帶電粒子在磁場中運動的六類高考題型歸類解析

..帶電粒子在磁場中運動的六類高考題型歸類解析XX市豐都中學校付紅周一、帶電粒子在勻強磁場中勻速圓周運動基本問題

找圓心、畫軌跡是解題的基礎(chǔ)。帶電粒子垂直于磁場進入一勻強磁場后在洛倫茲力作用下必作勻速圓周運動,抓住運動中的任兩點處的速度,分別作出各速度的垂線,則二垂線的交點必為圓心；或者用垂徑定理及一處速度的垂線也可找出圓心；再利用數(shù)學知識求出圓周運動的半徑及粒子經(jīng)過的圓心角從而解答物理問題。

〔04天津釷核發(fā)生衰變生成鐳核并放出一個粒子。設(shè)該粒子的質(zhì)量為、電荷量為q,它進入電勢差為U的帶窄縫的平行平板電極和間電場時,其速度為,經(jīng)電場加速后,沿方向進入磁感應(yīng)強度為B、方向垂直紙面向外的有界勻強磁場,垂直平板電極,當粒子從點離開磁場時,其速度方向與方位的夾角,如圖所示,整個裝置處于真空中。

〔1寫出釷核衰變方程；

〔2求粒子在磁場中沿圓弧運動的軌道半徑R；

〔3求粒子在磁場中運動所用時間。

解析:〔1釷核衰變方程

①

〔2設(shè)粒子離開電場時速度為,對加速過程有

②

粒子在磁場中有③

由②、③得

④

〔3粒子做圓周運動的回旋周期

⑤

粒子在磁場中運動時間

⑥

由⑤、⑥得

⑦

二、帶電粒子在磁場中軌道半徑變化問題

導致軌道半徑變化的原因有：①帶電粒子速度變化導致半徑變化。如帶電粒子穿過極板速度變化；帶電粒子使空氣電離導致速度變化；回旋加速器加速帶電粒子等。②磁場變化導致半徑變化。如通電導線周圍磁場,不同區(qū)域的勻強磁場不同；磁場隨時間變化。③動量變化導致半徑變化。如粒子裂變,或者與別的粒子碰撞；④電量變化導致半徑變化。如吸收電荷等?？傊?由看m、v、q、B中某個量或某兩個量的乘積或比值的變化就會導致帶電粒子的軌道半徑變化。

〔06年全國2如圖所示,在x＜0與x＞0的區(qū)域中,存在磁感應(yīng)強度大小分別為B1與B2的勻強磁場,磁場方向垂直于紙面向里,且B1＞B2。一個帶負電的粒子從坐標原點O以速度v沿x軸負方向射出,要使該粒子經(jīng)過一段時間后又經(jīng)過O點,B1與B2的比值應(yīng)滿足什么條件？

解析：粒子在整個過程中的速度大小恒為v,交替地在xy平面內(nèi)B1與B2磁場區(qū)域中做勻速圓周運動,軌跡都是半個圓周。設(shè)粒子的質(zhì)量和電荷量的大小分別為m和q,圓周運動的半徑分別為和r2,有

r1＝①

r2＝②

分析粒子運動的軌跡。如圖所示,在xy平面內(nèi),粒子先沿半徑為r1的半圓C1運動至y軸上離O點距離為2r1的A點,接著沿半徑為2r2的半圓D1運動至y軸的O1點,O1O距離

d＝2〔r2－r1③

此后,粒子每經(jīng)歷一次"回旋"〔即從y軸出發(fā)沿半徑r1的半圓和半徑為r2的半圓回到原點下方y(tǒng)軸,粒子y坐標就減小d。

設(shè)粒子經(jīng)過n次回旋后與y軸交于On點。若OOn即nd滿足

nd＝2r1

④

則粒子再經(jīng)過半圓Cn+1就能夠經(jīng)過原點,式中n＝1,2,3,……為回旋次數(shù)。

由③④式解得⑤

由①②⑤式可得B1、B2應(yīng)滿足的條件

n＝1,2,3,……⑥

三、帶電粒子在磁場中運動的臨界問題和帶電粒子在多磁場中運動問題

帶電粒子在磁場中運動的臨界問題的原因有：粒子運動范圍的空間臨界問題；磁場所占據(jù)范圍的空間臨界問題,運動電荷相遇的時空臨界問題等。審題時應(yīng)注意恰好,最大、最多、至少等關(guān)鍵字

〔07全國1兩平面熒光屏互相垂直放置,在兩屏內(nèi)分別取垂直于兩屏交線的直線為x軸和y軸,交點O為原點,如圖所示。在y>0,0<x<a的區(qū)域有垂直于紙面向里的勻強磁場,在y>0,x>a的區(qū)域有垂直于紙面向外的勻強磁場,兩區(qū)域內(nèi)的磁感應(yīng)強度大小均為B。在O點處有一小孔,一束質(zhì)量為m、帶電量為q〔q>0的粒子沿x軸經(jīng)小孔射入磁場,最后打在豎直和水平熒光屏上,使熒光屏發(fā)亮。入射粒子的速度可取從零到某一最大值之間的各種數(shù)值．已知速度最大的粒子在0<x<a的區(qū)域中運動的時間與在x>a的區(qū)域中運動的時間之比為2：5,在磁場中運動的總時間為7T/12,其中T為該粒子在磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場中作圓周運動的周期。試求兩個熒光屏上亮線的范圍〔不計重力的影響。

解析：粒子在磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場中運動半徑為：

①

速度小的粒子將在x<a的區(qū)域走完半圓,射到豎直屏上。半圓的直徑在y軸上,半徑的范圍從0到a,屏上發(fā)亮的范圍從0到2a。

軌道半徑大于a的粒子開始進入右側(cè)磁場,考慮r=a的極限情況,這種粒子在右側(cè)的圓軌跡與x軸在D點相切〔虛線,OD=2a,這是水平屏上發(fā)亮范圍的左邊界。

速度最大的粒子的軌跡如圖中實線所示,它由兩段圓弧組成,圓心分別為C和,C在y軸上,有對稱性可知在x=2a直線上。

設(shè)t1為粒子在0<x<a的區(qū)域中運動的時間,t2為在x>a的區(qū)域中運動的時間,由題意可知

由此解得：

②

③

由②③式和對稱性可得

⑤

⑥

所以

⑦

即弧長AP為1/4圓周。因此,圓心在x軸上。

設(shè)速度為最大值粒子的軌道半徑為R,有直角可得

⑧

由圖可知OP=2a+R,因此水平熒光屏發(fā)亮范圍的右邊界的坐標

⑨

四、帶電粒子在有界磁場中的極值問題

尋找產(chǎn)生極值的條件：①直徑是圓的最大弦；②同一圓中大弦對應(yīng)大的圓心角；③由軌跡確定半徑的極值。

有一粒子源置于一平面直角坐標原點O處,如圖所示相同的速率v0向第一象限平面內(nèi)的不同方向發(fā)射電子,已知電子質(zhì)量為m,電量為e。欲使這些電子穿過垂直于紙面、磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場后,都能平行于x軸沿+x方向運動,求該磁場方向和磁場區(qū)域的最小面積s。

解析：由于電子在磁場中作勻速圓周運動的半徑R＝mv0/Be是確定的,設(shè)磁場區(qū)域足夠大,作出電子可能的運動軌道如圖所示,因為電子只能向第一象限平面內(nèi)發(fā)射,所以電子運動的最上面一條軌跡必為圓O1,它就是磁場的上邊界。其它各圓軌跡的圓心所連成的線必為以點O為圓心,以R為半徑的圓弧O1O2On。由于要求所有電子均平行于x軸向右飛出磁場,故由幾何知識有電子的飛出點必為每條可能軌跡的最高點。如對圖中任一軌跡圓O2而言,要使電子能平行于x軸向右飛出磁場,過O2作弦的垂線O2A,則電子必將從點A飛出,相當于將此軌跡的圓心O2沿y方向平移了半徑R即為此電子的出場位置。由此可見我們將軌跡的圓心組成的圓弧O1O2On沿y方向向上平移了半徑R后所在的位置即為磁場的下邊界,圖中圓弧OAP示。綜上所述,要求的磁場的最小區(qū)域為弧OAP與弧OBP所圍。利用正方形OO1PC的面積減去扇形OO1P的面積即為OBPC的面積；即R2-πR2/4。根據(jù)幾何關(guān)系有最小磁場區(qū)域的面積為S＝2〔R2-πR2/4＝〔π/2-1〔mv0/Be2。

五、帶電粒子在復合場中運動問題

復合場包括：磁場和電場,磁場和重力場,或重力場、電場和磁場。有帶電粒子的平衡問題,勻變速運動問題,非勻變速運動問題,在解題過程中始終抓住洛倫茲力不做功這一特點。粒子動能的變化是電場力或重力做功的結(jié)果。

〔07XX如圖所示,在坐標系Oxy的第一象限中存在沿y軸正方形的勻強電場,場強大小為E。在其它象限中存在勻強磁場,磁場方向垂直于紙面向里。A是y軸上的一點,它到座標原點O的距離為h；C是x軸上的一點,到O點的距離為l,一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶負電的粒子以某一初速度沿x軸方向從A點進入電場區(qū)域,繼而通過C點進入大磁場區(qū)域,并再次通過A點。此時速度方向與y軸正方向成銳角。不計重力作用。試求：

〔1粒子經(jīng)過C點時速度的大小合方向；

〔2磁感應(yīng)強度的大小B。

解析：〔1以a表示粒子在電場作用下的加速度,有

①

加速度沿y軸負方向。設(shè)粒子從A點進入電場時的初速度為v0,由A點運動到C點經(jīng)歷的時間為t,則有

②

③

由②③式得

④

設(shè)粒子從點進入磁場時的速度為v,v垂直于x軸的分量

v1＝

⑤

由①④⑤式得

v1＝＝

⑥

設(shè)粒子經(jīng)過C點時的速度方向與x軸的夾角為α,則有

tanα＝

⑦

由④⑤⑦式得

⑧

〔2粒子經(jīng)過C點進入磁場后在磁場中作速率為v的圓周運動。若圓周的半徑為R,則有

⑨

設(shè)圓心為P,則PC必與過C點的速度垂且有＝＝R。用β表示與y軸的夾角,由幾何關(guān)系得

⑩

⑾

由⑧⑩⑾式解得

R＝

⑿

由⑥⑨⑿式得

B＝

⒀

六、帶電粒子在磁場中的周期性和多解問題

多解形成原因：帶電粒子的電性不確定形成多解；磁場方向不確定形成多解；臨界狀態(tài)的不唯一形成多解,在有界磁場中運動時表現(xiàn)出來多解,運動的重復性形成多解,在半徑為r的圓筒中有沿筒軸線方向的勻強磁場,磁感應(yīng)強度為B；一質(zhì)量為m帶電+q的粒子以速度V從筒壁A處沿半徑方向垂直于磁場射入筒中；若它在筒中只受洛倫茲力作用且與筒壁發(fā)生彈性碰撞,欲使粒子與筒壁連續(xù)相碰撞并繞筒壁一周后仍從A處射出；則B必須滿足什么條件？

帶電粒子在磁場中的運動時間分析：由于粒子從A處沿半徑射入磁場后必作勻速圓周運動,要使粒子又從A處沿半徑方向射向磁場,且粒子與筒壁的碰撞次數(shù)未知,故設(shè)粒子與筒壁的碰撞次數(shù)為n〔不含返回A處并從A處射出的一次,由圖可知其中n為大于或等于2的整數(shù)〔當n＝1時即粒子必沿圓O的直徑作直線運動,表示此時B＝0；由圖知粒子圓周運動的半徑R,再由粒子在磁場中的運動半徑可求出。

粒子在磁場中的運動周期為,粒子每碰撞一次在磁場中轉(zhuǎn)過的角度由圖得,粒子從A射入磁場再從A沿半徑射出磁場的過程中將經(jīng)過n+1段圓弧,故粒子運動的總時間為：,將前面B代入T后與共同代入前式得。

練習

1．一質(zhì)量為m,電量為q的負電荷在磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場中繞固定的正電荷沿固定的光滑軌道做勻速圓周運動,若磁場方向垂直于它運動的平面,且作用在負電荷的電場力恰好是磁場力的三倍,則負電荷做圓周運動的角速度可能是〔

A．B．C．D．

2．〔07XX在半徑為R的半圓形區(qū)域中有一勻強磁磁場的方向垂直于紙面,磁感應(yīng)強度為B。一質(zhì)量為m,帶有電量q的粒子以一定的速度沿垂直于半圓直徑AD方向經(jīng)P點〔AP＝d射入磁場〔不計重力影響。

⑴如果粒子恰好從A點射出磁場,求入射粒子的速度。

⑵如果粒子經(jīng)紙面內(nèi)Q點從磁場中射出,出射方向與半圓在Q點切線方向的夾角為φ〔如圖。求入射粒子的速度。

3．〔新題如圖以ab為邊界的二勻強磁場的磁感應(yīng)強度為B1＝2B2,現(xiàn)有一質(zhì)量為m帶電+q的粒子從O點以初速度V0沿垂直于ab方向發(fā)射；在圖中作出粒子運動軌跡,并求出粒子第6次穿過直線ab所經(jīng)歷的時間、路程及離開點O的距離。〔粒子