多元函數(shù)極值

多元函數(shù)極值第一頁，共二十五頁，2022年，8月28日一、多元函數(shù)的極值1.二元函數(shù)的極值定義1

設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，

如果對于該鄰域內(nèi)異于(x0,y0)的點(diǎn)(x,y)都有(或)，

極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.則稱f(x0,y0)為函數(shù)f(x,y)的極大值(minimalextremum

)(或極小值maximalextremum

).第二頁，共二十五頁，2022年，8月28日

設(shè)函數(shù)z=f(x,y

)在點(diǎn)P0(x0,y0)的偏導(dǎo)數(shù)

極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).稱為極大值點(diǎn)(或極小值點(diǎn))，使函數(shù)取得極大值的點(diǎn)(或極小值的點(diǎn))(x0,y0)，定理1(極值存在的必要條件)且在點(diǎn)P0

處有極值，

則在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必為零，即使得偏導(dǎo)數(shù)為0點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)(stationarypoint).存在，第三頁，共二十五頁，2022年，8月28日例1函數(shù)處有極小值．在例２函數(shù)處有極大值．在處有極大值．在第四頁，共二十五頁，2022年，8月28日例3處無極值．在函數(shù)鞍點(diǎn)saddlepoint

第五頁，共二十五頁，2022年，8月28日設(shè)P0(x0,y0)是函數(shù)z=f

(x,y)的駐點(diǎn)，

且函數(shù)在點(diǎn)P0

的某個(gè)鄰域內(nèi)二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，定理2(極值存在的充分條件)令則，(1)

當(dāng)

<0

且A<0

時(shí),f(x0,y0)是極大值，當(dāng)

<0

且A>0

時(shí)，

f(x0,y0)是極小值；也可能沒有極值.

函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)可能有極值，(3)

當(dāng)

=0

時(shí)，(2)

當(dāng)

>0

時(shí)，不是極值；第六頁，共二十五頁，2022年，8月28日(1)先求偏導(dǎo)數(shù)

(2)解方程組求出駐點(diǎn)；(3)確定駐點(diǎn)處據(jù)此判斷出極值點(diǎn)，并求出極值.若函數(shù)z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，

就可以按照下列步驟求該函數(shù)的極值：

及的符號，的值第七頁，共二十五頁，2022年，8月28日例4.求函數(shù)解:

第一步求駐點(diǎn).得駐點(diǎn):(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判別.在點(diǎn)(1,0)處為極小值;解方程組的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù)第八頁，共二十五頁，2022年，8月28日在點(diǎn)(3,0)處不是極值;在點(diǎn)(3,2)處為極大值.在點(diǎn)(1,2)處不是極值;第九頁，共二十五頁，2022年，8月28日2012年考研數(shù)一練習(xí)：求函數(shù)的極值。先求駐點(diǎn)：得駐點(diǎn)x=e,y=0.再確定A、B、C：最后確定取得極值情況：取得極大值.第十頁，共二十五頁，2022年，8月28日練習(xí)：

求函數(shù)的極值.解(1)

求偏導(dǎo)數(shù)(2)

解方程組

得(0,0)及(2,2).第十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日(3)列表判斷極值點(diǎn).駐點(diǎn)(x0,y0)(0,0)(2,2)結(jié)論極大值f(0,0)=1

f(2,2)不是極值A(chǔ)4B22C+駐點(diǎn)（0,0）（2,2）.第十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日二、多元函數(shù)的最大值及最小值例

5

使它到三點(diǎn)P1(0,0)、P2(1,0)、P3(0,1)距離的平方和為最小.解l為P

到P1、P2、P3

三點(diǎn)距離的平方和，即因?yàn)樵趚y坐標(biāo)面上找出一點(diǎn)P，設(shè)P(x,y)為所求之點(diǎn)，第十三頁，共二十五頁，2022年，8月28日對x

，y

求偏導(dǎo)數(shù)，有令即解方程組得駐點(diǎn)所以由問題的實(shí)際意義，

到三點(diǎn)距離平方和最小的點(diǎn)一定存在，l

可微，又只有一個(gè)駐點(diǎn)，

因此即為所求之點(diǎn).第十四頁，共二十五頁，2022年，8月28日練習(xí)：某工廠生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品，出售單價(jià)分別為10元和9元，生產(chǎn)x單位的甲和y單位的乙總成本C(x,y)為

400+2x+3y+0.01(3x2+xy+3y2)求兩種產(chǎn)品應(yīng)該如何安排生產(chǎn)量，以使得總利潤最大？解：設(shè)P(x,y)為表示產(chǎn)品甲與乙分別生產(chǎn)x與y單位時(shí)所得的總利潤．因?yàn)榭偫麧櫟扔诳偸杖霚p去總成本，所以P(x,y)=(10x+9y)-[400+2x+3y+0.01(3x2+xy+3y2)]=8x+6y-0.01(3x2+xy+3y2)-400第十五頁，共二十五頁，2022年，8月28日由Px(x,y)=8－0.01(6x+y)=0

Py(x,y)=6－

0.01(x+6y)=0得駐點(diǎn)（120,80）再由Pxx(x,y)=－

0.06<0,Pxy(x,y)=－

0.01<0

Pyy(x,y)=－

0.06<0得B2－AC=(0.01)2－(－

0.06)2<0

所以當(dāng)x=120,y=80時(shí)，P

(120,80)=320為極大值，也是最大值，即甲乙兩產(chǎn)品分別生產(chǎn)120單位和80單位時(shí)，總利潤最大。第十六頁，共二十五頁，2022年，8月28日練習(xí)：

某廠要用鐵板做成一個(gè)體積為2的有蓋長方體水箱，問長寬高各取怎樣的尺寸時(shí)，才能使用料最省？此水箱的用料面積解：設(shè)水箱的長為x,寬為y,則其高為求偏導(dǎo)數(shù)第十七頁，共二十五頁，2022年，8月28日時(shí)，A取得最小值，根據(jù)題意可知，水箱所用材料的面積的最小值一定存在，并在開區(qū)域D(x>0,y>0)內(nèi)取得。又函數(shù)在D內(nèi)只有唯一的駐點(diǎn)，因此可斷定當(dāng)就是說，當(dāng)水箱的長、寬、高均為時(shí)，水箱所用的材料最省。第十八頁，共二十五頁，2022年，8月28日三、條件極值極值問題無條件極值:條件極值:條件極值的求法:方法1代入法.求一元函數(shù)的無條件極值問題對自變量只有定義域限制對自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如,轉(zhuǎn)化第十九頁，共二十五頁，2022年，8月28日方法2拉格朗日乘數(shù)法.如方法1所述,則問題等價(jià)于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極值問題,極值點(diǎn)必滿足設(shè)記例如,故故有第二十頁，共二十五頁，2022年，8月28日引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F

稱為拉格朗日(Lagrange)函數(shù).利用拉格極值點(diǎn)必滿足則極值點(diǎn)滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.第二十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日可用下面步驟來求：(1)構(gòu)造輔助函數(shù)(2)解聯(lián)立方程組

在實(shí)際問題中，往往就是所求的極值點(diǎn).即得可能的極值點(diǎn)(x,y)，第二十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日例6

將正數(shù)12分成三個(gè)正數(shù)zyx,,之和

使得zyxu23=為最大.解解得唯一駐點(diǎn))2,4,6(，則故最大值為第二十三頁，共二十五頁，2022年，8月28日

哪一個(gè)平面例

9經(jīng)過點(diǎn)(1,1,1)的所有平面中