第四章 系統(tǒng)誤差

第5章系統(tǒng)誤差1測量過程中系統(tǒng)誤差往往伴隨著隨機誤差一起出現(xiàn)，但系統(tǒng)誤差更具有隱蔽性。本章討論系統(tǒng)誤差的來源、分類以及對測量結果的影響，發(fā)現(xiàn)和檢驗系統(tǒng)誤差的方法，以及消除系統(tǒng)誤差的基本方法。教學目標2系統(tǒng)誤差產生的原因系統(tǒng)誤差的特征系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的統(tǒng)計檢驗系統(tǒng)誤差減少和消除的方法教學重點和難點3第一節(jié)

系統(tǒng)誤差概述本節(jié)主要介紹系統(tǒng)誤差產生的原因以及系統(tǒng)誤差的分類與特征

4一、系統(tǒng)誤差產生的原因在測量過程中，影響測量偏離真值的所有誤差因素中，只要是由確定性變化規(guī)律的因素造成的，都可以歸結為是系統(tǒng)誤差的原因

系統(tǒng)誤差產生的原因從各種可能影響測量結果的要素中去尋找

系統(tǒng)誤差是可以設法預測的

測量裝置的因素測量方法的因素測量環(huán)境的因素測量人員的因素5測量裝置和測量人員的因素測量裝置的因素

計量校準后發(fā)現(xiàn)的偏差儀器設計原理的缺陷儀器制造和安裝的不正確標準環(huán)規(guī)的直徑偏差齒輪杠桿測微儀直線位移和轉角不成比例的誤差標尺的刻度誤差、刻度盤和指針的安裝偏心、儀器導軌的誤差測量人員的因素

由于測量者固有的測量習性，如讀出刻度上讀數(shù)時，習慣于偏于某一個方向，記錄動態(tài)測量數(shù)據時總有一個滯后的傾向等

6測量環(huán)境的因素測量方法的因素測量環(huán)境和測量方法的因素測量時的實際溫度對標準溫度的偏差，對測量結果可以按確定規(guī)律修正的誤差等等

采用近似的測量方法或近似的計算公式等所引起的誤差

用均值電壓表測量交流電壓時，由于計算公式出現(xiàn)無理數(shù)和，取近似公式，由此產生的誤差

在間接測量中常見此類誤差

7激光數(shù)字波面干涉儀的系統(tǒng)誤差來源激光波長系統(tǒng)漂移標準鏡面局部缺陷的固定電噪聲干涉視場的系統(tǒng)噪聲波差多項式模型誤差8二、系統(tǒng)誤差的分類與特征

1.分類

2.特征(1)無補償性：影響算術平均值的估計(2)可變系統(tǒng)誤差影響測量結果分散性的估計恒定（常量）(2)根據對系統(tǒng)誤差的掌握程度分類(1)根據系統(tǒng)誤差在測量過程中所具有的不同變化特性分類可變（線性、周期性、其他復雜規(guī)律）已定的未定的9恒定系統(tǒng)誤差在整個測量過程中，誤差大小和符號均固定不變的系統(tǒng)誤差某量塊的公稱尺寸為10mm，實際尺寸為10.001mm,誤差為0.001mm,若按公稱尺寸使用,則始終會存在0.001mm的系統(tǒng)誤差某千分尺零位位置不指零，也會在使用過程中造成對每次測量量值讀數(shù)的一個常量的零值誤差10可變系統(tǒng)誤差在整個測量過程中，誤差的大小和符號隨著測量位置或時間的變化而發(fā)生有規(guī)律的變化線性變化系統(tǒng)誤差周期性變化系統(tǒng)誤差復雜規(guī)律變化系統(tǒng)誤差11線性變化系統(tǒng)誤差

在整個測量過程中，隨著測量位置或時間的變化，誤差值成比例地增大或減小，稱該誤差為線性變化系統(tǒng)誤差

刻度值為1mm的標準刻尺，存在刻劃誤差，每一刻度間距實際為，若用它與另一長度比較，得到比值為，則被測長度的實際值為由于測量值為，故產生的系統(tǒng)誤差 是隨測量值的大小而線性變化的

12線性變化系統(tǒng)誤差舉例某長度為1金屬刻尺的材料隨溫度變化的線膨脹系數(shù)為，則在使用其測長時在偏離標準溫度(200C)50C的條件下引起的測長誤差可視為隨溫度線性變化的系統(tǒng)誤差有3在絲杠測量中，由于絲杠軸心線安裝偏斜所造成的螺距累積誤差，是隨牙數(shù)或螺距的測量長度而線性變化的系統(tǒng)誤差13周期性變化系統(tǒng)誤差在整個測量過程中，隨著測量位置或時間的變化，誤差按周期性規(guī)律變化的，稱其為周期性變化系統(tǒng)誤差

儀表指針的回轉中心與刻度盤中心有一個偏離值，則指針在任一轉角處引起的讀數(shù)誤差為。此誤差變化規(guī)律符合正弦曲線規(guī)律，當指針在00和1800時誤差為零，而在900和2700時誤差絕對值達最大某齒輪、光學分度頭中分度盤等安裝偏心引起的齒輪齒距誤差、分度誤差，都是屬于正弦規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差14復雜規(guī)律變化系統(tǒng)誤差

在整個測量過程中，隨著測量位置或時間的變化，誤差按確定的更為復雜的規(guī)律變化，稱其為復雜規(guī)律變化系統(tǒng)誤差

微安表的指針偏轉角與偏轉力矩不能保持線性關系，而表盤仍采用均勻刻度所產生的誤差復雜規(guī)律一般可建立諸如代數(shù)多項式、三角多項式或其他正交函數(shù)多項式等數(shù)學模型來描述15各類特征系統(tǒng)誤差圖示曲線a是恒定系統(tǒng)誤差，曲線b是線性變化系統(tǒng)誤差，曲線c是非線性變化系統(tǒng)誤差，曲線d是周期性變化系統(tǒng)誤差，曲線e是復雜規(guī)律變化系統(tǒng)誤差。16已定系統(tǒng)誤差和未定系統(tǒng)誤差

指誤差的大小和符號均已確切掌握了的，因此在處理和表征測量結果時，是屬于可修正的系統(tǒng)誤差。指這類系統(tǒng)誤差的大小和符號不能完全確切掌握的，因此在處理和表征測量結果時，是屬于不可修正的系統(tǒng)誤差。已定系統(tǒng)誤差未定系統(tǒng)誤差17三、系統(tǒng)誤差

對測量結果的影響181．影響測量最佳值的估計

設有一組常量測量數(shù)據中分別存在系統(tǒng)誤差和隨機誤差，真值記為則這組測量數(shù)據的算術平均值

表明系統(tǒng)誤差一般不具有抵償性，即

系統(tǒng)誤差會影響對算術平均值的估計

192.可變系統(tǒng)誤差影響測量結果分散性的估計

測量數(shù)據的殘余誤差對于恒定系統(tǒng)誤差，上式第二項為零，說明恒定系統(tǒng)誤差不會影響對殘差的計算，因而不會對標準差的估計產生影響對于可變系統(tǒng)誤差的情形，上式第二項一般不為零，說明可變系統(tǒng)誤差還會對標準偏差的估計產生影響20由于它在數(shù)據處理中只影響算術平均值，而不影響殘差及標準差，所以除了要設法找出該恒定系統(tǒng)誤差的大小和符號，對其算術平均值加以修正外，不會影響其他數(shù)據處理的過程。由于它對算術平均值和殘差均產生影響，所以應在處理測量數(shù)據的過程中，必須要同時設法找出該誤差的變化規(guī)律，進而消除其對測量結果的影響。可變系統(tǒng)誤差恒定系統(tǒng)誤差小結21可變系統(tǒng)誤差的隨機誤差分布

時刻時刻時刻時刻對于測量過程中不同時刻情形，由于可變系統(tǒng)誤差的存在，將隨機誤差的測量值分布展開后呈現(xiàn)如圖所示可變系統(tǒng)誤差造成測量結果的算術均值變化、分散性也變大的圖形解釋22第二節(jié)系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)與統(tǒng)計檢驗23發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的常用方法用標準器具（物質）檢定組內統(tǒng)計檢驗（殘差統(tǒng)計法）組間系統(tǒng)誤差檢驗在測量過程中形成系統(tǒng)誤差的因素是復雜的，通常人們難于查明所有的系統(tǒng)誤差，即使經過修正系統(tǒng)誤差，也不可能全部消除系統(tǒng)誤差的影響。但是，人們在實際測量的工作過程中，經過不斷的探索與總結，還是有一些發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的行之有效的方法24

一、用標準器具（物質）檢定在計量工作中，常用標準器具或標準物質作為檢定工具，來檢定某測量器具的標稱值或測量值中是否含有顯著的系統(tǒng)誤差。標準器具所提供的標準量值的準確度應該比被檢定測量器具的要高出1～2個等級或至少高幾倍以上。

現(xiàn)對被檢量重復測量次，假設測量服從正態(tài)分布

在計量檢定中，常設（標準器具量值），現(xiàn)對均值進行檢定，判斷其是否含有系統(tǒng)誤差。25用標準器具（物質）檢定步驟2、構造統(tǒng)計量3、在給定顯著水平下，查分布表的臨界值4、作出決策。若，判定被檢量算術平均值與期望的標準值之間存在顯著的差異，即被檢量含有恒定的系統(tǒng)誤差。5、加修正值。對測得值加一個修正值，即1、計算均值，按貝塞爾公式計算標準差26【例5-1】【解】計算假設被檢儀器有故儀器有顯著系統(tǒng)誤差

修正值

用量值為3.05的標準器具檢定某臺儀器，重復測量15次，數(shù)據依次見下，試分析該儀器的系統(tǒng)誤差。

2.9，3.0，3.1，3.0，3.1，3.2，3.1，2.8，2.9，2.9，3.0，3.0，2.9，2.9，2.827測量值檢查時間序號標定該儀器在不同時間段的測量值的變化，包括算術平均值和標準差，以核查該測量儀器在一個長的時期內的測量準確度,使之得到控制

某儀器測量過程控制圖

28二、多臺儀器間的比對測試

缺少標準器具的檢定手段時，可以考慮選擇幾個實驗室之間進行比對測試，在嚴格規(guī)定比對測試的規(guī)范基礎上，可以通過對幾個參加實驗室的測試數(shù)據的匯總、統(tǒng)計分析，得出一些說明實驗室之間測試結果是否有顯著差異的結論。

在檢查儀器的測量穩(wěn)定性試驗中，需要對儀器的某標準測量值進行不同時間段的多次重復測量，得到多組數(shù)據

組間t檢驗法

組間F檢驗法29兩組數(shù)據

統(tǒng)計量

給定顯著水平，若，則與有顯著差別，即存在系統(tǒng)誤差；反之則無根據懷疑兩組間有系統(tǒng)誤差。

和1、組間檢驗法（組數(shù)，正態(tài)）30【例5-2】

對某10電阻器進行次測量，其均值和標準差估計值分別為和,兩周后又用對電阻器進行次測量，其均值和標準差估計值分別為和。試分析該兩組測量結果是否有顯著差異。（顯著水平）

【解】根據題意查t分布臨界值表有故可斷定在下兩組均值之間有顯著差異。按公式計算由于31兩組標準差之間的方差檢驗1、檢驗2、計算檢驗統(tǒng)計量3、給定顯著水平，查F分布表和4、作出決策。若，接受原假設，即認為兩組標準層之間沒有顯著差異，否則存在顯著差異32【例5-2】中的標準差的方差檢驗計算查F分布表由于故接受，即認為兩組數(shù)據的標準差之間沒有顯著差異332、組間F檢驗法（組數(shù)正態(tài)）

組數(shù)據，每組數(shù)據個數(shù)，

構造統(tǒng)計量組內殘差平方和組間殘差平方和給定顯著水平，若，則存在系統(tǒng)誤差；反之則無根據懷疑各組間有系統(tǒng)誤差。

自由度34【例5-3】在某儀器上測得13組數(shù)據，每組次數(shù)與算術平均值見下表（每次測量值略），試分析各組數(shù)據間是否有顯著差異。（顯著水平）

組號次數(shù)算術平均值組號次數(shù)算術平均值１261247842121323212439861234371239103312384501239117122352412301291243632123913551248736123635【解】故可斷定在下各組間存在系統(tǒng)誤差。經計算列出方差分析表，得

按查表得

因殘差平方和自由度組間組內和計算結果36三、組內統(tǒng)計檢驗（殘差統(tǒng)計法）37含有系統(tǒng)誤差的殘差散點圖

圖（b）的殘差數(shù)值有規(guī)律地遞增，且在測量開始與結束時誤差符號相反，則說明存在線性遞增的系統(tǒng)誤差。圖（a）說明各殘差大體正負相間，無顯著變化規(guī)律，故無根據懷疑有可變系統(tǒng)誤差。38含有系統(tǒng)誤差的殘差散點圖(續(xù)）圖（c）的殘差符號由正變負，再由負變正，循環(huán)交替地變化，則說明存在周期性系統(tǒng)誤差

圖（d）的殘差值變化既有線性遞增又有周期性變化，則說明存在復雜規(guī)律的系統(tǒng)誤差。39常用的系統(tǒng)誤差檢驗方法殘差散點圖上并沒有標明測量真值的位置。因此，只分析殘差是無法發(fā)現(xiàn)恒定系統(tǒng)誤差的用殘差散點圖觀察系統(tǒng)誤差是否存在，還缺乏定量的檢驗界限

兩個常用從殘差出發(fā)的系統(tǒng)誤差檢驗方法

和檢驗法

小樣本序差法

401、和檢驗法記分別為前后各半殘差和引入統(tǒng)計量

（檢驗顯著遞增和遞減誤差）若則存在顯著的線性變化或遞增、遞減系統(tǒng)誤差。412、小樣本序差法記序差序差平方和（檢驗顯著周期性變化誤差）殘差平方和（突出分散性）引入統(tǒng)計量若則存在顯著的周期性變化系統(tǒng)誤差。

4240.390130.57850.410140.59160.445150.60370.468160.61480.491170.62490.512180.633100.531190.642110.548200.650120.564小樣本序差法值43【例5-4】在研究光電顯微鏡中，曾對其讀數(shù)電表的示值精度進行檢定，所得15次重復測量的讀數(shù)2.9，3.0，3.1，3.0，3.1，3.2，3.1，2.8，2.9，2.9，3.0，3.0，2.9，2.9，2.8，試判斷有無系統(tǒng)誤差?！窘狻肯茸鞒鰵埐钌Ⅻc圖，判斷圖中前半殘差符號偏正，后半殘差符號偏負，數(shù)值由小變大，又由大變小。因此，可能存在周期或遞減誤差，但還需要定量的檢定準則來幫助判定。和檢驗法有故認為數(shù)據存在顯著的遞減系統(tǒng)誤差。

44散點圖45小樣本序差法查表得有故認為存在顯著的周期性系統(tǒng)誤差。結論：該組數(shù)據存在顯著的遞減和周期性系統(tǒng)誤差。計算結果46第三節(jié)

系統(tǒng)誤差的減小與消除消誤差源法加修正值法改進測量方法在測量過程中，如果發(fā)現(xiàn)有顯著系統(tǒng)誤差存在，就盡量采取適當?shù)募夹g措施將其減小或消除。由于減小或消除系統(tǒng)誤差的方法與具體的測量對象、測量方法以及測量人員的經驗有關，因此要找出普遍有效的方法比較困難47一、消誤差源法

最理想的方法。它要求對產生系統(tǒng)誤差的因素有全面而細致的了解，并在測試前就將它們消除或減弱到可忽略的程度。視具體條件不同，有：（1）所用基、標準件（如量塊、刻尺、光波波長等）是否準確可靠。（2）所用儀器是否經過檢定，并有有效周期的檢定證書。（3）儀器調整、測件安裝定位和支承裝卡是否正確合理。（4）

所用測量方法和計算方法是否正確，有無理論誤差。（5）測量場所的環(huán)境條件是否符合規(guī)定要求，如溫度變化等（6）

測量人員主觀誤差，如視差習慣等。48二、加修正值法49基本思想關鍵：確定修正值或修正函數(shù)。預先將測量器具的系統(tǒng)誤差檢定出來或計算出來，作出誤差表或誤差曲線，然后取與誤差數(shù)值大小相同而符號相反的值作為修正值，將實際測得值加上相應的修正值，即可得到不包含該系統(tǒng)誤差的測量結果量塊的實際尺寸不等于公稱尺寸，若按公稱尺寸使用，就要產生系統(tǒng)誤差。因此應按經過檢定的實際尺寸（即將量塊的公稱尺寸加上修正量）使用，就可以避免此項系統(tǒng)誤差的產生50加修正值法恒定系統(tǒng)誤差可變系統(tǒng)誤差按某變化因素，依次測得基準量的測值，對差值按最小二乘法確定該因素變化函數(shù)規(guī)律，取其負值即為該可變系統(tǒng)誤差的修正函數(shù)。修正后殘留的誤差，可歸成偶然誤差來處理。對已知基準量重復測量取其均值，即為其修正值51三、改進測量方法52基本思想在測量過程中，根據具體的測量條件和系統(tǒng)誤差的性質，采取一定的技術措施，選擇適當?shù)臏y量方法，使測得值中的系統(tǒng)誤差在測量過程中相互抵消或補償而不帶入測量結果之中，從而實現(xiàn)減弱或消除系統(tǒng)誤差的目的。

恒定系統(tǒng)誤差

替代法

交換法

抵消法

線性系統(tǒng)誤差周期性系統(tǒng)誤差對稱補償法半周期法53恒定系統(tǒng)誤差－替代法在測量裝置上測量被測量后不改變測量條件，立即用相應的標準量代替被測量，放到測量裝置上再次進行測量，從而得到該標準量測量結果與已知標準量的差值，即系統(tǒng)誤差，取其負值即可作為被測量測量結果的修正量。54等臂天平稱重,先將被測量放于天平一側，標準砝碼放于另一側，調至天平平衡，則有移去被測量，用標準砝碼代替，若該砝碼不能使天平重新平衡，如能讀出使天平平衡的差值，則有便消除了天平兩臂不等造成的系統(tǒng)誤差。

由于（存在恒定統(tǒng)誤差的緣故）恒定系統(tǒng)誤差－替代法舉例55根據誤差產生原因，將某些條件交換，以消除系統(tǒng)誤差。

恒定系統(tǒng)誤差－交換法等臂天平稱重,先將被測量放于天平一側，標準砝碼放于另一側，調至天平平衡，則有若將與交換位置，由于（存在恒定統(tǒng)誤差的緣故），天平將失去平衡。原砝碼P調整為砝碼,才使天平再次平衡。于是有則有消除了天平兩臂不等造成的系統(tǒng)誤差。

56恒定系統(tǒng)誤差－抵消法進行兩次反向測量，該兩次測量讀數(shù)時出現(xiàn)的系統(tǒng)誤差大小相等，符號相反，即取兩次測值的平均，有在使用直角尺檢定某量儀導軌運動的垂直度時，可用它分別讀數(shù)一次取算術平均值的方法，以使直角尺垂直誤差得到補償。在使用絲杠傳動機構測量微小位移時，為消除測微絲杠與螺母間的配合間隙等因素引起的空回誤差，往往采用往返兩個方向的兩次讀數(shù)區(qū)算術平均值作為測得值，以補償空回誤差的影響57線性系統(tǒng)誤差-對稱補償法在選取測量點時，取關于因素t的左右對稱處，兩次讀數(shù)平均，可消除線性系統(tǒng)誤差?；驹韺τ诰€性系統(tǒng)誤差，由于它隨某因素t按比例地遞增或遞減，因而對任一量值而言，線性誤差依賴t而相對該值具有負對稱性，對讀數(shù)與讀數(shù)，因有58對稱補償法舉例測得依賴因素t的5個讀數(shù)，可取對稱讀數(shù)平均值作為測得值，可有效消除該范圍內的線性誤差機械式測微儀、光學比長儀等，都以零位中心對稱刻度，一般都存在隨示值而遞增（減）的示值誤差。采用對稱補償法可消除這類示值誤差很多隨時間變化的系統(tǒng)誤差，在短時間內均可看作是線性的，即使并非線性的，只要是遞增或遞減的，如采用對稱補償法，則可基本或部分消除59周期性系統(tǒng)誤差-半周期法對周期性誤差，可以相隔半個周期進行兩次測量，取兩次讀數(shù)平均值，即可有效地消除周期性系統(tǒng)誤差。儀器度盤安裝偏心、測微表針回轉中心與刻度盤中心的偏心引起的刻