《全稱量詞與存在量詞》同步練習(xí)5

《全稱量詞與存在量詞》同步練習(xí)1．下列語句不是全稱命題的是()A．模相等的向量是相等向量B．共線向量所在直線共線C．在平面向量中，有些向量是共線向量D．每一個向量都有大小解析：選C.根據(jù)全稱命題的定義以及所含的量詞可知，A、B、D為全稱命題C，為特稱命題．2．下列命題是特稱命題的是()A．偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱B．正四棱柱都是平行六面體C．不相交的兩條直線是平行直線D．存在實數(shù)大于等于3解析：選D.由特稱命題的定義以及含有的量詞可知A、B、C是全稱命題，D是特稱命題．3．下列命題是真命題的是()A．?x∈R，(x－eq\r(2))2>0B．?x∈Q，x2>0C．?x0∈Z,3x0＝812D．?x0∈R,3xeq\o\al(2,0)－4＝6x0解析：選中當(dāng)x＝eq\r(2)時不等式不成立，故不是真命題．B中當(dāng)x＝0時，不等式不成立，故不是真命題．C中x0＝eq\f(812,3)?Z，故也不是真命題．D中3xeq\o\al(2,0)－6x0－4＝0中Δ＝(－6)2＋12×4>0，方程有解，故是真命題．4．“?x∈R，使3x>2”的否定是()A．?x∈R，使3x<2B．?x∈R，使3x≤2C．?x0∈R，使3x0<2D．?x0∈R，使3x0≤2解析：選D.由全稱命題的否定是特稱命題知選D.5．(2012·高考安徽卷)命題“存在實數(shù)x，使x>1”的否定是()A．對任意實數(shù)x，都有x>1B．不存在實數(shù)x，使x≤1C．對任意實數(shù)x，都有x≤1D．存在實數(shù)x，使x≤1解析：選C.特稱命題的否定是全稱命題，故選C.6．命題“有些負(fù)數(shù)滿足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“?”或“?”可表述為________．答案：?x0<0，使得(1＋x0)(1－9x0)>07．用符號語言寫出命題“?a∈R，ax>0”的否定為________．解析：全稱命題的否定寫成特稱命題．答案：?a0∈R，aeq\o\al(x,0)≤08．命題“?x∈R，x2＋ax＋1<0”為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是________．解析：若?x∈R，x2＋ax＋1<0，則a2－4>0，即a<－2或a>2.答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)9．判斷下列命題的真假．(1)?x∈R，都有x2－x＋1>eq\f(1,2).(2)?α，β，使cos(α－β)＝cosα－cosβ.(3)?x，y∈N，都有x－y∈N.(4)?x0，y0∈Z，使得eq\r(2)x0＋y0＝3.解：(1)真命題．∵x2－x＋1－eq\f(1,2)＝x2－x＋eq\f(1,2)＝(x－eq\f(1,2))2＋eq\f(1,4)≥eq\f(1,4)>0.∴x2－x＋1>eq\f(1,2)恒成立．(2)真命題．例如α＝eq\f(π,4)，β＝eq\f(π,2)，符合題意．(3)假命題．例如x＝1，y＝5，x－y＝－4?N.(4)真命題．例如x0＝0，y0＝3符合題意．10．分別寫出下列含有一個量詞的命題的否定，并判斷它們的真假：(1)所有矩形的對角線都相等；(2)有些實數(shù)的絕對值不是正數(shù)．解：(1)“所有矩形的對角線都相等”是全稱命題，它是真命題．命題的否定為“有的矩形的對角線不相等”，這是特稱命題，且是假命題．(2)“有些實數(shù)的絕對值不是正數(shù)”是特稱命題，它是真命題．命題的否定為“任意實數(shù)的絕對值都是正數(shù)”，這是全稱命題，且是假命題．1．(2012·高考遼寧卷)已知命題p：?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，則綈p是()A．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0B．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0C．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0D．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0解析：選C.全稱命題p：?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0的否定為：綈p：?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))·(x2－x1)<0.2．f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，?x∈[－1,2]，?x0∈[－1,2]，使f(x0)＝g(x1)，則a的取值范圍是________．解析：由于函數(shù)g(x)在定義域[－1,2]內(nèi)是任意取值的，且必存在x0∈[－1,2]使得g(x1)＝f(x0)，因此問題等價于函數(shù)g(x)的值域是函數(shù)f(x)值域的子集．函數(shù)f(x)的值域是[－1,3]，函數(shù)g(x)的值域是[2－a,2＋2a]，則有2－a≥－1且2＋2a≤3，即a≤eq\f(1,2)，又a>0，故a的取值范圍是(0，eq\f(1,2)]．答案：(0，eq\f(1,2)]3．寫出下列命題的否定，并判斷真假．(1)p：一切分?jǐn)?shù)都是有理數(shù)；(2)q：直線l垂直于平面α，則對任意l′?α，l⊥l′；(3)r：若an＝－2n＋10，則存在n∈N，使Sn<0.(Sn是{an}的前n項和)解：(1)綈p：存在一個分?jǐn)?shù)不是有理數(shù)，假命題．(2)綈q：直線l垂直于平面α，則?l′?α，l與l′不垂直，假命題．(3)綈r：若an＝－2n＋10，則?n∈N，有Sn≥0，假命題．4．關(guān)于x的函數(shù)y＝x2－(a＋1)x＋2a對于任意a∈[－1,1]的值都有y>0，求實數(shù)x解：設(shè)f(a)＝x2－(a＋1)x＋2a，則有f(a)＝(2－x)a＋x2－x，a∈[－1,1]，∵a∈[－1,1]時，y＝f(a)>0恒成立，則(1)當(dāng)x＝2時，f(a)＝2>0顯然成立；(2)當(dāng)x≠2時，由f(a)>0在a∈[－1,1]上恒成立，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\