一元二次不等式及其解法二

一元二次不等式及其解法(二)［學(xué)習(xí)目標(biāo)］1.會解可化為一元二次不等式(組)的簡單分式不等式.2.能夠從實(shí)際生活和生產(chǎn)中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解決.3.掌握與一元二次不等式有關(guān)的恒成立問題的解法.聲知識梳理自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)一分式不等式的解法主導(dǎo)思想：化分式不等式為整式不等式類型同解不等式嚕>0(<0)g(x)《/去I：fx)>0(<0)一或《〔g(x)>0/去II：a).g(x)>0(<。)fx)<0(>0)、g(x)<0嚕三0(W0)g(x)《《/去I：fx)N0(W0)或《〔g(x)>0/去II：fx).g(x)N0(W0)、g(x)W0fx)W0(三0)g(x)<0嚕>ag(x)a*1aJ先移項(xiàng)轉(zhuǎn)化為上述兩種形式知識點(diǎn)二簡單的一元高次不等式的解法一元高次不等式f(x)>0常用數(shù)軸穿根法(或稱根軸法、區(qū)間法)求解，其步驟是：⑴將f(x)最高次項(xiàng)的系數(shù)化為正數(shù)；(2)將f(x)分解為若干個(gè)一次因式或二次不可分解因式的積；⑶將每一個(gè)根標(biāo)在數(shù)軸上，從右上方依次通過每一點(diǎn)畫曲線(注意重根情況，偶重根穿而不過，奇重根既穿又過)；(4)根據(jù)曲線顯現(xiàn)出的f(x)值的符號變化規(guī)律，寫出不等式的解集.思考(x—1)(x—2)(x—3)2x—4)>0的解集為.

答案{%11V%<2或x>4}解析利用數(shù)軸穿根法知識點(diǎn)三一元二次不等式恒成立問題知識點(diǎn)三一元二次不等式恒成立問題對一元二次不等式恒成立問題，可有以下2種思路:(1)轉(zhuǎn)化為一元二次不等式解集為R的情況，即對一元二次不等式恒成立問題，可有以下2種思路:(1)轉(zhuǎn)化為一元二次不等式解集為R的情況，即ax2+bx+c>0(aW0)恒成立ofa>0,一 fa<0,ax2+bx+c<0(aW0)恒成立。</<0(2)分離參數(shù)，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值問題，即：k三f(x)恒成立ok三f(x)max；kWf(x)恒成營題型探究重點(diǎn)突破題型一分式不等式的解法例1解下列不等式：x+4 x+1(1)Z一<0;(2)一；W2.3一x x一2解(1)由x+解(1)由x+43—x<0,得x+4

x—3〉0此不等式等價(jià)于(x+4)(x—3)〉0,???原不等式的解集為{xIx<—4或x>3}.x+1(2)方法一移項(xiàng)得 ~—2W0,x—2—x+5 x—5左邊通分并化簡有不W0,即三三0,同解不等式為f同解不等式為f(x—2)(x—5)三0

x—2W0,???原不等式的解集為{xIx<2或x三5}.x5方法二原不等式可化為三三0，此不等式等價(jià)于1此不等式等價(jià)于1x一5三0,x—2〉0解①得x三5,解②得x<2,???原不等式的解集為{xIx<2或x三5}.跟蹤訓(xùn)練1不等式工不1<2的解集為()A.{xIxW—2} B.RC.0 D.{xIx<—2或x>2}答案A解析,「x2+x+1=Q+J2+4>0，；.原不等式Qx2—2x—2<2x2+2x+2。x2+4x+4>0。(x+2)2>0,???xW—2.??.不等式的解集為{xIxW—2}.題型二解一元高次不等式例2解下列不等式：(1)X4—2X3—3X2<0；(2)1+X—X3—X4>0；(3)(6X2—17X+12)(2X2—5x+2)>0.解(1)原不等式可化為X2(X—3)(X+1)<0,當(dāng)XW0時(shí)，X2>0,由(X—3)(X+1)<0,得一1<X<3；當(dāng)x=0時(shí)，原不等式為0<0,無解.，原不等式的解集為{xI—1<x<3,且xW0}.(2)原不等式可化為(x+1)(x—1)(x2+x+1)<0,而對于任意x￡R,恒有x2+x+1>0,??原不等式等價(jià)于(x+1)(x—1)<0,??原不等式的解集為{xI—1<X<1}.(3)原不等式可化為(2x—3)(3x—4)(2x—1)(x—2)>0,進(jìn)一步化為Q—D(x—gq—2)(X—2)〉0,如圖所示，得原不等式的解集為1上4 3上〕XIX<2或3<X<2或X>2>跟蹤訓(xùn)練2若不等式％2+px+q<0的解集是{x11Vx<2},則不等式曰電>。的解集是X4—5X—6()(1,2)(—8,—i)u(6,+8)C(—1,1)U(2,6)D.(—8,—1)U(1,2)U(6,+8)答案D解析由題意知x2+px+q=(x—1)(x—2),則待解不等式等價(jià)于(x—1)(x—2)(x2—5x—6)>0=(x—1)(x—2)(x—6)(x+1)>0=x<—1或1<x<2或x>6.題型三不等式恒成立問題例3對任意的xGR，函數(shù)f(x)=x2+(q—4)x+(5—2a)的值恒大于0,則a的取值范圍為答案一2<a<2解析由題意知，f(x)開口向上，故要使f(x)>0恒成立，只需2<0即可，即(a—4)2—4(5—2a)<0,解得一2<a<2.跟蹤訓(xùn)練3對任意a￡[—1,1],函數(shù)f(x)=x2+(a—4)x+4—2a的值恒大于零，則x的取值范圍是( )A.1<x<3 B.x<1或x>31<x<2 D.x<1或x>2答案B解析f(x)>0,/.x2+(a—4)x+4—2a>0,即(x—2)a+(x2+4—4x)>0,設(shè)g(a)=(x—2)a+(x2—4x+4)fg(1)>0,由題意知，[八即[g(T)>0，x—2+x2—4x+4=x2—3x+2>0,《—x+2+x2+4-4x=x2—5x+6>0,；.x<1或x>3.題型四一元二次不等式在生活中的應(yīng)用例4某人計(jì)劃收購某種農(nóng)產(chǎn)品，如果按每噸200元收購某農(nóng)產(chǎn)品，并按每100元納稅10元(又稱征稅率為10個(gè)百分點(diǎn))，計(jì)劃可收購4萬噸，政府為了鼓勵個(gè)體多收購這種農(nóng)產(chǎn)品，決定將征稅率降低％(%W0)個(gè)百分點(diǎn)，預(yù)測收購量可增加2%個(gè)百分點(diǎn).⑴寫出稅收y(萬元)與％的函數(shù)關(guān)系式；(2)要使此項(xiàng)稅收在征稅率調(diào)節(jié)后，不少于原計(jì)劃稅收的83.2%,試確定％的取值范圍.解(1)降低后的征稅率為(10—%)%,農(nóng)產(chǎn)品的收購量為a(1+2%%)萬噸，收購總金額為200a(1+2%%).依題意得，y=200a(1+2%%)(10—%)%=50a(100+2%)(10—%)(0<%<10).(2)原計(jì)劃稅收為200a-10%=20a(萬元).依題意得，50a(100+2%)(10—%)三20aX83.2%,化簡得%2+40%—84W0,??一42W%W2.又?.?0<%<10,??0<%W2.??%的取值范圍是{%10<%W2}.跟蹤訓(xùn)練4在一個(gè)限速40km/h以內(nèi)的彎道上，甲，乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對，同時(shí)剎車，但還是相碰了.事發(fā)后現(xiàn)場測得甲車的剎車距離略超過12m,乙車的剎車距離略超過10m.又知甲、乙兩種車型的剎車距離Sm與車速xkm/h之間分別有如下關(guān)系：S田甲=0.1%+0.01%2,S=0.05%+0.005%2.乙問超速行駛誰應(yīng)負(fù)主要責(zé)任.解由題意列出不等式S=0.1%+0.01%2>12,甲S=0.05%+0.005%2>10.乙分別求解，得%<—40或%>30.%<—50或%>40.由于%>0,從而得%甲>30km/h,x乙>4。km/h.經(jīng)比較知乙車超過限速，應(yīng)負(fù)主要責(zé)任.

匕當(dāng)堂檢測自查自糾1.若集合A={%I-K2%+1W3},B={%I W0},則AnB等于( )%A.A.{%—1W%<0}C.{%I0W%<2}2.若集合A={%Ia%2—a%+1<0}={aI0<a<4}C.{aI0<aW4}{%I0<%W1}D.{%I0W%W1}則實(shí)數(shù)a的值的集合是()B.{aI0Wa<4}D.{aI0WaW4}3.不等式(3.不等式(%+1)(%+2)2(%+3)

%+4>0的解集為.設(shè)%2—2%+a—8W0對于任意%￡(1,3)恒成立，求a的取值范圍..某文具店購進(jìn)一批新型臺燈，若按每盞臺燈15元的價(jià)格銷售，每天能賣出30盞；若售價(jià)每提高1元，日銷售量將減少2盞.為了使這批臺燈每天能獲得400元以上的銷售收入，應(yīng)怎樣制定這批臺燈的銷售價(jià)格？

廣課時(shí)精練一、選擇題1+%1.不等式產(chǎn)三0的解集為（）1—1.A.{%|-1<%W1}B.C.{%1一1W%W1}D.{%A.{%|-1<%W1}B.C.{%1一1W%W1}D.{%|—1<%<1}不等式(%—2)2(%—3)%+1<0的解集為（A.{%I—1<%<2或2<%<3}B.{%I1<%<3}C.{%I2<%<3}D.{%I—1<%<2}不等式組%—1>a2,%—4<2a有解則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.(—1,3)B.(—8,—1)U(3,+8)C.(—3,1)D.(—8,—3)U(1,+8)4.A.B4.A.B.—1C.—3D.3若關(guān)于%的不等式%2—4%—m三0對任意%￡（0,11恒成立，則m的最大值為（）5.A.—1<5.A.—1<a<1B.0<a<2C.1 3—2<a<23 1D.—2<a<2在R上定義運(yùn)算。：A。B=A（1—B），若不等式（%—a）0（%+a）<1對任意的實(shí)數(shù)%GR恒成立.則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）6.A.8,—1)6.A.8,—1)B.(—1,0)C.(0,1)D.(1,+8)下列選項(xiàng)中，使不等式%<；<%2成立的%的取值范圍是（%a%+b.若關(guān)于%的不等式a%—b>0的解集為（1,+8）,則關(guān)于%的不等式a%+>0的解集為（）%—2A.(—8,—A.(—8,—2)U(1,+8)B.(1,2)C.(—8,—1)U(2,+8)D.(—1,2)二、填空題%22%3.不等式丁1w。的解集為.當(dāng)%￡（1,2）時(shí)，不等式%2+m%+4<0恒成立，則m的取值范圍是%a.若關(guān)于%的不等式--T>0的解集為（一8,—1）U（4,+8）,則實(shí)數(shù)a=%+1三、解答題4x+m11.關(guān)于x的不等式耳不+3<2對任意實(shí)數(shù)x恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍?(a(a+1)x—3⑵已知關(guān)于x的不等式七千<1.⑴當(dāng)a=1時(shí)，解該不等式;(2)當(dāng)a>0時(shí)，解該不等式.13.某工廠生產(chǎn)商品M,若每件定價(jià)80元，則每年可銷售80萬件，稅務(wù)部門對市場銷售的商品要征收附加稅.為了既增加國家收入，又有利于市場活躍，必須合理確定征收的稅率.據(jù)市場調(diào)查，若政府對商品M征收的稅率為P%(即每百元征收P元)時(shí)，每年的銷售量減少10P萬件，據(jù)此，問：⑴若稅務(wù)部門對商品M每年所收稅金不少于96萬元，求P的范圍；(2)在所收稅金不少于96萬元的前提下，要讓廠家獲得最大的銷售金額，應(yīng)如何確定P值；⑶若僅考慮每年稅收金額最高，又應(yīng)如何確定P值.當(dāng)堂檢測答案

.答案B解析?/A={%l-K%W1},B={%10V%W2},???AnB={%l0<%W1}..答案D解析a=0時(shí)符合題意.a>0時(shí)，相應(yīng)二次方程中的§a2-4a?0,得{al0<aW4},綜上，得{aI0WaW4},故選D..答案{%I—4<%<—3或%>—1}解析原式可轉(zhuǎn)化為(%+1)(%+2)2(%+3)(%+4)>0,根據(jù)數(shù)軸穿根法，解集為一4<%<-3或%>-1..解原不等式%2—2%+a—8W0轉(zhuǎn)化為aW—%2+2%+8對任意%￡(1,3)，怛成立，設(shè)f(%尸一%2+2%+8,易知f(%)在[1,3]上的最小值為f(3)=5.???aW5.5.解設(shè)每盞臺燈售價(jià)%元，則%三15,并且日銷售收入為%[30-2(x-15)],由題意知，當(dāng)%三15時(shí)，有%[30-2(x-15)]>400,解得：15W%<20.所以為了使這批臺燈每天獲得400元以上的銷售收入，應(yīng)當(dāng)制定這批臺燈的銷售價(jià)格為%￡[15,20).課時(shí)精練答案一、選擇題.答案B解析原不等式解析原不等式。1%+1)(%-1戶0%TW0,A-K%<1..答案A解析原不等式解析原不等式。(%+1)(%-3)<0%-2W0,???一1<%<3且%W2..答案A解析由題意得，a2+1<%<4+2a./.只須4+2a>a2+1即a2-2a-3<0,.\-1<a<3..答案C

解析%2—4%—m在％￡[0,1時(shí)，最小值為1—4—m,:、0—3—m三0,/.mW—3..答案C解析,.,(%—a)0(%+a)=(%—a)(1—%—a),.,.不等式(%—a)0(%+a)<1,即(%—a)(1—%—a)<1對任意實(shí)數(shù)%恒成立，即%2—%—a2+a+1>0對任意實(shí)數(shù)%恒成立，所以A=1—4(—a2+a+1)<0,13解得一2<a<2，故選C..答案A解析方法一取%=—2,知符合%<;<%2,即一2是此不等式的解集中的一個(gè)元素，所以%可排除選項(xiàng)B、C、D.方法二由題知，不等式等價(jià)于(1一%)(；—%2)<0,即(%2一12%3T)<0,%% %(%—1)2(%+1)(%2+%+1)從而 一2 <0,解得%<—1,選A.%2.答案C解析%=1為a%—b=0的根，；.a—b=0,即a=b,?「a%—b>0的解集為(1,+8),???a>0,,,a%+ba(%+1)故-r=-^-?>0，%—2 %—2轉(zhuǎn)化為(%+1)(%—2)>0.；.%>2或%<—1.二、填空題.答案{%I%W—1或3W%<5}解析原不等式化為解析原不等式化為1%—5)(%—3)(%+1)W0%—5W0,由數(shù)軸穿根法得%W—1或3W%<5..答案(一8,—5]解析設(shè)f(%)=%2+m%+4,要使%￡(1,2)時(shí)，不等式%2+m%+4<0恒成立.則有四戶0,則有四戶0,《[f：2戶0,f1+m+4W0,即14+2m+4W0,解得mW—5..答案4解析,「(%—a)(%+1)>0與X~7~^>0同解，x十1???(x—a)(x+1)>0的解集為(一8,—i)u(4,+8),/.4,—1是(x—a)(x+1)=0的根，??a=4.三、解答題