潔具地時間與水流問題

實用文案延安職業(yè)技術(shù)學院第二屆大學生數(shù)學建模競賽承 諾 書我們仔細閱讀了中國大學生數(shù)學建模競賽的競賽規(guī)則 .我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的 ,如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們參賽選擇的題號是（從 A/B/C/D 中選擇一項填寫）：C我們的參賽報名號為： yapt5806所屬系部（請?zhí)顚懲暾娜?化工化學系參賽隊員 (打印并簽名)：1.董團部 ，所在班級：10級應(yīng)用化工技術(shù)專業(yè)趙康，所在班級：10級應(yīng)用化工技術(shù)專業(yè)婁丹瑩，所在班級：10級煤化工技術(shù)專業(yè)指導(dǎo)教師 (2名)： 高治原標準文檔實用文案日期： 2011 年 9 月 2 日論文：潔具流水時間設(shè)計問題摘要本問題是潔具流水時間的設(shè)計問題，把一個人使用潔具的全過程所需時間：(T)以及用水量(Q)的最小值作為優(yōu)化模型的目標函數(shù)，在問題一中我們通過正態(tài)分布對所給數(shù)據(jù)做出驗證；以及使用微元法方程列出目標函數(shù)，再利用MATLAB語言計算出了兩種方案的最短時間 T與最小消耗的水量 Q,即:方案一：Tmin21.7800；Qmin22.2774V；方案二：Tmin18.4300；Qmin35.8865V；通過比較確定了方案一較為合理，得出設(shè)計參數(shù)T的最優(yōu)值為21.7800 秒。在問題二中，綜合考慮保持清潔、節(jié)約能源以及潔具的壽命問題，重新設(shè)計方案，標準文檔實用文案彌補了方案一的不清潔問題以及方案二的能源浪費問題， 再做出進一步拓展，最終使?jié)嵕叩呐懦畚锼俾氏禂?shù) k（優(yōu)化系數(shù)）達到一定值。關(guān)鍵詞：正態(tài)分布、平均值、標準方差、流水時間、微元方程、理想化模型問題重述我國是個淡水資源相當貧乏的國家，因此某潔具生產(chǎn)廠家打算開發(fā)一種男性用的全自動潔具，它的單位時間內(nèi)流水量為常數(shù) v，為達到節(jié)能的目的，在使用者開始使用潔具時，受感應(yīng)潔具以均勻水流開始放水，持續(xù)時間為 T，然后自動停止放水的前提下，有以下兩種方案可供采用。方案一：若使用時間不超過 T-5秒，則只放水一次，若超過，則在使用者離開后再放水一次，持續(xù)時間為 10秒。方案二：若使用時間不超過 T-5秒，則只放水一次，若超過，則到 2T時刻再開始第二次放水，持續(xù)時間也為 T。但若使用時間超過 2T-5秒，則到4T時刻再開始第三次放水，持續(xù)時間也是 T??在設(shè)計時，為了使?jié)嵕叩膲勖M可能延長，一般希望對每位使用者放水次數(shù)不超過 2次。該廠家隨機調(diào)查了 100人次男性從開始使用到離開潔具為止的時間 (單位：秒)見下表：標準文檔實用文案時間（s）12131415161718人次1512601363問題一：根據(jù)所給數(shù)據(jù)確定兩種方案從節(jié)能的角度考慮哪個更合理， 并為該廠家提供在這種方案中能達到最大限度節(jié)約水、 電的設(shè)計參數(shù) T（秒）的最優(yōu)值。問題二：從既能保持清潔又能節(jié)約能源的角度考慮，提出更好的設(shè)計方案，并通過建立數(shù)學模型與前面的方案進行比較。符號說明q— 每位使用者每次消耗的水量Q—平均每位使用者每次消耗的水量t—使用者每次使用的時間V—是指單位時間內(nèi)流水量T—使用潔具后持續(xù)放水的時間（ s）n—為使用潔具的人次數(shù)— 為i人使用潔具的標準方差標準文檔實用文案— 為i 人使用潔具的平均值（問題一）模型假設(shè)1.假設(shè)該問題中的用水量與用電量成正比關(guān)系；時間與水流量成正比關(guān)系；2.假設(shè)所給的表中的數(shù)據(jù)真實可信，且這些數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布 N（ ? 2）；3.假設(shè)每套潔具在使用時都能正常工作；4.假設(shè)在使用過程中水流均勻，并且在流水過程中單位時間內(nèi)流出的數(shù)量是常數(shù)；5.假設(shè)除了以上影響因素外，不考慮其他干擾因素。模型建立與求解方案一：用表中所給數(shù)據(jù)根據(jù) 公式：①、②計算出每個人使用潔具全過程所用時間的平均值、標準方差如下所示：100xxi①i11100x)(xi②99i1解得： 15.090 ； 1.0259根據(jù)該題所給表中數(shù)據(jù)可得出該問題服從正態(tài)分布，則有使用潔具者 (n)人次的標準文檔實用文案時間（T）及用水量（q）的方程式如下所示：VT,0tT5q10V,tT5VTqVTVT+10Vpn(7-5)1-n(T-5)注：p為改正態(tài)分布的數(shù)值。再由Q的方程式得出n人次使用潔具所用時間的積分方程和使用潔具的用水量方程，如③、④式所示：1T(x)2nTexp()dx③222QnVT(T5)(VT10V)[1n(T5)]④V[T1010n(T5)]再根據(jù)③、④兩式得出下列的微元方程以使用潔具的最短時間及最少用水量為優(yōu)dQ化目標：則令 0dQ[110n(T5)]VdT即：V[110exp((T5)2222)]0⑤由⑤式計算得出Tmin、Qmin的方程值為：Tmin522ln(2)10Qmin V[Tmin 1010n(Tmin 5)]將該公式編輯成 MATLAB程序運算得:Tmin 21.7800 ；Qmin 22.2774標準文檔實用文案方案二：根據(jù)題中所給條件計算出每人次使用潔具的全過程所需最短時間 (T)以及所用最少水量(Q)：VT,0tT52VT,T5t2T5q3VT,2T5t3T5iVT,(i 1)T 5 tiT 5下表是n人次使用潔具用水量的概率分布：q VT 2VT 3VT ?.p n(T-5) n(2T-5)n(T-5) n(3T-5)n(2T- ?.5)根據(jù)以上條件，對n人次使用潔具所用時間(Tmin)用積分方程及n人次使用潔具的用水量(Qmin方程如下⑦、⑥式所示：)T2f(Tmin)1exp((x))dx⑥22n人次的使用潔具所用水次數(shù)不超過 2次則有：QminV[Tn(T5)2T(n(2T5)n(T5))]⑦以每位使用潔具者平均所用時間及平均每次消耗的最少水量為優(yōu)化目標，則令：dQ0，可得出T的值，T的最優(yōu)值為下列方程的正根（注：每人次使用dT潔具的時間T不可能為負值）。dQV[n(T5)Tn'(T5)2(n(2T5)n(T5))2T(2n'(2T5)n'(T5))]dTV[2n(2T5)n(T5)4Tn'(2T5)Tn'(T5)]標準文檔實用文案即：2n(2T5)n(T5)4Tn'(2T5)Tn'(T5)0⑧將⑧式編成MATLAB程序，運算得出：Tmin18.4300；Qmin35.8865V綜上可知：比較方案一與方案二可所計算出的 Tmin、Qmin 可得出，使用第一種方案很明顯比第二種方案要好的多。（問題二）模型的假設(shè)1.假設(shè)在使用潔具時單位時間內(nèi)注入的污物為一常量 k1；2.假設(shè)潔具的流水量在單位時間內(nèi)與潔具中污物的剩余量成正比；3.假設(shè)水流將潔具中的剩余的污物量除盡（小于 0.03）為止；4.假設(shè)在不考慮其他干擾因素；符號說明T0—每人次使用結(jié)局的平均時間b—潔具附著污物的最初量—t時刻潔具中污物的剩余量k—潔具的排除污物速率系數(shù)（最終優(yōu)化系數(shù) ）模型的建立與求解標準文檔實用文案首先對潔具的使用時間分成兩個階段。第一階段：使用潔具與潔具放水同時進行，在[t，t+dt]時間內(nèi)潔具中污物量的變化，及此時污物的量為k1dt，水流除去污物量為kf(t)dt。則有：dfkikfdtbf(0)解：f(t)k1bkk1ekt（0tt0）kk第二階段：待使用者離開后，潔具再次放水，直到除去污物 (小于0.03)為止：則有dfkft相應(yīng)的微分方程為：k1bkk1ekTOf(T)0kk解得：f(t)(bkk1k1ekT0)ekt，（tTO）⑨kk以f(t)b為前提則，上式成立，k的值成立。將問題（1）中較優(yōu)情況t=22.2774，以及TO15,K1100代20,b=0.035入上⑨式，編輯程序用MATLAB可算出k=0.91。在沒有考慮到壓力的大小，該模型中b值越小，清潔程度越高，所用時間越長，所以，對問題做出進一步的拓展問題二的拓展標準文檔實用文案在問題一中的原有出水速率不，以縮短使用者在兩個階段對潔具的使用時間為優(yōu)化目標進行研究：模型假設(shè)：1.假設(shè)在第一階段的放水時間 t15s是給定值；2.假設(shè)在第二階段的放水時間 ti(13—15)s內(nèi)不等；3.假設(shè)潔具貯藏裝置內(nèi)的水壓力與潔具出口的水流速成正比， 在這種情況下可將污物除去99.8%以上；4.假設(shè)水流速度一定，不考慮其他因素的干擾；模型的建立與求解：以下所建模型，僅供在潔具生產(chǎn)時對潔具的控制器參數(shù)進行調(diào)整：Tf t1 ti(13 ti 15)Qf Tf *VTf的范圍是[18，20]Qf的范圍是[18V ，20V]在這兩個數(shù)值范圍內(nèi)的兩端極值的誤差為 0.2%在對潔具器生產(chǎn)過程中，通過以上三個模型的對比將結(jié)局的參數(shù)調(diào)整在 Tf、Qf的范圍內(nèi)應(yīng)該是最優(yōu)參數(shù)，可應(yīng)用生產(chǎn)該潔具。模型的評價與推廣在此模型中我們巧妙的使用了正態(tài)分布與微元法方程對所給數(shù)據(jù)進行分析并列出了目標函數(shù)，再通過使用 MATLAB語言計算出了方案中的最短時間 T與標準文檔實用文案最小消耗的水量 Q,比較兩種方案中的 T、Q確定了較合理的方案。我們還利用所學知識針對題中兩個方案不合理的地方進行了近一步的改進， 建立了一個新的方案，并對此方案進行了拓展，此拓展可以在潔具生產(chǎn)以潔具內(nèi)蓄水后壓力的大小對潔具的控制器參數(shù)進行調(diào)整，使?jié)嵕吣軌蛟诙虝r間內(nèi)除污物99.8%以上，既保持又節(jié)省能源。該建模型美中不足的是在單位時間內(nèi)注入的污物為一常量 k1，流