2022屆上海市嘉定區(qū)嘉定二中高三第二次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若向量，，則與共線的向量可以是（）A． B． C． D．2．不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)?，則（）A．， B．，C．， D．，3．函數(shù)的大致圖像為（）A． B．C． D．4．已知函數(shù)的圖像上有且僅有四個(gè)不同的關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)在的圖像上，則的取值范圍是()A． B． C． D．5．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．6．A． B． C． D．7．已知集合，，，則的子集共有（）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)8．已知函數(shù)，則不等式的解集是（）A． B． C． D．9．已知全集，集合，則=（）A． B．C． D．10．已知定義在上函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且，若，則（）A．0 B．1 C．673 D．67411．我國(guó)古代數(shù)學(xué)巨著《九章算術(shù)》中，有如下問(wèn)題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問(wèn)日織幾何？”這個(gè)問(wèn)題用今天的白話(huà)敘述為：有一位善于織布的女子，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問(wèn)這位女子每天分別織布多少？根據(jù)上述問(wèn)題的已知條件，若該女子共織布尺，則這位女子織布的天數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．112．（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則__________．14．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓及點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，在中，若的角平分線與相交于點(diǎn)，則的取值范圍是_______.15．如圖，在平面四邊形中，點(diǎn)，是橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，，記和的面積分別為，，則______.16．在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，x的系數(shù)為_(kāi)_______．（用數(shù)值作答）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）第十三屆全國(guó)人大常委會(huì)第十一次會(huì)議審議的《固體廢物污染環(huán)境防治法（修訂草案）》中，提出推行生活垃圾分類(lèi)制度，這是生活垃圾分類(lèi)首次被納入國(guó)家立法中．為了解某城市居民的垃圾分類(lèi)意識(shí)與政府相關(guān)法規(guī)宣傳普及的關(guān)系，對(duì)某試點(diǎn)社區(qū)抽取戶(hù)居民進(jìn)行調(diào)查，得到如下的列聯(lián)表．分類(lèi)意識(shí)強(qiáng)分類(lèi)意識(shí)弱合計(jì)試點(diǎn)后試點(diǎn)前合計(jì)已知在抽取的戶(hù)居民中隨機(jī)抽取戶(hù)，抽到分類(lèi)意識(shí)強(qiáng)的概率為．（1）請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有的把握認(rèn)為居民分類(lèi)意識(shí)的強(qiáng)弱與政府宣傳普及工作有關(guān)？說(shuō)明你的理由；（2）已知在試點(diǎn)前分類(lèi)意識(shí)強(qiáng)的戶(hù)居民中，有戶(hù)自覺(jué)垃圾分類(lèi)在年以上，現(xiàn)在從試點(diǎn)前分類(lèi)意識(shí)強(qiáng)的戶(hù)居民中，隨機(jī)選出戶(hù)進(jìn)行自覺(jué)垃圾分類(lèi)年限的調(diào)查，記選出自覺(jué)垃圾分類(lèi)年限在年以上的戶(hù)數(shù)為，求分布列及數(shù)學(xué)期望．參考公式：，其中．下面的臨界值表僅供參考18．（12分）11月，2019全國(guó)美麗鄉(xiāng)村籃球大賽在中國(guó)農(nóng)村改革的發(fā)源地-安徽鳳陽(yáng)舉辦，其間甲、乙兩人輪流進(jìn)行籃球定點(diǎn)投籃比賽（每人各投一次為一輪），在相同的條件下，每輪甲乙兩人在同一位置，甲先投，每人投一次球，兩人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；兩人都命中或都未命中，兩人均得0分，設(shè)甲每次投球命中的概率為，乙每次投球命中的概率為，且各次投球互不影響.（1）經(jīng)過(guò)1輪投球，記甲的得分為，求的分布列；（2）若經(jīng)過(guò)輪投球，用表示經(jīng)過(guò)第輪投球，累計(jì)得分，甲的得分高于乙的得分的概率.①求；②規(guī)定，經(jīng)過(guò)計(jì)算機(jī)計(jì)算可估計(jì)得，請(qǐng)根據(jù)①中的值分別寫(xiě)出a，c關(guān)于b的表達(dá)式，并由此求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.19．（12分）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為，，且．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線交橢圓于，兩點(diǎn)，設(shè)直線與直線的斜率分別為，，若，試判斷直線是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．20．（12分）已知函數(shù).（1）解關(guān)于的不等式；（2）若函數(shù)的圖象恒在直線的上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍21．（12分）數(shù)列滿(mǎn)足，，其前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)積為.（1）求和數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求的前n項(xiàng)和，并證明：對(duì)任意的正整數(shù)m、k，均有.22．（10分）已知函數(shù).（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．B【解析】

先利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求出向量,然后利用向量平行的條件判斷即可.【詳解】故選B【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量平行的判定,屬于基礎(chǔ)題,在解題中要注意橫坐標(biāo)與橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng),縱坐標(biāo)與縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng),切不可錯(cuò)位.2．D【解析】

根據(jù)題意，分析不等式組的幾何意義，可得其表示的平面區(qū)域，設(shè)，分析的幾何意義，可得的最小值，據(jù)此分析選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，不等式組其表示的平面區(qū)域如圖所示，其中，，

設(shè)，則，的幾何意義為直線在軸上的截距的2倍，

由圖可得：當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最大，即，當(dāng)過(guò)點(diǎn)原點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最小，即，故AB錯(cuò)誤；

設(shè)，則的幾何意義為點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，由圖可得最大可到無(wú)窮大，最小可到無(wú)窮小，故C錯(cuò)誤，D正確；故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查本題考查二元一次不等式的性質(zhì)以及應(yīng)用，關(guān)鍵是對(duì)目標(biāo)函數(shù)幾何意義的認(rèn)識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.3．D【解析】

通過(guò)取特殊值逐項(xiàng)排除即可得到正確結(jié)果.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，排除B和C；當(dāng)時(shí)，，排除A.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查圖象的判斷，取特殊值排除選項(xiàng)是基本手段，屬中檔題.4．D【解析】

根據(jù)對(duì)稱(chēng)關(guān)系可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn)；利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性從而得到的圖象；由直線恒過(guò)定點(diǎn)，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式可確定；利用過(guò)某一點(diǎn)曲線切線斜率的求解方法可求得和，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的直線方程為：原題等價(jià)于與有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn)由可知，直線恒過(guò)點(diǎn)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增由此可得圖象如下圖所示：其中、為過(guò)點(diǎn)的曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為由圖象可知，當(dāng)時(shí)，與有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn)設(shè)，，則，解得：設(shè)，，則，解得：，則本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)直線與曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)確定參數(shù)范圍的問(wèn)題；涉及到過(guò)某一點(diǎn)的曲線切線斜率的求解問(wèn)題；解題關(guān)鍵是能夠通過(guò)對(duì)稱(chēng)性將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題，通過(guò)確定直線恒過(guò)的定點(diǎn)，采用數(shù)形結(jié)合的方式來(lái)進(jìn)行求解.5．B【解析】

利用換元法設(shè)，則等價(jià)為有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，分三種情況進(jìn)行討論，結(jié)合函數(shù)的圖象，求出的取值范圍.【詳解】解：設(shè)，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，由即，解得，結(jié)合圖象可知，此時(shí)當(dāng)時(shí)，得，則是唯一解，滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，此時(shí)當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)最小值為，結(jié)合圖象可知，要使得關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，此時(shí).綜上所述：或.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)方程根的個(gè)數(shù)的應(yīng)用.利用換元法，數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.6．A【解析】

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.【詳解】本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．7．B【解析】

根據(jù)集合中的元素，可得集合，然后根據(jù)交集的概念，可得，最后根據(jù)子集的概念，利用計(jì)算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以集合則所以的子集共有故選：B【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算以及集合子集個(gè)數(shù)的計(jì)算，當(dāng)集合中有元素時(shí)，集合子集的個(gè)數(shù)為，真子集個(gè)數(shù)為，非空子集為，非空真子集為，屬基礎(chǔ)題.8．B【解析】

由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性解不等式即可.【詳解】函數(shù)，可得，時(shí)，，單調(diào)遞增，∵，故不等式的解集等價(jià)于不等式的解集．．∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性解不等式，屬于中檔題.9．D【解析】

先計(jì)算集合，再計(jì)算，最后計(jì)算．【詳解】解：，，．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交，補(bǔ)混合運(yùn)算，注意分清集合間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．10．B【解析】

由題知為奇函數(shù)，且可得函數(shù)的周期為3，分別求出知函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的和是0，利用函數(shù)周期性對(duì)所求式子進(jìn)行化簡(jiǎn)可得.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，故；因?yàn)椋?，可知函?shù)的周期為3；在中，令，故，故函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)值和為0，故.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性與周期性綜合問(wèn)題.其解題思路：函數(shù)的奇偶性與周期性相結(jié)合的問(wèn)題多考查求值問(wèn)題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解．11．B【解析】

將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問(wèn)題，最終變?yōu)榍蠼獾缺葦?shù)列基本量的問(wèn)題.【詳解】根據(jù)實(shí)際問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問(wèn)題，在等比數(shù)列中，公比，前項(xiàng)和為，，，求的值．因?yàn)?，解得，，解得．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，難度較易.熟悉等比數(shù)列中基本量的計(jì)算，對(duì)于解決實(shí)際問(wèn)題很有幫助.12．B【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案．【詳解】．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式將已知兩式作商，可得，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】由，所以，解得.，所以，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及等比中項(xiàng)，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.14．【解析】

由角平分線成比例定理推理可得，進(jìn)而設(shè)點(diǎn)表示向量構(gòu)建方程組表示點(diǎn)P坐標(biāo)，代入圓C方程即可表示動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程，再由將所求視為該圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)間的距離，所以其最值為圓心到原點(diǎn)的距離加減半徑.【詳解】由題可構(gòu)建如圖所示的圖形，因?yàn)锳Q是的角平分線，由角平分線成比例定理可知,所以.設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，即，則，所以.又因?yàn)辄c(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則，故點(diǎn)Q的運(yùn)功軌跡是以為圓心為半徑的圓，又即為該圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)間的距離，因?yàn)椋怨蚀鸢笧椋骸军c(diǎn)睛】本題考查與圓有關(guān)的距離的最值問(wèn)題，常常轉(zhuǎn)化到圓心的距離加減半徑，還考查了求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，屬于中檔題.15．【解析】

依題意易得A、B、C、D四點(diǎn)共圓且圓心在x軸上，然后設(shè)出圓心，由圓的方程與橢圓方程聯(lián)立得到B的橫坐標(biāo)，進(jìn)一步得到D橫坐標(biāo)，再由計(jì)算比值即可.【詳解】因?yàn)?，所以A、B、C、D四點(diǎn)共圓，直徑為，又A、C關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，所以圓心E在x軸上，設(shè)圓心E為，則圓的方程為，聯(lián)立橢圓方程消y得，解得，故B的橫坐標(biāo)為，又B、D中點(diǎn)是E，所以D的橫坐標(biāo)為，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓中的四點(diǎn)共圓及三角形面積之比的問(wèn)題，考查學(xué)生基本計(jì)算能力及轉(zhuǎn)化與化歸思想，本題關(guān)鍵是求出B、D橫坐標(biāo)，是一道有區(qū)分度的壓軸填空題.16．-40【解析】

由題意，可先由公式得出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，再令10-3r=1，得r=3即可得出x項(xiàng)的系數(shù)【詳解】的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，r=0，1，2，3，4，5，令，所以的二項(xiàng)展開(kāi)式中x項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：-40.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是靈活掌握二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)的公式，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）有的把握認(rèn)為居民分類(lèi)意識(shí)強(qiáng)與政府宣傳普及工作有很大關(guān)系．見(jiàn)解析（2）分布列見(jiàn)解析，期望為1．【解析】

（1）由在抽取的戶(hù)居民中隨機(jī)抽取戶(hù)，抽到分類(lèi)意識(shí)強(qiáng)的概率為可得列聯(lián)表，然后計(jì)算后可得結(jié)論；（2）由已知的取值分別為，分別計(jì)算概率得分布列，由公式計(jì)算出期望．【詳解】解：（1）根據(jù)在抽取的戶(hù)居民中隨機(jī)抽取戶(hù)，到分類(lèi)意識(shí)強(qiáng)的概率為，可得分類(lèi)意識(shí)強(qiáng)的有戶(hù)，故可得列聯(lián)表如下：分類(lèi)意識(shí)強(qiáng)分類(lèi)意識(shí)弱合計(jì)試點(diǎn)后試點(diǎn)前合計(jì)因?yàn)榈挠^測(cè)值，所以有的把握認(rèn)為居民分類(lèi)意識(shí)強(qiáng)與政府宣傳普及工作有很大關(guān)系．（2）現(xiàn)在從試點(diǎn)前分類(lèi)意識(shí)強(qiáng)的戶(hù)居民中，選出戶(hù)進(jìn)行自覺(jué)垃圾分類(lèi)年限的調(diào)查，記選出自覺(jué)垃圾分類(lèi)年限在年以上的戶(hù)數(shù)為，則0，1，2，3，故，，，，則的分布列為．【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力和運(yùn)算求解能力．18．（1）分布列見(jiàn)解析；（2）①；②，.【解析】

（1）經(jīng)過(guò)1輪投球，甲的得分的取值為，記一輪投球，甲投中為事件，乙投中為事件，相互獨(dú)立，計(jì)算概率后可得分布列；（2）由（1）得，由兩輪的得分可計(jì)算出，計(jì)算時(shí)可先計(jì)算出經(jīng)過(guò)2輪后甲的得分的分布列（的取值為），然后結(jié)合的分布列和的分布可計(jì)算，由，代入，得兩個(gè)方程，解得，從而得到數(shù)列的遞推式，變形后得是等比數(shù)列，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式得，然后用累加法可求得．【詳解】（1）記一輪投球，甲命中為事件，乙命中為事件，相互獨(dú)立，由題意，，甲的得分的取值為，，，，∴的分布列為：－101（2）由（1），，同理，經(jīng)過(guò)2輪投球，甲的得分取值：記，，，則，，，，由此得甲的得分的分布列為：－2－1012∴，∵，，∴，，∴，代入得：，∴，∴數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)變量的概率分布列，考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，考查由數(shù)列的遞推式求通項(xiàng)公式，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想，本題難點(diǎn)在于求概率分布列，特別是經(jīng)過(guò)2輪投球后甲的得分的概率分布列，這里可用列舉法寫(xiě)出各種可能，然后由獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算出概率．19．（1）（2）直線過(guò)定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為．【解析】

（1）因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，所以①，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，因?yàn)?，所以，又，所以②，將①②?lián)立解得（負(fù)值舍去），所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由（1）可知，設(shè)，．將代入，消去可得，則，，，所以，所以，