第7章 IIR數(shù)字濾波器的設計

第6章IIR數(shù)字濾波器的設計1內容6.1引言6.2將DF的技術指標轉換為ALF的技術指標6.3模擬濾波器（ALF）的設計6.4脈沖響應不變法6.5雙線性變換法6.6設計IIR數(shù)字濾波器的頻率變換法總結

重點：脈沖響應不變法、雙線性變換法、頻率變換法

2濾波的目的:為了壓制輸入信號的某些頻率成分，從而改變信號頻譜中各頻率分量的相對比例廣義濾波包括對信號的檢測與參量的估計信號的檢測:

確定在干擾背景中信號是否存在信號參量的估計:

為識別信號而確定信號的某一個或某幾個參量的估值§6-1引言一、數(shù)字濾波器的頻率特性3濾波技術包括:濾波器設計:

根據(jù)給定濾波器的頻率特性，求得滿足該特性的傳輸函數(shù)濾波過程的實現(xiàn)：獲得傳輸函數(shù)后，以何種方式達到對輸入信號的進行濾波的目的4數(shù)字濾波器尋求一個因果穩(wěn)定的線性時不變系統(tǒng)，使其系統(tǒng)函數(shù)H(z)具有指定的頻率特性具有某種特定頻率特性的線性時不變系統(tǒng)廣義上，任何線性時不變離散系統(tǒng)都是一個數(shù)字濾波器設計數(shù)字濾波器的任務56數(shù)字濾波器（DF）按頻率特性分類可分為低通、高通、帶通、帶阻和全通，其特點為：（1）頻率變量以數(shù)字頻率表示，，為模擬角頻率，T為抽樣時間間隔；（2）以數(shù)字抽樣頻率為周期；（3）頻率特性只限于范圍，這是因為依取樣定理，實際頻率特性只能為抽樣頻率的一半。700低通0高通帶通800帶阻全通9二、DF的性能要求（低通為例）0通帶截止頻率阻帶截止頻率1通帶容限阻帶容限過渡帶通帶阻帶過渡帶10通帶紋波（通帶允許最大衰減）阻帶紋波（阻帶允許最小衰減）01通帶阻帶過渡帶01通帶阻帶過渡帶11通帶阻帶過渡帶平滑過渡三、DF頻響的三個參量

1、幅度平方響應

2、相位響應123、群延遲它是表示每個頻率分量的延遲情況；當其為常數(shù)時，就是表示每個頻率分量的延遲相同。四、DF設計內容

1、按任務要求確定Filter的性能指標；

2、用IIR或FIR系統(tǒng)函數(shù)去逼近這一性能要求；

3、選擇適當?shù)倪\算結構實現(xiàn)這個系統(tǒng)函數(shù)；

4、用軟件還是用硬件實現(xiàn)。IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)通?？杀硎境傻挠欣矸质紽IR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)則可表示為的多項式13五、IIR數(shù)字filter的設計方法

1、借助模擬濾波器的設計方法（1）將DF的技術指標轉換成AF的技術指標；（2）按轉換后技術指標、設計模擬低通filter的；（3）將（4）如果不是低通，則必須先將其轉換成低通

AF的技術指標。

2、計算機輔助設計法（最優(yōu)化設計法）先確定一個最佳準則，如均方差最小準則，最大誤差最小準則等，然后在此準則下，確定系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)。3.直接在數(shù)字域設計IIR4、根據(jù)傳輸函數(shù)的幾何特性，

采用零極點累試的方法進行設計14§6-2將DF的技術指標轉換為ALF的技術指標一、意義

AF的設計有一套相當成熟的方法：設計公式；設計圖表；有典型的濾波器，如巴特沃斯，切比雪夫等。二、一般轉換方法

1、數(shù)字低通->模擬低通

2、數(shù)字高通->模擬高通->模擬低通

3、數(shù)字帶通->模擬帶通->模擬低通

4、數(shù)字帶阻->模擬帶阻->模擬低通15模擬濾波器的逼近0通帶截止頻率阻帶截止頻率1與通帶衰減Ap(或通帶紋波)有關與阻帶衰減As(或阻帶紋波)有關16三、轉換舉例例如，一低通DF的指標：在的通帶范圍，幅度特性下降小于1dB；在的阻帶范圍，衰減大于15dB；抽樣頻率；試將這一指標轉換成ALF的技術指標。解：按照衰減的定義和給定指標，則有

假定處幅度頻響的歸一化值為1，即17這樣，上面兩式變?yōu)橛捎?，所以當沒有混疊時，根據(jù)關系式模擬filter的指標為186-3模擬低通濾波器（ALF）的設計

ALF的設計就是求出filter的系統(tǒng)函數(shù)H

(s)

，使其逼近理想低通濾波器(LF)的特性，逼近的形式（濾波器的類型）有巴特沃斯型，切比雪夫型和考爾型等。而且逼近依據(jù)是幅度平方函數(shù)，即由幅度平方函數(shù)確定系統(tǒng)函數(shù)。一、由幅度平方函數(shù)確定系統(tǒng)函數(shù)

1、幅度平方函數(shù)由于所以

其中，是AF的系統(tǒng)函數(shù)，是AF的頻響，是AF的幅頻特性。192、H(s)H(-s)的零極點分布特點（1）如果S1是H（s）的極點，那么-S1就是H(-s)的極點；同樣，如果S0是H（s）的零點，那麼-S0就是H（-s）的零點。所以H（s）H(-s)的零極點是呈象限對稱的,例如：（2）虛軸上的零點一定是二階的，這是因為ha（t）是實數(shù)時的H（s）的零極點以共軛對存在；（3）虛軸上沒有極點(穩(wěn)定系統(tǒng)在單位圓上無極點)；（4）由于filter是穩(wěn)定的，所以H（s）的極點一定在左半平面；最小相位延時，應取左半平面的零點，如無此要求，可取任一半對稱零點為H（s）的零點。

20213、由確定H(s)的方法（1）第一步（2）分解H（s）H(-s)得到各零極點，將左半面的極點歸于H(s)，對稱的零點任一半歸H(s)。若要求最小相位延時，左半面的零點歸H(s)（全部零極點位于單位圓內）。（3）按頻率特性確定增益常數(shù)。22例6-1由確定系統(tǒng)函數(shù)H(s)。解：所以，極點為零點為均為二階的。我們選極點-6，-7，一對虛軸零點為的零極點，這樣由，可確定出，所以。因此23二、巴特沃斯低通濾波器

1、幅度平方函數(shù)其中，N為整數(shù)，是濾波器的階數(shù)；為截止頻率。當時，則即24（1）通帶內有最大平坦的幅度特性；（2）不管N為多少，都通過點。2、幅頻特性1.00N=2N=4N=82526273、巴特沃斯filter的系統(tǒng)函數(shù)由于所以其零點全部在處；即所謂全極點型，它的極點為也就是說，這些極點也是呈象限對稱的。而且分布在巴特沃斯圓上（半徑為），共有2N點。28例如，N=2時，N=3時，29取左半平面的極點為的極點，這樣極點僅有N個，即其中，常數(shù)由的低頻特性決定。則30[例6-2]導出三階巴特沃斯LF的系統(tǒng)函數(shù)，設解：所以其極點為因此有取前三個極點，則有314、歸一化的系統(tǒng)函數(shù)如果將系統(tǒng)函數(shù)的S,用濾波器的截止頻率去除，這樣對應的截止頻率變?yōu)?，即所謂歸一化，相應的系統(tǒng)函數(shù)稱作歸一化的系統(tǒng)函數(shù)記作例如，對于巴特沃斯filter32

如果將低通filter歸一化，就稱作歸一化原型濾波器。三、歸一化原型filter的設計不論哪種形式（巴特沃斯，切比雪夫）的濾波器，都有自己的歸一化原型濾波器，而且它們都有現(xiàn)成的數(shù)據(jù)表可查和設計公式例如，歸一化巴特沃斯原型濾波器的系統(tǒng)函數(shù)（這里的S即）為當,增益為1，則有，N=1~10階的各個系數(shù)，如表6-4（P261）所示。如果，則E（s）多項式如表如表6-4。*由歸一化系統(tǒng)函數(shù)得，只需將S代入即可。336-43435歸一化巴特沃思低通濾波器的幅度特性3637383940例：4142四、設計舉例（巴特沃思濾波器）

1、技術指標

2、計算所需的階數(shù)及3dB截止頻率將技術指標，代入上式，可得43解上述兩式得：因此，取N=6，則3、的求得查表，可得N=6時的歸一化原型模擬巴特沃斯LF的系統(tǒng)函數(shù)為44將S用代入，可得45

切比雪夫濾波器是在通帶或阻帶上頻率響應幅度等波紋波動的濾波器。在通帶波動的為I型切比雪夫濾波器，在阻帶波動的為II型切比雪夫濾波器。切比雪夫濾波器在過渡帶比巴特沃斯濾波器的衰減快，但頻率響應的幅頻特性不如后者平坦。切比雪夫濾波器和理想濾波器的頻率響應曲線之間的誤差最小，但是在通頻帶內存在幅度波動。

五、切比雪夫濾波器461.切比雪夫I型濾波器幅度平方函數(shù)472.切比雪夫II型濾波器其中是阻帶的下邊頻幅度平方函數(shù)48$6-4沖激響應不變法模擬濾波器設計完畢以后，再將H（s）變換成H（z），也就是將s平面映射到z平面。通常有三種方法：（1）沖激響應不變法；（2）階躍響應不變法；（3）雙線性變換法。49一、沖擊響應不變法原理

h（n）為DF的單位沖激響應序列，為AF的沖激響應，沖激響應不變法就是使h（n）正好等于的抽樣值，即如果則有上式表明，先對沿虛軸作周期延拓，再經(jīng)過的映射關系映射到Z平面。二、混迭失真

DF的頻響并不是簡單的重復AF的頻響，而是AF的頻響的周期延拓，即

50根據(jù)取樣定理，只有當AF的頻響帶限于折疊頻率以內時，即才能使DF在折疊頻率內重現(xiàn)AF的頻響，而不產生混疊失真。但是，任何一個實際AF的頻響卻不是嚴格帶限的，就會產生混迭失真，如下圖051三、AF的數(shù)字化方法

1、一般方法。先，再對抽樣，使，最后H（Z）=Z[h（n）]，一般說來過程復雜。

2、方法的簡化設只有單階極點，而且分母的階次大于分子的階次，可展成如下的部分公式52因此，533、幾點結論（1）S平面的單極點變?yōu)閆平面單極點就可求得H（Z）。（2）Ha(s)與H（Z）的系數(shù)相同，均為（3）AF是穩(wěn)定的，DF也是穩(wěn)定的。（4）S平面的極點與Z平面的極點一一對應，但兩平面并不一一對應。例如，零點就沒有這種對應關系。4、修正的H（Z）由于DF的頻響與T成反比，當T很小時，DF的增益過高，這樣很不好，為此做如下修正：54[例6-3]AF的系統(tǒng)函數(shù)為，試用沖激響應不變法，設計IIRDF，T=1解：

設T=1，55通常，信號大都為時限的，據(jù)信號理論可知，時限信號變換到頻域，將變成非帶限信號，系統(tǒng)也遵循這一原則。這樣當用沖激響應不變法設計DF時，不可避免的產生混疊失真。為了克服混疊失真，可采用雙線性變換法。這種方法的基本思想是，先將S平面中非帶限的所設計的系統(tǒng)函數(shù)變換到S1平面，并使其為帶限的，然后再轉換到Z平面。一、變換原理

在S平面與Z平面的映射關系中,我們知道，S平面中一條寬為（如到）的橫帶就可以變換到整個Z平面.因此，可先將整個S平面壓縮到一個中介的平面的一條橫帶里，再通過將此橫帶變換到整個Z平面上。這樣就使S平面和Z平面是一一映射關系。如下圖所示：$6.5雙線性變換法56S平面S1平面Z平面57

時，將由經(jīng)過0變到

由上圖可知，將S平面進行壓縮，實際上，就是將其軸壓縮到平面的軸上的到的范圍內。這可通過正切變換實現(xiàn)：

其中C為任意常數(shù)。由上式可知，當由經(jīng)過0變到通過歐拉公式，可得：58

上式表示兩個線性函數(shù)之比，稱雙線性變換將上式關系延拓到整個S和平面，則有：借助于平面和Z平面的映射關系：，可以得到：59二、S平面與Z平面的映射關系由于可得：60（1）當時，；這就是說，S平面的軸映射Z平面的單位圓上。（2）當時，上式的分母大于分子，則有；這表明S左半平面映射到Z平面的單位圓內。兩者均是穩(wěn)定的。三、變換常數(shù)C的選擇

由于，所以只有當很?。ㄒ话悖椭g才存在線性關系，即：611.如果使AF和DF在低頻處有較確切的對應關系，則選擇這時有，即:2.如果使DF的某一穩(wěn)定頻率（如）與AF的一特定頻嚴格相對應，則有率即62四、雙線性變換的特點1、S平面的虛軸（）映射到Z平面的單位圓上。這是因為時，不管常數(shù)C為何值，均為12、穩(wěn)定的AF，經(jīng)雙線性變換后所得DF也一定是穩(wěn)定的，這是因為穩(wěn)定的AF，其極點必全部位于S的左半平面上，經(jīng)雙線性變換后，這些極點全部落在單位圓內。3、其突出的優(yōu)點是避免了頻響的混疊失真。說明如下：將代入雙線性變換公式，且則63即亦即

從時，則從；這就是說，S平面的正虛軸被映射到Z平面的單位圓的上半部

從時，則從；這就是說，S平面的負虛軸被映射到Z平面的單位圓的下半部也就是說，從S平面到Z平面，頻率軸是單位變換關系，而且當時，為折疊頻率，所以不會有高于折疊頻率的分量，因此不會產生混疊失真。64變換關系近似于線性，隨著的增加，表現(xiàn)出嚴重非線性。因此，DF的幅頻響應相對于AF的幅頻響應會產生畸變。只有能容忍或補償這種失真時，雙線性變換法才是實用的。4.頻率的非線性失真從的關系曲線可以看出，在零頻附近，與之間的65五、基于雙線性變換法的IIR設計方法1、直接代入法

只需將代入AF系統(tǒng)函數(shù)就可得到DF的系統(tǒng)函數(shù)，即2.間接代入法先將AF的系統(tǒng)函數(shù)分解成級聯(lián)或并聯(lián)形式，然后在對每一個子系統(tǒng)函數(shù)進行雙線性變換。66例如并聯(lián)形式與上述類似67例：利用雙線性變換法設計巴特沃斯型數(shù)字低通濾波器686970設計濾波器的幅度響應與相位響應71$6.6設計IIR數(shù)字濾波器的頻率變換法進行頻率變換的兩種方法：72這種簡化方法與直接第一種相比，省去了中間環(huán)節(jié)，設計過程簡單。第一種方法的簡化形式：

73一、從S域到Z域的頻率變換法1、從歸一化模擬低通濾波器原型到數(shù)字高通濾波器的頻率變換法7475變換關系：76777879802、從歸一化模擬低通濾波器原型到數(shù)字帶通濾波器的頻率變換法81數(shù)字帶通到模擬低通的映射關系828384模擬低通與數(shù)字帶通的頻率變換曲線85模擬低通濾波器與數(shù)字帶通濾波器的頻率變換關系86直接由歸一化模擬低通原型求數(shù)字濾波器的頻率變換公式表見表6-887二、數(shù)字域頻率變換法

在已知數(shù)字低通濾波器時，通過在Z域內的數(shù)字頻域變換得到所需類型的數(shù)字濾波器

則：88（1）為滿足一定的頻率響應要求，z域的頻率必須變換成Z域的頻率，也就是說平面的單位圓必須映射到Z平面的單位圓上；（2）為保證因果穩(wěn)定的系統(tǒng)變換到因果穩(wěn)定的系統(tǒng)，要求單位圓內部映射到Z的單位圓內部。（3）由于是的有理函數(shù)，要求變換函數(shù)必須是的有理函數(shù)。89909192939495969798由低通數(shù)字濾波器變換成各種類型數(shù)字濾波器的公式和參數(shù)見：

表6-999$6.7數(shù)字陷波器設計

也被稱為點阻濾波器一種特殊的帶阻濾波器，其阻帶在理想情況下只有一個頻率點主要用于消除某個特殊的頻率干擾在各種測量儀器和數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)中用于消除電源干擾的工頻陷波器一般為IIR濾波器設計方法雙線性變換進行設計零極點累試的方法1001．陷波器的頻率特性1012.利用雙線性變換設計數(shù)字陷波器

已知二階模擬陷波器的傳輸函數(shù)為：則二階數(shù)字陷波器的傳輸函數(shù)為：102可改寫成：

其中：

1033．零極點累試的設計方法（1）基本方法IIR系統(tǒng)函數(shù)：由于零極點的共軛成對，考慮二階：104105二階系統(tǒng)的零極點分布：106107108結束109IIR數(shù)字濾波器設計總結一、IIR數(shù)字濾波器設計方法利用模擬濾波器理論直接在數(shù)字域設計IIR最優(yōu)化技術CAD零極點累試方法二、基于模擬濾波器設計方法1.設計模擬濾波器低通濾波器2.變換為數(shù)字濾波器脈沖響應不變法雙線性變換法3.頻率變換法直接S域到Z域的變換方法數(shù)字域變換法110三、模擬濾波器1.Butterworth低通濾波器幅度平方函數(shù)幅頻特性1.00N=2N=4N=8111%butt_test1holdon;forn=2:2:10[z,p,k]=buttap(n);[b,a]=