機械工程測試信息信號分析(第三版)3ppt

MEASUREMENTINFORMATIONSIGNALANALYSISINMECHANICALENGINEERING機械工程測試?信息?信號分析

機械科學(xué)與工程學(xué)院機械電子信息工程系李錫文xiwenli@軒建平j(luò)pxuan@2023/1/311課件資料下載：郵箱地址：jxgccs@163.com

“機械工程測試”每個字拼音的第一個字母

密碼：111111注意下載時不要刪除原始文件2023/1/312上次課內(nèi)容回顧時域分析主要內(nèi)容一、信號波形圖二、時域分解三、時域統(tǒng)計分析四、直方圖分析五、時域相關(guān)分析信源被測對象應(yīng)用被控對象傳感器一次儀表傳輸調(diào)理二次儀表信號分析信號分析信號信號信號數(shù)字信號2023/1/3132.2頻域分析按能否用明確的數(shù)學(xué)關(guān)系式描述分類時域分析信號確定性信號非確定性信號周期信號非周期信號簡單周期信號復(fù)雜周期信號準(zhǔn)周期信號瞬態(tài)信號平穩(wěn)隨機信號非平穩(wěn)隨機信號各態(tài)歷經(jīng)信號非各態(tài)歷經(jīng)信號一般非平穩(wěn)信號瞬態(tài)隨機信號①FS??②FT??③功率譜非高斯信號高階譜分析④專題時頻分析小波分析獨立變量Hilbert-Huang變換2023/1/314典型實際信號12023/1/315典型實際信號22023/1/316典型實際信號32023/1/317典型實際信號42023/1/318

信號頻域分析是采用傅立葉變換將時域信號x(t)變換為頻域信號X(f)，從而幫助人們從另一個角度來了解信號的特征。

8563ASPECTRUMANALYZER9kHz-26.5GHz傅里葉變換X(t)=

sin(2πnft)0t0f2.2信號的頻域分析2023/1/319信號頻譜X(f)代表了信號在不同頻率分量成分的大小，能夠提供比時域信號波形更直觀，豐富的信息。時間幅值頻率時域分析頻域分析時域分析與頻域分析的關(guān)系2023/1/3110時域分析只能反映信號的幅值隨時間的變化情況，除單頻率分量的簡諧波外，很難明確揭示信號的頻率組成和各頻率分量大小。

圖例：受噪聲干擾的多頻率成分信號

時域分析與頻域分析的關(guān)系2023/1/3111大型空氣壓縮機傳動裝置故障診斷傳感器例：大型空壓機傳動裝置故障診斷2023/1/3112信號的頻域分析信號確定性信號非確定性信號周期信號非周期信號簡單周期信號復(fù)雜周期信號準(zhǔn)周期信號瞬態(tài)信號平穩(wěn)隨機信號非平穩(wěn)隨機信號各態(tài)歷經(jīng)信號非各態(tài)歷經(jīng)信號一般非平穩(wěn)信號瞬態(tài)隨機信號時域分析①FS連續(xù)離散②FT連續(xù)離散③功率譜非高斯信號高階譜分析④專題時頻分析小波分析獨立變量Hilbert-Huang變換2023/1/3113信號的頻域分析周期信號非周期信號時間連續(xù)離散連續(xù)時間周期信號離散時間周期信號時間連續(xù)離散連續(xù)時間非周期信號離散時間非周期信號時域分析頻域分析2023/1/3114周期信號表達(dá)式：存在一個周期T0，周期，頻率，角頻率，基本周期，基波，諧波2023/1/3115周期信號判別多個周期信號相加后信號周期判斷兩個周期信號相加(T1,T2)T1,T2之間是否有公倍數(shù)，即存在一個最小數(shù)T0，能同時被T1,T2所整除n1T1=n2T2，n1/n2=T2/T1=有理數(shù)n1、n2均為整數(shù)例：判斷x3(t)=x1(t)+x2(t)的周期2023/1/3116狄義赫利條件(1)在一個周期內(nèi)，間斷點的個數(shù)有限(2)極大值和極小值的數(shù)目有限(3)信號絕對可積滿足上述條件的任何周期函數(shù)，都可以展成“正交函數(shù)(集)線性組合”的無窮級數(shù)。周期信號-時域分析2023/1/3117三角函數(shù)集（正弦型函數(shù)）復(fù)指數(shù)函數(shù)集正交函數(shù)集周期信號時域分析：傅里葉級數(shù)展開如果正交函數(shù)集是三角函數(shù)集或指數(shù)函數(shù)集，則周期函數(shù)展成的級數(shù)就是“傅里葉級數(shù)”。相應(yīng)的級數(shù)通常被稱為“三角形式傅里葉級數(shù)”和“指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)”。傅里葉級數(shù)的兩種不同表示形式。傅里葉級數(shù)工程上物理上的應(yīng)用相當(dāng)廣泛。任一周期函數(shù)可以利用傅里葉級數(shù)分解成許多不同振幅大小，不同頻率高低的正弦波與余弦波。而非周期信號函數(shù)則可以利用傅里葉積分來分析。2023/1/3118展開成三角函數(shù)的無窮級數(shù)形式設(shè)周期函數(shù)x(t)的周期為T周期信號–三角形式的FSa0是常數(shù)，表示直流分量；n為正整數(shù)，用一類時間函數(shù)的集合來描述周期，稱為周期信號的時域分析系數(shù)an和bn統(tǒng)稱為三角形式的傅里葉級數(shù)系數(shù)，簡稱為傅里葉系數(shù)(FS)。系數(shù)an和bn的計算可由三角函數(shù)的正交特性求得2023/1/3119三角函數(shù)的正交特性2023/1/3120設(shè)周期為T函數(shù)x(t)，展開成三角函數(shù)的無窮級數(shù)形式周期信號–三角形式的FS信號的基波、基頻相位譜幅值譜功率譜2023/1/3121方波信號的三角形式FS表示式求下圖所示的方波信號的三角形式FS表示式2023/1/3122方波信號的三角形式FS表示式2023/1/3123系數(shù)計算方法，nω0是離散變量，離散頻率設(shè)周期為T的函數(shù)x(t)，展開成復(fù)指數(shù)函數(shù)的無窮級數(shù)形式：周期信號–復(fù)指數(shù)形式的FS2023/1/3124周期矩形脈沖信號的FS表示式求周期矩形脈沖信號復(fù)指數(shù)形式的FS表示式2023/1/3125周期矩形脈沖信號的FS表示式設(shè)脈沖信號E=10伏，T0=1秒，0=0.2秒三角形式表示式2023/1/3126周期鋸齒波信號的FS表示式求周期鋸齒波信號的三角形式的FS表示式分別求出a0,an,bn的值2023/1/3127周期鋸齒波信號的FS表示式求周期鋸齒波信號的三角形式的FS表示式把a0,an,bn的值代入公式得2023/1/3128周期鋸齒波信號的FS表示式求周期鋸齒波信號的三角形式的FS表示式設(shè)E=時2023/1/3129周期信號的頻域分析時域分析表明，一個周期信號可用正弦型信號或復(fù)指數(shù)信號進行精確描述，不同形狀的周期信號其區(qū)別僅僅在于基頻或基本周期不同，組成成分中的各諧波分量的幅度和相位不同任意波形的周期信號完全可用反映信號頻率特性的復(fù)系數(shù)X(n0)來描述反映周期信號全貌特征的三個參數(shù)，基頻，各諧波分量的幅度和相位相位譜幅值譜功率譜2023/1/3130周期矩形脈沖信號的頻譜2023/1/3131周期鋸齒波信號的頻譜2023/1/3132周期鋸齒波信號的頻譜2023/1/3133復(fù)指數(shù)信號的頻譜按定義頻譜圖如下2023/1/3134正弦型信號的頻譜頻譜圖如下余弦信號頻譜圖正弦信號頻譜圖2023/1/3135復(fù)雜周期信號頻譜求信號頻譜時域波形頻譜圖2023/1/3136實例：周期信號FS2023/1/3137周期信號傅里葉頻譜特點周期信號的傅里葉頻譜特點：諧波性：僅在一些離散頻率點，基頻及其諧波(nf1)上有值，各次諧波頻率比為有理數(shù)。具有非周期性的離散頻譜。離散性：各次諧波在頻率軸上取離散值，離散間隔為：收斂性：各次諧波分量隨頻率增加而衰減。Cn是雙邊譜，正負(fù)頻率的頻譜幅度相加才是實際幅度。信號的功率為帕斯瓦爾方程2023/1/3138連續(xù)周期信號FS0t------0時域信號頻域信號連續(xù)的周期的非周期的離散的正：反：2023/1/3139FS的基本性質(zhì)1、線性性質(zhì)，合成信號有共同的周期，符合線性疊加性質(zhì)2023/1/3140求梯形信號的頻譜1、首先梯形信號時域分解2023/1/3141求梯形信號的頻譜2、三角形周期信號的頻譜函數(shù)3、三角形周期信號的頻譜函數(shù)4、根據(jù)線性性質(zhì)求梯形信號頻譜函數(shù)2023/1/3142FS的基本性質(zhì)2、時移性質(zhì)若則可證明：周期信號在時域右移t0，幅度頻譜保持與移位前一樣，相位頻譜變化-n0t0同理，周期信號在時域左移t0，幅度頻譜保持與移位前一樣，相位頻譜變化+n0t02023/1/3143矩形脈沖信號右移的離散頻譜求矩形脈沖信號右移/2的離散頻譜移位前的離散頻譜右移/2的頻譜函數(shù)幅度頻譜2023/1/3144矩形脈沖信號右移的離散頻譜求矩形脈沖信號右移/2的離散頻譜相位頻譜幅度頻譜相位頻譜2023/1/3145FS的基本性質(zhì)3、對稱性質(zhì)包括頻譜的對稱性以及波形的對稱性對頻譜的影響(1)信號為實函數(shù)已知當(dāng)周期信號為實函數(shù)，起相應(yīng)的幅度頻譜對n0是偶對稱，相位頻譜對n0是奇對稱，只需計算單邊頻譜2023/1/3146FS的基本性質(zhì)(2)信號為實偶函數(shù)(偶對稱)，信號繞縱軸翻轉(zhuǎn)后與原波形一樣當(dāng)周期信號為實偶函數(shù)，其FS展開式只含有直流分量與余弦項，不存在正弦項2023/1/3147FS的基本性質(zhì)(3)信號為實奇函數(shù)(奇對稱)，信號繞縱軸翻轉(zhuǎn)后再繞橫軸翻轉(zhuǎn)與原始波形一樣當(dāng)周期信號為實奇函數(shù)，其FS展開式只含有正弦項，不存在直流分量與余弦項。2023/1/3148FS的基本性質(zhì)(4)半周期對稱1)半周期偶對稱(半周期重疊)，將信號沿時間軸前后平移半周期等于原信號其FS展開式除直流分量外，只含有偶次諧波，而且是余弦分量。2)半周期奇對稱(半周期鏡像)，將信號沿時間軸前后平移半周期等于原信號的鏡像其FS展開式只含有奇次諧波。2023/1/3149FS的基本性質(zhì)3)雙重對稱若信號除了具有半周期鏡像對稱外，同時還是時間的偶函數(shù)或奇函數(shù)，則FS展開式前者只有余弦奇次諧波，后者只有正弦奇次諧波2023/1/3150FS的基本性質(zhì)2023/1/3151FS的基本性質(zhì)2023/1/3152第一次作業(yè)已知信號x1(t)(圖(a))的頻譜為X1(n0)，試寫出圖(b)、(c)、(d)中信號的頻譜2023/1/3153第一次作業(yè)答案2023/1/3154周期信號的頻域分析時域分析表明，一個周期信號可用正弦型信號或復(fù)指數(shù)信號進行精確描述，不同形狀的周期信號其區(qū)別僅僅在于基頻或基本周期不同，組成成分中的各諧波分量的幅度和相位不同任意波形的周期信號完全可用反映信號頻率特性的復(fù)系數(shù)X(n0)來描述反映周期信號全貌特征的三個參數(shù)，基頻，各諧波分量的幅度和相位相位譜幅值譜功率譜2023/1/3155周期信號的頻譜譜線的間隔為周期信號的頻譜譜線的長度為非周期信號-FT周期T0增加對離散頻譜的影響2023/1/3156非周期信號的時域表示利用沖激信號表示非周期信號非周期信號表示為沖激信號的疊加當(dāng)→0，則k→，

→d，求和變成積分上式表明，任何一個非周期信號可由一系列不同強度x()d，作用于不同時刻的沖激信號的線性組合來表示。2023/1/3157非周期信號的時域分析利用階躍信號表示非周期信號非周期信號表示為階躍信號的疊加當(dāng)→0，則k→，

→d，求和變成積分上式表明，任何一個非周期信號可由一系列不同幅度x’()d=dx()，作用于不同時刻的階躍信號的線性組合來表示。2023/1/3158非周期信號可以看成是周期T

趨于無限大的周期信號非周期信號的譜線間隔趨于無限小，變成了連續(xù)頻譜；譜線的長度趨于零。解決方法FT變換非周期信號-FT上式為連續(xù)時間信號的傅里葉變換(CTFT)。C()頻譜密度函數(shù)2023/1/3159頻譜離散函數(shù)與頻譜密度函數(shù)頻譜離散函數(shù)與頻譜密度函數(shù)的關(guān)系周期信號的FS展開式為當(dāng)T→∞，則n0→，

→d，求和變成積分：2023/1/3160非周期信號的傅里葉變換非周期信號的傅里葉變換CTFT：ICTFT：變換核時域頻域頻域時域ICTFT：一個非周期信號是由頻率為無限密集，幅度X()(d/2)等于無限小，無限多的復(fù)指數(shù)信號ejt的線性組合而成。CTFT：周期信號是離散頻譜，表示的是每個諧波分量的復(fù)振幅。非周期信號的頻譜是連續(xù)的頻譜，表示的是每單位帶寬內(nèi)所有諧波分量合成的復(fù)振幅。X()是概率密度函數(shù)，是個復(fù)量。相位譜幅值譜2023/1/3161非周期信號的傅里葉變換是一對線性變換，它們之間存在一對一的關(guān)系唯一性：如果兩個函數(shù)的FT或IFT相等，則這兩個函數(shù)必然相等?？赡嫘裕喝绻? ，則必有，反之亦然。FT存在的條件：滿足下列狄里赫利條件1、充分條件：時域信號絕對可積，2、在任意有限區(qū)間內(nèi)，信號x(t)只有有限個最大值和最小值3、在任意有限區(qū)間內(nèi)，信號x(t)僅有有限個不連續(xù)點，而且在這些點都必須是有限值非周期信號FT2023/1/3162例：典型非周期信號FT-矩形脈沖

-t/20t/2

tf

(t)=)(tEGtE(a)X(w)Et=矩形脈沖面積

0tp2

tp4

tp6

w(b)(w)w0(c)相位譜(實函數(shù))2023/1/3163矩形脈沖信號FT的特點：FT為Sa函數(shù)，原點處函數(shù)值等于矩形脈沖的面積FT的過零點位置為頻域的能量集中在第一個過零點區(qū)間帶寬只與脈寬有關(guān)，與脈高E無關(guān)。帶寬為信號等效脈寬信號等效帶寬例：典型非周期信號FT-矩形脈沖

-t/20t/2

tf

(t)=)(tEGtE(a)X(w)Et

0tp2

tp4

tp6

w(b)脈寬越窄，信號變化越大，信號傳輸速度快、信息量大，訊道所占用的頻帶也越寬2023/1/3164例：典型非周期信號FT-矩形脈沖如果將周期矩形信號的離散頻譜按T0X(n0)作圖，則當(dāng)T0→∞，T0X(n0)的圖形與周期性離散頻譜的包絡(luò)線完全一致，就為X()若將有限長非周期信號看作周期信號的一個周期進行延拓，則周期信號的離散頻譜T0X(n0)可以通過非周期信號的頻譜密度X()，每隔0進行取樣而得。即T0X(n0)

=X()=n0，T0越大，0越小，取樣間隔也越小，譜線越密集2023/1/3165單邊指數(shù)信號：例：典型非周期信號FT-單邊指數(shù)2023/1/3166雙邊實指數(shù)衰減信號：(實偶函數(shù))例：典型非周期信號FT-雙邊實指數(shù)2023/1/3167直流信號：功率信號的FT-直流信號功率信號，不滿足可積條件，可借助廣義函數(shù)理論，利用廣義FT，通過求極限的方法求信號的頻譜密度函數(shù)上式說明在=0處存在()，其沖激強度為：單位直流信號及其頻譜2023/1/3168符號函數(shù)：雙邊直流信號，不滿足絕對可積條件，但存在FT。功率信號的FT-符號函數(shù)功率信號，不滿足可積條件，可借助廣義函數(shù)理論，利用廣義FT，通過求極限的方法求信號的頻譜密度函數(shù)2023/1/3169沖激信號：強度為E的沖激函數(shù)的頻譜是均勻譜，白色頻譜。密度就是沖激的強度。頻譜在任何頻率處的密度都是均勻的單位沖激信號與直流信號的頻譜例：功率信號的FT-沖激信號2023/1/3170階躍信號：不滿足絕對可積條件，但存在FT。原點處的沖激來自u(t)中的直流分量例：功率信號的FT-階躍信號2023/1/3171一般周期信號x(t)的FT，其基頻為0則周期信號的FT-推導(dǎo)1周期信號可分解為幅度為X(n0)的無限復(fù)指數(shù)信號的線性組合，它的頻譜密度等于強度為2X(n0)

，周期為0的一系列沖激串(-n0)的線性組合.已知故2023/1/3172周期信號的FT-推導(dǎo)1周期信號的傅里葉級數(shù)的系數(shù)Cn等于該周期信號單個脈沖的傅里葉變換X()在n0頻率點的值X(n0)乘以1/T0?？衫弥芷谛盘枂蝹€脈沖的傅里葉變換方便求出周期性信號的傅里葉級數(shù)的系數(shù)。最后:2023/1/3173一般周期信號的FT設(shè)周期為T1的周期信號在第一個周期內(nèi)的函數(shù)為f0(t)則于是FT[f0(t)]利用脈沖函數(shù)的篩選特性周期信號的FT-推導(dǎo)2利用沖激函數(shù)的卷積特性周期信號可分解為幅度為F0(n1)的無限復(fù)指數(shù)信號的線性組合，它的頻譜密度等于強度為1F0(n1)

，周期為1的一系列沖激串(

-n1)的線性組合.2023/1/3174周期信號的FT-推導(dǎo)2周期信號的傅里葉級數(shù)的系數(shù)Fn等于該周期信號單個脈沖的傅里葉變換F0()在n1頻率點的值F0(n1)乘以1/T1。可利用周期信號單個脈沖的傅里葉變換方便求出周期性信號的傅里葉級數(shù)的系數(shù)。最后:2023/1/3175單位沖激信號積分特性2）單位沖激信號積分特性（篩選）3）卷積特性2023/1/3176例：周期單位沖激序列求周期單位沖激序列的傅里葉級數(shù)與傅里葉變換。解：畫波形,沖激信號的頻譜為:單位沖激函數(shù)的間隔為T1，用符號T(t)表示周期單位沖激序列：FT2023/1/3177例：周期單位沖激序列可見，在周期單位沖激序列的傅里葉級數(shù)中只包含位于=0，1，21，n1，的頻率分量，且分量大小相等，均等于1/T1。T(t)是周期函數(shù)，周期為T1

，求其傅里葉級數(shù)：FS2023/1/3178周期單位沖激序列FT求T(t)的傅里葉變換可見，在周期單位沖激序列的傅里葉變換中只包含位于=0,1,21,n1,頻率處的沖激函數(shù)，其強度大小相等，均等于1。FT2023/1/3179信號理想抽樣前后頻譜的變化原始信號及其頻譜沖激序列及其頻譜抽樣信號及其頻譜抽樣間隔發(fā)生變化時域離散頻域周期抽樣信號的FT2023/1/3180按間隔Ts進行沖激串抽樣后信號的傅里葉變換，是周期函數(shù)，是原函數(shù)傅里葉變換的Ts分之一按周期2/Ts所進行的周期延拓。結(jié)論1：時域時域離散頻域周期結(jié)論2：抽樣信號的FT2023/1/3181周期矩形脈沖信號的FT解：先求矩形單脈沖信號f0(t)的傅里葉變換F0()……2023/1/3182再求周期矩形脈沖信號的傅里葉級數(shù)Fn……求得周期矩形脈沖信號的傅里葉級數(shù)：周期矩形脈沖信號的FS2023/1/3183最后求周期矩形脈沖信號的傅里葉變換F()?？闯觯褐芷谛盘栴l譜是離散的；非周期信號的頻譜是連續(xù)。周期矩形脈沖信號的FT……2023/1/3184關(guān)系圖周期矩形脈沖信號的FT頻譜譜線的間隔為在頻域，能量集中在第一個過零點之內(nèi)。帶寬只與脈沖脈寬有關(guān)，而與脈高和周期均無關(guān)譜線包絡(luò)線過零點確定方法:定義為周期矩形脈沖信號的頻帶寬度，簡稱帶寬2023/1/3185復(fù)指數(shù)信號的FT：已知周期信號的FT-復(fù)指數(shù)信號當(dāng)2023/1/3186正弦信號的FT余弦信號的FT正弦和余弦信號FT的頻譜圖周期信號的FT-正余弦信號2023/1/3187FT的性質(zhì)（1）線性性：齊次性和疊加性（2）尺度變換特性：時域壓縮對應(yīng)頻域擴展，時域擴展對應(yīng)頻域壓縮（3）時移特性：與尺度變換結(jié)合（4）頻移特性：與尺度變換結(jié)合。時域信號乘上一個復(fù)指數(shù)信號后，頻譜被搬移到復(fù)指數(shù)信號的頻率處。（5）對稱性(對偶性)：FT與IFT的變換核函數(shù)是共軛對稱。（6）微分特性；（7）積分特性；（8）反褶和共扼性：（9）卷積定理，時域相關(guān)性定理，帕斯瓦爾定理。2023/1/3188線性性齊次性疊加性FT的性質(zhì)-線性性2023/1/3189FT的性質(zhì)-線性性-例求下圖所示信號的頻譜密度線性性2023/1/3190時間尺度變換特性：時域壓縮對應(yīng)頻域擴展，時域擴展對應(yīng)頻域壓縮FT的性質(zhì)-尺度變換特性在時域若將信號壓縮a倍，則在頻域其頻譜擴展a倍，同時幅度相應(yīng)地也減為a倍；反之亦然2023/1/3191FT的性質(zhì)-尺度變換特性-例求下圖所示信號的頻譜密度2023/1/3192時移特性不影響幅度譜，只在相位譜上疊加一個線性相位與尺度變換結(jié)合FT的性質(zhì)-時移特性求下圖所示信號的頻譜密度2023/1/3193FT的性質(zhì)-時移特性-例已知2023/1/3194FT的性質(zhì)-尺度變換特性-例信號的頻譜2023/1/3195頻移特性與尺度變換結(jié)合頻譜搬移時域信號乘上一個復(fù)指數(shù)信號后，頻譜被搬移到復(fù)指數(shù)信號的頻率處。利用歐拉公式，通過乘以正弦或余弦信號，可以達(dá)到頻譜搬移的目的。信號調(diào)制FT的性質(zhì)-頻移特性FT頻移特性2023/1/3196FT的性質(zhì)-頻移特性-例已知其中R(t)表示一個矩形窗函數(shù)，是一個寬度為的矩形脈沖頻移特性無限長的正弦信號截斷，在0附近出現(xiàn)功率泄露2023/1/3197對稱性（對偶性）FT與IFT的變換核函數(shù)是共軛對稱的FT的性質(zhì)-對稱性（對偶性）若則有變量置換2023/1/3198FT的性質(zhì)-對偶性-例變量置換2023/1/3199FT的性質(zhì)-對偶性-例變量置換FTFT2023/1/31100FT的性質(zhì)-對偶性-結(jié)論FT時域與頻域的對偶關(guān)系2023/1/31101FT的性質(zhì)-微分性質(zhì)FT的微分性質(zhì)，說明在時域?qū)π盘栠M行微分，相應(yīng)地在頻域增強了高頻成分若則有2023/1/31102FT的性質(zhì)-微分性質(zhì)-例例：三角形脈沖信號的時域波形如下圖所示，求其頻譜；已知信號的頻譜密度函數(shù)為三角形，求其相應(yīng)的時間函數(shù)表示式解：①從左圖(a)中求出x(t)的波形，而后利用微分性質(zhì)求三角形信號的頻譜，x(t)是兩個矩形脈沖的疊加，得微分性質(zhì)2023/1/31103FT的性質(zhì)-微分性質(zhì)-例例：三角形脈沖信號的時域波形如下圖所示，求其頻譜；已知信號的頻譜密度函數(shù)為三角形，求其相應(yīng)的時間函數(shù)表示式2023/1/31104FT的性質(zhì)-積分性質(zhì)若則有FT的積分性質(zhì)，說明在時域?qū)π盘栠M行積分，相應(yīng)地在頻譜的低頻成分增加，高頻成分減少，對信號起著平滑作用域增強了高頻成分例：已知矩形脈沖信號x1(t)的積分波形如下右圖，求該積分信號x2(t)的頻譜密度已知2023/1/31105反褶和共扼性FT的性質(zhì)-反褶和共扼性2023/1/31106FT的性質(zhì)-卷積定理-補充知識補充：時域相關(guān)與卷積相關(guān)方面的知識1、時差域相關(guān)分析概念2、相關(guān)系數(shù)及其性質(zhì)4、相關(guān)分析的工程應(yīng)用5、卷積定義6、卷積的性質(zhì)7、卷積與相關(guān)8、卷積定理2023/1/31107(1)變量相關(guān)的概念時差域相關(guān)分析

相關(guān)指變量之間的相依關(guān)系，統(tǒng)計學(xué)中用相關(guān)系數(shù)來描述變量x，y之間的相關(guān)性。是兩隨機變量之積的數(shù)學(xué)期望，稱為相關(guān)性，表征了x、y之間的關(guān)聯(lián)程度。xyxyxyxy例如，玻璃管溫度計液面高度(Y)與環(huán)境溫度(x)的關(guān)系就是近似理想的線形相關(guān)，在兩個變量相關(guān)的情況下，可以用其中一個可以測量的量的變化來表示另一個量的變化。

協(xié)方差或相關(guān)矩均方差2023/1/31108

如果所研究的變量x,y是與時間有關(guān)的函數(shù)，即x(t)與y(t)，這時可以引入一個與時間τ有關(guān)的量，稱為函數(shù)的相關(guān)系數(shù)，并有：假定x(t)、y(t)是不含直流分量(信號均值為零)的能量信號。分母常量，分子是時移τ的函數(shù)，反映了二個信號在時移中的相關(guān)性，稱為相關(guān)函數(shù)。無綱量有綱量：能量信號－>能量功率信號－>功率相關(guān)函數(shù)2023/1/31109波形的相關(guān)程度分析時域波形相關(guān)程度分析-例2023/1/31110算法：令x(t)、y(t)二個信號之間產(chǎn)生時差τ，再相乘和積分，就可以得到τ時刻二個信號的相關(guān)性。

x(t)y(t)時延器

乘法器

y(t-τ)X(t)y(t-τ)積分

器

Rxy(τ)*圖例自相關(guān)函數(shù)：x(t)=y(t)相關(guān)計算2023/1/31111自相關(guān)計算-例2023/1/31112互相關(guān)計算-例2023/1/31113互相關(guān)計算-例2023/1/31114相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)

相關(guān)函數(shù)描述了兩個信號間或信號自身不同時刻的相似程度，通過相關(guān)分析可以發(fā)現(xiàn)信號中許多有規(guī)律的東西。（1）自相關(guān)函數(shù)是的偶函數(shù)，RX()=Rx(-)；（2）當(dāng)=0時，自相關(guān)函數(shù)具有最大值。（3）周期信號的自相關(guān)函數(shù)仍然是同頻率的周期信號，但不保留原信號的相位信息。（4）兩周期信號的互相關(guān)函數(shù)仍然是同頻率的周期信號，且保留原了信號的相位信息。（5）兩個非同頻率的周期信號互不相關(guān)。（6）隨機信號的自相關(guān)函數(shù)將隨的增大快速衰減。2023/1/31115典型信號相關(guān)分析實驗2023/1/311162023/1/31117案例：機械加工表面粗糙度自相關(guān)分析

被測工件相關(guān)分析性質(zhì)3,性質(zhì)4:提取出回轉(zhuǎn)誤差等周期性的故障源。相關(guān)分析工程應(yīng)用-粗糙度分析2023/1/31118相關(guān)分析工程應(yīng)用-粗糙度分析性質(zhì)3,4:提取出回轉(zhuǎn)誤差等周期性的故障源。原因不明粗糙度分析2023/1/31119相關(guān)分析工程應(yīng)用-軸心軌跡測量相關(guān)信號T/4（4）隨機噪聲信號的自相關(guān)函數(shù)將隨的增大快速衰減。（5）兩周期信號的互相關(guān)函數(shù)仍然是同頻率的周期信號，且保留了原信號的相位信息。2023/1/31120理想信號干擾信號實測信號自相關(guān)系數(shù)性質(zhì)3，性質(zhì)4：提取周期性轉(zhuǎn)速成分。案例：自相關(guān)測轉(zhuǎn)速2023/1/31121每周采樣43個點。每循環(huán)采樣86個點。顯示2個循環(huán)的數(shù)據(jù)。循環(huán)周期發(fā)火周期案例：基于轉(zhuǎn)速測量和自相關(guān)分析的發(fā)動機失火故障診斷2023/1/31122每周采樣43個點。每循環(huán)采樣86個點。顯示2個循環(huán)的數(shù)據(jù)。自相關(guān)函數(shù)案例：基于轉(zhuǎn)速測量和自相關(guān)分析的發(fā)動機失火故障診斷2023/1/31123作一個循環(huán)內(nèi)轉(zhuǎn)速信號的的自相關(guān)函數(shù)，其周期為發(fā)火周期。240degCA時的相關(guān)系數(shù)可用作診斷特征。發(fā)火周期自相關(guān)分析的主要應(yīng)用：用來檢測混肴在干擾信號中的確定性周期信號成分。案例：基于轉(zhuǎn)速測量和自相關(guān)分析的發(fā)動機失火故障診斷2023/1/31124案例：地下輸油管道漏損位置的探測X1X2互相關(guān)分析的主要應(yīng)用：滯后時間確定信號源定位測速測距離2023/1/31125案例：地震位置測量2023/1/311261m1m聲源傳感器１傳感器２聲波傳播速度測量

3ms1/0.003=333m/s案例：地震位置測量2023/1/31127聲源位置測量6m？傳感器１傳感器２聲源案例：地震位置測量2023/1/31128相關(guān)函數(shù)總結(jié)：1、數(shù)學(xué)公式：2、特性：（1）自相關(guān)函數(shù)是的偶函數(shù)，RX()=Rx(-)；（2）當(dāng)=0時，自相關(guān)函數(shù)具有最大值。（3）周期信號的自相關(guān)函數(shù)仍然是同頻周期信號，但不保留相位信息。（5）兩周期信號互相關(guān)仍然是同頻率周期信號，且保留相位信息。（6）兩個非同頻率的周期信號互不相關(guān)。（4）隨機噪聲信號的自相關(guān)函數(shù)將隨的增大快速衰減。3、工程應(yīng)用相關(guān)函數(shù)總結(jié)2023/1/311291、如何在噪聲背景下提取信號中的周期信息，簡述其原理？2、簡述相關(guān)測速、相關(guān)測距的原理？3、求周期為T，幅值為A的方波的自相關(guān)函數(shù)？tAT相關(guān)分析思考題4、已知兩個同頻正弦信號，求其互相關(guān)函數(shù)，并畫出圖形2023/1/31130作業(yè)已知兩個同頻正弦信號，求其互相關(guān)函數(shù)，并畫出圖形兩個同頻正弦信號的互相關(guān)函數(shù)2023/1/31131動手做：用計算機上的雙聲道聲卡進行相關(guān)分析實驗。動手做實驗2023/1/31132FT的性質(zhì)-卷積定理-補充知識補充：時域相關(guān)與卷積相關(guān)方面的知識1、時差域相關(guān)分析概念2、相關(guān)系數(shù)及其性質(zhì)4、相關(guān)分析的工程應(yīng)用5、卷積定義6、卷積的性質(zhì)7、卷積與相關(guān)8、卷積定理2023/1/311335、卷積積分信號的時域分解與卷積積分5.1、信號的時域分解(1)預(yù)備知識問

f1(t)=?

p(t)直觀看出2023/1/311345、卷積積分(2)任意信號分解“0”號脈沖高度f(0),寬度為△，用p(t)表示為：f(0)△p(t)“1”號脈沖高度f(△),寬度為△，用p(t-△)表示為：

f(△)△p(t-△)“-1”號脈沖高度f(-△)、寬度為△，用p(t+△)表示為：f(-△)△p(t+△)2023/1/311355、卷積積分5.2、任意信號作用下的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)f(t)根據(jù)h(t)的定義：δ(t)

h(t)由時不變性：δ(t

-τ)h(t-τ)f(τ)δ(t

-τ)由齊次性：f(τ)h(t-τ)由疊加性：‖f(t)‖yf(t)卷積積分2023/1/311365、卷積運算-定義與物理意義5.3、卷積定義：物理意義：描述線性時不變系統(tǒng)的輸入與輸出關(guān)系，即系統(tǒng)的輸出y(t)是任意輸入x(t)與系統(tǒng)脈沖響應(yīng)函數(shù)h(t)的卷積。運算過程：x(t)為多個寬度為Δt的窄條面積之和；線性系統(tǒng)齊次性與時不變性；疊加：2023/1/311375、卷積運算幾何作圖法5.4、卷積運算的幾何作圖法任意給定某個t0，卷積運算圖解步驟為：第一步換元—先把兩個信號的自變量變?yōu)?，即兩個信號變?yōu)閤()與h()。第二步反折—將h()以縱軸為中心軸翻轉(zhuǎn)180,

h(-)；第三步平移—給定一個t0值，將h(-)波形沿軸平移|t0|。在t0<0時，波形往左移；在t0>0時，波形往右移。這樣就得到了h(t0-)的波形；第四步相乘—將x()和h(t0-)相乘，得到卷積積分式中的被積函數(shù)x()h(t0-)

；2023/1/311385、卷積運算幾何作圖法第五步疊加(積分)—計算乘積信號x()h(t0-)波形與軸之間包含的凈面積，便是式卷積在t0時刻的值y(t0)。第六步重復(fù)令變量t0在(-∞，∞)范圍內(nèi)變化，重復(fù)第三、四、五步操作，最終得到卷積信號x()*h()。換積分變量——>

反折——>平移——>相乘——>疊加（積分）2023/1/311395、卷積運算幾何作圖法-例換元、反折積分平移相乘平移相乘2023/1/311405、舉例：圖解法求卷積圖解法一般比較繁瑣，確定積分的上下限是關(guān)鍵。舉例（１）變量替換后，將其中一信號反折（２）平移（左移到與另一信號沒有重合后,再右移)*解:t-22023/1/311415、舉例：圖解法求卷積（３）相乘2023/1/311425、舉例：圖解法求卷積（３）相乘2023/1/311435、舉例：圖解法求卷積（4）相加：以上各圖中的陰影面積，即為相乘積分的結(jié)果若以t為橫坐標(biāo)，將與t對應(yīng)積分值描成曲線，就是卷積積分e(t)*h(t)函數(shù)圖像。2023/1/311445、舉例：求某一時刻卷積值圖解法一般比較繁瑣，確定積分的上下限是關(guān)鍵。但若只求某一時刻卷積值時還是比較方便的。例：f1(t)、f2(t)如圖所示，已知f(t)=f2(t)*f1(t)，求f(2)=？f1(-τ)f1(2-τ)解：（1）換元（2）f1()得f1(–)（3）f1(–)右移2得f1(2–)（4）f1(2–)乘f2()（5）積分，得f(2)=0（面積為0）2023/1/3114505、舉例：圖解法計算卷積例

f(t),h(t)

如圖所示，求yzs(t)=h(t)*f(t)

。解：采用圖形卷積。

f(t-τ)f(τ)反折f(-τ)平移t①t<0時,f(t-τ)向左移f(t-τ)h(τ)=0，故

yzs(t)=0②0≤t≤1

時,f(t-τ)向右移③1≤t≤2時，f(t-τ)向右移⑤3≤t

時f(t-τ)h(τ)=0，故

yzs(t)=0④2≤t≤3

時h(t)函數(shù)形式復(fù)雜換元為h(τ)。f(t)換元

f(τ)2023/1/31146例：f(t)=et,（-∞<t<∞)，h(t)=(6e-2t–1)ε(t)，求yzs(t)。解：

yzs(t)=f(t)*h(t)當(dāng)t<τ，即τ>t時，ε(t-τ)=05、舉例：定義計算卷積2023/1/311475、卷積的幾何作圖法解釋求x(t)與h(t)的卷積，實質(zhì)上是求一個新函數(shù)x()h(t)在由0到t的區(qū)間內(nèi)的定積分。根據(jù)定積分的幾何意義，函數(shù)在0到t區(qū)間內(nèi)的定積分值，決定于被積函數(shù)x()h(t)的曲線在該區(qū)間內(nèi)與軸之間所限定的面積。在上述一個信號的反褶信號的滑動過程中，它與另外一個信號的重合面積隨t的變化曲線就是所求的兩個信號的卷積的波形?？梢愿鶕?jù)上面的幾何解釋來估計或求出兩個信號卷積運算結(jié)果。2023/1/311485、附：卷積表12023/1/311495、附：卷積表22023/1/311506.1

卷積代數(shù)性質(zhì)

作為一種數(shù)學(xué)運算，卷積運算遵守代數(shù)（乘法）運算的某些規(guī)律（1）互換律設(shè)有f1(t)、

f2(t)兩函數(shù)，則

表明卷積結(jié)果與兩函數(shù)的次序無關(guān)（2）分配律：設(shè)有f1(t)、f2(t)

、f3(t)三函數(shù)，則

實際上這個結(jié)果也是線性系統(tǒng)疊加特性的體現(xiàn)（3）結(jié)合律：設(shè)有f1(t)、f2(t)

、f3(t)三函數(shù)，則

卷積的計算類似于函數(shù)的乘法計算。它的很多性質(zhì)與乘法運算性質(zhì)相同，但是也有一些不同。通過這些性質(zhì)，可以方便卷積的計算。6、卷積的性質(zhì)2023/1/31151

卷積代數(shù)運算與乘法運算的規(guī)律相同，但卷積的微分或積分卻與函數(shù)相乘的微分或積分性質(zhì)不同。(1)函數(shù)相卷積后的微分

兩個函數(shù)卷積后的導(dǎo)數(shù)等于其中一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與另一個函數(shù)的卷積。其表示式為：

(2)函數(shù)相卷積后的積分

兩個函數(shù)相卷積后的積分等于其中一個函數(shù)的積分與另一個函數(shù)的卷積。其表示式為：6.2、卷積的微分和積分性質(zhì)(3)在f1(–∞)=0或f2(–1)(∞)=0的前提下，

f1(t)*f2(t)=f1’(t)*f2(–1)(t)2023/1/311526.2、舉例：卷積的微積分例1：

f1(t)=1，f2(t)=e–t(t)，求f1(t)*f2(t)

解：通常復(fù)雜函數(shù)放前面，代入定義式得注意：套用f1(t)*f2(t)=f1’(t)*f2(–1)(t)=0*f2(–1)(t)=0

顯然是錯誤的。例2：f1(t)

如圖，f2(t)=e–t(t)，求f1(t)*f2(t)

解：

f1(t)*f2(t)=f1’(t)*f2(–1)(t)f1’(t)=

(t)–

(t–2)f1(t)*f2(t)=(1-e–t)(t)–[1-e–(t-2)](t-2)2023/1/311536.2、舉例：卷積的微積分例3：已知f

(t)，h(t)，求g(t)=f1(t)*h(t)

f1(t)*f2(t)=f1’(t)*f2(–1)(t)2023/1/31154卷積的時移特性兩函數(shù)經(jīng)延時后的卷積等于兩函數(shù)卷積后延時，其延時量為兩函數(shù)分別延時量的和。如果則有6.3、卷積的時移特性2023/1/311556.3、舉例：卷積的時移特性例：f1(t)，

f2(t)如圖，求f1(t)*f2(t)解：f1(t)=2(t)–2(t–1)

f2(t)=

(t+1)–(t–1)

f1(t)*f2(t)=2(t)*(t+1)–2(t)*(t–1)–2(t–1)*(t+1)+2(t–1)*(t–1)由于(t)*(t)=t(t)，據(jù)時移特性，有：f1(t)*f2(t)=2(t+1)(t+1)-2(t–1)(t–1)–2t(t)+2(t–2)(t–2)2023/1/311566.4、脈沖函數(shù)的卷積運算函數(shù)與單位沖激函數(shù)的卷積一個函數(shù)與單位沖激函數(shù)的卷積，等價于把該函數(shù)平移到單位沖激函數(shù)的沖激點位置。亦稱單位沖激函數(shù)的搬移特性2023/1/31157(t)(t)=t(t)，et(t)et(t)=tet(t)

若f(t)=fa(t)*fb(t)，fa(t)定義在(ta1，ta2)，

fb(t)定義在(tb1，tb2)，則f(t)的定義范圍為：(ta1+tb1，ta2+tb2)6.4、幾個特殊函數(shù)的卷積2023/1/311586.5、求解卷積的方法求解卷積的方法可歸納為：（1）利用定義式，直接進行積分。對于容易求積分的函數(shù)比較有效。如指數(shù)函數(shù)，多項式函數(shù)等。（2）圖解法。特別適用于求某時刻點上的卷積值。（3）利用性質(zhì)。比較靈活。三者常常結(jié)合起來使用。2023/1/31159互相關(guān)函數(shù)定義：兩時間實函數(shù)x(t)、y(t)的相關(guān)運算由積分定義Rxy(t)函數(shù)稱為x(t)與y(t)的互相關(guān)函數(shù)，而Ryx(t)函數(shù)稱為y(t)與x(t)的互相關(guān)函數(shù)令=-t

作變量置換，且置換后將積分變量仍用

表示

,有：Rxy(t)與Ryx(t)的關(guān)系：比較（2-70）與（2-71）7、相關(guān)與卷積2023/1/31160

如果進行相關(guān)運算的是同一時間信號，則稱相關(guān)運算所得結(jié)果為自相關(guān)函數(shù)。它為時間t

的偶函數(shù)相關(guān)運算與卷積運算的關(guān)系：卷積與相關(guān)的關(guān)系2023/1/31161卷積與相關(guān)的關(guān)系相關(guān)運算不要對y(t)進行反折，而卷積運算需要反折。相關(guān)定理：兩函數(shù)的互相關(guān)函數(shù)的FT，等于一個信號的FT乘以另一信號FT的共軛值2023/1/31162舉例：多種方法求卷積例：計算f1(t)*f2(t)2023/1/31163舉例：圖解法求卷積2023/1/31164舉例：解析法計算卷積方法二：直接根據(jù)卷積定義式計算2023/1/31165舉例：由卷積的性質(zhì)-交換律方法三：由卷積的性質(zhì)-交換律求卷積2023/1/31166舉例：由卷積的微積分性質(zhì)方法四：應(yīng)用卷積的微分與積分性質(zhì)求解2023/1/31167例：求矩形脈沖f1(t)=(t-t1)-(t-t2),t2>t1

和指數(shù)函數(shù)f2(t)=e-t(t)的卷積解：方法1：圖解法tt2t11g(t)例：多種方法求卷積2023/1/31168方法2：應(yīng)用卷積的微分與積分性質(zhì)求解例：多種方法求卷積2023/1/31169已知f1(t)=t[(t)-(t+1)]，f2(t)=(t)-(t-1),求f(t)=f1(t)*f2(t)f(t)=0.5(1-t2)[(t+1)-(t)]+0.5(1-t)2[(t)-(t-1)]f2(t-)1-1tf1()-11f1()f2(t-)-11t當(dāng)-1<t<0時梯形面積為0.5(-t+1)(1+t)-1+tf1()f2(t-)f2(t-)1-1tf1()-11-11當(dāng)0≤t<1時△面積為0.5(1-t)2f1(-)-11tf2()11tf2(t-)1-1t=0例：多種方法求卷積2023/1/31170例：下圖為矩形脈沖，用符號gτ(t)表示，其幅度為1，寬度為，求卷積積分gτ(t)*gτ(t)。例：求矩形脈沖卷積2023/1/31171由于門函數(shù)是偶函數(shù)，故其波形繞縱軸翻轉(zhuǎn)180°后與原波形重疊，圖中用虛線表示。注意，t=0時，門函數(shù)左邊沿位于x=-/2位置，右邊沿位于x=/2位置，如圖(b)所示。方法一：圖解法在任一t時刻，移動門函數(shù)左邊沿位于x=t-/2位置，右邊沿則位于x=t+/2位置，如圖(c)所示例：求矩形脈沖卷積-圖解法2023/1/31172按照圖卷積過程的圖解表示，可計算求得：

例：求矩形脈沖卷積-圖解法2023/1/31173方法一圖例：求矩形脈沖卷積-圖解法2023/1/31174方法二應(yīng)用卷積運算的微積分和時移性質(zhì)例：求矩形脈沖卷積-卷積性質(zhì)2023/1/31175方法二圖2023/1/31176時域卷積定理-定義、例1如果

則

兩個時間函數(shù)卷積的頻譜等于各個時間函數(shù)頻譜的乘積例三角脈沖頻譜計算2023/1/31177時域卷積定理-例22023/1/31178頻域卷積定理如果：則：兩時間函數(shù)的頻譜的卷積等效于時域兩函數(shù)乘積的頻譜2023/1/31179巴什瓦定理Parseval定理：時域中信號分析的總能量等于頻域中計算的信號總能量。如果F[x(t)]=X(f)；F[h(t)]=H(f)，則有：2023/1/31180隨機信號的功率譜密度隨機信號：時域無限、不可積分；其頻率、幅值、相位都是隨機的，不能直接FT;用具有統(tǒng)計特性的功率譜密度作譜分析自功率譜與互譜自功率譜雙/單邊譜互譜單邊功率譜密度2023/1/31181隨機信號的功率譜密度相干函數(shù)和頻率響應(yīng)函數(shù)H(ω)相干函數(shù)在系統(tǒng)辨識中，可辨別輸出y(t)與x(t)的關(guān)系；為1，完全相關(guān)；<1，測量過程有噪聲或系統(tǒng)存在非線性H(ω)是互譜與自譜的比值求得，復(fù)量，保留了幅值大小和相位信息，描述系統(tǒng)的頻域特性。IFT后，即為描述系統(tǒng)時域特性的單位脈沖