圖的“基本單位”，拼出圖（3）、（4）、（5）、（6）？如果允許圖形作軸對(duì)稱變換，那么還可以拼出怎樣的圖案？交流樂園（1）（3）（2）（5）（4）（6）（10）（8）（9）（7）收獲與評(píng)價(jià)本節(jié)課你有什么收獲和感受？

本節(jié)課你有什么疑惑和問題？

你能給自己和同伴在本節(jié)課的學(xué)習(xí)作個(gè)評(píng)價(jià)嗎？

課堂小結(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)鑲嵌的含義鑲嵌的條件鑲嵌的應(yīng)用(觀察感悟)(