第13章 組合變形

第二篇材料力學第13章組合變形第13章組合變形

13.1組合變形的概念

在前面幾章中，研究了構件在發(fā)生軸向拉伸(壓縮)、剪切、扭轉、彎曲等基本變形時的強度和剛度問題。在工程實際中，有很多構件在荷載作用下往往發(fā)生兩種或兩種以上的基本變形。若有其中一種變形是主要的，其余變形所引起的應力(或變形)很小，則構件可按主要的基本變形進行計算。若幾種變形所對應的應力(或變形)屬于同一數(shù)量級則構件的變形為組合變形。例如，如圖13.1(a)所示吊鉤的AB段，在力P作用下，將同時產(chǎn)生拉伸與彎曲兩種基本變形；機械中的齒輪傳動軸(如圖13.1(b)所示)在外力作用下，將同時發(fā)生扭轉變形及在水平平面和垂直平面內的彎曲變形；斜屋架上的工字鋼檀條(如圖13.2(a)所示)，可以作為簡支梁來計算(如圖13.2(b)所示)，因為q的作用線并不通過工字截面的任一根形心主慣性軸(如圖13.2(c)所示)，則引起沿兩個方向的平面彎曲，這種情況稱為斜彎曲。

圖13.1吊鉤及傳動軸

(a) (b)(c)圖13.2斜屋架上的工字鋼檀條求解組合變形問題的基本方法是疊加法，即首先將組合變形分解為幾個基本變形，然后分別考慮構件在每一種基本變形情況下的應力和變形。最后利用疊加原理，綜合考慮各基本變形的組合情況，以確定構件的危險截面、危險點的位置及危險點的應力狀態(tài)，并據(jù)此進行強度計算。實驗證明，只要構件的剛度足夠大，材料又服從胡克定律，則由上述疊加法所得的計算結果是足夠精確的。反之，對于小剛度、大變形的構件，必須要考慮各基本變形之間的相互影響，例如大撓度的壓彎桿，疊加原理就不能適用。下面分別討論在工程中經(jīng)常遇到的幾種組合變形。13.2斜彎曲前面已經(jīng)討論了梁在平面彎曲時的應力和變形計算。在平面彎曲問題中，外力作用在截面的形心主軸與梁的軸線組成的縱向對稱面內，梁的軸線變形后將變?yōu)橐粭l平面曲線，且仍在外力作用面內。在工程實際中，有時會遇到外力不作用在形心主軸所在的縱向對稱面內，如上節(jié)提到的屋面檀條的受力情況(如圖13.2所示)。在這種情況下，桿件可考慮為在兩相互垂直的縱向對稱面內同時發(fā)生平面彎曲。實驗及理論研究指出，此時梁的撓曲線不再在外力作用平面內，這種彎曲稱為斜彎曲?，F(xiàn)在以矩形截面懸臂梁為例(如圖13.3(a)所示)，分析斜彎曲時應力和變形的計算。這時梁在F1和F2作用下，分別在水平縱向對稱面(Oxz平面)和鉛垂縱向對稱面(Oxy平面)內發(fā)生對稱彎曲。在梁的任意橫截面m—m上，由F1和F2引起的彎矩值依次為

在橫截面m—m上的某點

處由彎矩My和Mz引起的正應力分別為

根據(jù)疊加原理，和的代數(shù)和即為C點的正應力，即(13-1)式中，Iy和Iz分別為橫截面對y軸和z軸的慣性矩；My和Mz分別是截面上位于水平和鉛垂對稱平面內的彎矩，且其力矩矢量分別與y軸和z軸的正向一致(如圖13.3(b)所示)。在具體計算中，也可以先不考慮彎矩My、Mz和坐標y、z的正負號，以其絕對值代入，然后根據(jù)梁在F1和F2分別作用下的變形情況，來判斷式(13-1)右邊兩項的正負號。

(a)(b)圖13.3斜彎曲

為了進行強度計算，必須先確定梁內的最大正應力。最大正應力發(fā)生在彎矩最大的截面(危險截面)上，但要確定截面上哪一點的正應力最大(就是要找出危險點的位置)，應先確定截面上中性軸的位置。由于中性軸上各點處的正應力均為零，令代表中性軸上的任一點，將它的坐標值代入式(13-1)即可得中性方程 (13-2)從上式可知，中性軸是一條通過橫截面形心的直線，令中性軸與y軸的夾角為，則式中，角度是橫截面上合成彎矩的矢量與y軸的夾角(如圖13.3(b)所示)。一般情況下，由于截面的，因而中性軸與合成彎矩M所在的平面并不垂直。而截面的撓度垂直于中性軸(如圖13.4(a)所示)，所以撓曲線將不在合成彎矩所在的平面內，這與平面彎曲不同。對于正方形、圓形等截面以及某些特殊組合截面，其中，就是所有形心軸都是主慣性軸，故，，因而，正應力可用合成彎矩M進行計算。但是，梁各橫截面上的合成彎矩M所在平面的方位一般并不相同，所以，雖然每一截面的撓度都發(fā)生在該截面的合成彎矩所在平面內，梁的撓曲線一般仍是一條空間曲線?？墒?，梁的撓曲線方程仍應分別按兩垂直平面內的彎曲來計算，不能直接用合成彎矩進行計算。圖13.4斜彎曲時橫截面上的應力情況確定中性軸的位置后，就可看出截面上離中性軸最遠的點是正應力值最大的點。一般只要作與中性軸平行且與橫截面周邊相切的線，切點就是最大正應力的點。如圖13.4(b)所示的矩形截面梁，顯然右上角與左下角有最大正應力值，將這些點的坐標(y1,

z1)或(y2,z2)代入式(13-1)，可得最大拉應力和最大壓應力。在確定了梁的危險截面和危險點的位置，并算出危險點處的最大正應力后，由于危險點處于單軸應力狀態(tài)，于是，可將最大正應力與材料的許用正應力相比較來建立強度條件，進行強度計算。【例題13.1】一長的矩形截面木制懸臂梁，彈性模量，梁上作用有兩個集中荷載和，如圖13.5(a)所示，設截面，。試選擇梁的截面尺寸，并計算自由端的撓度。圖13.5解：(1)選擇梁的截面尺寸。將自由端的作用荷載分解此梁的斜彎曲可分解為在xy平面內及xz平面內的兩個平面彎曲，如圖13.5(c)所示。由圖13.5可知Mz

和My在固定端的截面上達到最大值，故危險截面上的彎矩

上式中Mz與My只取絕對值，且截面上的最大拉壓應力相等，故即

可取h=200mm，b=120mm(2)計算自由端的撓度。分別計算與，如圖13.5(c)所示，則13.3拉(壓)與彎曲

拉伸或壓縮與彎曲的組合變形是工程中常見的情況。如圖13.6(a)所示的起重機橫梁AB，其受力簡圖如圖13.6(b)所示。軸向力和引起壓縮，橫向力，，引起彎曲，所以桿件產(chǎn)生壓縮與彎曲的組合變形。對于彎曲剛度較大的桿，由于橫向力引起的撓度與橫截面的尺寸相比很小，因此，由軸向力引起的彎矩可以略去不計。于是，可分別計算由橫向力和軸向力引起的桿橫截面上的正應力，按疊加原理求其代數(shù)和，即得橫截面上的正應力。下面我們舉一簡單例子來說明。懸臂梁AB(如圖13.7(a)所示)，在它的自由端A作用一與鉛直方向成角的力F(在縱向對稱面平面內)。將F力分別沿軸軸分解，可得為軸向力，對梁引起拉伸變形(如圖13.7(b)所示)；為橫向力，引起梁的平面彎曲(如圖13.7(c)所示)。距A端x的截面上的內力為軸力彎矩圖13.6起重機在軸向力作用下，桿各個橫截面上有相同的軸力。而在橫向力作用下，固定端橫截面上的彎矩最大，，故危險截面是在固定端。圖13.7拉彎組合變形

與軸力對應的拉伸正應力在該截面上各點處均相等，其值為

而與對應的最大彎曲正應力，出現(xiàn)在該截面的上、下邊緣處，其絕對值為

在危險截面上與，對應的正應力沿截面高度變化的情況分別如圖13.8(a)和圖13.8(b)所示。將彎曲正應力與拉伸正應力疊加后，正應力沿截面高度的變化情況如圖13.8(c)所示。若＞，則為拉應力；若＜，則為壓應力。所以之值須視軸向力和橫向力分別引起的應力而定。如圖13.7(c)所示的應力分布圖是在＜的情況下作出的。顯然，桿件的最大正應力是危險截面上邊緣各點處的拉應力，其值為

(13-3)由于危險點處的應力狀態(tài)為單軸應力狀態(tài)，故可將最大拉應力與材料的許用應力相比較，以進行強度計算。應該注意，當材料的許用拉應力和許用壓應力不相等時，桿內的最大拉應力和最大壓應力必須分別滿足桿件的拉、壓強度條件。若桿件的抗彎剛度很小，則由橫向力所引起的撓度與橫截面尺寸相比不能略去，此時就應考慮軸向力引起的彎矩。圖13.8拉、彎組合變形的應力疊加

【例題13.2】最大吊重的起重機如圖13.9(a)所示。若AB桿為工字鋼，材料為Q235鋼，，試選擇工字鋼型號。解：(1)先求出CD桿的長度為(2)以AB為研究對象，其受力如圖13.9(b)所示，由平衡方程，得圖13.9把F分解為沿AB桿軸線的分量和垂直于AB桿軸線的分量，可見AB桿在AC段內產(chǎn)生壓縮與彎曲的組合變形。作AB桿的彎矩圖和AC段的軸力圖如圖13.9(c)所示。從圖中看出，在C點左側的截面上彎矩為最大值，而軸力與其他截面相同，故為危險截面。開始試算時，可以先不考慮軸力的影響，只根據(jù)彎曲強度條件選取工字鋼。這時查型鋼表，選取16號工字鋼，，。選定工字鋼后，同時考慮軸力及彎矩M的影響，再進行強度校核。在危險截面C的上邊緣各點有最大壓應力，且為

結果表明，最大壓應力與許用應力接近相等，故無需重新選擇截面的型號。

13.4偏心拉(壓)

作用在直桿上的外力，當其作用線與桿的軸線平行但不重合時，將引起偏心拉伸或偏心壓縮。鉆床的立柱(如圖13.10(a)所示)和廠房中支承吊車梁的柱子(如圖13.10(b)所示)即為偏心拉伸和偏心壓縮。圖8.10偏心拉(壓)實例13.4.1偏心拉(壓)的應力計算現(xiàn)以實心截面的等直桿承受距離截面形心為(稱為偏心距)的偏心拉力(如圖13.11(a)所示)為例，來說明偏心拉桿的強度計算。設偏心力作用在端面上的點，其坐標為()。將力向截面形心點簡化，把原來的偏心力轉化為軸向拉力F；作用在平面內的彎曲力偶矩；作用在平面內的彎曲力偶矩在這些荷載作用下(如圖13.11(b)所示)，桿件的變形是軸向拉伸和兩個純彎曲的組合。所有橫截面上的內力——軸力和彎矩均保持不變，即，，疊加上述三內力所引起的正應力，即得任意橫截面m—m上某點的應力計算式

（a）式中，為橫截面面積；和分別為橫截面對軸和軸的慣性矩。利用慣性矩與慣性半徑的關系(參見附錄A)，有

，于是式(a)可改寫為 (b)圖13.11偏心拉伸的應力分析式(b)是一個平面方程，這表明正應力在橫截面上按線性規(guī)律變化，而應力平面與橫截面相交的直線(沿該直線)就是中性軸(如圖13.12所示)。將中性軸上任一點代入式(b)，即得中性軸方程為 (13-4)圖13.12中性軸及應力分布顯然，中性軸是一條不通過截面形心的直線，它在、軸上的截距和分別可以從式(13-4)計算出來。在上式中，令，相應的即為，而令，相應的即為。由此求得(13-5)式(13-5)表明，中性軸截距，和偏心距，符號相反，所以中性軸與外力作用點位于截面形心的兩側，如圖13.12所示。中性軸把截面分為兩部分，一部分受拉應力，另一部分受壓應力。確定了中性軸的位置后，可作兩條平行于中性軸且與截面周邊相切的直線，切點與分別是截面上最大拉應力與最大壓應力的點，分別將與的坐標代入式(a)，即可求得最大拉應力和最大壓應力的值

(13-6)由于危險點處于單軸應力狀態(tài)，因此，在求得最大正應力后，就可根據(jù)材料的許用應力來建立強度條件。應該注意，對于周邊具有棱角的截面，如矩形、箱形、工字形等，其危險點必定在截面的棱角處，并可根據(jù)桿件的變形來確定，無需確定中性軸的位置?！纠}13.3】試求如圖13.13(a)所示桿內的最大正應力。力與桿的軸線平行。

(a)(b)圖13.13例題13.3圖解：橫截面如圖13.13(b)所示，其面積為

形心的坐標為形心主慣性矩力對主慣性軸和之矩，比較如圖13.13(b)所示截面4個角點上的正應力可知，角點4上的正應力最大，即13.4.2截面核心

式(13-6)中的、均為負值。因此當外力的偏心距(即,)較小時，橫截面上就可能不出現(xiàn)壓應力，即中性軸不與橫截面相交。同理，當偏心壓力的偏心距較小時，桿的橫截面上也可能不出現(xiàn)拉應力。在工程中，有不少材料抗拉性能差，但抗壓性能好且價格比較便宜，如磚、石、混凝土、鑄鐵等。在這類構件的設計計算中，往往認為其拉伸強度為零。這就要求構件在偏心壓力作用下，其橫截面上不出現(xiàn)拉應力，由公式(13-5)可知，對于給定的截面，、值越小，、值就越大，即外力作用點離形心越近，中性軸距形心就越遠。因此，當外力作用點位于截面形心附近的一個區(qū)域內時，就可保證中性軸不與橫截面相交，這個區(qū)域稱為截面核心。當外力作用在截面核心的邊界上時，與此相對應的中性軸就正好與截面的周邊相切(如圖13.14所示)。利用這一關系就可確定截面核心的邊界。為確定任意形狀截面(如圖13.14所示)的截面核心邊界，可將與截面周邊相切的任一直線①看作是中性軸，其在、兩個形心主慣性軸上的截距分別為和。由式(13-5)確定與該中性軸對應的外力作用點1，即截面核心邊界上一個點的坐標()：，圖13.14截面核心同樣，分別將與截面周邊相切的直線②，③，…等看作是中性軸，并按上述方法求得與其對應的截面核心邊界上點2，3，…的坐標。連接這些點所得到的一條封閉曲線，即為所求截面核心的邊界，而該邊界曲線所包圍的帶陰影線的面積，即為截面核心(如圖13.14所示)，下面舉例說明截面核心的具體作法。【例題13.4】一矩形截面如圖13.15所示，已知兩邊長度分別為和，求作截面核心。解：先作與矩形四邊重合的中性軸①、②、③和④，利用式(13-5)得

，式中,，和為中性軸的截距，和為相應的外力作用點的坐標。對中性軸①，有，，代入式(13-5)，得

即相應的外力作用點為圖13.15上的點1。對中性軸②，有，，代入式(13-5)，得

，即相應的外力作用點為圖13.15上的點2。同理，可得相應于中性軸③和④的外力作用點的位置如圖上的點3和點4。圖13.15至于由點1到點2，外力作用點的移動規(guī)律如何，我們可以從中性軸①開始，繞截面點作一系列中性軸(圖中虛線)，一直轉到中性軸②，求出這些中性軸所對應的外力作用點的位置，就可得到外力作用點從點1到點2的移動軌跡。根據(jù)中性軸方程式(13-4)，設和為常數(shù)，和為流動坐標，中性軸的軌跡是一條直線。反之，若設和為常數(shù)，和為流動坐標，則力作用點的軌跡也是一條直線。現(xiàn)在，過角點的所有中性軸有一個公共點，其坐標為常數(shù)，相當于中性軸方程(13-4)中的

和，而需求的外力作用點的軌跡，則相當于流動坐標和。于是可知，截面上從點1到點2的軌跡是一條直線。同理可知，當中性軸由②繞角點轉到③，由③繞角點轉到④時，外力作用點由點2到點3，由點3到點4的軌跡，都是直線。最后得到一個菱形(圖中的陰影區(qū))。即矩形截面的截面核心為一菱形，其對角線的長度為截面邊長的三分之一。對于具有棱角的截面，均可按上述方法確定截面核心。對于周邊有凹進部分的截面(例如槽形或工字形截面等)，在確定截面核心的邊界時，應該注意不能取與凹進部分的周邊相切的直線作為中性軸，因為這種直線顯然與橫截面相交?！纠}13.5】一圓形截面如圖13.16所示，直徑為，試作截面核心。圖13.16解：由于圓截面對于圓心是極對稱的，因而,截面核心的邊界對于圓心也是極對稱的，即為一圓心為的圓。在截面周邊上任取一點，過該點作切線①作為中性軸，該中性軸在y、z兩軸上的截距分別為

，而圓形截面的，將以上各值代入式(8-5)，即可得

，從而可知，截面核心邊界是一個以為圓心、以為半徑的圓，即圖中帶陰影的區(qū)域。13.5彎曲與扭轉

機械中的傳動軸與皮帶輪、齒輪或飛輪等連接時，往往同時受到扭轉與彎曲的聯(lián)合作用。由于傳動軸都是圓截面的，故以圓截面桿為例，討論桿件發(fā)生扭轉與彎曲組合變形時的強度計算。設有一實心圓軸AB，A端固定，B端連一手柄BC，在C處作用一鉛直方向力，如圖13.17(a)所示，圓軸AB承受扭轉與彎曲的組合變形。略去自重的影響，將力向AB軸端截面的形心B簡化后，即可將外力分為兩組，一組是作用在軸上的橫向力，另一組為在軸端截面內的力偶矩(如圖13.17(b)所示)，前者使軸發(fā)生彎曲變形，后者使軸發(fā)生扭轉變形。分別作出圓軸AB的彎矩圖和扭矩圖(如圖13.17(c)和圖13.17(d)所示)，可見，軸的固定端截面是危險截面，其內力分量分別為在截面A上彎曲正應力和扭轉切應力均按線性分布(如圖13.17(e)和圖13.17(f)所示)。危險截面上鉛垂直徑上下兩端點和處是截面上的危險點，因在這兩點上正應力和切應力均達到極大值，故必須校核這兩點的強度。對于抗拉強度與抗壓強度相等的塑性材料，只需取其中的一個點來研究即可。點的彎曲正應力和扭轉切應力分別為

，(a)對于直徑為的實心圓截面，抗彎截面系數(shù)與抗扭截面系數(shù)分別為(b)圍繞點分別用橫截面、徑向縱截面和切向縱截面截取單元體，可得點處的應力狀態(tài)(如圖13.17(g)所示)。顯然，點處于平面應力狀態(tài)，其三個主應力為

，圖13.17彎扭組合變形對于用塑性材料制成的桿件，選用第三或第四強度理論來建立強度條件，即。若用第三強度理論，則相當應力為

(13-7a)若用第四強度理論，則相當應力為(13-7b)將(a)、(b)兩式代入式(13-7)，相當應力表達式可改寫為(13-8a)(13-8b)在求得危險截面的彎矩M和扭矩T后，就可直接利用式(13-8)建立強度條件，進行強度計算。式(13-8)同樣適用于空心圓桿，而只需將式中的W改用空心圓截面的彎曲截面系數(shù)。應該注意的是，式(13-7)適用于如圖13.17(g)所示的平面應力狀態(tài)，而不論正應力是由彎曲還是由其他變形引起的，不論切應力是由扭轉還是由其他變形引起的，也不論正應力和切應力是正值還是負值。工程中有些桿件，如船舶推進軸，有止推軸承的傳動軸等除了承受彎曲和扭轉變形外，同時還受到軸向壓縮(拉伸)，其危險點處的正應力等于彎曲正應力與軸向拉(壓)正應力之和，相當應力表達式(13-7)仍然適用。但式(13-8)僅適用于扭轉與彎曲組合變形下的圓截面桿。通過以上舉例，對傳動軸等進行靜力強度計算時一般可按下列步驟進行。(1)外力分析(確定桿件組合變形的類型)。(2)內力分析(確定危險截面的位置)。(3)應力分析(確定危險截面上的危險點)。(4)強度計算(選擇適當?shù)膹姸壤碚撨M行強度計算)?！纠}13.6】機軸上的兩個齒輪(如圖13.18(a)所示)，受到切線方向的力，作用，軸承及處均為鉸支座，軸的許用應力，求軸所需的直徑。解：(1)外力分析。把及向機軸軸心簡化成為豎向力、水平力及力偶矩兩個力使軸發(fā)生彎曲變形，兩個力偶矩使軸在段內發(fā)生扭轉變形。(2)內力分析。段內的扭矩為

軸在豎向平面內因作用而彎曲，彎矩圖如圖13.18(b)所示，引起、處的彎矩分別為

，軸在水平面內因作用而彎曲，在、處的彎矩分別為

,圖13.18、兩個截面上的合成彎矩為

軸內每一截面的彎矩都由兩個彎矩分量合成，且合成彎矩的作用平面各不相同，但因為圓軸的任一直徑都是形心主軸，抗彎截面系數(shù)都相同，所以可將各截面的合成彎矩畫在同一張圖內(如圖13.18(c)所示)。(3)強度計算按第四強度理論建立強度條件

解之得

13.6習題

13-1矩形截面木制簡支梁，在跨度中點處承受一與垂直方向成的集中力的作用，如圖所示，已知木材的彈性模量。試確定：①截面上中性軸的位置。②危險截面上的最大正應力。③點總撓度的大小和方向。習題13-1圖13-2矩形截面木材懸臂梁受力如圖所示，，。材料許用應力，彈性模量，設梁截面的寬度與高度之比為1∶2。①試選擇梁的截面尺寸。②求自由端總撓度的大小和方向。13-3如圖所示一樓梯木斜梁的長度為