節(jié)直梁的有限元分析

李建宇天津科技大學(xué)有限元分析FiniteElementAnalysis內(nèi)容有限元法的直接剛度法1直梁的有限元分析要求了解：單元、節(jié)點的概念理解：梁單元節(jié)點內(nèi)力、節(jié)點載荷的概念

梁單元剛度矩陣的概念掌握：梁單元剛度矩陣的建立辦法利用節(jié)點平衡組裝整體剛度作業(yè)超靜定懸臂梁的有限元分析2有限元分析2-1上節(jié)回顧有限元分析的基本思想

整體離散標(biāo)準(zhǔn)單元分析單元組裝整體求解復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)如何離散？

分析什么？

如何組裝？

求解什么？

復(fù)雜結(jié)構(gòu)離散化途經(jīng)

上節(jié)回顧自然離散逼近離散單元

直梁的離散化直梁的單元分析直梁的整體組裝本節(jié)提要一個例題：MDCBAZ已知E、I、Z、M,AB=BC=CD=L,IAC=2I,ICD=I求:(1)A、D端約束反力；

(2)C處的撓度和轉(zhuǎn)角。Ansys演示…E=3.0e11I=6.5e-7,A=6.8e-4L=1,M=720,Z=3000

一、直梁的有限元模型

211節(jié)點：1，2單元編號1223節(jié)點：2，32單元編號433節(jié)點：3，43單元編號節(jié)點(node):1,2,3,4單元(element):1,2,3ZM4321123Z劃分單元的原則（設(shè)置節(jié)點的原則）幾何形狀發(fā)生改變處外載荷規(guī)律發(fā)生改變處（含約束）邊界點計算關(guān)心的位置單元尺寸要均勻M4321123

二、單元分析M4321123ijeqimiqjmj截面法：單元節(jié)點內(nèi)力向量：

二、單元分析單元節(jié)點位移向量：jefifji單元變形：

二、單元分析jeqimiqjmj單元受力：jefifji單元變形：力與變形的關(guān)系：由小變形、線彈性假設(shè)，得線性函數(shù)：

二、單元分析線性函數(shù)：矩陣表達(dá)：梁單元剛度矩陣Ke

二、單元分析單元剛度方程：符號名稱：

：單元節(jié)點內(nèi)力向量：單元節(jié)點位移向量：單元剛度矩陣

二、單元分析:剛度矩陣元素的力學(xué)含義考察a11,

a21,a31,a41的含義，令a11：固定j節(jié)點，使i節(jié)點發(fā)生撓度為1，轉(zhuǎn)角為0的節(jié)點內(nèi)力qi大小a21，a31，a41?ij

二、單元分析:剛度矩陣元素的力學(xué)含義a11a21a31a41的計算：a11：固定j節(jié)點，使i節(jié)點發(fā)生撓度為1，轉(zhuǎn)角為0的節(jié)點內(nèi)力qi大小a21：固定j節(jié)點，使i節(jié)點發(fā)生撓度為1，轉(zhuǎn)角為0的節(jié)點內(nèi)力mi大小ijqimi由材料力學(xué)知識對懸臂梁分析，可得ij考察a12,

a22,a32,a42的含義，令：a12：固定j節(jié)點，使i節(jié)點發(fā)生轉(zhuǎn)角為1，撓度為0的節(jié)點內(nèi)力qi大小a22，a32，a42?

二、單元分析:剛度矩陣元素的力學(xué)含義

二、單元分析:剛度矩陣元素的力學(xué)含義a12a22a32a42的計算：a12：固定j節(jié)點，使i節(jié)點發(fā)生轉(zhuǎn)角為1，撓度為0的節(jié)點內(nèi)力qi大小a22：固定j節(jié)點，使i節(jié)點發(fā)生轉(zhuǎn)角為1，撓度為0的節(jié)點內(nèi)力mi大小由材料力學(xué)知識對懸臂梁分析，可得ijqimi

二、單元分析單元剛度矩陣的具體表達(dá)對稱矩陣

二、單元分析單元分析小結(jié)：單元變形分析單元內(nèi)力分析單元剛度方程單元分析的任務(wù)：單元內(nèi)力用單元變形表達(dá)

三、單元組裝利用單元分析技術(shù)，對各單元有：單元1：21q11m11q21m211單元2：32q22m22q32m322單元3：43q33m33q43m433

三、單元組裝組裝原理：位移協(xié)調(diào)條件節(jié)點平衡條件位移協(xié)調(diào)條件：各單元共享節(jié)點位移相等

三、單元組裝節(jié)點平衡條件：各節(jié)點滿足平衡條件M4321123節(jié)點1Z1M1m11q11節(jié)點2節(jié)點4Z4M4m43q43Z2M2m22q22q21m21Z3M3m33q33q32m32節(jié)點3節(jié)點1Z1M1m11q11節(jié)點1平衡方程：節(jié)點2平衡方程：Z2M2m22q22q21m21同理，可列出節(jié)點3、4平衡方程。節(jié)點4Z4M4m43q43Z3M3m33q33q32m32節(jié)點3整體剛度方程

將節(jié)點1、2、3、4的平衡方程整合為一個矩陣方程結(jié)構(gòu)整體剛度方程

其中，為整個結(jié)構(gòu)的節(jié)點載荷向量（外載、約束力）

為整個結(jié)構(gòu)的節(jié)點位移向量

為結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣，也稱總剛度矩陣對稱，稀疏，奇異，主對角元恒正四、總體剛度方程的求解力的邊界條件位移邊界條件四、總體剛度方程的求解對稱，稀疏，非奇異，主對角元恒正

五、回代求解未知載荷求解得解將節(jié)點位移代入各節(jié)點平衡方程，求得未知外載荷。節(jié)點位移向量本節(jié)課小結(jié)有限元法求直梁基本過程第一步，對直梁進(jìn)行離散化，劃分為有限個單元。第二步，對各結(jié)點和單元進(jìn)行編碼。第三步，進(jìn)行單元分析，形成單元剛度矩陣。第四步，進(jìn)行整體分析，形成整體剛度矩陣。第五步，引入邊界條件。邊界條件的引入可以使問題具有解的唯一性。第六步，求解方程組，計算結(jié)構(gòu)的整體結(jié)點位移。第七步，求單元內(nèi)力，未知外載荷。

作業(yè)MC