工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)與積分變換總復(fù)習(xí)

FunctionofComplexVariable

andIntegralTransform

復(fù)變函數(shù)與積分變換工程數(shù)學(xué)（復(fù)變函數(shù)與積分變換）

復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)的概念表示方法復(fù)數(shù)的運(yùn)算代數(shù)運(yùn)算共軛運(yùn)算乘冪與方根平面表示三角表示球面表示指數(shù)表示向量表示曲線與區(qū)域復(fù)變函數(shù)及其極限與連續(xù)性第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（復(fù)變函數(shù)與積分變換）

例求解具體為：例求解方程解具體為：工程數(shù)學(xué)（復(fù)變函數(shù)與積分變換）

第二章解析函數(shù)解析函數(shù)連續(xù)性初等函數(shù)判別方法C-R方程可導(dǎo)解析指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)（反）三角函數(shù)（反）雙曲函數(shù)冪函數(shù)第二章解析函數(shù)一.點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件且滿(mǎn)足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann

)方程：和在點(diǎn)處可微，(簡(jiǎn)稱(chēng)

方程)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)定理的充要條件是：

P41

定理一§2.2解析函數(shù)的充要條件§解析函數(shù)的充要條件第二章解析函數(shù)二.區(qū)域解析的充要條件和

在區(qū)域D

內(nèi)可微，且函數(shù)在區(qū)域

D

內(nèi)解析的定理充要條件是：滿(mǎn)足

C

-

R

方程。推論在區(qū)域

D

內(nèi)存在且連續(xù)，并滿(mǎn)足

C

-

R

方程，在區(qū)域D

內(nèi)解析。和

的四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)若函數(shù)則函數(shù)§2.2解析函數(shù)的充要條件§解析函數(shù)的充要條件

P42

定理二工程數(shù)學(xué)（復(fù)變函數(shù)與積分變換）

第二章解析函數(shù)解

可見(jiàn)，是正實(shí)數(shù)，它的主值是例求的值。求的值。例解

可見(jiàn)，不要想當(dāng)然地認(rèn)為工程數(shù)學(xué)（復(fù)變函數(shù)與積分變換）

第三章復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分積分存在的條件及計(jì)算積分的性質(zhì)Cauchy積分定理原函數(shù)與不定積分復(fù)合閉路定理Cauchy積分公式高階導(dǎo)數(shù)公式Newton-Leibniz公式調(diào)和函數(shù)及其計(jì)算閉路變形原理第三章復(fù)變函數(shù)的積分§3.2柯西積分定理D一、柯西-古薩基本定理定理設(shè)函數(shù)

f(z)

在單連通域

D

內(nèi)解析，G

為D

內(nèi)的任意一條簡(jiǎn)單閉曲線，則有GG第三章復(fù)變函數(shù)的積分§3.2柯西積分定理

在區(qū)域內(nèi)的一個(gè)解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值，稱(chēng)此為閉路變形原理。二、閉路變形原理

閉路變形原理如圖，設(shè)在

D

內(nèi)解析，在邊界上連續(xù)，G為

D

內(nèi)的一條“閉曲線”，則D第三章復(fù)變函數(shù)的積分§3.2柯西積分定理三、復(fù)合閉路定理

將柯西積分定理推廣到多連域函數(shù)在

D

內(nèi)解析，或設(shè)多連域

D

的邊界為

(如圖)，定理在C

上連續(xù)，則DC1C2C0C3Cn第三章復(fù)變函數(shù)的積分§3.3柯西積分公式在邊界

C

上連續(xù)，

則四、柯西積分公式定理如果函數(shù)在區(qū)域D

內(nèi)解析，DdGC意義將換成，積分變量換成，

解析函數(shù)在其解析區(qū)域內(nèi)的值完全由邊界上的值確定。

換句話說(shuō)，解析函數(shù)可用其解析區(qū)域邊界上的值以一種特定的積分形式表達(dá)出來(lái)。則上式變?yōu)?/p>

P85定理第三章復(fù)變函數(shù)的積分§3.4解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)五、高階導(dǎo)數(shù)定理定理如果函數(shù)在區(qū)域D

內(nèi)解析，在上連續(xù)，則的各階導(dǎo)數(shù)均在

D

上解析，且1.定理的描述其中C為在函數(shù)f(z)的解析區(qū)域D內(nèi)圍繞z0的任何一條簡(jiǎn)單閉曲線，且它的內(nèi)部全含于D。

P87定理

定理如果函數(shù)在區(qū)域D

內(nèi)解析，在上連續(xù)，則的各階導(dǎo)數(shù)均在

D

上解析，且同理證明由解析，有(?)(?)(?)

P91定理第三章復(fù)變函數(shù)的積分§3.5解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系一、調(diào)和函數(shù)二、共軛調(diào)和函數(shù)設(shè)函數(shù)及均為區(qū)域

D

內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，定義函數(shù)

在區(qū)域

D

內(nèi)解析的充要性質(zhì)條件是：在區(qū)域D

內(nèi)，v

是

u

的共軛調(diào)和函數(shù)。則稱(chēng)

v

是

u

的共軛調(diào)和函數(shù)。且滿(mǎn)足

C

-

R

方程：

P91第三章復(fù)變函數(shù)的積分§3.5解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系

P91三、構(gòu)造解析函數(shù)問(wèn)題已知實(shí)部u，求虛部v

(或者已知虛部v，求實(shí)部u

)，使解析，且滿(mǎn)足指定的條件。注意

必須首先檢驗(yàn)

u

或

v

是否為調(diào)和函數(shù)。方法

偏積分法

全微分法構(gòu)造解析函數(shù)的依據(jù)：依據(jù)

(1)u

和

v

本身必須都是調(diào)和函數(shù)；

(2)u

和

v

之間必須滿(mǎn)足

C

-

R

方程。第三章復(fù)變函數(shù)的積分§3.5解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系方法

偏積分法(

不妨僅考慮已知實(shí)部

u

的情形

)(1)由

u

及

C

-

R

方程(2)將

(A)

式的兩邊對(duì)變量y

進(jìn)行(偏)積分得：其中，已知，而待定。(3)將

(C

)

式代入

(B

)

式，求解即可得到函數(shù)得到待定函數(shù)

v的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)：(A)(B

)(C

)第三章復(fù)變函數(shù)的積分§3.5解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系三、構(gòu)造解析函數(shù)

P92方法三、構(gòu)造解析函數(shù)

全微分法(

不妨僅考慮已知實(shí)部

u

的情形

)(1)由

u

及

C

-

R

方程得到待定函數(shù)

v

的全微分：(2)利用第二類(lèi)曲線積分(與路徑無(wú)關(guān))

得到原函數(shù)：其中，或CC0C1C2第三章復(fù)變函數(shù)的積分§3.5解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系

P98工程數(shù)學(xué)（復(fù)變函數(shù)與積分變換）

第三章復(fù)變函數(shù)的積分19解例工程數(shù)學(xué)（復(fù)變函數(shù)與積分變換）

第三章復(fù)變函數(shù)的積分

解法一利用柯西-古薩基本定理及重要公式由柯西-古薩基本定理，有工程數(shù)學(xué)（復(fù)變函數(shù)與積分變換）

第三章復(fù)變函數(shù)的積分因此工程數(shù)學(xué)（復(fù)變函數(shù)與積分變換）

第三章復(fù)變函數(shù)的積分

解法二利用柯西積分公式工程數(shù)學(xué)（復(fù)變函數(shù)與積分變換）

第三章復(fù)變函數(shù)的積分23工程數(shù)學(xué)（復(fù)變函數(shù)與積分變換）

第三章復(fù)變函數(shù)的積分因此由柯西積分公式得工程數(shù)學(xué)（復(fù)變函數(shù)與積分變換）

第三章復(fù)變函數(shù)的積分故是調(diào)和函數(shù)。由解(1)驗(yàn)證為調(diào)和函數(shù)驗(yàn)證為調(diào)和函數(shù)，并求以例的解析函數(shù)使得為實(shí)部工程數(shù)學(xué)（復(fù)變函數(shù)與積分變換）

第三章復(fù)變函數(shù)的積分由由解(2)求虛部。

偏積分法驗(yàn)證為調(diào)和函數(shù)，并求以例的解析函數(shù)使得為實(shí)部工程數(shù)學(xué)（復(fù)變函數(shù)與積分變換）

第三章復(fù)變函數(shù)的積分解(3)求確定常數(shù)

c根據(jù)條件將代入得即得驗(yàn)證為調(diào)和函數(shù)，并求以例的解析函數(shù)使得為實(shí)部工程數(shù)學(xué)（復(fù)變函數(shù)與積分變換）

第三章復(fù)變函數(shù)的積分故是調(diào)和函數(shù)。由解(1)驗(yàn)證為調(diào)和函數(shù)P92例1修改

工程數(shù)學(xué)（復(fù)變函數(shù)與積分變換）

第三章復(fù)變函數(shù)的積分解由由(2)求虛部。

偏積分法工程數(shù)學(xué)（復(fù)變函數(shù)與積分變換）

第三章復(fù)變函數(shù)的積分解(3)求確定常數(shù)

c根據(jù)條件將代入得即得工程數(shù)學(xué)（復(fù)變函數(shù)與積分變換）

第四章級(jí)數(shù)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)充要條件必要條件冪級(jí)數(shù)收斂半徑R復(fù)變函數(shù)絕對(duì)收斂運(yùn)算與性質(zhì)收斂條件條件收斂復(fù)數(shù)列收斂半徑的計(jì)算Taylor級(jí)數(shù)Laurent級(jí)數(shù)圓環(huán)域解析R2z0R1D洛朗(Laurent)定理設(shè)函數(shù)在圓環(huán)域定理C

為在圓環(huán)域內(nèi)繞的任何一條簡(jiǎn)單閉曲線。解析,在此圓環(huán)域中展開(kāi)為則

一定能其中，zC上述冪級(jí)數(shù)稱(chēng)為f(z)在此圓環(huán)域內(nèi)的洛朗Laurent級(jí)數(shù)工程數(shù)學(xué)（復(fù)變函數(shù)與積分變換）

第四章級(jí)數(shù)12函數(shù)有兩個(gè)奇點(diǎn)：以展開(kāi)點(diǎn)為中心，將復(fù)平面分為三個(gè)解析環(huán)：解(1)將復(fù)平面分為若干個(gè)解析環(huán)①②③(2)將函數(shù)進(jìn)行部分分式分解工程數(shù)學(xué)（復(fù)變函數(shù)與積分變換）

第四章級(jí)數(shù)解12①當(dāng)時(shí)，(3)將函數(shù)在每個(gè)解析環(huán)內(nèi)分別展開(kāi)工程數(shù)學(xué)（復(fù)變函數(shù)與積分變換）

第四章級(jí)數(shù)解12②當(dāng)時(shí)，(3)將函數(shù)在每個(gè)解析環(huán)內(nèi)分別展開(kāi)工程數(shù)學(xué)（復(fù)變函數(shù)與積分變換）

第四章級(jí)數(shù)解12③當(dāng)時(shí)，(3)將函數(shù)在每個(gè)解析環(huán)內(nèi)分別展開(kāi)工程數(shù)學(xué)（復(fù)變函數(shù)與積分變換）

第四章級(jí)數(shù)解在內(nèi)展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)。例把函數(shù)解在內(nèi)展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)。例把函數(shù)工程數(shù)學(xué)（復(fù)變函數(shù)與積分變換）

第五章留數(shù)留數(shù)留數(shù)定理可去奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)m級(jí)極點(diǎn)本性奇點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系計(jì)算方法留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用零點(diǎn)的分布孤立奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)m級(jí)極點(diǎn)本性奇點(diǎn)Laurent級(jí)數(shù)的特點(diǎn)存在且為有限值不存在且不為沒(méi)有負(fù)冪次項(xiàng)含無(wú)窮多個(gè)負(fù)冪項(xiàng)含有限個(gè)負(fù)冪項(xiàng)關(guān)于的最高冪為孤立奇點(diǎn)的分類(lèi)留數(shù)的概念將在的去心鄰域設(shè)為函數(shù)的孤立奇點(diǎn)，定義稱(chēng)為在處的留數(shù)(Residu)

，記作：內(nèi)展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)：其中，C

是的去心鄰域內(nèi)繞的一條簡(jiǎn)單閉曲線。DC…留數(shù)定理處處解析，在邊界

C

上連續(xù)，定理設(shè)在區(qū)域D內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外注意留數(shù)定理將沿著封閉曲線C的積分，轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)在C內(nèi)各個(gè)孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)，或者說(shuō)只需要計(jì)算積分曲線

C

所圍成的有限區(qū)域內(nèi)各孤立奇點(diǎn)的留數(shù)。則1

若z0為函數(shù)f(z)的可去奇點(diǎn)(負(fù)冪項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為零個(gè))，則它在點(diǎn)z0的留數(shù)為零，即留數(shù)的計(jì)算2

若z0為f(z)的一級(jí)極點(diǎn)，則有3

若z0為f(z)的m級(jí)極點(diǎn)，則對(duì)任意整數(shù)n≥m有

工程數(shù)學(xué)（復(fù)變函數(shù)與積分變換）

第五章留數(shù)是的本性奇點(diǎn)，解將在的去心鄰域內(nèi)洛朗展開(kāi)，有工程數(shù)學(xué)（復(fù)變函數(shù)與積分變換）

第五章留數(shù)是一階極點(diǎn)，解(1)是的本性奇點(diǎn)，(2)工程數(shù)學(xué)（復(fù)變函數(shù)與積分變換）

第五章留數(shù)解方法一

利用極點(diǎn)的留數(shù)計(jì)算法則求解為被積函數(shù)的二階極點(diǎn)，方法二利用高階導(dǎo)數(shù)公式求解工程數(shù)學(xué)（復(fù)變函數(shù)與積分變換）

第五章留數(shù)方法三

利用洛朗展式求解解將被積函數(shù)在的去心鄰域展開(kāi)，工程數(shù)學(xué)（復(fù)變函數(shù)與積分變換）

第六章共形映射共形映射分式線性映射一一對(duì)應(yīng)保角性保圓性

幾何意義幾個(gè)初等函數(shù)構(gòu)成的映射分式線性映射的確定對(duì)確定區(qū)域的映射保對(duì)稱(chēng)性

工程數(shù)學(xué)（復(fù)變函數(shù)與積分變換）

第六章共形映射(旋轉(zhuǎn))(相似)由解(1)求通式

求一共形映射將區(qū)域映射為例且滿(mǎn)足工程數(shù)學(xué)（復(fù)變函數(shù)與積分變換）

第六章共形映射求一共形映射將區(qū)域映射為例解(1)求通式

且滿(mǎn)足(2)代入條件

由有故由有即得工程數(shù)學(xué)（復(fù)變函數(shù)與積分變換）

第一章Fourier變換第一章Fourier

變換§1.2Fourier變換§1.1Fourier

積分§1.3Fourier

變換的性質(zhì)§1.4卷積與相關(guān)函數(shù)§1.6Fourier

變換的應(yīng)用(2)Fourier逆變換稱(chēng)為傅氏變換對(duì)，記為與-1(1)Fourier變換(傅氏變換)定義其中，稱(chēng)為象原函數(shù)稱(chēng)為象函數(shù)，F(xiàn)ourier

變換的定義線性性質(zhì)位移性質(zhì)(時(shí)移性質(zhì))(頻移性質(zhì))微分性質(zhì)Fourier

變換的性質(zhì)積分性質(zhì)工程數(shù)學(xué)（復(fù)變函數(shù)與積分變換）

第一章Fourier變換解(1)a-a1Ot工程數(shù)學(xué)（復(fù)變函數(shù)與積分變換）

第一章Fourier