B層樣卷2部分答案

期末考試樣卷二—1所以|24+3—1所以|24+3目=000020=—14w。。0700、20,。7,4.設A為3階方陣，A的特征值為-2「，,2,則下列方陣中可逆的是2(A).A.3E+2AB.2E+AC.E+2AD.A-2E解：因為A的特征值為-2,-卜‘所以2A+3￡的特征值一2x2+3=—1,--x2+3=2,2x2+3=7,2因為2A+3￡的特征值互不相同，2A+3￡相似于0、0因此2A+3E是可逆的。6.設A為〃階方陣，A*是其伴隨陣，左為常數(shù)且ZwO,±L則(L4)*解:根據(jù)公式尸’=|印班,可得根A)*=(如尸⑼。因為國4尸=k~lA~l,又因為A是n階方陣,所以⑼=刈小進而可得(M)*=(雨)]例=(F*A-'Xr|A|)=z〃t(a[a|)=La*‘123、7?A=258,則A的秩為511,’123、解：A=258、3711,第二行減第一行兩倍，第三行減第一行三倍得’123、012、012,第三行減第二行得」23、012、000,因為階梯化過后有兩個非零行，所以秩為2。當t取值為時,二次型/=%：+4月+2后-2處％-是正定的."1-t-P解：二次型對應的方陣為A=4°,「1。2J1該二次型是正定的，當且僅當—t9二4"〉o41-t—1—t—140=4+/>002,其由???a解：將行列式沿第一行拆開可得:等號后面第一個行列式，后面3列減去第1歹U；等號后面第二個行列式做列展開得：10??01CL)…0ax1???11+%=2/%+(2\11111+%1(*)11+40a20+0=a2a3+。3。4+a4a2+/%%將這個結(jié)果代入(*)可得：A=+。1。3。4+。1%。2+。2。3。4+。1。2。3。4四.設向量組d=(1,1,0)。名=(1,2,0)、&=(0,-1,1)7,名=(0,04)丁后二(1,0,1)。(1)求此向量組的秩和一個極大無關組，并將其余向量用這個極大無關組線性表示.(2)設A=(跖扃，演我4)，元=(不々，%3，%),，求線性方程組A元=區(qū)的通解.(1)解：110易見防,制，訪組成的行列式120=1，0,所以自，名,防線性無關。001又因為法3二&i一&2+&6茂5=2-a2+a4,所以司,當，制是極大無關組，整個向量組的秩為2.六.已知。二7］、

a2

六.已知。二7］、

a2

/3/解：方程組的通解為為三維單位列向量.(1)求?！ǎ?2)求R(cra/)；(3)求出二〃的全部特征值.(4)求證：二次型/(X1,X2,X3)=(6Z1X1+a2X2+名工3)2在正交變換下能化為城.

(1)解：aa'4'=(1)解：aa'4'=a2(4出名），將前者視為三行，后者視為三列，可得aaT=a2(qa2%)=axa2

al（2）解：根據(jù)性質(zhì)，乘積的秩不會超過單項的秩，所以R（a/）＜R（a）,R（ar）。再根據(jù)性質(zhì)：一個矩陣的秩不會超過自己的行數(shù)與列數(shù)，而“只有一列，/只有一行，所以尺（扇/）4尺9），尺（/）＜1。注意到。是單位向量，其分量不會全為0,所以a"'不是零矩陣，因此尺（旗/）。0,進而可知：R（aaT）=\o（3）解：先考慮矩陣a/乘以列向量a：(a/卜二a(a%)=二｛axa2(W

ax%最后一個等式是因為a是單位向量，所以有如+〃；+抬=1；(a/卜二a(a%)=二｛axa2(W

ax%另外兩個特征值我們設為x,y,因為方陣。/是對稱的，所以方陣能夠相似于對角陣yj

TOC\o"1-5"\h\zCl1因為相似，所以它們的秩相等：R(aar)=Rx。、力q、因為第二問已證：R{aaT}=\,所以R%=1。而對角陣本身就是階梯型矩陣，它的秩即自身非零行的個數(shù)，所以％=y=0。即方陣。/有三個特征值：1,0,0.(4)二次型f{xx,x2,x3)=(axxy+a2x2+]=afxf++2^z16z2x1%2+2a2a3x2x3+2a3a1x3x}它對應的方陣為axa它對應的方陣為axa22a2^^3、W3&37,容易看出這個方陣就是因為它的特征值為:1?因為它的特征值為:1?y2+0.￡+0?y；。七.(1)設方陣A滿足H-A-2￡=O,證明A及A+2石都可逆，并求人一】及(A+2E)-1.⑵設/是一個〃階方陣，”為奇數(shù)，且|A|=1,AT=AT,證明：石-A不可逆.(1)證明：第一步，先證A可逆(要證可逆，只要證明行列式非零)。將A?—A—2￡=0整理為A?—A=2￡,由此可知A(A—￡)=2￡(*)對這個等式兩邊同時取行列式得：⑷恒-國=|2目wO所以|A|wO,由此即可推出A可逆。此外，由于(*)還可以推出：A1(A-E)=E所以A」=-(A-E)o第二步，再證A+26可逆。將A?—A—2￡=0整理為A?—A—6￡=—4￡,由此可知(A+2E\A-3E)=-4E(**)對這個等式兩邊同時取行列式得：|A+24|A-3目=卜4目wO所以|A+2目wO,由此即可推出A+2E可逆。此外，由于(**)還可以推出：(A+2E1[1(A—3E)=E,所以(A+2￡)t=?(A—3￡)。(2)證明：因為A—￡是方陣，所以要證它不可逆，只要證|A—同=0。因為47=4一，所以(A-Ey=AT-ET=-E=A-[-E=A[E-A-,A=A-7E-A)兩邊同時取行列式得：|A—同=g—￡)[二,[?