第4章(地震危險(xiǎn)性分析方法)

地震危險(xiǎn)性概率分析方法

高玉峰土動(dòng)力學(xué)第4章GeoHohai一種簡(jiǎn)化的地震危險(xiǎn)性分析計(jì)算方法

----逐點(diǎn)計(jì)算法一、地震危險(xiǎn)性分析的橢圓模型二、逐點(diǎn)計(jì)算法的思路三、程序設(shè)計(jì)的技術(shù)處理四、舉例說(shuō)明一、地震危險(xiǎn)性分析的橢圓模型

1968年，Cornell建立了Cornell模型。

1977年，Der.kiurehian和A.H-S.Ang對(duì)Cornell模型做了較大的修改，提出斷層－破裂模型。

1989年，沈建文等討論了Cornell模型和斷層破裂模型存在的系統(tǒng)偏差，提出了地震危險(xiǎn)性分析的經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)橢圓模型。

設(shè)對(duì)場(chǎng)地產(chǎn)生有效影響的潛在震源有n個(gè)，地震發(fā)生為均勻泊松過(guò)程，且vi為第Ei個(gè)潛在震源震級(jí)m≥m0的地震的年平均發(fā)生率，則一年中場(chǎng)地地震動(dòng)Y超過(guò)某確定y的概率為：一、地震危險(xiǎn)性分析的橢圓模型一、地震危險(xiǎn)性分析的橢圓模型t年內(nèi)的超越概率為：一、地震危險(xiǎn)性分析的橢圓模型M0——起算震級(jí)；Mu——震級(jí)上限；f(m)——震級(jí)概率密度。

一、地震危險(xiǎn)性分析的橢圓模型

因此，地震危險(xiǎn)性分析的關(guān)鍵是計(jì)算第Ei個(gè)潛在震源中，震級(jí)m對(duì)場(chǎng)地造成的超過(guò)某地震動(dòng)y的超越概率：？＝一、地震危險(xiǎn)性分析的橢圓模型

P(Y≥y/Ei,m)計(jì)算歸結(jié)為計(jì)算地震動(dòng)衰減橢圓與凸多邊形潛在震源相交面積，后者可表示成三角形與橢圓扇形面積的代數(shù)和，從而將問(wèn)題簡(jiǎn)化。

一、地震危險(xiǎn)性分析的橢圓模型圖1橢圓與凸多邊形相交關(guān)系YNCBXAFEODMYCBAG

FEDOXMM

YGBFEA

D

HCXOI二、逐點(diǎn)計(jì)算法的思路

本文提出的計(jì)算凸多邊形與橢圓交接面積的基本思路是：1、把它當(dāng)作表示三角形或橢圓扇形面積的矢量乘積之和。

2、將任意凸多邊形的各個(gè)頂點(diǎn)按逆時(shí)針排序，逐個(gè)判別各個(gè)頂點(diǎn)的情況，進(jìn)而判別多邊形每條邊與橢圓相交的情況，求出需累加三角形、橢圓扇形的面積的矢量乘積。3、當(dāng)循環(huán)一周又回到初始點(diǎn)的時(shí)，自然得出各個(gè)面積的矢量和，亦即地震動(dòng)衰減橢圓與凸多邊形潛在震源的相交面積。

4、此方法規(guī)定矢量垂直于橢圓面并方向朝上為正。二、逐點(diǎn)計(jì)算法的思路多邊形的頂點(diǎn)與橢圓的交接有三種情況，即多邊形的頂點(diǎn)在：1、橢圓內(nèi)2、橢圓上

3、橢圓外其中多邊形的頂點(diǎn)在橢圓上可視為橢圓內(nèi)的特殊情況來(lái)歸一化處理，因而可將三種情況簡(jiǎn)化為兩種。二、逐點(diǎn)計(jì)算法的思路A(n)B(n+1)O只需計(jì)算以坐標(biāo)原點(diǎn)、n點(diǎn)、n+1點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形OAB面積。在求三角形面積時(shí)，由于按逆時(shí)針取點(diǎn)，三角形面積可表示為矢量叉乘形式。若表達(dá)式為正，表示加上該三角形面積；若表達(dá)式為負(fù)，表示減去該三角形面積，后文有具體說(shuō)明。1、當(dāng)多邊形第n頂點(diǎn)在橢圓內(nèi)，第n+1頂點(diǎn)有兩種情況:（1）第n+1點(diǎn)在橢圓內(nèi)。二、逐點(diǎn)計(jì)算法的思路OA(n)P1B(n+1)計(jì)算以坐標(biāo)原點(diǎn)、n點(diǎn)、交點(diǎn)P1為頂點(diǎn)的三角形OAP1面積，并將交點(diǎn)P1的坐標(biāo)存貯起來(lái)，作為求橢圓扇形面積的初始點(diǎn)。在橢圓確定時(shí)，橢圓扇形面積只與該扇形的起始邊與橢圓的交點(diǎn)——初始點(diǎn)，以及該扇形的終止邊與橢圓交點(diǎn)——終止點(diǎn)有關(guān)。在本文方法中，橢圓扇形面積始終為正。（2）第n+1點(diǎn)在橢圓外。二、逐點(diǎn)計(jì)算法的思路按照順序，首先要考慮交點(diǎn)P2如何處理。顯然P2點(diǎn)與求橢圓扇形面積有關(guān)，且是橢圓扇形的終止點(diǎn)。若前面沒(méi)有橢圓扇形的初始點(diǎn)，需將交點(diǎn)P2作特殊點(diǎn)存貯起來(lái)，作為最后計(jì)算橢圓扇形面積的終止點(diǎn)（下述），并計(jì)算原點(diǎn)，P2點(diǎn)和第n+1點(diǎn)組成的三角形面積矢量乘積。

2、當(dāng)多邊形第n頂點(diǎn)在橢圓外，第n+1頂點(diǎn)有兩種情況:（1）第n+1點(diǎn)在橢圓內(nèi)。B(n+1)OP2A(n)二、逐點(diǎn)計(jì)算法的思路P2OA(n)B(n+1)P1B(n+1)B(n+1)多邊形的邊AB與橢圓相切或完全不相交，另一種情況是線段AB與橢圓相交。在這里，我們只考慮邊AB為線段而不考慮其延長(zhǎng)后的情況。判別相交情況，可按本文程序設(shè)計(jì)技術(shù)處理給出的具體說(shuō)明。沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)不需要計(jì)算，直接對(duì)下一個(gè)點(diǎn)進(jìn)行判斷分析；有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，當(dāng)作無(wú)交點(diǎn)的情況處理。（2）第n+1點(diǎn)在橢圓外。二、逐點(diǎn)計(jì)算法的思路

線段AB與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)P1、P2。按照順序，首先處理交點(diǎn)P2。P2可當(dāng)作點(diǎn)有橢圓外到橢圓內(nèi)與橢圓的交點(diǎn)。若前面已有橢圓扇形的初始點(diǎn)，把P2點(diǎn)作為橢圓扇形的終止點(diǎn)，計(jì)算出橢圓扇形的面積；若沒(méi)有橢圓扇形的初始點(diǎn)，把P2點(diǎn)存貯起來(lái)，作為最后計(jì)算橢圓扇形面積的終止點(diǎn)。處理完P(guān)2，計(jì)算三角形OP2P1，然后處理交點(diǎn)P1。P1可視為點(diǎn)由橢圓內(nèi)到橢圓外與橢圓的交點(diǎn)，只需將其作為計(jì)算下一個(gè)橢圓扇形面積的初始點(diǎn)存貯起來(lái)。P2OA(n)B(n+1)P1B(n+1)B(n+1)二、逐點(diǎn)計(jì)算法的思路

若第一點(diǎn)在橢圓內(nèi)，則沿逆時(shí)針?lè)较蛞恢?，?jì)算得出的三角形和橢圓扇形面積的矢量和，即是要求的凸多邊形潛在源與地震動(dòng)衰減橢圓的相交面積。當(dāng)選擇的凸多邊形的第一個(gè)頂點(diǎn)在橢圓內(nèi)或橢圓外時(shí)，其計(jì)算方法有所不同。二、逐點(diǎn)計(jì)算法的思路MNYCBXAFEOD若以E點(diǎn)為初始點(diǎn)逆時(shí)針取向，由E點(diǎn)→A點(diǎn)，點(diǎn)由橢圓內(nèi)到橢圓外，有唯一交點(diǎn)F，計(jì)算三角形OEF的面積，然后將F點(diǎn)作為橢圓扇形OFD的初始點(diǎn)；由點(diǎn)A→點(diǎn)B，兩點(diǎn)均在橢圓外且線段AB與橢圓無(wú)交點(diǎn)，不需計(jì)算；由點(diǎn)B→點(diǎn)C，兩點(diǎn)均在橢圓外且線段BC與橢圓無(wú)交點(diǎn)，不需計(jì)算；由點(diǎn)C→點(diǎn)E，點(diǎn)由橢圓外到橢圓內(nèi)，且前面已有橢圓扇形OFMD的初始點(diǎn)下，以交點(diǎn)D作為橢圓扇形的終止點(diǎn)，求出橢圓OFMD的面積，再計(jì)算三角形ODE的面積，這樣就直接得出橢圓與多邊形EABC的相交面積。

二、逐點(diǎn)計(jì)算法的思路當(dāng)選擇的凸多邊形的第一個(gè)頂點(diǎn)在橢圓內(nèi)或橢圓外時(shí)，其計(jì)算方法有所不同。

若第一點(diǎn)在橢圓內(nèi)，則沿逆時(shí)針?lè)较蛞恢埽?jì)算得出的三角形和橢圓扇形面積的矢量和，即是要求的凸多邊形潛在源與地震動(dòng)衰減橢圓的相交面積。若第一點(diǎn)在橢圓外，則按逆時(shí)針?lè)较蛞恢芎?，再增加一個(gè)橢圓扇形的面積，才能得出橢圓與多邊形的相交面積。二、逐點(diǎn)計(jì)算法的思路選取A點(diǎn)作為初始點(diǎn)逆時(shí)針取向，首先由點(diǎn)A→點(diǎn)B，兩點(diǎn)均在橢圓外且線段AB與橢圓無(wú)交點(diǎn)，不作計(jì)算；由點(diǎn)B→點(diǎn)C，兩點(diǎn)均在橢圓外且線段BC與橢圓無(wú)交點(diǎn)，也不作計(jì)算；由點(diǎn)C→點(diǎn)E，點(diǎn)由橢圓外到橢圓內(nèi)，首先處理交點(diǎn)D，因前面沒(méi)有橢圓扇形的初始點(diǎn)，將其以特殊點(diǎn)存貯起來(lái)，并計(jì)算三角形ODE面積；由點(diǎn)E→點(diǎn)A，點(diǎn)有橢圓內(nèi)到橢圓外，計(jì)算三角形OEF面積，并將交點(diǎn)F作為橢圓扇形的初始點(diǎn)存貯起來(lái)，最后還需以存貯的F點(diǎn)作為橢圓扇形的終止點(diǎn)，計(jì)算出橢圓扇形的面積。

MNYCBXAFEOD三、程序設(shè)計(jì)的技術(shù)處理以地震動(dòng)衰減橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓長(zhǎng)軸為X軸，橢圓短軸為Y軸，建立直角坐標(biāo)系。

1、建立直角坐標(biāo)系三、程序設(shè)計(jì)的技術(shù)處理多邊形的頂點(diǎn)與橢圓的關(guān)系，可分為點(diǎn)在橢圓上、橢圓內(nèi)、橢圓上三種情況，在具體計(jì)算時(shí)，將點(diǎn)在橢圓上的點(diǎn)視為點(diǎn)在橢圓內(nèi)處理。在判定多邊形頂點(diǎn)與橢圓關(guān)系時(shí)，設(shè)一控制參數(shù)k(i)

k(i)=x2(i)

/a2+y2(i)

/b2(x(i),

y(i))為多邊形某一頂點(diǎn)的坐標(biāo)。若k(i)

>1，判定點(diǎn)在橢圓外，否則，則判定點(diǎn)在橢圓內(nèi)（k(i)

≤1）。

2、判定點(diǎn)與橢圓的關(guān)系三、程序設(shè)計(jì)的技術(shù)處理

多邊形的各邊與橢圓有不同的相交情況，需求出交點(diǎn)坐標(biāo)。設(shè)（x(2)，y(2)）、（x(3)，y(3)）是某條邊的兩個(gè)頂點(diǎn)，則有方程組：3、求解多邊形的邊與橢圓的交點(diǎn)三、程序設(shè)計(jì)的技術(shù)處理

若此方程組無(wú)實(shí)數(shù)解或僅有一組實(shí)數(shù)解，表明經(jīng)過(guò)多邊形某邊的直線與橢圓完全不相交或相切，可認(rèn)為多邊形的邊與橢圓無(wú)交點(diǎn)。

三、程序設(shè)計(jì)的技術(shù)處理若此方程組有二組實(shí)數(shù)解（x(7),y(7)）、（x(8),y(8)），則表示經(jīng)過(guò)多邊形某邊的直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，但并不一定是多邊形某邊與橢圓的實(shí)交點(diǎn)。即使兩個(gè)都是多邊形某邊與橢圓的實(shí)交點(diǎn)，還需對(duì)其排序。下面解決如何取交點(diǎn)。

三、程序設(shè)計(jì)的技術(shù)處理引入?yún)⒖甲兞縋(1)、P(2)：

三、程序設(shè)計(jì)的技術(shù)處理（1）當(dāng)多邊形某條邊的兩個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)在橢圓內(nèi)，一個(gè)在橢圓外，則該邊與橢圓必有且只有一個(gè)實(shí)交點(diǎn)（x(4)，y(4)）。程序在計(jì)算時(shí)，由該條邊確定直線會(huì)與橢圓發(fā)生兩個(gè)交點(diǎn)，而實(shí)交點(diǎn)應(yīng)為線段（n點(diǎn)，（x(2)，y(2)）→n+1點(diǎn)（x(3)，y(3)））的內(nèi)比分點(diǎn)，P值大于0，另一個(gè)為外比分點(diǎn)，P值小于0，因而：

P(1)×P(2)＜0若P(1)＞0，則：x(4)=x(7)，y(4)=y(7)若P(1)＜0，則：x(4)=x(8)，y(4)=y(8)

①若P(1)＜0，P(2)＜0，該邊與橢圓無(wú)交點(diǎn)，兩交點(diǎn)均為線段（n點(diǎn)→n+1點(diǎn)）的外比分點(diǎn)。

三、程序設(shè)計(jì)的技術(shù)處理（2）多邊形某條邊的兩個(gè)頂點(diǎn)均在橢圓外，且方程組有兩組實(shí)數(shù)解。三、程序設(shè)計(jì)的技術(shù)處理當(dāng)P(1)＞

P(2)時(shí)：當(dāng)P(1)＜P(2)時(shí)：②若P(1)＞0，P(2)＞0，表示兩交點(diǎn)均為線段（n點(diǎn)→n+1點(diǎn)）的內(nèi)比分點(diǎn)，即該邊與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，為：三、程序設(shè)計(jì)的技術(shù)處理4、計(jì)算三角形面積在累加面積時(shí)，三角形面積有正有負(fù)。由于是按逆時(shí)針?lè)较蛉∠?，且三角形有一個(gè)頂點(diǎn)必為坐標(biāo)原點(diǎn)，則可以用兩個(gè)矢量叉乘求出三角形面積SA，即：若三角形以O(shè)點(diǎn)為公共頂點(diǎn)的兩邊（順序已定）表示的矢量叉乘方向垂直于橢圓面且朝上，亦即坐標(biāo)軸矢量X、Y叉乘的方向Z軸正方向，表達(dá)式為正值，表示加三角形面積。反之，表達(dá)式為負(fù)值，表示減三角形面積（參看舉例中三角形面積計(jì)算）。三、程序設(shè)計(jì)的技術(shù)處理橢圓扇形OFMD是需要計(jì)算的面積；若將D作為起點(diǎn)、F作為終點(diǎn)，求得的是橢圓扇形ODNF的面積。5、計(jì)算橢圓扇形面積NYCBXAFEODM三、程序設(shè)計(jì)的技術(shù)處理起始點(diǎn)為n點(diǎn)在橢圓內(nèi)，n+1點(diǎn)在橢圓外與橢圓的交點(diǎn)；或n點(diǎn)、n+1點(diǎn)均在橢圓外且與橢圓有兩交點(diǎn)的第二交點(diǎn)（x(6)，y(6)）。每當(dāng)遇到這兩種情況時(shí)，及時(shí)賦初始點(diǎn)。終止點(diǎn)為n點(diǎn)在橢圓外、n+1點(diǎn)在橢圓內(nèi)與橢圓的交點(diǎn)；或當(dāng)n點(diǎn)、n+1點(diǎn)均在橢圓外且與橢圓有兩交點(diǎn)的第1交點(diǎn)

（x(5)，y(5)）。每當(dāng)遇到這兩種情況時(shí)及時(shí)賦終止點(diǎn)。

由于本文采取得計(jì)算方法是逐點(diǎn)判定，橢圓扇形的起始

點(diǎn)（x(1)，y(1)）、終止點(diǎn)（x(9)，y(9)）在程序開始以及

每計(jì)算完一個(gè)橢圓扇形面積后均賦零值。三、程序設(shè)計(jì)的技術(shù)處理計(jì)算橢圓扇形面積的公式：三、程序設(shè)計(jì)的技術(shù)處理6、控制變量ks的選取若多邊形的所有頂點(diǎn)均在橢圓外，且每條邊與橢圓不相交，這表示要么多邊形包含橢圓，要么多邊形與橢圓不相交。為區(qū)分這兩種情況，設(shè)置控制變量ks。若坐標(biāo)原點(diǎn)與多邊形每條邊組成的三角形面積均為正，令ks

>0，表示多邊形包含橢圓。否則，ks<0，表示多邊形與橢圓不相交。四、舉例說(shuō)明

在上圖中，凸多邊形的ABCD與橢圓的相交面積為：

S=S△OEF+S△OGC+S△OCH+S扇OFMG+S扇OHIE逆時(shí)針取點(diǎn)，采用逐點(diǎn)計(jì)算法，對(duì)于△OEF面積，E點(diǎn)在先，F(xiàn)點(diǎn)在后，矢量與矢量的叉乘方向指向坐標(biāo)軸矢量，叉乘的正向Z軸正方向，取正值。同樣，△

OGC、△

OCH的面積也為正值。

本方法規(guī)定橢圓扇形面積永遠(yuǎn)為正。A

YGBFE

D

HC

XOIM四、舉例說(shuō)明（1）點(diǎn)A→點(diǎn)B，即點(diǎn)由橢圓外→橢圓外且與橢圓有兩交點(diǎn)

E、F。對(duì)于E點(diǎn)應(yīng)為計(jì)算橢圓扇形的終止點(diǎn)，因前面無(wú)

橢圓扇形的起始點(diǎn)，即x(1)=0，y(1)=0，將其值賦于

x(0)，y(0)；對(duì)于F點(diǎn)，此時(shí)有S=S△OEF；將F點(diǎn)值賦予

x(1)，y(1)。1、選擇A點(diǎn)為計(jì)算起點(diǎn)A

YGBFE

D

HC

XOIM四、舉例說(shuō)明（2）點(diǎn)B→點(diǎn)C，即點(diǎn)橢圓外→橢圓內(nèi)，有一交點(diǎn)G。對(duì)于

G點(diǎn)應(yīng)為計(jì)算橢圓扇形的終止點(diǎn)，且x(1)，y(1)已賦值，此時(shí)應(yīng)有S=S△OEF+S扇OFMG；對(duì)于C點(diǎn)，此時(shí)：

S=S△OEF+S扇OFMG+S△OGC

A

YGBFE

D

HC

XOIM四、舉例說(shuō)明（3）點(diǎn)C→點(diǎn)D，即點(diǎn)橢圓內(nèi)→橢圓外，有一交點(diǎn)H。對(duì)于H點(diǎn)，此時(shí)：

S=S△OEF+S扇OFMG+S△OGC+S△OCH；

將H點(diǎn)值賦于x(1)，y(1)。A

YGBFE

D

HC

XOIM四、舉例說(shuō)明（4）點(diǎn)D→點(diǎn)A，即點(diǎn)橢圓外→橢圓外，有一交點(diǎn)I，看作無(wú)交點(diǎn)。由于逆時(shí)針走完一周，且起始亦即終點(diǎn)在橢圓外，需累加一個(gè)以x(0)，y(0)為終止點(diǎn)，即E點(diǎn)，x(1)，y(1)為初始點(diǎn)即H點(diǎn)的橢圓扇形OHIE的面積。因而最后有：

S=S△OEF+S扇OFMG+S△OGC+S△OCH+S扇OHIEA

YGBFE

D

HC

XOIM四、舉例說(shuō)明選擇橢圓外的點(diǎn)B或點(diǎn)D，作為計(jì)算起點(diǎn)，計(jì)算過(guò)程相似，不再多述。A

YGBFE

D

HC

XOIM四、舉例說(shuō)明2、選擇C點(diǎn)為計(jì)算起點(diǎn)（1）點(diǎn)C→點(diǎn)D，即點(diǎn)由橢圓內(nèi)→橢圓外，有一交點(diǎn)H。S=S△OCH，將H點(diǎn)值賦于x(1)，y(1)。A

YGBFE

D

HC