全等三角形問題中常見的幾種輔助線的作法

..全等三角形問題中常見的輔助線的作法<有答案>總論：全等三角形問題最主要的是構(gòu)造全等三角形,構(gòu)造二條邊之間的相等,構(gòu)造二個(gè)角之間的相等1.等腰三角形"三線合一"法：遇到等腰三角形,可作底邊上的高,利用"三線合一"的性質(zhì)解題2.倍長(zhǎng)中線：倍長(zhǎng)中線,使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等,構(gòu)造全等三角形3.角平分線在三種添輔助線4.垂直平分線聯(lián)結(jié)線段兩端5.用"截長(zhǎng)法"或"補(bǔ)短法"：遇到有二條線段長(zhǎng)之和等于第三條線段的長(zhǎng),6.圖形補(bǔ)全法：有一個(gè)角為60度或120度的把該角添線后構(gòu)成等邊三角形7.角度數(shù)為30、60度的作垂線法：遇到三角形中的一個(gè)角為30度或60度,可以從角一邊上一點(diǎn)向角的另一邊作垂線,目的是構(gòu)成30-60-90的特殊直角三角形,然后計(jì)算邊的長(zhǎng)度與角的度數(shù),這樣可以得到在數(shù)值上相等的二條邊或二個(gè)角。從而為證明全等三角形創(chuàng)造邊、角之間的相等條件。8.計(jì)算數(shù)值法：遇到等腰直角三角形,正方形時(shí),或30-60-90的特殊直角三角形,或40-60-80的特殊直角三角形,常計(jì)算邊的長(zhǎng)度與角的度數(shù),這樣可以得到在數(shù)值上相等的二條邊或二個(gè)角,從而為證明全等三角形創(chuàng)造邊、角之間的相等條件。常見輔助線的作法有以下幾種：最主要的是構(gòu)造全等三角形,構(gòu)造二條邊之間的相等,二個(gè)角之間的相等。遇到等腰三角形,可作底邊上的高,利用"三線合一"的性質(zhì)解題,思維模式是全等變換中的"對(duì)折"法構(gòu)造全等三角形．遇到三角形的中線,倍長(zhǎng)中線,使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等,構(gòu)造全等三角形,利用的思維模式是全等變換中的"旋轉(zhuǎn)"法構(gòu)造全等三角形．遇到角平分線在三種添輔助線的方法,〔1可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線,利用的思維模式是三角形全等變換中的"對(duì)折",所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理．〔2可以在角平分線上的一點(diǎn)作該角平分線的垂線與角的兩邊相交,形成一對(duì)全等三角形?！?可以在該角的兩邊上,距離角的頂點(diǎn)相等長(zhǎng)度的位置上截取二點(diǎn),然后從這兩點(diǎn)再向角平分線上的某點(diǎn)作邊線,構(gòu)造一對(duì)全等三角形。過圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線,構(gòu)造全等三角形,利用的思維模式是全等變換中的"平移"或"翻轉(zhuǎn)折疊"截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法,具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等,或是將某條線段延長(zhǎng),是之與特定線段相等,再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明．這種作法,適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目．已知某線段的垂直平分線,那么可以在垂直平分線上的某點(diǎn)向該線段的兩個(gè)端點(diǎn)作連線,出一對(duì)全等三角形。特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時(shí),常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來,利用三角形面積的知識(shí)解答．一、倍長(zhǎng)中線〔線段造全等例1、〔"希望杯"試題已知,如圖△ABC中,AB=5,AC=3,則中線AD的取值范圍是_________.例2、如圖,△ABC中,E、F分別在AB、AC上,DE⊥DF,D是中點(diǎn),試比較BE+CF與EF的大小.例3、如圖,△ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中點(diǎn),求證：AD平分∠BAE.應(yīng)用：1、〔09崇文二模以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt和等腰Rt,連接DE,M、N分別是BC、DE的中點(diǎn)．探究：AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．〔1如圖①當(dāng)為直角三角形時(shí),AM與DE的位置關(guān)系是,線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是；〔2將圖①中的等腰Rt繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)<0<<90>后,如圖②所示,〔1問中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由．二、截長(zhǎng)補(bǔ)短1、如圖,中,AB=2AC,AD平分,且AD=BD,求證：CD⊥AC2、如圖,AD∥BC,EA,EB分別平分∠DAB,∠CBA,CD過點(diǎn)E,求證;AB＝AD+BC。3、如圖,已知在內(nèi),,,P,Q分別在BC,CA上,并且AP,BQ分別是,的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP4、如圖,在四邊形ABCD中,BC＞BA,AD＝CD,BD平分,求證：5、如圖在△ABC中,AB＞AC,∠1＝∠2,P為AD上任意一點(diǎn),求證;AB-AC＞PB-PC應(yīng)用：三、平移變換例1AD為△ABC的角平分線,直線MN⊥AD于A.E為MN上一點(diǎn),△ABC周長(zhǎng)記為,△EBC周長(zhǎng)記為.求證＞.例2如圖,在△ABC的邊上取兩點(diǎn)D、E,且BD=CE,求證：AB+AC>AD+AE.四、借助角平分線造全等1、如圖,已知在△ABC中,∠B=60°,△ABC的角平分線AD,CE相交于點(diǎn)O,求證：OE=OD2、如圖,△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.〔1說明BE=CF的理由；〔2如果AB=,AC=,求AE、BE的長(zhǎng).應(yīng)用：1、如圖①,OP是∠MON的平分線,請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法,解答下列問題：〔1如圖②,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線,AD、CE相交于點(diǎn)F。請(qǐng)你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；<第23題圖>OPAMNEB<第23題圖>OPAMNEBCDFACEFBD圖①圖②圖③五、旋轉(zhuǎn)例1正方形ABCD中,E為BC上的一點(diǎn),F為CD上的一點(diǎn),BE+DF=EF,求∠EAF的度數(shù).例2D為等腰斜邊AB的中點(diǎn),DM⊥DN,DM,DN分別交BC,CA于點(diǎn)E,F。當(dāng)繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),求證DE=DF。若AB=2,求四邊形DECF的面積。例3如圖,是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形,是等腰三角形,且,以D為頂點(diǎn)做一個(gè)角,使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M,交AC于點(diǎn)N,連接MN,則的周長(zhǎng)為；應(yīng)用：1、已知四邊形中,,,,,,繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交〔或它們的延長(zhǎng)線于．當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)〔如圖1,易證．當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí),在圖2和圖3這兩種情況下,上述結(jié)論是否成立？若成立,請(qǐng)給予證明；若不成立,線段,又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想,不需證明．〔圖〔圖1〔圖2〔圖32、〔西城09年一模已知:PA=,PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè).<1>如圖,當(dāng)∠APB=45°時(shí),求AB及PD的長(zhǎng);<2>當(dāng)∠APB變化,且其它條件不變時(shí),求PD的最大值,及相應(yīng)∠APB的大小.3、在等邊的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N,D為外一點(diǎn),且,,BD=DC.探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí),BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及的周長(zhǎng)Q與等邊的周長(zhǎng)L的關(guān)系．圖1圖2圖3〔=1\*ROMANI如圖1,當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上,且DM=DN時(shí),BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是；此時(shí)；〔=2\*ROMANII如圖2,點(diǎn)M、N邊AB、AC上,且當(dāng)DMDN時(shí),猜想〔=1\*ROMANI問的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；〔=3\*ROMANIII如圖3,當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí),若AN=,則Q=〔用、L表示．參考答案與提示一、倍長(zhǎng)中線〔線段造全等例1、〔"希望杯"試題已知,如圖△ABC中,AB=5,AC=3,則中線AD的取值范圍是_________.解：延長(zhǎng)AD至E使AE＝2AD,連BE,由三角形性質(zhì)知AB-BE<2AD<AB+BE故AD的取值范圍是1<AD<4例2、如圖,△ABC中,E、F分別在AB、AC上,DE⊥DF,D是中點(diǎn),試比較BE+CF與EF的大小.解：<倍長(zhǎng)中線,等腰三角形"三線合一"法>延長(zhǎng)FD至G使FG＝2EF,連BG,EG,顯然BG＝FC,在△EFG中,注意到DE⊥DF,由等腰三角形的三線合一知EG＝EF在△BEG中,由三角形性質(zhì)知EG<BG+BE故：EF<BE+FC例3、如圖,△ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中點(diǎn),求證：AD平分∠BAE.解：延長(zhǎng)AE至G使AG＝2AE,連BG,DG,顯然DG＝AC,∠GDC=∠ACD由于DC=AC,故∠ADC=∠DAC在△ADB與△ADG中,BD＝AC=DG,AD＝AD,∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC＝∠ADG故△ADB≌△ADG,故有∠BAD=∠DAG,即AD平分∠BAE應(yīng)用：1、〔09崇文二模以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt和等腰Rt,連接DE,M、N分別是BC、DE的中點(diǎn)．探究：AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．〔1如圖①當(dāng)為直角三角形時(shí),AM與DE的位置關(guān)系是,線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是；〔2將圖①中的等腰Rt繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)<0<<90>后,如圖②所示,〔1問中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由．二、截長(zhǎng)補(bǔ)短1、如圖,中,AB=2AC,AD平分,且AD=BD,求證：CD⊥AC解：〔截長(zhǎng)法在AB上取中點(diǎn)F,連FD△ADB是等腰三角形,F是底AB中點(diǎn),由三線合一知DF⊥AB,故∠AFD＝90°△ADF≌△ADC〔SAS∠ACD＝∠AFD＝90°即：CD⊥AC2、如圖,AD∥BC,EA,EB分別平分∠DAB,∠CBA,CD過點(diǎn)E,求證;AB＝AD+BC解：〔截長(zhǎng)法在AB上取點(diǎn)F,使AF＝AD,連FE△ADE≌△AFE〔SAS∠ADE＝∠AFE,∠ADE+∠BCE＝180°∠AFE+∠BFE＝180°故∠ECB＝∠EFB△FBE≌△CBE〔AAS故有BF＝BC從而;AB＝AD+BC3、如圖,已知在△ABC內(nèi),,,P,Q分別在BC,CA上,并且AP,BQ分別是,的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP解：〔補(bǔ)短法,計(jì)算數(shù)值法延長(zhǎng)AB至D,使BD＝BP,連DP在等腰△BPD中,可得∠BDP＝40°從而∠BDP＝40°＝∠ACP△ADP≌△ACP〔ASA故AD＝AC又∠QBC＝40°＝∠QCB故BQ＝QCBD＝BP從而BQ+AQ=AB+BP4、如圖,在四邊形ABCD中,BC＞BA,AD＝CD,BD平分,求證：解：〔補(bǔ)短法延長(zhǎng)BA至F,使BF＝BC,連FD△BDF≌△BDC〔SAS故∠DFB＝∠DCB,FD＝DC又AD＝CD故在等腰△BFD中∠DFB＝∠DAF故有∠BAD+∠BCD＝180°5、如圖在△ABC中,AB＞AC,∠1＝∠2,P為AD上任意一點(diǎn),求證;AB-AC＞PB-PC解：〔補(bǔ)短法延長(zhǎng)AC至F,使AF＝AB,連PD△ABP≌△AFP〔SAS故BP＝PF由三角形性質(zhì)知PB－PC＝PF－PC<CF＝AF－AC＝AB－AC應(yīng)用：三、平移變換例1AD為△ABC的角平分線,直線MN⊥AD于A.E為MN上一點(diǎn),△ABC周長(zhǎng)記為,△EBC周長(zhǎng)記為.求證＞.解：〔鏡面反射法延長(zhǎng)BA至F,使AF＝AC,連FEAD為△ABC的角平分線,MN⊥AD知∠FAE＝∠CAE故有△FAE≌△CAE〔SAS故EF＝CE在△BEF中有：BE+EF>BF=BA+AF=BA+AC從而PB=BE+CE+BC>BF+BC=BA+AC+BC=PA例2如圖,在△ABC的邊上取兩點(diǎn)D、E,且BD=CE,求證：AB+AC>AD+AE.證明：取BC中點(diǎn)M,連AM并延長(zhǎng)至N,使MN=AM,連BN,DN.∵BD=CE,∴DM=EM,∴△DMN≌△EMA<SAS>,∴DN=AE,同理BN=CA.延長(zhǎng)ND交AB于P,則BN+BP>PN,DP+PA>AD,相加得BN+BP+DP+PA>PN+AD,各減去DP,得BN+AB>DN+AD,∴AB+AC>AD+AE。四、借助角平分線造全等1、如圖,已知在△ABC中,∠B=60°,△ABC的角平分線AD,CE相交于點(diǎn)O,求證：OE=OD,DC+AE=AC證明<角平分線在三種添輔助線,計(jì)算數(shù)值法>∠B=60度,則∠BAC+∠BCA=120度;AD,CE均為角平分線,則∠OAC+∠OCA=60度=∠AOE=∠COD;∠AOC=120度.在AC上截取線段AF=AE,連接OF.又AO=AO;∠OAE=∠OAF.則⊿OAE≌ΔOAF<SAS>,OE=OF;AE=AF;∠AOF=∠AOE=60度.則∠COF=∠AOC-∠AOF=60度=∠COD;又CO=CO;∠OCD=∠OCF.故⊿OCD≌ΔOCF<SAS>,OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2、如圖,△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.〔1說明BE=CF的理由；〔2如果AB=,AC=,求AE、BE的長(zhǎng).解：<垂直平分線聯(lián)結(jié)線段兩端>連接BD,DCDG垂直平分BC,故BD＝DC由于AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,故有ED＝DF故RT△DBE≌RT△DFC〔HL故有BE＝CF。AB+AC＝2AEAE＝〔a+b/2BE=<a-b>/2應(yīng)用：1、如圖①,OP是∠MON的平分線,請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法,解答下列問題：〔1如圖②,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線,AD、CE相交于點(diǎn)F。請(qǐng)你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；<第23題圖>OPAMNEB<第23題圖>OPAMNEBCDFACEFBD圖①圖②圖③五、旋轉(zhuǎn)例1正方形ABCD中,E為BC上的一點(diǎn),F為CD上的一點(diǎn),BE+DF=EF,求∠EAF的度數(shù).證明：將三角形ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度,至三角形ABG則GE=GB+BE=DF+BE=EF又AE=AE,AF=AG,所以三角形AEF全等于AEG所以∠EAF=∠GAE=∠BAE+∠GAB=∠BAE+∠DAF又∠EAF+∠BAE+∠DAF=90所以∠EAF=45度例2D為等腰斜邊AB的中點(diǎn),DM⊥DN,DM,DN分別交BC,CA于點(diǎn)E,F。<1>當(dāng)繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),求證DE=DF。<2>若AB=2,求四邊形DECF的面積。解：<計(jì)算數(shù)值法>〔1連接DC,D為等腰斜邊AB的中點(diǎn),故有CD⊥AB,CD＝DACD平分∠BCA＝90°,∠ECD＝∠DCA＝45°由于DM⊥DN,有∠EDN＝90°由于CD⊥AB,有∠CDA＝90°從而∠CDE＝∠FDA＝故有△CDE≌△ADF〔ASA故有DE=DF〔2S△ABC=2,S四DECF=S△ACD=1例3如圖,是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形,是等腰三角形,且,以D為頂點(diǎn)做一個(gè)角,使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M,交AC于點(diǎn)N,連接MN,則的周長(zhǎng)為；解：<圖形補(bǔ)全法,"截長(zhǎng)法"或"補(bǔ)短法",計(jì)算數(shù)值法>AC的延長(zhǎng)線與BD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,在線段CF上取點(diǎn)E,使CE＝BM∵△ABC為等邊三角形,△BCD為等腰三角形,且∠BDC=120°,

∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°,

∠DCE=180°-∠ACD=180°-∠ABD=90°,

又∵BM=CE,BD=CD,

∴△CDE≌△BDM,

∴∠CDE=∠BDM,DE=DM,

∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°,

∵在△DMN和△DEN中,

DM=DE∠MDN=∠EDN=60°

DN=DN∴△DMN≌△DEN,

∴MN=NE∵在△DMA和△DEF中,

DM=DE∠MDA=60