第4章平面力系的簡化和平衡方程

建筑力學ArchitecturalMechanics

主講：杜留記河南城建學院土木工程系力學教研室第四章平面力系的簡化與平衡方程4.1平面任意力系向一點的簡化·主矢和主矩4.2平面任意力系簡化結果的討論4.3平面任意力系的平衡條件·平衡方程4.4平面平行力系的平衡方程4.5物體系的平衡問題4.6考慮摩擦的平衡問題平面任意力系：作用在物體上各力的作用線都分布在同一平面內，既不匯交于一點，也不完全平行。工程實例：屋架、吊車：平面結構承受平面力系。P1P2FAxFAyFDDABDCP145AP2(a)B空間對稱結構承受對稱的外力，可簡化為平面問題。如汽車受力。QPBAXAYAYBQPBAOOO—簡化中心F’n

mn

m3

F’3F’2m2LOF3F2F1FnO平面任意力系平面匯交力系平移平移合成力合成力偶矩合成F’1m1平面力偶系O’§4-1平面任意力系向一點的簡化·主矢和主矩主矩的大?。篖OOyxα指向：由R’x、R’y符號定。與x方向所夾銳角α方向平面任意力系平面匯交力系力平面力偶系力偶矩建立坐標系xy主矢的大?。骸?-1平面任意力系向一點的簡化·主矢和主矩§4-1平面任意力系向一點的簡化·主矢和主矩簡化中心：O點稱為簡化中心。主矢R′：力系中各力的矢量和；和簡化中心的位置無關。主矩MO：平面力系中各力對于簡化中心的矩的代數(shù)和稱為該力系對簡化中心的主矩，其一般隨簡化中心的位置的改變而變化。結論：平面任意力系向作用面任一點簡化后，一般得到一個力和一個力偶。這個力的力矢量等于力系中各力的矢量和，即力系的主矢；力偶的矩等于各力對簡化中心之矩的代數(shù)和，即力系對簡化中心的主矩。例在邊長為a=1m的正方形的四個頂點上，作用有

F1、F2、

F3

、F4等四個力，如圖所示。已知F1=40N，F(xiàn)2=60N，F(xiàn)3=60N，F(xiàn)4=80N。試求該力系向A點簡化的結果。F1F2AyxF360°F430°解：R′x=40cos45°+60cos45°+60cos60°-80sin30°=60.7NR′y=40sin45°-60sin45°-60sin60°-80cos30°=-106.1NR′=√(R′

x)2+(R′

y)2=122.4Ncos=60.7/122.4,=60.27°cos=(-106.1/122.3)︳,=29.9°RMAMA=∑Mo（Fi）=(-60cos45°-60*cos60°-60sin60+80sin30°)*1=-84.4N·m§4-1平面任意力系向一點的簡化·主矢和主矩此時，簡化結果與簡化中心位置無關。此時，簡化結果與簡化中心位置有關。2、1、合力偶原力系力偶系其合力偶矩原力系匯交力系合力2、3、1、4、§4-2平面任意力系簡化結果的討論LOOdOO1即：合力矢等于主矢；合力作用線在簡化中心O那一側取決于主矢、主矩方向；合力作用線到O點的距離由h確定。原力系為平衡力系。3、4、原力系合力力偶等效表示OO1h減去平衡力系§4-2平面任意力系簡化結果的討論合力矩定理LOOOhO1hOO1R為原力系合力R’’＝R’＝R

平面任意力系的合力對于作用面內任一點的矩等于力系中所有各力對于該點的矩的代數(shù)和?！?-2平面任意力系簡化結果的討論例試求合力的大小,方向及作用線到A點的距離。AB1m1m1m25kN20kN18kN60o30o解:主矢Rx=20cos60o+18cos30o=25.59kNRy=25+20sin60o-18sin30o=33.32kN§4-2平面任意力系簡化結果的討論求力系的主矩AB1m1m1m25kN20kN18kN60o30oR'MA

=1×25+2×20sin60o-3×18sin30o

=32.64kN·mMARd§4-2平面任意力系簡化結果的討論§4-3平面任意力系的平衡條件平衡方程

如果平面任意力系向任一點簡化后的主矢和主矩都等于零，表明簡化后的匯交力系和附加力偶系都自成平衡，則原力系必為平衡力系。所以，主矢和主矩都等于零是平面任意力系平衡的充分條件。反之，如果主矢和主矩中有一個量不為零，則原力系可合成為一個合力或一個力偶；如果主矢和主矩都不為零，則原力系可進一步合成為一個合力。這種情況下，力系不平衡，所以，主矢和主矩都等于零又是力系平衡的必要條件。

平面任意力系平衡的充要條件是:力系的主矢和力系對任一點的主矩都等于零。即：平面任意力系平衡的充要條件：主矢，主矩即：所以：平面任意力系平衡的解析條件是：所有各力在兩個任選的坐標軸上的投影的代數(shù)和分別等于零，以及各力對于任意一點的矩的代數(shù)和也等于零。上式稱為平面任意力系的平衡方程。有獨立三個方程，只能求解三個未知數(shù)這是平面任意力系平衡方程的基本形式§4-3平面任意力系的平衡條件平衡方程

二矩式：三矩式：x軸不得垂直于A、B連線。A、B、C三點不共線。三組方程都可用來解決平面任意力系的平衡問題。究竟選用哪一組方程，須根據(jù)具體條件確定。對于受平面任意力系作用的單個剛體的平衡問題，只可以寫出三個獨立的平衡方程，求解三個未知量。任何第四個方程只是前三個方程的線性組合，因而不是獨立的。我們可以利用這個方程來校核計算的結果?！?-3平面任意力系的平衡條件平衡方程

利用平衡方程，求解平衡問題的步驟為：1）選—選取研究對象。應既受已知力，又受要求的力或與要求力相關的力。2）畫—畫受力圖。3）建—建立坐標系，原點可任意，使坐標軸與較多的未知力平行。4）列—列平衡方程。注意：矩心應取在多個未知力作用線的交點上。5）解—解平衡方程。6）答—答案，必要時作出討論或說明。§4-3平面任意力系的平衡條件平衡方程

－Pdcos45例

兩根直徑為d的圓鋼，每根重P=2kN，擱置在槽內。忽略接觸面的摩擦，求A、B、C三點的約束力。O1O2ⅠⅡPPABC45o解：3個未知量NCNBNA解方程。（略）研究對象：兩根圓鋼NA－NC＝0NB＝0－P＝0

NC

dsin45°O1xy－P§4-3平面任意力系的平衡條件平衡方程

ACBPFC45yx解得：FC＝28.28kN例已知如圖AC＝CB＝l，載荷P＝10kN。設梁和桿的自重不計，求鉸鏈A的約束約束力和桿DC所受的力。DCF’DF’CPABD45解：研究對象：AB梁。AXA＋FCcos45＝0

YA＋FCsin45－P＝0

FCsin45l－P2l＝0ll由作用反作用公理，CD桿受壓力28.28kN

XA＝－20kNYA＝－10kN(負號表明約束力方向與圖示相反)CXAYA§4-3平面任意力系的平衡條件平衡方程

PABCD45yxllAXAYAFCC45PBDl如果寫出對A、C兩點的力矩方程和對x軸的投影方程：如果寫出對A、D、C三點的力矩方程？思考！§4-3平面任意力系的平衡條件平衡方程

例

水平梁長為4m，重P=10kN，作用在梁的中點C。承受均布載荷q=6kN/m

，力偶矩m＝8kNm。試求A、B處的約束力。P4m2mqmCBA45°解：研究對象：水平梁AB。BXAYARB－8解得：qx2§4-3平面任意力系的平衡條件平衡方程

平面平行力系：各力的作用線相互平行的平面力系

。若取y軸與諸力作用線平行，必恒有或平面平行力系有2個獨立的平衡方程，可以求解2個未知數(shù)。AB連線不能平行于各力作用線。平面平行力系的平衡方程xy§4-4平面平行力系的平衡方程

例已知F=40KN，M=150KNm。求支座A、B處的反力。ABFM解：研究對象：AB梁.

畫受力圖.6m3mABFMFBFAMA=0-M+FB

·

6-F·9=0FB==85KNMB=0-FA·

6-M-F·3=0FA==-45KN§4-4平面平行力系的平衡方程

§4-5物體系的平衡問題

物體系統(tǒng)是指由若干個物體通過適當?shù)募s束相互連接而組成的系統(tǒng).PACBQQBqEDCA討論物體系統(tǒng)平衡時，不僅要考慮系統(tǒng)的外力，還要考慮系統(tǒng)內部各物體之間的相互作用力（內力）。解靜定物體系統(tǒng)平衡問題的一般步驟:1)分析系統(tǒng)由幾個物體組成；2)按照便于求解的原則,適當選取整體或個體為研究對象進行受力分析并畫受力圖；3)列平衡方程并解出未知量。*.一般需取多次研究對象；受力圖正確；定路徑?！?-5物體系的平衡問題

①根據(jù)求解的問題，恰當?shù)倪x取研究對象：要使所取物體上既包含已知條件，又包含待求的未知量。②對選取的研究對象進行受力分析，正確地畫出受力圖。③建立平衡方程式，求解未知量：a)根據(jù)所研究的力系選擇平衡方程式的類別（如匯交力系、平行力系、任意力系等）和形式（如基本式、二矩式、三矩式等等）。b)建立投影方程時，投影軸的選取原則上是任意的，并非一定取水平或鉛垂方向，應根據(jù)具體問題從解題方便入手去考慮。c)建立力矩方程時，矩心的選取也應從解題方便的角度加以考慮。d)求解未知量。§4-5物體系的平衡問題

靜定與超靜定問題

對每一種力系而言,若未知量的數(shù)目等于獨立平衡方程的數(shù)目.則應用剛體靜力學的理論,就可以求得全部未知量,這樣的問題稱為靜定問題。若未知量的數(shù)目超過獨立平衡方程的數(shù)目.則單獨應用剛體靜力學的理論,就不能求出全部未知量,這樣的問題稱為靜不定問題?！?-5物體系的平衡問題

靜定問題超靜定問題§4-5物體系的平衡問題

CB三角拱由兩部分組成，可列出6個獨立的平衡方程，是靜定結構，可解。例已知三角拱的重力及載荷和幾何尺寸，求A、B的約束力。QXBYBXCYCXAYAPACBQQXBXAYYB研究對象的選取方案：（1）AC和BC（2）整體和BC（3）整體和AC分析受力ACPQY’CX’C§4-5物體系的平衡問題

XBXAYAYB解一（1）研究對象：整體YBYA（2）研究對象：BCCXB代入（1）式，可解得XA。XCBXBYBCYCQPACBQQ§4-5物體系的平衡問題

PACBQQ（1）研究對象：AC（2）研究對象：BC方程含XC’、YC’方程含XA、YA方程含XA、XC方程含XC、YC方程含XB、YB方程含XB、XCPQACY’CX’CXAYAXCBXBYBCYCQ6個方程、6個未知力，聯(lián)立可解研究對象不同計算量相差很大。解二§4-5物體系的平衡問題

解：YC=0.5kNmA=-4kNmYA=3.5kNXA=0例

已知m=10kNm，q=2kN/m，求A、B、C三處的約束力。qCAB1mm1m1m1mCBABmqqYAXAmAYCYCYBXBYBXBYAXAmA全面進行受力分析，選取合適的研究對象XB=01）研究對象：BCYB=1.5kN2）研究對象：整體§4-5物體系的平衡問題

例三鉸拱ABC的支承及荷載情況如圖所示.已知P=20kN,均布荷載q=4kN/m.求鉸鏈支座A和B的約束反力.1m2m2m3mABCqPXAYAXBYB1）研究對象：整體解：mA(Fi)=0-4×3×1.5-20×3+4YB=0YB=19.5kNYi=0YA-20+19.5=0YA=0.5kN§4-5物體系的平衡問題

2）研究對象：BCXCYC1m3mBCPXBYBmC(Fi)=0-1×20+2×19.5+3XB=0XB

=-6.33kNXA=-5.67kNXi=04×3+XA+XB=0整體分析：§4-5物體系的平衡問題

摩擦是自然界最普遍的一種現(xiàn)象，絕對光滑而沒有摩擦的情形是不存在的。不過在許多問題中，摩擦對所研究的問題是次要因素，可以略去不計，但對于另外一些實際問題，摩擦卻是重要的甚至是決定性的因素，必須加以考慮。例如，重力壩依靠摩擦防止在水壓力作用下可能產生的滑動；帶輪和摩擦輪的傳動等。另外一方面摩擦阻力會消耗能量，產生熱、噪聲、振動、磨損，特別是在高速運轉的機械中，摩擦往往表現(xiàn)得更為突出。兩個相互接觸的物體產生相對運動或具有相對運動的趨勢時，彼此在接觸部位會產生一種阻礙對方相對運動的作用。這種現(xiàn)象稱為摩擦，這種阻礙作用，稱為摩擦阻力?！?-6考慮摩擦的平衡問題

摩擦應用§4-6考慮摩擦的平衡問題

摩擦滑動摩擦滾動摩擦靜滑動摩擦動滑動摩擦靜滾動摩擦動滾動摩擦摩擦干摩擦濕摩擦滑動趨勢滑動滾動趨勢滾動接觸面間無潤滑介質接觸面間有潤滑介質§4-6考慮摩擦的平衡問題

1、靜滑動摩擦力1）靜滑動摩擦定律APQ

重量為P的物體放在粗糙的固定水平面上,受到一個水平拉力Q的作用。當力Q增加到某個數(shù)值QK時,物體處于將動未動的臨界狀態(tài)。此時靜摩擦力達到最大值Fm

,稱為最大靜摩擦力。APQFNFs當時Xi=0Q-Fs=0F

s=Q

靜摩擦力的大小由平衡條件確定,并介于零和最大靜摩擦力之間,方向與物體相對滑動趨勢的方向相反。fs—靜摩擦系數(shù)無量綱§4-6考慮摩擦的平衡問題

2）動滑動摩擦定律

f—動滑動摩擦因數(shù)，它無量綱，與接觸物體材料和表面情況有關。動摩擦力與靜摩擦力不同，沒有變化范圍。通常動摩擦系數(shù)小于靜摩擦系數(shù)。

動摩擦力的大小與接觸物體間的正壓力成正比，方向沿接觸處的公切線，與相對滑動趨勢反向。實際上動摩擦系數(shù)還與接觸物體間相對滑動的速度大小有關，不同材料物體，動摩擦系數(shù)隨相對滑動速度變化規(guī)律也不同，當滑動速度不大時，動摩擦系數(shù)可近似認為是個常數(shù)?！?-6考慮摩擦的平衡問題

2、摩擦角與自鎖現(xiàn)象1）摩擦角稱為摩擦角

（angleoffriction）物體處于臨界平衡狀態(tài)時，全約束反力和法線間的夾角稱為摩擦角。FN

—正壓力F

—靜摩擦力FR—全約束反力（全反力）φ—全反力與接觸面法線的夾角§4-6考慮摩擦的平衡問題

（不滑動的條件）自鎖：當主動力合力的作用線在ψ角內，無論主動力Q多大，都能使物體保持平衡，這種現(xiàn)象稱為自鎖。摩擦錐：如果物體與支承面的靜摩擦系數(shù)在各個方向都相同，則摩擦角范圍在空間就形成為一個錐體，稱為摩擦錐。FQFR2）自鎖現(xiàn)象自鎖條件§4-6考慮摩擦的平衡問題

斜面自鎖條件螺紋自鎖條件§4-6考慮摩擦的平衡