量子力學(xué) 第10章10

第五章定態(tài)問題的常用近似方法引言§5.1非簡(jiǎn)并的定態(tài)微擾引言§5.1引言（一）近似方法的重要性精確解:（1）一維無(wú)限深勢(shì)阱問題；（2）線性諧振子問題；（3）勢(shì)壘貫穿問題；（4）氫原子問題。近似解:對(duì)于大量的實(shí)際物理問題，通常體系的

Hamilton量是比較復(fù)雜的，往往不能精確求解。（二）近似方法的出發(fā)點(diǎn)近似方法通常是從簡(jiǎn)單問題的精確解（解析解）出發(fā)，來(lái)求較復(fù)雜問題的近似（解析）解。（三）近似解問題分為兩類（1）體系Hamilton量不是時(shí)間的顯函數(shù)——定態(tài)問題1.定態(tài)微擾論；2.變分法。（2）體系Hamilton量顯含時(shí)間——狀態(tài)之間的躍遷問題1.與時(shí)間t有關(guān)的微擾理論；2.常微擾?！?.1非簡(jiǎn)并的定態(tài)微擾 微擾法不是量子力學(xué)所特有的方法，在處理天體運(yùn)行的天體物理學(xué)中，計(jì)算行星運(yùn)行軌道時(shí)，就是使用微擾方法。計(jì)算中需要考慮其他行星影響的二級(jí)效應(yīng)。 例如，地球受萬(wàn)有引力作用繞太陽(yáng)轉(zhuǎn)動(dòng)，可是由于其它行星的影響，其軌道需要予以修正。在這種情況下，計(jì)算所使用的方法是：首先把太陽(yáng)和地球作為二體系統(tǒng)，求出其軌道，然后研究這個(gè)軌道受其它行星的影響而發(fā)生的變化。微擾體系一、適用條件

微擾體系的定態(tài)薛定諤方程微擾體系的比較復(fù)雜，無(wú)法直接求解，但可分成兩部分： 的所描寫的體系是可以精確求解的，叫做未微擾體系，其本征值和本征函數(shù)分別為

。則方程（1）就可以通過(guò)逐步近似的方法求解。二、微擾論的基本方程

的本征方程：設(shè)未微擾體系的本征值和本征函數(shù)已經(jīng)全部求出：)4(,2,1,)0()0()0(0LLknEHnnn==ψψnnnnEEψψ??)0()0(設(shè)某一個(gè)能級(jí)是非簡(jiǎn)并的，只有一個(gè)與它對(duì)應(yīng)，加上“微擾”后，其中Ek(0),λEk(1),λ2Ek(2),...分別是能量的零級(jí)近似，一級(jí)修正和二級(jí)修正等；而φk(0),λφk(1),λ2φk(2),...分別是狀態(tài)矢量零級(jí)近似，一級(jí)修正和二級(jí)修正等。

a）零級(jí)近似b）一級(jí)近似c）二級(jí)近似試用微擾論求能級(jí)的變化，并與精確解比較。例

帶電量為e的一維諧振子，受到恒定弱電場(chǎng)的微擾 作用解1Hamilton算符包含H0+H’兩部分，在弱電場(chǎng)下，上式后一項(xiàng)很小，可看成微擾—微擾法（1）電諧振子Hamilton量（2）寫出H0的本征值和本征函數(shù)En(0),ψn(0)（3）計(jì)算En(1)上式積分等于0因?yàn)楸环e函數(shù)為奇函數(shù)所致。（4）計(jì)算能量二級(jí)修正利用線性諧振子本征函數(shù)的遞推公式：欲計(jì)算能量二級(jí)修正，首先應(yīng)計(jì)算矩陣元。對(duì)諧振子有:En(0)-En-1(0)=ω,En(0)-En+1(0)=-ω，代入由此式可知，能級(jí)移動(dòng)與n無(wú)關(guān)，即與擾動(dòng)前振子的狀態(tài)無(wú)關(guān)。-----電諧振子的嚴(yán)格精確解實(shí)際上這個(gè)問題是可以精確求解的，只要我們將體系Hamilton量作以下整理：解2其中x’=x–[eε/mω2]，可見，體系仍是一個(gè)線性諧振子。它的每一個(gè)能級(jí)都比無(wú)電場(chǎng)時(shí)的線性諧振子的相應(yīng)能級(jí)低{e2ε2/2mω2}，而平衡點(diǎn)向右移動(dòng)了{(lán)eε/μω2}距離。這與微擾論二級(jí)近似一樣?？梢钥唇o出：計(jì)算能級(jí)和波函數(shù)的一級(jí)和二級(jí)修正關(guān)鍵是求哈密頓算符的矩陣元。知道了矩陣元以及零級(jí)近似解，問題就解決了。另外，通過(guò)上述微擾論所得出的能級(jí)和波函數(shù)的公式因此如果我們一開始知道其矩陣表示，問題的求解將會(huì)簡(jiǎn)單得多。例2.設(shè)Hamilton量的矩陣形式為：（1）設(shè)c<<1，應(yīng)用微擾論求H本征值到二級(jí)近似；（2）求H的精確本征值；（3）在怎樣條件下，上面二結(jié)果一致。解：（1）c<<1，可取0級(jí)和微擾Hamilton量分別為：H0是對(duì)角矩陣，是HamiltonH0在自身表象中的形式，而且能級(jí)是非簡(jiǎn)并的。所以能量的0級(jí)近似為：E1(0)=1E2(0)=3E3(0)=-2由非簡(jiǎn)并微擾公式得能量一級(jí)修正（此處每一能級(jí)都要修正?。耗芰慷?jí)修正為：準(zhǔn)確到二級(jí)近似的能量為：設(shè)H的本征值是E，由久期方程可解得：解得：(2)精確解：如何來(lái)的？與近似解比較：可知，微擾論二級(jí)近似結(jié)果與精確解展開式不計(jì)c4及以后高階項(xiàng)的結(jié)果相同。比較（1）和（2）之解(3)將準(zhǔn)確解按c(<<1)展開：﹟Thisistheendofthenondegnerate

purterbationtheory!總結(jié)：非簡(jiǎn)并微擾論處理問題的方法（2）寫出