第6章力系的簡化

第6章力系的簡化6.1力的平移定理6.2一般力系向某點的簡化6.3一般力系的最簡形式6.4特殊力系的簡化

6.4.1平面力系的簡化

6.4.2平行力系的簡化作業(yè)6.16.36.56.104學時1在工程實際中，一個剛體的受力往往是比較復雜的，為了便于了解力系對剛體總的作用效應，常常要用一個簡單的與之等效的力系進行替換，稱為力系的簡化。本章主要內容第6章力系的簡化學習本章的意義力系的簡化在研究剛體在力系作用下的平衡條件或運動規(guī)律時具有十分重要的意義。2第6章力系的簡化§6.1

力的平移定理問題的提出：作用于同一剛體上的力是一個滑移矢量；作用于同一剛體上的力偶的力偶矩是一個自由矢量；力偶矩矢量可以在同一剛體內作任意的平移，都不會影響力偶對剛體的作用效應。那么，力矢量能否隨意地平移呢？若不能，則需要附加什么條件，才能保證力矢量平移后對剛體的作用效應保持不變呢？下面就來研究這一問題。3力的平移定理若將作用于剛體上的力平移至同一剛體上不在力的作用線上的其他點，則必須增加一個附加力偶，其力偶矩等于原力對平移點之矩，這樣才能保證對剛體的作用效應相同?；蛘哒f，原來作用于點A的力可以分解為作用于同一剛體上點O的一個力和作用于這個剛體上的一個力偶，而且作用于點O的這個力的力矢與原作用于點A的力的力矢相等，作用于剛體上的這個力偶的力偶矩等于原力對點O的矩。顯然，這個力偶的力偶矩垂直于由點O與原力的作用線所作出的平面。4力的平移定理的逆定理當作用于剛體上某點O的某個力與作用于同一剛體的某個力偶的力偶矩垂直時，該力和力偶可以合成為一個力。

的力矢與相同，其作用線需將的作用線平移，平移的垂直方向為平移的垂直方向為平移的垂直距離為即力和力偶矩為的力偶可以合成為一個作用線過點B，其大小和方向與相同的合力，且5力螺旋的概念方向一致方向一致右手力螺旋左手力螺旋6§6.2

一般力系向某點的簡化一般力系向某點簡化作用于同一剛體上點上點O為剛體上任一確定點，根據(jù)力的平移定理，將力系中各力均向點O平移，得到共點力系作用于點O力偶系(6.1)(6.2)結論：一般力系可簡化為過點O的一個力和力偶矩為的一個力偶。通常，稱點O為力系的簡化中心，而將以上過程稱為一般力系向點O的簡化。7力系的第一不變量將一般力系分別向剛體上任意的不同的兩個確定的點O、A簡化，得到(6.3)上式表明：力系的主矢與簡化中心無關，稱為力系的第一不變量。力系的第二不變量將一般力系分別向剛體上任意的不同的兩個確定的點O、A簡化，得到(6.4)(6.5)由力系對不同兩點的主矩關系知8則(6.6)上式表明：力系的主矢與主矩的點積是不隨簡化中心的不同而改變的（此時主矩的矩心一般不寫），將稱為力系的第二不變量。9固定端約束的約束力的表示方法作為一般力系向某點簡化理論的應用，可以說明固定端約束的約束力的表示方法。當物體的一端受到另一物體的固結作用，不允許它們在約束處發(fā)生任何相對平移和轉動時，稱這種約束為固定端約束。(a)(b)(c)(d)10平面一般力系懸臂梁若物體的一端不受其他物體的任何約束，則稱該端為自由端。在工程實際中，將一端為固定端，另一端為自由端的梁（會發(fā)生彎曲變形的桿件）稱為懸臂梁。平面固定端約束11§6.3

一般力系的最簡形式空間一般力系向任一點O簡化：空間一般力系向任一點O簡化得到一個力和一個力偶。力的作用線過簡化中心，其力偶的力偶矩與該力系對簡化中心的主矩，即和的不同情況可分為以下幾種情形：(1)平衡力系：力系為零力系，即平衡力系；(2)合力偶：力系可簡化為一個力偶——合力偶，其力偶矩為；(3)合力：力系可簡化為一個過簡化中心的合力，其力矢與力系主矢相同；12作用線過點B力矢與力系主矢相同的合力。①力系的第二不變量(4)有兩種情況：力系可進一步簡化為“合力”：建立直角坐標系Oxyz，設為作用線任一點，則合力作用線方程為(6.7)或由得到(6.8)13當與反向，即②力系的第二不變量此時又分為兩種情況此時力系不能進一步簡化了。(a)力螺旋該力系由一個力和在與該力垂直平面內的一個力偶所組成，通常稱之為力螺旋。右手力螺旋：當與同向，即(a)(b)左手力螺旋：力螺旋中力的作用線稱為力螺旋的中心軸。不難證明，力螺旋可以與兩個大小相等的異面力等效。力螺旋的舉例：在工程實際中的力螺旋有許多應用，手擰螺釘，右手螺旋；飛機螺旋槳，左手螺旋。14(a)(b)與不平行：（沿主矢方向的分量）（垂直于方向的分量）設

的量綱為長度，且，稱

為力螺旋參數(shù)。力螺旋參數(shù)是一個完全由力系的第一不變量和第二不變量確定的量，稱為力系的第三不變量。(b)15顯然，和過點O的一個力（）可進一步簡化為作用線過點B的一個力，其力矢與相同，于是，力系簡化為由力與力偶矩為的力偶組成的力螺旋。建立直角坐標系Oxyz，則該力螺旋的中心軸[設為其上任一點]方程為(6.9)或由，而得到(6.10)16空間一般力系的最簡形式：綜上所述，可歸納如下：一般力系的簡化的最簡形式主矢主矩第二不變量力系最簡形式平衡合力偶合力合力力螺旋表明：

和完全確定了力系簡化的最簡形式，它們是力系的兩個極其重要的特征量。17一般力系的合力矩定理假設某個一般力系可合成為一個合力，其作用線通過點C，根據(jù)力系的簡化理論(6.11)(6.12)(6.13)(6.14)(6.15)(6.16)18若一個一般力系存在合力，則其合力對任一點的矩等于此力系各分力對該點的矩的矢量和。存在合力的一般力系，其合力對某軸的矩等于此力系各分力對該軸的矩的代數(shù)和。上式表明：以上性質稱為一般力系的合力矩定理。19§6.4

特殊力系的簡化平面力系平面力系是各力作用線均在同一平面內的力系。平行力系平行力系是各力作用線均平行的力系?？臻g平行力系平面平行力系6.4.1平面力系的簡化平面力系向其作用面內任一點O簡化的結果，取決于平面力系的簡化是一般力系的簡化的一種特殊情況。（必在平面力系的作用面內）（必垂直于平面力系的作用面）力系的對簡化中心O的主矩力系的主矢平面力系的第二不變量這說明平面力系簡化的最簡形式只有平衡，合力偶和合力三種情形。20平面力系的合力作用線：當平面力系的第一不變量時，力系存在合力的非平衡情形。合力的力矢合力的作用線可用如下方法求得：(1)平面力矩(2)平面力矩的轉向規(guī)定根據(jù)右手螺旋法則，若規(guī)定某一轉向所對應的方向為平面力矩的正方向，平面力系中各力對點O的矩恒垂直于平面力系的作用平面，稱它們?yōu)槠矫媪亍t對點O的矩用一個代數(shù)量來表示，大小為表示其轉向與規(guī)定的正轉向一致；表示其轉向與規(guī)定的正轉向相反。轉向為于是21且使由至的轉向與平面力矩所規(guī)定的正轉向一致，若在平面力系的作用面內以簡化中心O為原點建立坐標系Oxy，(6.17)(3)平面力系的合力作用線方程則合力作用線方程為226.4.2平行力系的簡化平行力系：力系各力作用線都相互平行的力系為平行力系。平行力系的簡化是一般力系簡化的另一種特殊情形。平行力系的最簡形式平行力系的主矢平行力系對空間任一確定點O的主矩(6.18)(6.19)(6.20)(6.21)上式表明：平行力系的第二不變量為零，平行力系的最簡形式只有平衡、合力偶和合力三種情形。23平行力系的簡化與平行力系的中心(1)平行力系的合力(2)平行力系的合力矩當平行力系的主矢時，該力系必存在合力，合力的力矢平行力系各力作用點相對于點O的矢徑；平行力系合力作用線上任意一點C相對于點O的矢徑，根據(jù)平行力系的合力對其作用線上的點C的矩為零及由力系的等效性質知，平行力系的合力的矩等于各分力的矩的矢量和，有(6.22)24(3)平行力系的中心若取力作用線的某一指向為正向，其單位矢量為，則(6.23)將上式代入式(6.22)得到(6.24)當平行力系的各力大小和作用點保持不變，但各力的作用線繞同向軸轉過任意相同的角度后（體現(xiàn)在方向的任意性上），由式(6.24)可確定一個唯一的固定不變的點C，滿足(6.25)這個固定不變的點C稱為平行力系的中心。平行力系的中心相對于點O的矢徑公式25(4)平行力系的中心的坐標公式(5)結論若在點O建立直角坐標系Oxyz，則平行力系的中心的坐標公式為(6.26)只要求得平行力系的中心位置，則平行力系的合力作用線的位置也就確定了?？傊?，若平行力系的主矢，則平行力系存在合力，且合力必過平行力系的中心，其力矢與相同。266.4.3平行力系的簡化理論在工程中的兩個應用(1)物體的重心、質心和形心計算物體的重心是平行力系簡化在工程中的一個具體應用。物體的重力系是同向的平行力系，顯然其主矢不為零，一定存在合力。物體的重力系的合力稱為物體的重力，物體重力的中心稱為物體的重心。①物體的重心整個物體所受的重力可等效于全部都集中在其重心上。物體重心矢徑公式物體重心坐標公式：假設：為某一物體的體積；為該物體微元體的體積；為物體的密度；為重力加速度的大??；則微元體的質量為，微元體受到的重力的大小為。27有限大小的物體，其上各點處的重力加速度可以認為是相等的。則由式(6.25)、(6.26)可得物體重心矢徑和坐標公式為(6.27)(6.28)②物體的質心和物質的形心通常，有限大小的物體的重心位置與重力加速度無關，它只是反映物體質量分布特征的一個幾何點。物體質量分布的中心稱為物體的質心。在均勻重力場中，物體的重心與質心重合。應該指出，質心單純地由質量分布所決定，而重心只在重力場中才有意義。28當，即物體是均質時，式(6.27)、(6.28)可寫為(6.29)(6.30)以上兩式表明，均質物體的重心位置完全由物體的幾何形狀所決定，物體幾何形狀的中心稱為物體的形心，對均質物體，其重心和形心重合。均質平板的重心矢徑公式和其重心坐標公式：對于面積為A的均質平板，其重心矢徑和坐標公式可分別寫為(6.31)(6.32)對于工程中常見的等厚、均質薄殼，其厚度可看成趨于零，可用式(6.31)、(6.32)求重心的矢徑和坐標。29均質細長桿的重心矢徑公式和其重心坐標公式：對于長度為l的均質細長桿，其重心矢徑和坐標公式可分別寫為(6.33)(6.34)對于工程中常見的等截面均質細長線條物體，其橫截面積可看成趨于零，可用式(6.33)、(6.34)求重心的矢徑和坐標。工程中求均質物體重心的常用方法：任何物體的重心均可利用重心的積分公式求得。但在很多情況下，其積分運算比較麻煩，甚至是相當困難的。下面介紹工程中求均質物體重心的常用方法。①查表法工程中許多物體都具有簡單的幾何形狀，其重心可通過工程手冊直接查得。在本教材的P335~338的附錄II列出了幾種常見規(guī)則幾何形狀的均質物體的重心公式。30②對稱性法凡是具有質量對稱面、對稱軸或對稱點的物體，其重心必在對稱