第四章 虛位移原理

第四章虛位移原理

第一節(jié)基本概念第二節(jié)約束和約束方程第三節(jié)自由度與廣義坐標(biāo)第四節(jié)虛位移與虛功的概念

第五節(jié)虛位移原理第六節(jié)廣義力

本章重點(diǎn)應(yīng)用虛位移原理求解靜平衡問題1第一節(jié)基本概念FW1W2ab一、引例W1a-W2b=0秤平衡時(shí)滿足給秤以，秤仍平衡ΣδW=0W1a-W2b=(W1a-W2b)=02二、虛位移原理可求解問題類型1.質(zhì)點(diǎn)系處于靜平衡狀態(tài)時(shí)，主動(dòng)力系力之間的關(guān)系或質(zhì)點(diǎn)系位置量。θ32、用去掉約束代之以約束反力的方法，求約束反力。FD43、達(dá)朗伯原理加虛位移原理可求動(dòng)力學(xué)問題。由于理想約束的約束反力作功之和為零，應(yīng)用虛位移原理解題通常比列平衡方程更方便。5第二節(jié)約束和約束方程一、約束限制非自由質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)的條件。二、約束方程約束的數(shù)學(xué)表達(dá)式。3、幾何約束：只限制質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系的空間位置的約束。三、完整、穩(wěn)定（定常）、幾何約束的約束方程1、完整約束：約束方程中不含微分或微分可積。2、穩(wěn)定約束：約束方程中不顯含時(shí)間t。6f(x，,y，z)=0x2+y2=l2xA2+yA2=r2(xB

-xA)

2+(yB

-yA)2=l2yB=0

7約束方程的一般形式為：一般，由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，有s個(gè)約束方程，fr(x1，,y1，z1，…，xn，,yn，zn)=0r=1，2，3，…，s8第三節(jié)自由度與廣義坐標(biāo)

一、自由度在完整約束條件下，確定質(zhì)點(diǎn)系位置的獨(dú)立參數(shù)的數(shù)目。空間質(zhì)點(diǎn)系：N=3n-S平面質(zhì)點(diǎn)系：N=2n-SS：約束方程數(shù)。二、自由度的確定1.用公式計(jì)算9

N=2-1=1；N=3-1=2;N=4-3=1；102、直接判斷看確定系統(tǒng)位置需要幾個(gè)獨(dú)立參數(shù)。θAl2l1BxyθBCAN=2×2-2=2N=2×3-4=2；確定質(zhì)點(diǎn)系位置的獨(dú)立變量。它可為絕對(duì)量、相對(duì)量、長度、三、廣義坐標(biāo)角度。取定廣義坐標(biāo)，各點(diǎn)的位置坐標(biāo)可表為廣義坐標(biāo)的函數(shù)。11yB=0

取為廣義坐標(biāo)取為廣義坐標(biāo)12ri=ri(q1，q2，…，qN)i=1，2，3，…，n

（i=1，2，…，n）一般，由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，具有N個(gè)自由度，取N個(gè)廣義坐標(biāo)，質(zhì)點(diǎn)系任一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的矢徑可表為：取直角坐標(biāo)投影，13第四節(jié)虛位移與虛功的概念一、虛位移質(zhì)點(diǎn)系在約束允許的條件下，可能實(shí)現(xiàn)的任何無限小的位移。虛位移可以是線位移，也可以是角位移，如在完整約束的條件下，實(shí)位移是可能的虛位移之一?？扇?4確定的關(guān)系。系統(tǒng)獨(dú)立虛位移的數(shù)目和自由度相同。二、確定各之間的關(guān)系的方法各質(zhì)點(diǎn)的位移受約束的限制，坐標(biāo)不獨(dú)立，各之間存在（1）由幾何關(guān)系直接判斷例：螺旋機(jī)構(gòu)。1、幾何法（2）虛速度法

各和vi對(duì)應(yīng)；取和ωi對(duì)應(yīng)

。

各15

例13-1

求圖示曲柄連桿機(jī)構(gòu)中A、B兩點(diǎn)的虛位移之間的關(guān)系。解：(一)速度投影法給曲柄銷A以圖示的虛位移滑塊B的對(duì)應(yīng)虛位移為

（二）瞬心法PP16ADl例13-2

求圖示曲柄連桿機(jī)構(gòu)中A、D兩點(diǎn)的虛位移之間的關(guān)系。解：給A以172.變分法取廣義坐標(biāo)，質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)可表為：ri=ri(q1，q2，…，qN)，義坐標(biāo)的關(guān)系。求變分：i=1，2，3，…，n投影到直角坐標(biāo)軸上，可得3n個(gè)方程，由此可確定和廣18例12-3

用變分法求A、D兩點(diǎn)的虛位移之間的關(guān)系。

yA=ltanADlyx解：取

為廣義坐標(biāo)19例13-4

求雙錘擺A、B點(diǎn)的虛位移。θAl2l1Bxy解：取、θ為廣義坐標(biāo)20三、虛功質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系所受的力在虛位移上所作的功稱為虛功。

四、

理想約束約束反力所作虛功之和等于零的約束。取，理想約束的定義和動(dòng)能定理中一致。取21第五節(jié)虛位移原理點(diǎn)系的主動(dòng)力在任何虛位移中所作的虛功之和等于零。

一、虛位移原理具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，其平衡的充要條件是：作用于質(zhì)ΣFi·δri=0

22因?yàn)椋?/p>

ΣFNi·δri=0，所以有：ΣFi·δri=0證：設(shè)一質(zhì)點(diǎn)系平衡，取mi，其受力滿足

Fi+

FNi=0。給一廣義坐標(biāo)qi以虛位移δqi，則mi處有δri

，用δri點(diǎn)乘上式，F(xiàn)i·δri+

FNi·δri=0i=1，2，…，n求和：ΣFi·δri+ΣFNi·δri=0證畢235.求解未知量。

二、虛位移原理的應(yīng)用解題步驟：1.確定系統(tǒng)的自由度，選取適當(dāng)?shù)膹V義坐標(biāo)；2.畫作虛功的力；3.畫虛位移圖，確定各虛位移之間的關(guān)系；4.建立虛功方程；24一例13-5

在曲柄式壓榨機(jī)的銷釘B上作用水平力F，此力位處摩擦及桿重不計(jì)，求物體所受的壓力。于平面ABC內(nèi)，作用線平分∠ABC。設(shè)AB=BC，∠BAC=，各解：給δrB，作出δrC如圖。

FN=αδrBδrCFN-FδrB

cosα+

FNδrC=0建立虛功方程：25例13-6

在螺旋壓榨機(jī)的手柄AB上作用一在水平面內(nèi)的力偶，其力偶矩等于2Fl，設(shè)螺桿的螺距為h，求平衡時(shí)作用于被壓榨物體上的壓力。解；

系統(tǒng)自由的度為1。給系統(tǒng)以虛位移螺桿和壓板得到向下位移列虛功方程

26例13-7

一夾緊裝置，設(shè)剛體內(nèi)壓力的壓強(qiáng)為p，活塞直徑為D，尺寸如圖所示，試求作用在工件上的壓力。給活塞以向右的虛位移虛功方程：解：系統(tǒng)自由度為1，2728例題12-8

求圖示滑輪系統(tǒng)在平衡時(shí)的值。xP+2xA=c1xB+(xB

-xA)=c2xC+(xC

-xB)=c3xQ

-xC

=c4xQ

-xC

=02xC

-xB

=02xB

-xA

=0xP

+2xA

=08xQ

=-xP解:（一）變分法利用繩長不變找?guī)缀侮P(guān)系OABCPxyQ29-8PxQ

+QxQ

=0

Q/P=8PxP

+

QxQ

=0由虛位移原理得:OABCPxyQ30（二）幾何法δrCδrBδrAδrP給重物以虛位移δrC

，δrB=2δrCδrA=2

δrB=4δrCδrP=2

δrA=8δrC

Q/P=8PrP

-

QrQ

=0OABCPxyQ31例13-9

套筒分別置于光滑水平面上互相垂直的滑道中，受力分別為P和F，如圖所示。長為l的連桿和水平方向夾角為

，摩擦均不計(jì)，求系統(tǒng)的平衡條件。AB解：系統(tǒng)自由度為1，取θ為廣義坐標(biāo)PFyx32yABPFIrArBx（一）幾何法畫虛位移圖由虛位移原理得:F·rB-P·rA

=0Flsin-Pl

cos=0tg

=P/F，I為AB桿的瞬心。給B以向右的虛位移33yABxPF(二)變分法yA=lsinyA=lcos

xB=lcosxB=-lsin由虛位移原理得:-PyA-FxB

=0-Pl

cos+Flsin=0tg

=P/F34

例題13-10

多跨梁由AC和CE用鉸C連接而成。荷載分布如圖示，P=50kN，均布荷載q=4kN/m，力偶矩M=36kN.m；求支座A、B和E的約束反力。3m3m6m6m6mABCDEPqM35解:

解除支座A的約束，代之約束反力FA，系統(tǒng)獲得一個(gè)自由度。rArC

B是AC桿的瞬心；

E是CE桿的瞬心。rC

=(BC)1

=(CE)2

1=22

3m3m6m6m6mACDEPMF1FAF2將均布載荷用合力代替，F(xiàn)1=F2=24kN。畫出虛位移圖。12B366FA1-1501+721+2162-362=0FA=-2kN

由虛位移原理得:rArC3m3m6m6m6mACDEPMF1FAF212rPr1r2FArA-PrP+F1r1+F2r2-M2=0作出各有關(guān)虛位移，B373m3m6m6m6mABCDEPM解除支座B的約束，代之約束反力FB

。E是CE桿的瞬心。rC

=(AC)1

=(CE)21

=2=rCF1F2FB12畫虛位移圖。rPrBr1r2由虛位移原理得:PrP

-FBrB+

F1r1+F2r2-M2=0作出各有關(guān)虛位移，F(xiàn)B=91kN

1501-6FB1+2161+2162-362=038解除支座E的約束,代之約束反力FE，rE由虛位移原理得:12FE

-72-36=0FE=9kN

3m3m6m6m6mABCDEPF1mFEF2r2FE

rE–F2r2-M=0畫虛位移圖。39例題2-4

組合構(gòu)架如圖所示。已知P=10kN，不計(jì)構(gòu)件自重，求1桿的內(nèi)力。2m2m2m2m2mACBP1402m2m2m2m2mACBP解:截?cái)?桿代之內(nèi)力F1和F′1。rCB為BC的瞬心。利用虛位移圖得:rC

=(AC)1

=(BC)21

=2

=

BF1F′1r1r2畫虛位移圖。12rP41F1=5kN

由虛位移原理得:-2F11-2F'12+20P2=

0-F1cos45°r1-F'1cos45°r2+PrP=

02m2m2m2m2mACBPrCBF1F′1r1r212rP42第六節(jié)廣義力一、廣義力

設(shè)n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成一非自由質(zhì)點(diǎn)系，有N個(gè)自由度。選N個(gè)廣義坐標(biāo)，，，…，，可確定質(zhì)點(diǎn)系的位置。選定的直角坐標(biāo)系，各質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)可以寫成廣義坐標(biāo)的函數(shù)形式：求變分

（i=1，2，…，n）

43由虛位移原理

令

令

:對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo)qk的廣義力。

44二、廣義力的求法1、根據(jù)公式計(jì)算

若作用于質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力為有勢力，勢能為EP，

452、令廣義坐標(biāo)中的δqj≠0，而保持其余