第4節(jié) 空間曲線及其方程

第七章一、空間曲線的一般方程二、空間曲線的參數(shù)方程三、空間曲線在坐標面上的投影第四節(jié)空間曲線及其方程301學(xué)習(xí)指導(dǎo)教學(xué)目的：了解空間曲線及其方程的概念，了解空間曲線的一般方程，空間曲線的參數(shù)方程，空間曲線在坐標面上的投影等概念?；揪毩?xí)：能繪出常見曲面（球面、錐面、柱面，平面等）相交構(gòu)成的曲線的圖形。會求交線在坐標面上的投影。注意事項：繪出常見曲面（球面、錐面、柱面，平面等）相交構(gòu)成的曲線的圖形，求交線在坐標面上的投影（求以交線為準線的投影柱面）是學(xué)習(xí)多元函數(shù)微積分的基礎(chǔ)，從本節(jié)開始到本章第六節(jié)都應(yīng)注意進行這方面的練習(xí)。302一、空間曲線的一般方程

空間曲線可以看作兩個曲面的交線.設(shè)曲線C是曲面S1與S2的交線,

因此,曲線C可以用上述方程組來表示.上述方程組叫做空間曲線C的一般方程.則點P在曲線C上當(dāng)且僅當(dāng)點P的坐標滿足方程組S1

F(x,y,z)=0,

S2

G(x,y,z)=0,

而曲面的方程分別為303

例1

方程組中第一個方程表示母線平行于z軸的圓柱面,其準線是xOy

面上的圓,圓心在原點O,半徑為1.方程組中第二個方程表示一個母線平行于y軸的柱面,由于它的準線是zOx面上的直線,因此它是一個平面.方程組所表示的是上述平面與圓柱面的交線.解304例2

方程組表示怎樣的曲線？解上半球面,圓柱面,交線如圖.305二、空間曲線的參數(shù)方程

當(dāng)給定時,就得到C上的一個點

隨著t的變動便可得曲線C上的全部點.方程組叫做空間曲線的參數(shù)方程.

將曲線C上的動點坐標x,y,z表示成參數(shù)t的函數(shù):稱它為空間曲線的參數(shù)方程.306都是常數(shù)),那么點M構(gòu)成的圖形叫做螺旋線.試建立例3如果空間一點M在圓柱面上以角速度繞z軸旋轉(zhuǎn),同時又以線速度v沿平行于z軸的正方向上升(其中其參數(shù)方程.解

取時間t為參數(shù).設(shè)當(dāng)時,處.經(jīng)過時間t,動點由A運動到

動點位于x軸上的一點

h307記M在xOy面上的投影為

,

的坐標為

由于動點在圓柱面上以角速度

繞z軸旋轉(zhuǎn),所以經(jīng)過時間t,從而由于動點同時以線速度v沿平行于z軸的正方向上升,所以308因此螺旋線的參數(shù)方程為也可以用其他變量作參數(shù);例如令,則螺旋線的參數(shù)方程可寫為

這里

,而參數(shù)為

309螺旋線是實踐中常用的曲線.例如,平頭螺絲釘?shù)耐饩壡€就是螺旋線.當(dāng)我們擰緊平頭螺絲釘時,它的外緣曲線上的任一點M,一方面繞螺絲釘?shù)妮S旋轉(zhuǎn),另一方面又沿平行于軸線的方向前進,點M就走出一段螺旋線.螺旋線有一個重要性質(zhì):當(dāng)從

變到時,z由

變到

特別是當(dāng)轉(zhuǎn)過一周,即

時,M點就上升固定的高度.這個高度在工程技術(shù)上叫做螺距.

這說明當(dāng)轉(zhuǎn)過角

時,M點沿螺旋線上升了高度

即上升的高度與

轉(zhuǎn)過的角度成正比.

,3010三、空間曲線在坐標面上的投影投影柱面與xOy面的交線叫做曲線C在xOy面上的投影曲線,

或簡稱投影.類似地可以定義曲線C在其它坐標面上的投影.投影柱面與投影(曲線)

以空間曲線C為準線、母線平行于z軸的柱面叫做曲線C關(guān)于xOy面的投影柱面.投影柱面投影曲線3011投影(曲線)的確定

設(shè)空間曲線C的一般方程為方程組中的兩個方程消去變量z后可得一個關(guān)于x,y的方程

H(x,y)=0,

曲線C在xOy面上的投影曲線的方程為

這就是曲線C關(guān)于xOy面的投影柱面的方程.投影柱面投影曲線3012

例4

已知兩球面的方程為x2+y2+z2=1和x2+(y-1)2+(z-1)2=1,求它們的交線C在xOy面上的投影方程.

解

x2+y2+z2-2y-2z-1,

將x2+y2+z2=1代入得

1-2y-2z-1,即y+z=1.將z=1-y代入方程x2+y2+z2=1,得

x2+y2+(1-y)2=1,即x2+2y2-2y=0.方程x2+(y-1)2+(z-1)2=1化為兩球面的交線C在xOy面上的投影方程為這就是交線C關(guān)于xOy面的投影柱面方程.

3013由兩個方程消去z得到

解

x2+y2=1.這是半球面與錐面的交線C關(guān)于xOy面的投影柱面.

因此,交線C在xOy面上的投影曲線為所求立體在xOy面上的投影就是xOy面上圓x2+y2=1所圍的部分:

x2+y21.x2+y21成立體在xOy面上的投影.

例5

3014又如,所圍的立體在xoy

面上的投影區(qū)域為:上半球面和錐面在xoy

面上的投影曲線二者交線所圍圓域:二者交線在xoy

面上的投影曲線所圍之域.3015以此空間曲線為準線，垂直于所投影的坐標面.投影柱面的特征：3016如圖:投影曲線的研究過程.空間曲線投影曲線投影柱面3017類似地：可定義空間曲線在其他坐標面上的投影面上的投影曲線,面上的投影曲線,空間曲線在面上的投影曲線3018例4

求曲線在坐標面上的投影.解（1）消去變量z后得在面上的投影為3019所以在面上的投影為線段.（3）同理在面上的投影也為線段.（2）因為曲線在平面上，3020截線方程為解如圖,30213022補充:空間立體或曲面在坐標面上的投影.空間立體曲面30231、空間曲線的一般方程、參數(shù)方程：四、小結(jié)2、空間曲線在坐標面上的投影：3024作業(yè)P37：