導(dǎo)數(shù)的幾何意義學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)

學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(二)(建議用時(shí)：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．已知曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線(xiàn)方程為2x－y＋2＝0，則f′(1)＝( )A．4 B．－4 C．－2 D．2【解析】 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知 f′(1)＝2，故選D.【答案】 D2．直線(xiàn)y＝kx＋1與曲線(xiàn)y＝x3＋ax＋b相切于點(diǎn)A(1,3)，則2a＋b的值等于( )A．2 B．－1C．1 D．－213＋a＋b＝3，【解析】 依導(dǎo)數(shù)定義可求得 y′＝3x2＋a，則 3×12＋a＝k， 由此解得k＋1＝3，a＝－1，b＝3，所以2a＋＝，選b1C.k＝2，【答案】C．已知曲線(xiàn)y＝x3在點(diǎn)P處的切線(xiàn)的斜率k＝3，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是()3【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62952008】A．(1,1)B．(－1,1)C．(1,1)或(－1，－1)D．(2,8)或(－2，－8)因?yàn)閥＝x3，所以y′＝limx＋x3－x3x)2]【解析】x＝lim[3x2＋3x·Δx＋(x→0x→0＝3x2.1由題意，知切線(xiàn)斜率 k＝3，令3x2＝3，得x＝1或x＝－1.當(dāng)x＝1時(shí)，y＝1；當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝－1.故點(diǎn)P的坐標(biāo)是(1,1)或(－1，－1)．【答案】C．若曲線(xiàn)f(x)＝x2的一條切線(xiàn)l與直線(xiàn)x＋4y－8＝0垂直，則l的方程為()4A．4x－y－4＝0B．x＋4y－5＝0C．4x－y＋3＝0D．x＋4y＋3＝0【解析】設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，x＋x2－x2(2x＋x)＝2x.∵f′(x)＝limx＝limx→0x→0由題意可知，切線(xiàn)斜率 k＝4，即f′(x0)＝2x0＝4，∴x0＝2，∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4)，∴切線(xiàn)方程為y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0，故選A.【答案】A．曲線(xiàn)＝1在點(diǎn)1，2處的切線(xiàn)的斜率為()5yx2A．2B．－41C．3D．411【解】因?yàn)閥′＝limyx＋x－x－11＝lim＝lim＝－2xxx→0xx→0x→0x2＋x·Δx所以曲線(xiàn)在點(diǎn)1，2處的切線(xiàn)斜率為＝′|＝1＝－4.2kyx2【答案】B二、填空題6．如圖1-1-7所示，函數(shù)y＝f(x)的圖象在點(diǎn)P處的切線(xiàn)方程是y＝－2x＋9，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是4，則f(4)＋f′(4)＝________.2圖1-1-7【解析】 由題意f′(4)＝－2，f(4)＝－2×4＋9＝1所以f(4)＋f′(4)＝－2＋1＝－1.【答案】 －17．曲線(xiàn)y＝x2－2x＋3在點(diǎn)A(－1,6)處的切線(xiàn)方程是________________.【解析】 因?yàn)閥＝x2－2x＋3，切點(diǎn)為點(diǎn)A(－1,6)，所以斜率k＝y(tǒng)′|x＝－1＝lim－1＋x2－2－1＋x＋3－1＋2＋3xx→0＝lim(x－4)＝－4，x→0所以切線(xiàn)方程為 y－6＝－4(x＋1)，即4x＋y－2＝0.【答案】 4x＋y－2＝08．若曲線(xiàn)y＝x2＋2x在點(diǎn)P處的切線(xiàn)垂直于直線(xiàn) x＋2y＝0，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是__________．【解析】 設(shè)P(x0，y0)，則x0＋22x＋2x0＋x－x0－2x0y′|x＝x＝lim0xx→0lim(2x0＋2＋x)＝2x0＋2.x→0因?yàn)辄c(diǎn)P處的切線(xiàn)垂直于直線(xiàn) x＋2y＝0，所以點(diǎn)P處的切線(xiàn)的斜率為 2，所以2x0＋2＝2，解得x0＝0，即點(diǎn)P的坐標(biāo)是(0,0)．【答案】 (0,0)三、解答題29．已知拋物線(xiàn) y＝f(x)＝x＋3與直線(xiàn)y＝2x＋2相交，求它們交點(diǎn)處拋物線(xiàn)3的切線(xiàn)方程．y＝x2＋3，【解】 由方程組 得x2－2x＋1＝0，y＝2x＋2，解得x＝1，y＝4，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4)，又x＋12＋3－12＋3＝x＋2.x當(dāng)x趨于0時(shí)x＋2趨于2，所以在點(diǎn)(1,4)處的切線(xiàn)斜率k＝2，所以切線(xiàn)方程為 y－4＝2(x－1)，即y＝2x＋2.10．甲、乙二人跑步的路程與時(shí)間關(guān)系以及百米賽跑路程和時(shí)間關(guān)系分別如圖1-1-8①②，試問(wèn)：【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62952009】圖1-1-8(1)甲、乙二人哪一個(gè)跑得快？(2)甲、乙二人百米賽跑，問(wèn)快到終點(diǎn)時(shí)，誰(shuí)跑得較快？【解】 (1)圖①中乙的切線(xiàn)斜率比甲的切線(xiàn)斜率大，故乙跑得快； (2)圖②中在快到終點(diǎn)時(shí)乙的瞬時(shí)速度大，故快到終點(diǎn)時(shí)，乙跑得快．[能力提升]1．已知函數(shù)f(x)的圖象如圖1-1-9所示，f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是( )圖1-1-9A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)B．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)4C．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2)D．0<f(3)－f(2)<f′(3)<f′(2)【解析】 由函數(shù)的圖象，可知函數(shù) f(x)是單調(diào)遞增的，所以函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值都大于零，并且由圖象可知，函數(shù)圖象在 x＝2處的切線(xiàn)斜率k1大于在x＝3處的切線(xiàn)斜率k2，所以f′(2)>f′(3)．記A(2，f(2))，B(3，f(3))，作直線(xiàn)AB，則直線(xiàn)AB的斜率k＝f3－f2＝f(3)－f(2)，由函數(shù)圖象，可知3－2k1>k>k2>0，即f′(2)>f(3)－f(2)>f′(3)>0故.選B.【答案】B．設(shè)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿(mǎn)足limf1－f1－x＝－1，則過(guò)曲線(xiàn)y＝f(x)上點(diǎn)2f(x)2xx→0(1，f(1))處的切線(xiàn)斜率為()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62952010】A．2B．－1C．1D．－2f1－f1－x【解析】∵lim2xx→0＝1f1－x－f1＝－1，lim－x2x→0f1－x－f1′＝－＝－，即x→0－x2f(1)2.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，曲線(xiàn)在點(diǎn) (1，f(1))處的切線(xiàn)斜率 k＝f′(1)＝－2，故選D.【答案】 D3．已知函數(shù) y＝f(x)的圖象如圖 1-1-10所示，則函數(shù) y＝f′(x)的圖象可能是__________(填序號(hào))．5圖1-1-10【解析】 由y＝f(x)的圖象及導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，當(dāng) x<0時(shí)f′(x)>0，當(dāng)x＝0時(shí)f′(x)＝0，當(dāng)x>0時(shí)f′(x)<0，故②符合．【答案】 ②4．試求過(guò)點(diǎn)P(3,5)且與曲線(xiàn)y＝x2相切的直線(xiàn)方程．【解】y′＝limyx＋x2－x2＝limx＝2x.x→0xx→0設(shè)所求切線(xiàn)的切點(diǎn)為 A(x0，y0)．∵點(diǎn)A在曲線(xiàn)y＝x2上，2∴y0＝x0，又∵A是切點(diǎn)，∴過(guò)點(diǎn)A的切線(xiàn)的斜率y′|x＝x0＝2x0，∵所求切線(xiàn)過(guò)P(3,5)和A(x0，y0)兩點(diǎn)，y0－5 x20－5∴其斜率為 ＝ .x0－3 x0－3x20－52x0＝，x0－3解得x0