第三課時(shí)空間圖形在平面內(nèi)的表示方法

第三課時(shí)空間圖形在平面內(nèi)的表示方法課前自主學(xué)習(xí)課標(biāo)研讀1．了解直觀圖的概念；掌握斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)直觀圖的原則，會(huì)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的平面圖形及長(zhǎng)方體、正方體的直觀圖．2．重點(diǎn)是直觀圖畫(huà)法規(guī)則，難點(diǎn)是由直觀圖恢復(fù)原圖形．溫故夯基1．在空間中確定平面可根據(jù)_______________．2．畫(huà)表示平面的平行四邊形時(shí)，通常把它畫(huà)成銳角為_(kāi)______，橫邊畫(huà)成是鄰邊的兩倍．公理3及其推論45°知新益能1．________________________，叫做空間圖形的直觀圖．2．空間圖形直觀圖的畫(huà)法常采用______________，這種畫(huà)法的規(guī)則是：(1)在已知圖形中取水平平面，取互相垂直的軸____、______，再取______，使∠x(chóng)Oz＝______，且∠yOz＝_______.表示空間圖形的平面圖形斜二測(cè)畫(huà)法OxOyOz軸90°90°(2)畫(huà)直觀圖時(shí)，把它們畫(huà)成對(duì)應(yīng)的軸_______、_______、_____，使∠x(chóng)′O′y′＝_______________，∠x(chóng)′O′z′＝_________，x′O′y′所確定的平面表示___________．(3)已知圖形中平行于x軸，y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫(huà)成平行于______，_____，_____的線段．(4)已知圖形中平行于x軸和z軸的線段，在直觀圖中______________；平行于y軸的線段，長(zhǎng)度為_(kāi)______________．O′x′O′y′O′z′45°(或135°)90°水平平面x′軸y′軸z′軸保持長(zhǎng)度不變?cè)瓉?lái)的一半問(wèn)題探究1．斜二測(cè)畫(huà)法中的“斜”和“二測(cè)”的含義是什么？提示：“斜”，即在已知圖形的xOy平面內(nèi)垂直于x軸的線段，在直觀圖中均與x′軸成45°或135°角；“二測(cè)”是兩種度量形式，即已知圖形中平行于x軸和z軸的線段，在直觀圖中保持長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段，長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半．2．同一個(gè)幾何體不同的建系方法所畫(huà)出的直觀圖相同嗎？提示：不一定相同，如幾何體中的同一條棱因平行x軸和y軸不同所畫(huà)出的長(zhǎng)度也不相同．課堂互動(dòng)講練題型一畫(huà)平面圖形的直觀圖畫(huà)平面圖形的直觀圖時(shí)，需要在原圖中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，再根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則畫(huà)出相應(yīng)的點(diǎn)及線段．清楚原圖中哪些線段平行于坐標(biāo)軸，哪些線段與坐標(biāo)軸不平行．例1如圖，圖(2)是圖(1)的斜二測(cè)畫(huà)法的直觀圖，找出錯(cuò)誤之處，并且畫(huà)出正確的直觀圖．【思路點(diǎn)撥】關(guān)鍵是C點(diǎn)的確定方法，可以從C點(diǎn)作x軸或y軸的平行線．【解】點(diǎn)C′的位置不對(duì)．畫(huà)法：法一：如圖：(1)作CD∥Ox交y軸于點(diǎn)D，畫(huà)對(duì)應(yīng)軸O′x′、O′y′，使∠x(chóng)′O′y′＝45°.(2)在O′x′上取O′B′＝OB，在y′軸的負(fù)半軸上取O′D′＝OD，過(guò)D′作D′C′∥O′x′且D′C′＝DC.(3)連結(jié)O′C′、B′C′，并擦去輔助線，則△O′B′C′即為所畫(huà)三角形的直觀圖．法二：如圖：(1)作CD∥Oy交x軸于點(diǎn)D，畫(huà)對(duì)應(yīng)軸O′x′、O′y′，使∠x(chóng)′O′y′＝45°.【思維總結(jié)】畫(huà)直觀圖的基本步驟：(1)建系；(2)畫(huà)軸；(3)作平行線段(橫不變縱減半)；(4)連線；(5)擦去輔助線(也可保留輔助線)．(2)在x′軸的正半軸上取O′D′＝OD，O′B′＝OB，過(guò)D′作O′y′的平行線，在這條直線上x(chóng)′軸下方取D′C′＝DC.(3)連結(jié)O′C′、C′B′，并擦去輔助線，則△O′B′C′即為所求，題型二平面圖形的直觀圖恢復(fù)成原圖這是逆向作圖問(wèn)題，只需將畫(huà)法規(guī)則顛倒過(guò)來(lái)即可．熟悉直觀圖畫(huà)法規(guī)則的每一步，常將兩圖作比較，理解其中的變化規(guī)律．例2一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖(如圖所示)是一個(gè)底角為45°，腰和上底長(zhǎng)均為1的等腰梯形，求這個(gè)平面圖形的面積．【思維總結(jié)】

解答本題的關(guān)鍵是斜二測(cè)畫(huà)法中直觀圖中對(duì)應(yīng)原圖形的形狀，要抓住斜二測(cè)畫(huà)法的要點(diǎn)：橫不變，縱折半，傾角四十五度，連成平行線．直觀圖的還原就是逆用斜二測(cè)畫(huà)法，要緊緊抓住上述關(guān)鍵．題型三空間圖形的直觀圖畫(huà)空間圖形的直觀圖，先在幾何體的水平放置的表面上建立平面直角坐標(biāo)系xOy，再建立Oz軸．在直觀圖中，與Oz軸平行的線段，平行性和長(zhǎng)度都不改變．例3用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)長(zhǎng)、寬、高分別是8cm、6cm、4cm的長(zhǎng)方體ABCD－A′B′C′D′的直觀圖．【思路點(diǎn)撥】以底面矩形的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，以平行于長(zhǎng)方體的棱所在的直線為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系．【解】

(1)畫(huà)軸．如圖(1)所示，畫(huà)x軸、y軸、z軸，三軸相交于點(diǎn)O，使∠x(chóng)Oy＝45°，∠x(chóng)Oz＝90°.(2)畫(huà)底面．以點(diǎn)O為中點(diǎn)，在x軸上取線段MN，使MN＝8cm；在y軸上取線段PQ，使PQ＝3cm.分別過(guò)點(diǎn)M和N作y軸的平行線，過(guò)點(diǎn)P和Q作x軸的平行線，設(shè)它們的交點(diǎn)分別為A，B，C，D，四邊形ABCD就是長(zhǎng)方體的底面ABCD.(3)畫(huà)側(cè)棱．過(guò)A，B，C，D各點(diǎn)分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取4cm長(zhǎng)的線段AA′，BB′，CC′，DD′.(4)成圖．順次連結(jié)A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線)，就得到長(zhǎng)方體的直觀圖如圖(2)所示．【名師點(diǎn)評(píng)】本題亦可以長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以該頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱所在直線為坐標(biāo)軸，建立坐標(biāo)系．變式訓(xùn)練畫(huà)出一個(gè)棱長(zhǎng)為10cm的正方體．解：畫(huà)法：(1)作空間坐標(biāo)系，使∠x(chóng)′O′y′＝45°，∠x(chóng)′O′z′＝90°，∠y′O′z′＝45°.(2)作邊長(zhǎng)為10cm的正方形的直觀圖ABCO′.(3)分別過(guò)A、B、C作z′軸的平行線，并在上面及Z′軸上截取AA′＝BB′＝CC′＝O′D′＝10cm.(4)連結(jié)A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，即得所求正方體AC′.思維誤區(qū)警示畫(huà)法規(guī)則用錯(cuò)畫(huà)直觀圖或直觀圖恢復(fù)成原圖，易把畫(huà)法規(guī)則中的長(zhǎng)度關(guān)系畫(huà)錯(cuò)．例把右圖水平放置的直觀圖四邊形P′Q′R′S′還原為真實(shí)圖形．若S′R′＝2，P′Q′＝4，S′P′＝2，試求其真實(shí)圖形四邊形PQRS的面積．【錯(cuò)因】不理解原圖和直觀圖中各線段的變化及位置關(guān)系，如：S′P′與P′Q′在原圖中是垂直關(guān)系．【自我挑戰(zhàn)】由斜二測(cè)畫(huà)法知，P′Q′∥O′x′、P′S′∥O′y′、R′S′∥O′x′，故PQ∥Ox、PS∥Oy、RS∥Ox，其真實(shí)圖形如圖所示．

規(guī)律方法總結(jié)1．在直觀圖中有“三不變、兩變”，“三不變”是指直線的平行性、點(diǎn)的共線性、線的共點(diǎn)性不變；“兩變”是指角的大小、線段的長(zhǎng)度．2．對(duì)于圖形中與x軸、y軸都不平行的線段，可通過(guò)確定端點(diǎn)的辦法來(lái)解決，即過(guò)端點(diǎn)作坐標(biāo)軸的平行線段，再借助于所作的平行線段確定端點(diǎn)在直觀圖中的位置．隨堂即時(shí)鞏固1．(2010年唐山質(zhì)檢)在原來(lái)的平面圖中，兩條線段平行且相等，則在直觀圖中對(duì)應(yīng)的兩條線段(

)A．平行且相等B．平行不相等C．相等不平行

D．既不平行也不相等答案：A2．一水平放置的角的直觀圖是(

)A．一個(gè)角