高中數(shù)學競賽基礎平面幾何知識點總結

..高中數(shù)學競賽平面幾何知識點基礎1、相似三角形的判定及性質(zhì)相似三角形的判定：<1>平行于三角形一邊的直線和其他兩邊<或兩邊的延長線>相交,所構成的三角形與原三角形相似;<2>如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應成比例,并且夾角相等,那么這兩個三角形相似<簡敘為:兩邊對應成比例且夾角相等,兩個三角形相似.>;<3>如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應成比例,那么這兩個三角形相似<簡敘為:三邊對應成比例,兩個三角形相似.>;<4>如果兩個三角形的兩個角分別對應相等<或三個角分別對應相等>,則有兩個三角形相似<簡敘為兩角對應相等,兩個三角形相似.>.直角三角形相似的判定定理:<1>直角三角形被斜邊上的高分成兩個直角三角形和原三角形相似;<2>如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例,那么這兩個直角三角形相似.常見模型：相似三角形的性質(zhì):〔1相似三角形對應角相等〔2相似三角形對應邊的比值相等,都等于相似比〔3相似三角形對應邊上的高、角平分線、中線的比值都等于相似比〔4相似三角形的周長比等于相似比〔5相似三角形的面積比等于相似比的平方2、內(nèi)、外角平分線定理及其逆定理內(nèi)角平分線定理及其逆定理：三角形一個角的平分線與其對邊所成的兩條線段與這個角的兩邊對應成比例。如圖所示,若AM平分∠BAC,則ABAC該命題有逆定理：如果三角形一邊上的某個點與這條邊所成的兩條線段與這條邊的對角的兩邊對應成比例,那么該點與對角頂點的連線是三角形的一條角平分線外角平分線定理：三角形任一外角平分線外分對邊成兩線段,這兩條線段和夾相應的內(nèi)角的兩邊成比例。如圖所示,AD平分△ABC的外角∠CAE,則BD其逆定理也成立：若D是△ABC的BC邊延長線上的一點,且滿足BDDC=AB內(nèi)外角平分線定理相結合：如圖所示,AD平分∠BAC,AE平分∠BAC的外角∠CAE,則BD3、射影定理在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜邊AC上的高,則有射影定理如下：BD2=AD·CDAB2=AC·ADBC2=CD·AC對于一般三角形：在△ABC中,設∠A,∠B,∠C的對邊分別為a,b,c,則有a=bcosC+ccosBb=ccosA+acosCc=acosB+bcosA4、旋轉(zhuǎn)相似當一對相似三角形有公共定點且其邊不重合時,則會產(chǎn)生另一對相似三角形,尋找方法：連接對應點,找對應點連線和一組對應邊所成的三角形,可以得到一組角相等和一組對應邊成比例,如圖中若△ABC∽△AED,則△ACD∽△ABE5、張角定理在△ABC中D為BC邊上一點,則sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD6、圓內(nèi)有關角度的定理圓周角定理及其推論：〔1圓周角定理指的是一條弧所對圓周角等于它所對圓心角的一半〔2同弧所對的圓周角相等〔3直徑所對的圓周角是直角,直角所對的弦是直徑〔4圓內(nèi)接四邊形對角互補〔5圓內(nèi)接四邊形的外角等于其內(nèi)對角弦切角定理：頂點在圓上,一邊和圓相交,另一邊和圓相切的角叫做弦切角。其大小等于它所夾的弧所對的圓周角。其頂點在圓上。弦切角一條邊與圓周相交,另一條邊與圓相切,切點在圓周上。7、托勒密定理與托勒密不等式托勒密定理圓的內(nèi)接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積如圖所示,四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形,則AC·BD=AB·CD+AD·BC托勒密不等式任意凸四邊形ABCD,必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC,而且當且僅當A、B、C、D四點共圓時取等號8、切線長定理與圓冪定理切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線,它們的切線長相等。即如圖,AB、AC切圓O于B、C,切線長AB

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AC相交弦定理相交弦定理是指圓內(nèi)的兩條相交弦,被交點分成的兩條線段長的積相等或經(jīng)過圓內(nèi)一點引兩條弦,各弦被這點所分成的兩線段的積相等如圖所示,在⊙O中,弦AB、CD相交于點P,則有AP·BP=CP·DP相交弦定理與切割線定理、割線定理統(tǒng)稱為圓冪定理切割線定理、割線定理切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線,切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。切割線定理的推論：從圓外一點引圓的兩條割線,這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等〔割線定理如圖所示,PT切圓于T,PDC、PBA為兩條割線,則有PA·PB=PC·PD=PT29、四點共圓方法1：

把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形,且兩三角形都在這底邊的同側,若能證明其頂角相等,從而即可肯定這四點共圓?！部梢哉f成：若線段同側二點到線段兩端點連線夾角相等,那么這二點和線段二端點四點共圓方法2：把被證共圓的四點連成四邊形,若能證明其對角互補或能證明其一個外角等于其鄰補角的內(nèi)對角時,即可肯定這四點共圓?！部梢哉f成：若平面上四點連成四邊形的對角互補或一個外角等于其內(nèi)對角,那么這四點共圓方法3：引入第五點,證明第五點與四個點中任意三點共圓,再另外一組三點,證明它們與第五個點四點共圓,則得到這五點共圓,也就是這原四點共圓方法4：證明這四個點到某一定點的距離相等得到四點共圓后,可以利用圓周角定理及其推論、圓冪定理、托勒密定理等性質(zhì)遇到有關邊的條件,可以聯(lián)想圓冪定理,從而得到相似三角形,將其轉(zhuǎn)化為角度的條件10、西姆松定理及其逆定理西姆松定理是一個平面幾何定理。其表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊或其延長線的垂線,則三垂足共線?！泊司€常稱為西姆松線。如圖所示,P為△ABC外接圓上一點,過點P分別作AB,AC,BC,垂足分別為F、E、D,則D、E、F三點共線。西姆松定理的逆定理為：若一點在三角形三邊所在直線上的射影共線,則該點在此三角形的外接圓上。11、圓冪與根軸圓冪假設平面上有一⊙O,其半徑為R,有一點P在圓O外,過P任作一直線與⊙O交于點A、B,PA·PB即為P到⊙O的冪,數(shù)值為OP2-R如下圖所示,則PA·PB=PC·PD=圓內(nèi)的點的冪為負數(shù),圓外的點的冪為正數(shù),圓上的點的冪為零。根軸與根心在平面上任給兩不同心的圓,則對兩圓圓冪相等的點的集合是一條直線,這條線稱為這兩個圓的根軸,或者稱作等冪軸。平面上任意兩圓的根軸垂直于它們的連心線；若兩圓相交,則兩圓的根軸為公共弦所在的直線；若兩圓相切,則兩圓的根軸為它們的內(nèi)公切線；若兩圓外離,則兩圓的根軸上的點分別引兩圓的切線,則切線長相等。從而,根軸必過四條公切線的中點。蒙日定理〔根心定理：平面上任意三個圓,若這三個圓圓心不共線,則三條根軸相交于一點,這個點叫它們的根心；若三圓圓心共線,則三條根軸互相平行；12、梅涅勞斯定理及其逆定理梅涅勞斯定理當一條直線交△ABC三邊所在的直線BC、AC、AB分別于點D,E,F時,則有梅涅勞斯定理的逆定理梅涅勞斯逆定理是若有三點F、D、E分別在邊三角形的三邊AB、BC、CA或其延長線上,且滿足,則F、D、E三點共線。利用這個逆定理,可以判斷三點共線。13、塞瓦定理及其逆定理塞瓦定理塞瓦定理是指在△ABC內(nèi)任取一點O,延長AO、BO、CO分別交對邊于D、E、F,則賽瓦定理的逆定理在△ABC的邊BC,CA,AB上分別取點D,E,F,如果,那么直線AD,BE,CF相交于同一點。14、角元形式的塞瓦定理及其逆定理角元形式的塞瓦定理設P為平面上一點<不在AB、BC、AC三條直線上>,延長AP、BP、CP分別交對邊或其延長線于D、E、F三點,那么sin∠BAP角元形式的塞瓦定理的逆定理在△ABC的邊BC,CA,AB上分別取點D,E,F,如果sin∠BAPsin∠PAC15、密克爾點三圓定理：設三個圓C1,C2,C3交于一點O,而M,N,P分別是C1和C2,C2和C3,C3和C1的另一交點。設A為C1的點,直線MA交C2于B,直線PA交C3于C。那么B,N,C這三點共線三圓逆定理：如果△ABC是三角形,M,N,P三點分別在邊AB,BC,CA上,那么△AMP,△BMN,△CNP的外接圓交于一點O四圓定理：設C1,C2,C3,C4為四個圓,A1和B1是C1和C2的交點,A2和B2是C2和C3的交點,A3和B3是C3和C4的交點,A4和B4是C1和C4的交點。那么A1,A2,A3,A4四點共圓當且僅當B1,B2,B3,B4四點共圓五圓定理:設ABCDE為任意五邊形,五點F,G,H,I,J分別是EA和BC,AB和CD,BC和DE,CD和EA,DE和AB的交點,那么三角形△ABF,△BCG,△CDH,△DEI,△EAJ的外接圓的五個不在五邊形上的交點共圓,而且穿過這些交點的圓也穿過五個外接圓的圓心。五圓逆定理：設C1,C2,C3,C4,C5五個圓的圓心都在圓C上,相鄰的圓交于C上,那么把它們不在C上的交點與比鄰同樣的點連起來,所成的五條直線相交于這五個圓上。16、笛沙格定理及其逆定理笛沙格定理,即同調(diào)三角形定理。平面上有兩個三角形△ABC、△DEF,設它們的對應頂點<A和D、B和E、C和F>的連線交于一點,這時如果對應邊或其延長線相交,則這三個交點共線。其逆定理為,若兩個三角形對應邊的交點在同一條直線上,則對應點的連線交于一點。17、位似及其性質(zhì)已知兩個幾何圖形A和A',若二者之間存在一個一一對應,且每一雙對應點P和P'都與一定點O共線,同時OP/OP'=k〔k>0是常數(shù),則稱A和A'位似,而點O叫做位似中心,k是位似比。位似圖形一定是相似圖形,相似圖形不一定是位似圖形。位似圖形對應邊平行,對應點的連線交于一點,這一點是位似中心。根據(jù)一個位似中心可以作兩個關于已知圖形一定位似比的位似圖形,這兩個圖形分布在位似中心的兩側,并且關于位似中心對稱。把一個幾何圖形變換成與之位似的圖形,叫做位似變換。物理中的透鏡成像就是一種位似變換,位似中心為光心.位似變換應用極為廣泛,特別是可以證明三點共線等問題.特別地,兩個不重合的圓總是位似的,位似中心為兩圓外公切線或內(nèi)公切線的交點。18、垂心及其性質(zhì)三角形的三條高線的交點叫做三角形的垂心。銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)；直角三角形的垂心在直角頂點上；鈍角三角形的垂心在三角形外。如圖所示,H為銳角三角形ABC的垂心,則常用結論有：①△ABH的垂心為C,△ACH的垂心為B,△BCH的垂心為A,此時我們成A、B、C、H為"垂心四點組",即在這四個點中,任意三個點組成的三角形的垂心恰是第四個點②∠ABH=∠ACH=π2-∠BAC,∠BHC=π-③AH=2RcosA,DH=2RcosBcosC④H關于BC、AC、AB的對稱點H?,H?,H?都在△ABH的外接圓上⑤垂心關于三邊中點的對稱點也在該三角形外接圓上19、重心定理三角形的三條中線交于一點,該點叫做三角形的重心。重心定理是說三角形頂點到重心的距離等于該頂點對邊上中線長的2/3。20、歐拉線及其性質(zhì)三角形的外心、重心、垂心,依次位于同一直線上,這條直線就叫三角形的歐拉線,且外心到重心的距離等于垂心到重心距離的一半。如圖所示,H,O,G分別是△ABC的垂心,外心,重心,則H,G,O三點共線,且HG=2OG21、九點圓在任意的三角形中,三邊的中點、三條高的垂足、三條高的交點〔垂心與三角形頂點連線的中點,這九個點共圓,通常稱這個圓為九點圓,或歐拉圓、費爾巴哈圓。1.三角形的九點圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半；2.九點圓的圓心在歐拉線上,且恰為垂心與外心連線的中點；3.三角形的九點圓與三角形的內(nèi)切圓相切〔費爾巴哈定理；4.九點圓是一個垂心組〔即一個三角形三個頂點和它的垂心,共四個點,每個點都是其它三點組成的三角形的垂心,共4個三角形共有的九點圓,所以九點圓共與四個內(nèi)切圓相切。22、梯形及其性質(zhì)與判定梯形是指只有一組對邊平行的四邊形。平行的兩邊叫做梯形的底邊,較長的一條底邊叫下底,較短的一條底邊叫上底。另外兩邊叫腰；夾在兩底之間的垂線段叫梯形的高。一腰垂直于底的梯形叫直角梯形。兩腰相等的梯形叫等腰梯形。性質(zhì)：1、梯形的上下兩底平行；2、梯形的中位線,平行于兩底并且等于上下底和的一半；3、等腰梯形對角線相等；4、等腰梯形同一底上的兩個角相等；判定：1、一組對邊平行,另一組對邊不平行的四邊形是梯形；2、一組對邊平行且不相等的四邊形是梯形；3、兩腰相等的梯形是等腰梯形；4、同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形；5、對角線相等的梯形是等腰梯形；常用輔助線做法：23、斯特瓦爾特定理及其衍生公式斯