《等比數(shù)列》同步練習(xí) 省賽一等獎(jiǎng)

《等比數(shù)列》同步練習(xí)時(shí)間：45分鐘分值：75分一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1．(2022·江西卷)等比數(shù)列x,3x＋3,6x＋6，…的第四項(xiàng)等于()A．－24 B．0C．12 D．24解析由等比中項(xiàng)公式(3x＋3)2＝x(6x＋6)，得x2＋4x＋3＝0.∴x＝－1(舍去)，x＝－3.∴數(shù)列為－3，－6，－12，－24.故選A.等比中項(xiàng)公式比定義法更直接．注意x＝－1不滿足等比數(shù)列的條件．答案A2．(2022·全國大綱卷)已知數(shù)列{an}滿足3an＋1＋an＝0，a2＝－eq\f(4,3)，則{an}的前10項(xiàng)和等于()A．－6(1－3－10) \f(1,9)(1－310)C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10)解析由題意3an＋1＋an＝0，得3a2＋a1＝0.又a2＝－eq\f(4,3)，故a1＝4；an＋1＝－eq\f(1,3)an，故{an}為以－eq\f(1,3)為公比，以4為首項(xiàng)的等比數(shù)列，所以S10＝eq\f(4[1－－\f(1,3)10],1＋\f(1,3))＝3[1－(eq\f(1,3))10]，所以選C.答案C3．若Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，8a2＋a5＝0，則eq\f(S5,S2)＝()A．11 B．5C．－8 D．－11解析由8a2＋a5＝0，得8a1q＋a1q得q＝－2，則eq\f(S5,S2)＝eq\f(a11＋25,a11－22)＝－11.答案D4．在等比數(shù)列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3A．9 B．10C．11 D．12解析在等比數(shù)列{an}中，∵a1＝1，∴am＝a1a2a3a4a5＝aeq\o\al(5,1)q10又∵am＝qm－1，∴m－1＝10，∴m＝11.答案C5．設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和．若a2a4＝1，S3＝7，則S5\f(15,2) \f(31,4)\f(33,4) \f(17,2)解析∵{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且a2a4∴設(shè){an}的公比為q，則q＞0，且aeq\o\al(2,3)＝1，即a3＝1.∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝eq\f(1,q2)＋eq\f(1,q)＋1＝7，即6q2－q－1＝0.故q＝eq\f(1,2)，或q＝－eq\f(1,3)(舍去)，a1＝eq\f(1,q2)＝4.故S5＝eq\f(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,25))),1－\f(1,2))＝8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,25)))＝eq\f(31,4).答案B6．(2022·福建卷)已知等比數(shù)列{an}的公比為q，記bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋am(n－1)＋m，cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m(m，n∈N*)，則以下結(jié)論一定正確的是()A．?dāng)?shù)列{bn}為等差數(shù)列，公差為qmB．?dāng)?shù)列{bn}為等比數(shù)列，公比為q2C．?dāng)?shù)列{cn}為等比數(shù)列，公比為qm2D．?dāng)?shù)列{cn}為等比數(shù)列，公比為qmm解析本題考查等差、等比數(shù)列的證明．eq\f(cn＋1,cn)＝eq\f(amn＋1·amn＋2·…·amn＋m,amn－1＋1·amn－1＋2·…·amn－1＋m)＝qm·qm·…·qeq\o(m,\s\do4(m個(gè)))＝qm2.答案C二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)7．(2022·廣東卷)設(shè)數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為－2的等比數(shù)列，則a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝________.解析∵a1＝1，q＝－2，∴|a2|＝2，a3＝4，|a4|＝8.∴a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝15.答案158．(2022·遼寧卷)已知等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，Sn是{an}的前n項(xiàng)和，若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的兩個(gè)根，則S6＝________.解析∵x2－5x＋4＝0的根為1和4，所以a1＝1，a3＝4，q＝2，∴S6＝eq\f(1×1－26,1－2)＝26－1＝63.答案639．(2022·徐州市檢測)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a4，a3，a5成等差數(shù)列，且Sk＝33，Sk＋1＝－63，其中k∈N*，則Sk＋2的值為________．解析設(shè)公比為q,2a3＝a4＋a5，2a3＝a3q＋a3q2，又a∴2＝q＋q2，q＝1或q＝－2.當(dāng)q＝1時(shí)，Sk＝k·a1＝33，Sk＋1＝(k＋1)a1＝－63Sk＝33說明a1>0，Sk＋1＝－63說明a1<0，矛盾，∴q＝－＋1－Sk＝ak＋1＝－96，Sk＋2＝Sk＋1＋ak＋2＝－63＋(－96)·(－2)＝129.答案129三、解答題(本大題共3小題，每小題10分，共30分)10．(2022·四川卷)在等比數(shù)列{an}中，a2－a1＝2，且2a2為3a1和a3的等差中項(xiàng)，求數(shù)列{an}的首項(xiàng)、公比及前解a1q－a1＝2，得a1(q－1)＝2.由4a1q＝3a1＋a1q2得q2－4q＋3＝0，解得q＝3或由于a1(q－1)＝2，因此q＝1不合題意，應(yīng)舍去．故公比q＝3，首項(xiàng)a1＝1.∴數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(3n－1,2).11．(2022·陜西卷)設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列．(Ⅰ)推導(dǎo){an}的前n項(xiàng)和公式；(Ⅱ)設(shè)q≠1，證明數(shù)列{an＋1}不是等比數(shù)列．解(Ⅰ)設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，∴Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)，∴Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)，q≠1.))(Ⅱ)假設(shè){an＋1}是等比數(shù)列，則對任意的k∈N*，(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，aeq\o\al(2,k＋1)＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，aeq\o\al(2,1)q2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，∴q＝1，這與已知矛盾．∴假設(shè)不成立，故{an＋1}不是等比數(shù)列．12．(2022·天津卷)已知首項(xiàng)為eq\f(3,2)的等比數(shù)列{an}不是遞減數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差數(shù)列．(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)設(shè)Tn＝Sn－eq\f(1,Sn)(n∈N*)，求數(shù)列{Tn}的最大項(xiàng)的值與最小項(xiàng)的值．解(Ⅰ)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)镾3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差數(shù)列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，于是q2＝eq\f(a5,a3)＝eq\f(1,4).又{an}不是遞減數(shù)列且a1＝eq\f(3,2)，所以q＝－eq\f(1,2).故等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(3,2)×(－eq\f(1,2))n－1＝(－1)n－1·eq\f(3,2n).(Ⅱ)由(Ⅰ)得Sn＝1－(－eq\f(1,2))n＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2n)，n為奇數(shù)，,1－\f(1,2n)，n為偶數(shù).))當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn隨n的增大而減小，所以1<Sn≤S1＝eq\f(3,2)，故0<Sn－eq\f(1,Sn)≤S1－eq\f(1,S1)＝eq\f(3,2)－eq\f(2,3)＝eq\f(5,6).當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn隨n的增大而增大，所以eq\f(3