線性代數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

.PAGE.目錄TOC\o"1-2"\h\z\u摘要1Abstract2前言3第1章行列式在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用41.1用行列式證明等式41.2用行列式分解因式51.3行列式在解析幾何中的應(yīng)用6第2章線性方程組在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用7第3章二次型理論在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用8第4章矩陣與變換引入中學(xué)數(shù)學(xué)的意義及應(yīng)用104.1中學(xué)數(shù)學(xué)引入矩陣的意義104.2中學(xué)數(shù)學(xué)中矩陣與變換114.3線性變換面積定理114.4利用矩陣的秩判斷兩直線位置關(guān)系124.5中學(xué)數(shù)學(xué)中矩陣變換的常見(jiàn)類型12第5章用向量法解決初等幾何問(wèn)題13結(jié)論15參考文獻(xiàn)16致謝17摘要線性代數(shù)是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支,是一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程．近幾年隨著高等數(shù)學(xué)已漸漸走入初等數(shù)學(xué),線性代數(shù)在初等數(shù)學(xué)中也有廣泛應(yīng)用．本文共分為五個(gè)部分：例說(shuō)行列式在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用,線性方程組在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用,二次型理論在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用,矩陣與變換引入中學(xué)數(shù)學(xué)的意義及應(yīng)用,用向量法解決初等幾何問(wèn)題．本文主要是從上述幾個(gè)方面分析了線性代數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的若干應(yīng)用以及有關(guān)例題的講解過(guò)程．關(guān)鍵詞：行列式齊次線性方程組二次型矩陣向量AbstractLinearalgebraisabranchofmathematics.Itisamathematicalfoundationcourse.Inrecentyears,somecontentofhighermathematicsarebeguntolearnbymiddleschoolstudents.AndLinearalgebrahasalsowideapplicationinelementarymathematics.Thispaperisdividedintofiveparts.Intheseparts,wewillgivealotofexamplestoshowsomeapplicationsofdeterminant,Linearequations,quadratictheory,matrixandtransform,vectorinelementarymathematics.Keywords:determinanthomogeneouslinearsystemquadraticformmatrixvector前言線性代數(shù)是學(xué)習(xí)自然科學(xué)、工程和社會(huì)科學(xué)的一門高度抽象且邏輯性很強(qiáng)的基礎(chǔ)理論課程,它本身理論性強(qiáng),并且計(jì)算繁雜．作為高等學(xué)校基礎(chǔ)課,除了作為各門學(xué)科的重要工具以外,還是提高人才的全面素質(zhì)中起著重要的作用,他在培育理性思維和審美功能方面的作用也得到充分的重視．可以說(shuō)任何與數(shù)學(xué)有關(guān)的課程都涉及線性代數(shù)知識(shí)．學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就必須解題,解題要以自己的實(shí)踐過(guò)程來(lái)實(shí)現(xiàn)．本文在闡述一些重要的概念和定理之后,常常附以具體例子,這樣可以使讀者從實(shí)例中了解問(wèn)題的具體內(nèi)容,掌握解決問(wèn)題的思路和算法步驟,以減少理解障礙,從而提高邏輯讀者的推理和判斷的能力．第1章行列式在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用隨著高中數(shù)學(xué)新課程的實(shí)施,行列式在中學(xué)數(shù)學(xué)中的滲透、應(yīng)用越來(lái)越受關(guān)注,本文從三個(gè)方面淺析其在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.1.1用行列式證明等式利用行列式證明等式與不等式的方法是對(duì)同一行列式用兩種不同的計(jì)算方法,利用其結(jié)果相等而得到等式的證明.例1已知,求證.證明：令,則,即例2已知,,,求證：.證明：令,則有.例3在中,求證.證明由于所以,在中,成立.例4求證：.證明：因?yàn)橛?故1.2用行列式分解因式由行列式的定義,.由此啟發(fā),我們可以把一個(gè)代數(shù)式看成兩個(gè)式子的差,而每個(gè)式子又可以看成兩個(gè)因式的乘積,即<均為代數(shù)式>,于是.由此即可根據(jù)行列式的性質(zhì),對(duì)某些多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解.例1分解因式.解：.例2將分解因式.解：.例3分解因式.解：.利用行列式分解因式的關(guān)鍵是將所給多項(xiàng)式的形式寫成行列式的形式,并注意行列式的排列規(guī)則.1.3行列式在解析幾何中的應(yīng)用定理1〔1以平面內(nèi)三點(diǎn)為頂點(diǎn)的的面積的絕對(duì)值.〔2通過(guò)兩點(diǎn)的直線方程為.例求過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線的方程.解由,得直線的方程為.〔3平面內(nèi)三條直線.相較于一點(diǎn)或互相平行的充要條件是：.推論平面上三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是.定理2通過(guò)平面上三點(diǎn)的圓的方程為.例1平面上給出三個(gè)兩兩相交的圓,每?jī)蓚€(gè)圓有一條根軸,則三條根軸互相平行或交于一點(diǎn).證明：設(shè)三個(gè)圓的方程分別為.兩兩相減得三條交線正是所述三條根軸,它們所在的直線方程為三條直線方程的系數(shù)行列式為故三直線平行或相較于一點(diǎn).本題實(shí)質(zhì)是求一封閉圖形經(jīng)過(guò)仿射變換后所得圖形的面積.利用線性變換面積定理求解本題,居高臨下,讓人耳目一新.第2章線性方程組在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用線性方程組在中學(xué)就學(xué)過(guò),主要是研究若干變量的相互關(guān)系,比如下面就是一個(gè)線性方程組的例子：一個(gè)廟里有一百個(gè)和尚,這中間有大和尚有小和尚,這一百個(gè)和尚每頓飯總共吃一百個(gè)饅頭,其中大和尚一個(gè)人吃三個(gè),小和尚三個(gè)人吃一個(gè),問(wèn)大和尚和小和尚各多少人?解設(shè)大和尚的數(shù)目是,小和尚的數(shù)目是,則有,解之得其實(shí),更多元的線性方程組也是同樣的解法.定理含有n個(gè)未知量n個(gè)方程的齊次線性方程組有非零解的充要條件是:方程組的系數(shù)行列式等零.例1已知函數(shù),證明、、中至少有一個(gè)不小于.解把=1,2,3代入函數(shù)表達(dá)式,列方程組上述關(guān)于a、b、1的齊次線性方程組有非零解,故,展開整理得,假設(shè)結(jié)論不成立,即,,,易推出,從而產(chǎn)生矛盾,故命題成立.例2已知,,,求證：.證明：由已知得關(guān)于得方程組因?yàn)椴豢赡転榱?所以由定理知化簡(jiǎn)得即.由已知條件的結(jié)構(gòu)特征與待解問(wèn)題之間的關(guān)系建立齊次線性方程組,構(gòu)造三階行列式,其解題思路新穎,能夠巧妙地解決中學(xué)數(shù)學(xué)中的若干棘手問(wèn)題,凸顯了用高等數(shù)學(xué)理論與方法解決初等數(shù)學(xué)問(wèn)題的優(yōu)越性.第3章二次型理論在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用考慮一個(gè)n元二次型：,其中,.定義一個(gè)二次型經(jīng)過(guò)非線型替換變成的平方和,稱為的標(biāo)準(zhǔn)型.定理1實(shí)數(shù)域上任意一個(gè)二次型都可以經(jīng)過(guò)非退化的線性替換變成平方和〔1的形式.定理2一個(gè)實(shí)二次型可以分解成兩個(gè)實(shí)數(shù)系的一次齊次多項(xiàng)式乘積的充要條件是它的秩等于2和符號(hào)差為0,或秩等于1.例1試判斷下列多項(xiàng)式在R上能否分解,若能,分解之.解1>令,則,下面考慮的秩和符號(hào)差,對(duì)作非線性替換:,即有,可見(jiàn)的秩是3,有定理2,知不能分解,從而也不能分解.解2>令,則下面考慮的秩和符號(hào)差.對(duì)作非線性替換,即有,從而,可見(jiàn)的秩為2,符號(hào)差為0,有定理2,知可以分解,且定理2對(duì)于n元實(shí)二次型為的特征值,則對(duì)于任意,有.例3設(shè)是實(shí)數(shù),且滿足.則的最大值與最小值是.解令,則的矩陣.令,因此,特征值.由定理得,注意到,解得.又,從而,所以的最大值為9,最小值為1.由此可見(jiàn),運(yùn)用高等代數(shù)中二次型定理可以順利解決二次型在條件下的取值范圍,解法流程清晰,易于掌握.第4章矩陣與變換引入中學(xué)數(shù)學(xué)的意義及應(yīng)用新課標(biāo)中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重大變化就是把大量原屬高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容下放到中學(xué)供學(xué)生選修,以開闊學(xué)生的視野,滿足不同學(xué)生的數(shù)學(xué)需要,促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)展.被下放的有矩陣與變換、數(shù)列與差分、球面幾何、對(duì)稱與群等十幾個(gè)專題。下面對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)引入矩陣知識(shí)的意義及作用,進(jìn)行初步的探討.4.1中學(xué)數(shù)學(xué)引入矩陣的意義中學(xué)數(shù)學(xué)引入矩陣初步知識(shí)的意義,本人認(rèn)為,主要有四個(gè)方面：首先,為表達(dá)數(shù)據(jù)提供新的工具.因此,中學(xué)數(shù)學(xué)引入矩陣知識(shí)可為學(xué)生提供一個(gè)表達(dá)數(shù)據(jù)的新工具,一是學(xué)生更好的學(xué)習(xí)概率、統(tǒng)計(jì)、技術(shù)原理等課程,也能使學(xué)生更好地適應(yīng)現(xiàn)實(shí)生活中的需要；其次,為研究映射提供了一個(gè)新平臺(tái).在中學(xué)數(shù)學(xué)中,映射是最重要的基本概念.在新課程中學(xué)數(shù)學(xué)體系中,直接與映射有關(guān)的內(nèi)容就有函數(shù)、向量、數(shù)列、復(fù)數(shù)、曲線與方程、極坐標(biāo)與參數(shù)方程等十幾個(gè)方面映射不僅是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要概念,也是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的必備基礎(chǔ).但映射的表示方法,中學(xué)數(shù)學(xué)中原來(lái)只有解析法、列表法和圖像法,這對(duì)于擴(kuò)充學(xué)生的知識(shí)視野,尤其是對(duì)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的需要,似嫌不足.因此,中學(xué)數(shù)學(xué)引入矩陣可為表達(dá)映射提供一種新的方法;第三,給線性方程組的解法開辟一條新的途徑.引入矩陣知識(shí)及行列式以后,就可以得到解線性方程組的公式克拉姆法則,這不僅為中學(xué)數(shù)學(xué)解線性方程組找到一條新的途徑,而且有利于與高等數(shù)學(xué)相連接；第四,綜合應(yīng)用,為高等數(shù)學(xué)與其他模塊的學(xué)習(xí)提供幫助.例如網(wǎng)絡(luò)圖、信息與密碼、概率與統(tǒng)計(jì)、生態(tài)學(xué)等,都可以用矩陣表達(dá)或者求解,引入矩陣知識(shí),可為學(xué)習(xí)這些知識(shí)提供有力的工具.4.2中學(xué)數(shù)學(xué)中矩陣與變換中學(xué)數(shù)學(xué)中由矩陣建立的變換就是平面上的坐標(biāo)變換,其中,矩陣起著"對(duì)應(yīng)法則"的作用.用二階矩陣確定的變換,就是構(gòu)造映射,使平面上的點(diǎn)變成點(diǎn),這個(gè)映射的對(duì)應(yīng)法則就是左乘,在這個(gè)變換中,矩陣稱之為變換矩陣,變換矩陣不同,得到的是不同的變換.例1已知在一個(gè)二階矩陣對(duì)應(yīng)變換作用,點(diǎn)變成了點(diǎn),點(diǎn)變成了點(diǎn),求矩陣.解設(shè),則,.所以,解得,所以.4.3線性變換面積定理定理1線性變換將平面上所有圖形的面積放大或縮小同一倍數(shù),這個(gè)倍數(shù)就是變換行列式的絕對(duì)值.例1在平面直角坐標(biāo)系中,已知平面區(qū)域,則平面區(qū)域的面積為.解依題意,平面區(qū)域A是由,,圍成的三角形,面積S為,平面區(qū)域變成平面區(qū)域所對(duì)應(yīng)的變換矩陣為,則變換行列式的絕對(duì)值,所以平面區(qū)域的面積為.4.4利用矩陣的秩判斷兩直線位置關(guān)系定理2設(shè)空間兩直線：,設(shè)矩陣的秩為,矩陣的秩為,則1當(dāng)=4時(shí),兩直線異面；2=2時(shí),兩直線重合；3==3時(shí),兩直線相交；4==3時(shí),兩直線平行.例判斷兩直線和的位置關(guān)系.解故==2,所以直線與直線重合.4.5中學(xué)數(shù)學(xué)中矩陣變換的常見(jiàn)類型中學(xué)數(shù)學(xué)中由矩陣確定的變換的常見(jiàn)類型,列表說(shuō)明如下：表1中學(xué)數(shù)學(xué)中矩陣變換的常見(jiàn)類型變換名稱變換矩陣幾何特征恒等變換圖形變成圖形伸壓變換1、沿軸方向：2、沿軸方向圖形變成圖形,大小和形狀可能變化反射變換關(guān)于軸反射關(guān)于軸反射關(guān)于反射關(guān)于原點(diǎn)反射圖形變成圖形,大小和形狀不變,位置可能改變旋轉(zhuǎn)變換圖形變成圖形,大小和形狀不變,位置可能改變投影變換垂直投到軸：垂直投到軸：圖形變成線或點(diǎn)切變變換1、沿軸方向：2、沿軸方向圖形變成圖形,大小和形狀可能變化第5章用向量法解決初等幾何問(wèn)題眾所周知,向量是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本概念之一。在高中數(shù)學(xué)教材中引入向量概念也是數(shù)學(xué)現(xiàn)代化的需要。向量是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的銜接點(diǎn),這也是向量在數(shù)學(xué)課程改革中受到青睞的魅力所在。向量有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想方法,有利于拓寬解題思路,有利于發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力,有利于與高等教育銜接等方面。例1證明三角形的余弦定理.證明在中,設(shè),,且,,,那么即從而所以即.例2求證：連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段平行于第三邊且等于第三邊的一半.證明分別為三角形的兩邊與的中點(diǎn),那么,所以∥,且.例3如圖,三菱錐,⊥底面,,,點(diǎn)分別是的中點(diǎn),求二面角的余弦值.解以BP所在直線為z軸,BC所在直線為y軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則.因?yàn)镻B⊥平面ABC,所以PB⊥AC,又AC⊥CB,所以AC⊥平面PBC,所以AC⊥PC,所以EF⊥PC.又BE⊥PC,所以PC⊥平面BEF.而,所以平面BEF的一個(gè)法向量.設(shè)平面ABE的法向量,則,則x:y:z=1:<-1>:1.取x=1,則平面ABE的一個(gè)法向量,所以.所以二面角A-BE-F的平面角的余弦值為.結(jié)論線性代數(shù)是數(shù)學(xué)的一個(gè)組成部分,是學(xué)習(xí)其它學(xué)科的重要工具,可以說(shuō)任何與數(shù)學(xué)有關(guān)的課程都涉及線性代數(shù)知識(shí)．而近年來(lái)先線性代數(shù)以被廣泛的應(yīng)用到了中學(xué)數(shù)學(xué)中．學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí),高中數(shù)學(xué)課程還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自習(xí)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式．這些方式有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性,使學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程稱為在教師引導(dǎo)下的"再創(chuàng)造"過(guò)程,高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)力求通過(guò)各種不同形式的自主學(xué)習(xí)、探索活動(dòng)、讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程,發(fā)展他們的創(chuàng)新意識(shí)．而高等數(shù)學(xué)進(jìn)入初等數(shù)學(xué)正為學(xué)生實(shí)現(xiàn)這種創(chuàng)新意識(shí)提供了很好的教學(xué)材料．參考文獻(xiàn)[1]黎伯堂、劉桂真高等代數(shù)解題技巧與方法、XX、XX