原子的量子理論z

原子的量子理論z第一頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日引言：經(jīng)典物理中要將光看成是電磁波，而光與原子的相互作用中卻要將光看成一顆顆微粒---這兩種圖象很難想像能將它們統(tǒng)一起來。但是量子力學(xué)卻將它們統(tǒng)一了起來，并且大大地?cái)U(kuò)充了人們的眼界，量子力學(xué)的發(fā)展分為兩個(gè)階段。1、舊量子力學(xué)時(shí)代1913年物理學(xué)家玻爾（N·Bohr）根據(jù)盧瑟福（Rutherford）原子模型及氫原子光譜提出了氫原子理論，初步奠定了原子物理基礎(chǔ)。第二頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日2、新量子力學(xué)時(shí)代1924年德布羅意提出了波粒二象性，爾后由德國的薛定諤與海森伯等建立了量子力學(xué)。第三頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日讓我們順著歷史的車輪，來領(lǐng)略一下量子力學(xué)的風(fēng)光，欣賞近代物理學(xué)上的另一朵鮮花吧！量子物理起源于對(duì)原子物理的研究，人們從原子光譜中獲得原子內(nèi)部信息。1927年，量子力學(xué)開始應(yīng)用于固體物理，并導(dǎo)致了半導(dǎo)體、激光、超導(dǎo)研究的發(fā)展，此后由此又導(dǎo)致了半導(dǎo)體集成電路、電子、通信、電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展，使人類進(jìn)入信息時(shí)代…..。第四頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日一.原子光譜的實(shí)驗(yàn)規(guī)律氣體光譜實(shí)驗(yàn)發(fā)光裝置幾種氣體的原子光譜氫氦鈉蒸汽氖按照經(jīng)典電磁理論，電子繞核加速運(yùn)動(dòng)過程中將發(fā)射頻率連續(xù)變化的電磁波，應(yīng)產(chǎn)生連續(xù)光譜，但實(shí)驗(yàn)所得原子光譜是線狀光譜?！?6-3原子模型原子光譜第五頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日原子光譜的頻率是分立的、不連續(xù)的，是線狀分立譜。氫原子光譜的特征HHHH6562.3?4861.3?4340.5?4101.7?第六頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日十九世紀(jì)后半葉，很多科學(xué)家都在尋找譜線的規(guī)律，1885年瑞士中學(xué)教師巴爾末發(fā)現(xiàn)了氫原子光譜在可見光部分的規(guī)律，即二.氫原子光譜的規(guī)律里德伯常量第七頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日十九世紀(jì)后半葉,很多科學(xué)家都在尋找譜線的規(guī)律,1885年巴爾末(瑞士一中學(xué)教師)發(fā)現(xiàn)了氫原子光譜在可見光部分的規(guī)律,即HαHβHγHδ第八頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日后來發(fā)現(xiàn)氫原子的所有光譜線的波長可表示為相同的譜線組成一譜線系正整數(shù)（氫原子光譜規(guī)律）里德伯公式第九頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日1、賴曼系（紫外光部分）2、巴爾末系(可見光部分）氫原子的光譜系第十頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日3、帕邢系（紅外光部分）4、布喇開系（紅外光部分）5、普豐德系（紅外光部分）第十一頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日湯姆孫測定電子荷質(zhì)比的陰極射線管三、原子模型1897年湯姆孫發(fā)現(xiàn)電子1903年，湯姆孫提出的原子模型電子均勻分布的帶正電物質(zhì)電子在球內(nèi)作簡諧振動(dòng)第十二頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日α粒子實(shí)驗(yàn)存在大角散射湯姆孫的原子模型與α粒子散射實(shí)驗(yàn)相矛盾。1911年盧瑟福提出的原子的核模型電子原子核盧瑟福的α粒子散射實(shí)驗(yàn)不僅對(duì)原子物理的發(fā)展起了很大作用，而且這種研究方法對(duì)近代物理一直起著巨大影響，還為材料分析提供了一種手段。第十三頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日原子核模型與經(jīng)典電磁理論有矛盾，如果原子核模型正確則經(jīng)典電磁理論不能解釋：（1）原子的不穩(wěn)定性；（2）原子光譜的分離性。實(shí)驗(yàn)表明經(jīng)典電磁理論已不適用于原子內(nèi)部的運(yùn)動(dòng)，必須建立適用于原子內(nèi)部微觀過程的理論。1911年盧瑟福在散射實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上提出了原子核模型，根據(jù)原子核模型，可以很好地解釋大角散射。必須建立適用于原子內(nèi)部微觀過程的新理論！第十四頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日

1911年盧瑟福在散射實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上提出了原子的有核模型(行星模型--電子繞原子核（10-12m）高速旋轉(zhuǎn))，根據(jù)他的原子核模型，可以很好地解釋大角散射。四、經(jīng)典理論的困難原子核模型與經(jīng)典電磁理論有矛盾，如果原子的核模型正確，則經(jīng)典電磁理論不能解釋：（1）原子的穩(wěn)定性（穩(wěn)定與不穩(wěn)定的矛盾）（2）原子光譜的分離性（連續(xù)與不連續(xù)的矛盾）第十五頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日由經(jīng)典物理理論勢必得出如下結(jié)論：1）原子是”短命“的電子繞核運(yùn)動(dòng)是加速運(yùn)動(dòng)必向外輻射能量，電子軌道半徑越來越小，直到掉到原子核與正電荷中和，這個(gè)過程時(shí)間<10-12秒，因此不可能有穩(wěn)定的原子存在。+2）原子光譜是連續(xù)光譜因電磁波頻率r-3/2，半徑的連續(xù)變化，必導(dǎo)致產(chǎn)生連續(xù)光譜。第十六頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日實(shí)驗(yàn)表明經(jīng)典電磁理論已不適用于原子內(nèi)部的運(yùn)動(dòng)，必須建立適用于原子內(nèi)部微觀過程的理論。玻爾從原子核模型和原子的穩(wěn)定性出發(fā)，應(yīng)用普朗克的量子概念，提出了關(guān)于氫原子內(nèi)部運(yùn)動(dòng)理論，成功解釋了氫原子光譜的規(guī)律性。必須建立適用于原子內(nèi)部微觀過程的新理論！第十七頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日一.玻爾理論的基本假設(shè)1、玻爾的氫原子理論是建立在以下三條假設(shè)基礎(chǔ)上：1)定態(tài)假設(shè):原子系統(tǒng)只能具有一系列不連續(xù)的能量狀態(tài)在這些狀態(tài)中，電子繞核作加速運(yùn)動(dòng)而不輻射能量，這種狀態(tài)稱為原子系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)（定態(tài)）2)角動(dòng)量量子化假設(shè)——定態(tài)的條件電子對(duì)核的角動(dòng)量只能取h/2的整數(shù)倍。量子化條件：§16-4玻爾的氫原子理論第十八頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日E2E1E2E13)躍遷假設(shè)：當(dāng)原子從一穩(wěn)定態(tài)躍遷到另一穩(wěn)定態(tài)時(shí)，原子同時(shí)吸收或發(fā)出單色輻射，其頻率有下式?jīng)Q定。量子化條件：第十九頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日認(rèn)為:氫核質(zhì)量無窮大,近似靜止(相對(duì)電子)1.電子軌道半徑的量子化:庫侖力提供法向力+rnMmM>>m二.玻爾氫原子理論玻爾理論計(jì)算的氫原子穩(wěn)定狀態(tài)由牛頓第二定律得第二十頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日+rnMmM>>m結(jié)論：電子軌道是量子化的。第二十一頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日量子數(shù)為n的軌道半徑注意：n=1的軌道r1稱為第一玻爾半徑。電子的軌道半徑是量子化的，只能取離散的不連續(xù)的值.正常情況下電子處于n=1的軌道上。2.電子在半徑為

rn

的圓軌道上的速度第二十二頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日3.定態(tài)能量是量子化的氫原子的能量為電子動(dòng)能為，勢能第二十三頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日第二十四頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日n=2、3、4…結(jié)論：能量是量子化的。注意：氫原子能量只能取離散的不連續(xù)值，這些不連續(xù)的能量稱為能級(jí)。能級(jí)圖基態(tài)激發(fā)態(tài)第二十五頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日能級(jí)圖基態(tài)激發(fā)態(tài)基態(tài)量子數(shù)

n=1的定態(tài)

激發(fā)態(tài)

其余的定態(tài)稱為激發(fā)態(tài)第二十六頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日基態(tài)n=1,激發(fā)態(tài)n>1電離:電離能：原子的電離能就是從基態(tài)（n=0）以及從某激發(fā)態(tài)躍遷到n=狀態(tài)時(shí)所需能量第二十七頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日——由玻爾理論得出的譜線系與實(shí)驗(yàn)事實(shí)吻合根據(jù)玻爾的躍遷假設(shè)：推導(dǎo)里德伯公式計(jì)算值：實(shí)驗(yàn)值：玻爾的氫原子理論對(duì)氫原子光譜的解釋第二十八頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日三.玻爾理論的發(fā)展及其缺陷

玻爾理論成功地說明了只有一個(gè)電子的氫原子或類氫原子，但對(duì)于多電子原子則無能為力。

索末菲發(fā)展了玻爾理論，認(rèn)為電子在核的庫侖力作用下可以繞核作空間運(yùn)動(dòng)，有三個(gè)自由度，有三個(gè)量子化條件和三個(gè)量子數(shù)來確定它的穩(wěn)定狀態(tài)，加上電子自旋假設(shè)，可以很好地解釋只有一個(gè)價(jià)電子的復(fù)雜原子的光譜。

玻爾理論還獲得夫蘭克-赫茲實(shí)驗(yàn)（1914年）的證實(shí)。該實(shí)驗(yàn)通過對(duì)原子的可控激發(fā)到高能態(tài)，證實(shí)了原子體系量子態(tài)的存在。第二十九頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日（1）不能解釋多電子原子光譜、強(qiáng)度、寬度和偏振性等；對(duì)于塞曼效應(yīng)、精細(xì)結(jié)構(gòu)更是無能為力。

（2）不能說明原子是如何結(jié)合成分子，構(gòu)成液體、固體的。（3）邏輯上有錯(cuò)誤:以經(jīng)典理論為基礎(chǔ),又生硬地加上與經(jīng)典理論不相容的量子化假設(shè),很不協(xié)調(diào)——半經(jīng)典半量子理論.玻爾氫原子理論的困難滿意解釋了H、類H原子線譜,得到了且能級(jí)概念也被實(shí)驗(yàn)證實(shí),但仍存在缺陷:第三十頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日玻爾原子理論的意義在于：1)揭示了微觀體系具有量子化特征(規(guī)律),是原子物理發(fā)展史上一個(gè)重要的里程碑,對(duì)量子力學(xué)的建立起了巨大推進(jìn)作用。2)提出“定態(tài)”,“能級(jí)”的概念,“能級(jí)躍遷決定譜線頻率”的假設(shè)，在量子力學(xué)中仍很重要,具有極其深遠(yuǎn)的影響。玻爾模型有著一系列難以克服的困難，正是這些困難，迎來了物理學(xué)更大的革命！第三十一頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日例：氫原子中電子從n=2的狀態(tài)電離所需要的能量3.4ev例：求氫光譜帕邢系中的最長波長和最短波長？第三十二頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日例：對(duì)處于第一激發(fā)態(tài)的氫原子，如果用可見光照射，能否使之電離？不可以第三十三頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日引言:半經(jīng)典半量子的玻爾理論存在局限,看來是建立新理論的候了,但新理論的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)是什么呢?19世紀(jì)后半期，電磁理論成功地解釋了光的干涉、衍射、偏振等現(xiàn)象，建立了光的波動(dòng)圖象，但到了廿世紀(jì)初，人們?yōu)榻忉専彷椛洹⒐怆娦?yīng)、康普頓效應(yīng)，又不得不將光當(dāng)作微粒來處理。尤其愛因斯坦提出了光子的概念，建立了E=h的關(guān)系后，更使人認(rèn)識(shí)到光是具有波粒二象性的東西。第三十四頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日德布羅意覺得自然界在很多方面是對(duì)稱的，但整個(gè)世紀(jì)以來，人們對(duì)光的研究是否過多地注意到了它們的波動(dòng)性；而對(duì)實(shí)物粒子（靜止質(zhì)量不為零的微觀粒子及由它們組成的實(shí)物）的研究，又是否把粒子的圖象想得過多而忽咯了它們的波的圖象呢！1922年他的這種思想進(jìn)一步升華，經(jīng)再三思考，1924年，DeBroglie在他的博士論文“量子論研究”中，大膽地提出了如下假設(shè)：DeBroglie假設(shè)：不僅輻射具有二象性，而且一切實(shí)物粒子也具有二象性。注意：這一假設(shè)建立了對(duì)實(shí)物粒子的一種新的圖象，這種圖象既允許它表現(xiàn)微粒性，又允許它表現(xiàn)出波動(dòng)性。這種波稱為“物質(zhì)波”或“德布羅意波”。但什么是德布羅意波呢？第三十五頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日一.德布羅意波假設(shè)—物質(zhì)波概念2、德布羅意用歷史的類比手法，提出實(shí)物粒子亦具有波粒二象性的假設(shè)：每一個(gè)運(yùn)動(dòng)的自由粒子都有一波與之聯(lián)系，如果粒子的動(dòng)量為p，這波的波長和粒子的動(dòng)量p之間有一簡單關(guān)系：

1、光的波粒二象性:§16-5實(shí)物粒子的波動(dòng)性第三十六頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日和的粒子,從波動(dòng)性看來應(yīng)具有、動(dòng)量為說明能量為l.npE物質(zhì)波:與實(shí)物粒子相聯(lián)系的波。德布羅意關(guān)系式與自由粒子相聯(lián)系的德布羅意波是平面波第三十七頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日自由粒子的頻率和波長也都是常量，即與自由粒子相聯(lián)系的德布羅意波是平面波非相對(duì)論的自由粒子動(dòng)量其中質(zhì)量可認(rèn)為是靜止質(zhì)量，為常量由關(guān)系式自由粒子速度恒定，因此動(dòng)量和能量都是常量第三十八頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日例一）一質(zhì)量m0=0.05Kg的子彈，v=300m/s，求其物質(zhì)波的波長。解：BUK發(fā)射電子陰級(jí)加速電極em0例二）一原靜止的電子被電場加速到速度v（vC），加速電壓為U，則速度為v的電子的德布羅意波波長為多大？解：經(jīng)過電壓U加速后,電子的動(dòng)能為:第三十九頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日代入h、e、m0值：或?當(dāng)U=100伏?故德布羅意波長：第四十頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日1923年ClntonDavisson發(fā)表了慢電子從鉑片反射的角分布實(shí)驗(yàn)情況，他發(fā)現(xiàn)彈性反射電子束強(qiáng)度在某些角度出現(xiàn)了極大值。玻恩（Born）認(rèn)為是一種干涉現(xiàn)象，可能與德布羅意波有關(guān)，這引起了戴維遜和革末（LesterGermer）繼續(xù)對(duì)慢電子在鎳單晶表面散射進(jìn)行研究。二.德布羅意假設(shè)的實(shí)驗(yàn)證明第四十一頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日1、戴維森—革末實(shí)驗(yàn)(1927年)電子束加速后投射到單晶上。保持掠入角不變，改變加速電壓，發(fā)現(xiàn)接收到的電子（電流）有一系列的極大值。GUKMBI0510152025電流出現(xiàn)了周期性變化第四十二頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日1、實(shí)驗(yàn)?zāi)康臏y出按反射定律而反射的電子流強(qiáng)度I和電勢差V之間的關(guān)系。2、實(shí)驗(yàn)方法：保持不變，改變V，測出對(duì)應(yīng)的I。3、實(shí)驗(yàn)結(jié)果I0510152025第四十三頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日4、實(shí)驗(yàn)解釋：顯然將電子看成微粒無法解釋。假設(shè)電子有波動(dòng)性,電流出現(xiàn)最大值時(shí)應(yīng)滿足布喇格公式：第四十四頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日即加速電壓U滿足上式時(shí)電流強(qiáng)度有最大值。由此計(jì)算所得的U的各個(gè)量值和實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符合。證實(shí)了德布羅意假設(shè)的正確性。第四十五頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日電子經(jīng)電壓U加速，德布羅意波長當(dāng)v<<c時(shí)：相對(duì)論效應(yīng)：第四十六頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日例計(jì)算電子經(jīng)過U1=100V

和U2

=10000V

的電壓加速后的得布羅意波長λ1和λ2分別是多少？解：經(jīng)過電壓U

加速后，電子的動(dòng)能為：將已知數(shù)據(jù)代入計(jì)算可得：λ1=1.225（埃）λ2=0.1225（埃）第四十七頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日2.湯姆孫電子衍射實(shí)驗(yàn)（1927年）鋁薄膜X-射線衍射圖樣鋁薄膜電子衍射圖樣金屬箔電子束G.P.湯姆孫（發(fā)現(xiàn)電子的J.J.湯姆孫之子）幾乎同時(shí)觀察到電子的德拜衍射環(huán)。第四十八頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日實(shí)驗(yàn)得到電子的衍射圖樣類似于X射線，證明電子確有波動(dòng)性。后來又證明其他實(shí)物粒子(原子、中子)亦有波動(dòng)性。而且在數(shù)量上證實(shí)了德布羅意公式的正確性。電子衍射圖X射線衍射圖第四十九頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日1937年戴維遜與GP湯姆遜共獲當(dāng)年諾貝爾獎(jiǎng)（G·P·Thomson為電子發(fā)現(xiàn)人J·J·Thmson的兒子）爾后又發(fā)現(xiàn)了質(zhì)子、中子的衍射第五十頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日第五十一頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日具有一定速度和一定運(yùn)動(dòng)方向的微觀粒子束線所產(chǎn)生的衍射圖樣和平面波所產(chǎn)生的衍射圖樣相似。一切微觀粒子都具有波動(dòng)性。實(shí)驗(yàn)表明：粒子的波動(dòng)性已有很多的重要應(yīng)用。例如，由于低能電子波穿透深度較X光小，所以低能電子衍射被廣泛地用于固體表面性質(zhì)的研究。由于中子易被氫原子散射，所以中子衍射就被用來研究含氫的晶體。電子顯微鏡利用了電子的波動(dòng)性。由于電子的波長可以很短，電子顯微鏡的分辨能力可以達(dá)到0.1nm第五十二頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日3、電子雙縫實(shí)驗(yàn)1961年瓊森（ClausJ?nsson）將一束電子加速到50Kev，讓其通過一縫寬為a=0.510-6m，間隔為d=2.010-6m的雙縫,當(dāng)電子撞擊熒光屏?xí)r,發(fā)現(xiàn)了類似于雙縫衍射的衍射圖樣.大量電子一次性行為第五十三頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日電子雙縫實(shí)驗(yàn)--一個(gè)電子多次重復(fù)性行為第五十四頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日三.德布羅意用駐波觀點(diǎn)說明角動(dòng)量量子化電子的德布羅意波長德布羅意認(rèn)為：要使繞核運(yùn)動(dòng)的電子穩(wěn)定存在，電子繞核回轉(zhuǎn)一周的周長必須是德布羅意波長的整數(shù)倍，即與電子相應(yīng)的波必須是駐波，則得角動(dòng)量量子化條件因只有駐波是一穩(wěn)定的振動(dòng)狀態(tài)，不輻射能量第五十五頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日1926年玻恩提出：物質(zhì)波是“概率波”。SS1S2用光子概念解釋雙縫實(shí)驗(yàn)四.德布羅意波的統(tǒng)計(jì)解釋：

光具有波粒二象性

1、光的雙縫衍射:來到空間某處單位體積的光子數(shù)與該處光振動(dòng)的振幅的平方成正比。第五十六頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日2、電子衍射:電子分布稀疏與密集說明電子到達(dá)各處的數(shù)量不同。統(tǒng)計(jì)解釋：在某處物質(zhì)波的振幅A2，與粒子在該處附近出現(xiàn)的概率P成正比。一定頻率的光的強(qiáng)度與該處的光子數(shù)成正比，而在某處的光子數(shù)與該處找到一個(gè)光子的幾率成正比。所以在某處發(fā)現(xiàn)一個(gè)光子的幾率與成正比。xZd第五十七頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日不確定關(guān)系

由于微觀粒子具有波粒二象性，所以它具有和經(jīng)典力學(xué)中質(zhì)點(diǎn)不相同的性質(zhì)，按照經(jīng)典物理，每一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)占有一定位置并具有一定動(dòng)量；位置和動(dòng)量可以同時(shí)準(zhǔn)確測量。而微觀粒子的波動(dòng)性對(duì)確定粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量帶來了某種限制。

§16-6不確定關(guān)系第五十八頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日電子具有波粒二象性，也可產(chǎn)生類似波的單縫衍射的圖樣，若電子波長為，則讓電子進(jìn)行單縫衍射則應(yīng)滿足：從粒子流的單縫衍射看位置、動(dòng)量的不確定關(guān)系明紋暗紋我們來研究電子在單縫隙位置的位置和動(dòng)量的不確定程度一維坐標(biāo)和動(dòng)量的不確定關(guān)系第五十九頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日1)位置的不確定程度用單縫來確定電子在穿過單縫時(shí)的位置電子在單縫的何處通過是不確定的!只知是在寬為a的的縫中通過.結(jié)論:電子在單縫處的位置最大不確定量為U第六十頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日設(shè)一平行電子束垂直射在單縫上，如圖，大多數(shù)電子通過狹縫后繼續(xù)沿原方向運(yùn)動(dòng)，但有些電子改變了方向，即其動(dòng)量改變了。2）單縫處電子的動(dòng)量的不確定程度xay第六十一頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日UXY電子大部分都到達(dá)中央明紋處要估算單縫處電子在X軸上的分量的不確定量，可先抓住到達(dá)中央明紋處的電子在單縫處的不確定量來研究。即正負(fù)一級(jí)暗紋間的電子來研究。這部分電子在單縫處的動(dòng)量在X軸上的分量值px在下列范圍內(nèi)：IX第六十二頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日由單縫暗紋條件：也就是說到達(dá)正負(fù)一級(jí)暗紋間的電子在單縫處的動(dòng)量在X軸上的分量的不確定量為：為一級(jí)暗紋的衍射角故px的不確定量為：第六十三頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日由德布羅意關(guān)系式：考慮到還存在1方向的電子(次級(jí))，這些方向電子的動(dòng)量不確定量還要大動(dòng)量位置不確定關(guān)系式第六十四頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日當(dāng)我們同時(shí)測量一個(gè)粒子的位置q和動(dòng)量p時(shí)，位置q（廣義坐標(biāo)）和動(dòng)量p的不確定量滿足如下關(guān)系式：量子力學(xué)給出了更準(zhǔn)確的表達(dá)海森伯不確定關(guān)系式對(duì)三維直角坐標(biāo)系有：{第六十五頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日1、不確定并非由于實(shí)驗(yàn)技術(shù)、誤差造成，是波粒二象性的必然結(jié)果。不確定關(guān)系的根源是波粒二象性。不確定關(guān)系是微觀粒子波粒二象性所決定的，不確定關(guān)系更確切、更準(zhǔn)確地反映了微觀粒子的本質(zhì)2、不確定關(guān)系意味著兩個(gè)互相制約、互成反比的共軛物理量的不確定量不能同時(shí)無限制地減小。

表示減小，增加，即粒子的位置確定得愈準(zhǔn)確，動(dòng)量的不確定性就愈大，反之亦然。第六十六頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日如：動(dòng)量完全不確定粒子位置完全不確定，可在全空間出現(xiàn)。又以一個(gè)作勻速運(yùn)動(dòng)的一維粒子為例，它可在整個(gè)X軸上出現(xiàn)；為常數(shù)完全確定。即其德布羅意波為單色平面波第六十七頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日同理，對(duì)三維空間有對(duì)微觀粒子，某方向上的坐標(biāo)和該方向上的動(dòng)量不可能同時(shí)進(jìn)行準(zhǔn)確的測量。測量粒子的位置和動(dòng)量時(shí)，它們的精度存在著一個(gè)終極的不可逾越的限制。3、和不可能同時(shí)進(jìn)行準(zhǔn)確的測量。5、不確定關(guān)系指出了使用經(jīng)典物理理論的限度4、在不確定關(guān)系中，普朗克常量h是一個(gè)關(guān)鍵的世界不能得到直接的體現(xiàn)量，它是一個(gè)極小的量，因此，不確定關(guān)系在宏觀第六十八頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日例1）一質(zhì)量為0.4kg的足球，以10m/s的速度飛來，如動(dòng)量的不確定量為10%，求其位置的不確定量。解：v%足球運(yùn)動(dòng)員完全不必?fù)?dān)心由于有波動(dòng)性而一腳踢空。注意：因?yàn)槭枪浪?，?shù)量級(jí)差不多即可，故有用也是可以的。第六十九頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日例2）H原子的線度的數(shù)量級(jí)為10-10m，H原中電子的速度為v=106m/s，求其速度的不確定量。+Mrnmv解：不確定量已達(dá)106m/s數(shù)量級(jí)，已不能用經(jīng)典物理中的速度來描述。第七十頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日例3）電子射線管中的電子束中的電速度一般為105m/s，設(shè)測得速度的精度為1/10000，即

V=10m/s，求電子位置的不確定量。解：可以用位置、動(dòng)量描述X第七十一頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日結(jié)論：能否用經(jīng)典方法來描述某一問題，關(guān)鍵在于由不確定關(guān)系所加限制能否被忽略。在普朗克恒量h不起顯著作用的場合，即當(dāng)h0時(shí)就可以看成宏觀現(xiàn)象，并用經(jīng)典物理來處理。量子力學(xué)中有如下一句話：第七十二頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日例題原子中電子運(yùn)動(dòng)速度為106m/s，原子半徑約為10-10m，電子位置的不確定量至少為10-11m，即由不確定關(guān)系可得結(jié)果表明，原子中電子運(yùn)動(dòng)速度的不確定量大于速度本身，顯然原子中電子的運(yùn)動(dòng)的研究必須應(yīng)用量子力學(xué)理論。第七十三頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日例題質(zhì)量為1g的物體，當(dāng)測量其重心位置時(shí)，不確定量不超過10-6m，即由不確定關(guān)系可得結(jié)果表明，由宏觀物體的波粒二象性引起的速度的不確定量已遠(yuǎn)小于可能達(dá)到的測量精度之外，顯然用經(jīng)典力學(xué)方法處理宏觀物體的運(yùn)動(dòng)問題已經(jīng)足夠準(zhǔn)確了。第七十四頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日一.自由粒子的波函數(shù)設(shè)一自由粒子，不受外力作用，則粒子作勻速直線運(yùn)動(dòng)（設(shè)沿X軸），其動(dòng)量、能量保持恒定。恒定！恒定！從波動(dòng)觀點(diǎn)看來：這種波只能是單色平面波X§16-7粒子的波函數(shù)薛定諤方程結(jié)論：自由粒子的DeBr?glie波是單色平面波第七十五頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日

與具有恒定速度的粒子（自由粒子）相聯(lián)系的波是平面波，波的傳播方向沿粒子的運(yùn)動(dòng)方向。沿X方向傳播的平面機(jī)械波波函數(shù):

—a為平面波的振幅，為初相?？蓪懗蓮?fù)數(shù)形式，只取實(shí)數(shù)部分：第七十六頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日其中

這是與能量為E、動(dòng)量為P的自由粒子相聯(lián)系的平面波，上式中的波長和頻率（表示波動(dòng)的物理量），可用表示粒子性的量E和P來表示。由德布羅意公式：第七十七頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日平面波方程可化為：——這是與能量E、動(dòng)量P、沿X方向運(yùn)動(dòng)的自由粒子相聯(lián)系的波，稱為自由粒子的德布羅意波，ψ為自由粒子的波函數(shù)，A是波函數(shù)的振幅。第七十八頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日在X軸上運(yùn)動(dòng)的自由粒子的波函數(shù)可寫為：(x)是波函數(shù)的一部分，只與x有關(guān)，與時(shí)間無關(guān)——振幅函數(shù)。類似于駐波的振幅。其中（分離變量）第七十九頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日

自由粒子的能量E、動(dòng)量P——常數(shù)，德布羅意波是平面波。

非自由粒子的能量E、動(dòng)量P——不是常數(shù)，此時(shí)德布羅意波是否為平面波，怎樣確定非自由粒子的德布羅意波？它服從怎樣的方程呢？第八十頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日上式為自由粒子的薛定諤振幅方程二.自由粒子的薛定諤方程（非相對(duì)論條件下討論）第八十一頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日

在有勢力場中運(yùn)動(dòng)的粒子除有動(dòng)能Ek外，還有勢能EP，令推廣到非自由粒子情形，有三.勢能為U的力場中運(yùn)動(dòng)粒子的薛定諤方程第八十二頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日推廣到三維空間：——?jiǎng)菽転镋P的力場中運(yùn)動(dòng)粒子的薛定諤方程。薛定諤方程是量子力學(xué)的基本方程，不能推導(dǎo)，只能驗(yàn)證。它的正確性在于它所給出的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)符合第八十三頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日定態(tài)薛定諤方程定態(tài)，勢函數(shù)不顯含時(shí)間，其幾率分布也不隨時(shí)間變化。若定態(tài)薛定諤方程已解出為：則粒子的波函數(shù)：第八十四頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日注意：1）定態(tài)波函數(shù)為一空間坐標(biāo)函數(shù)

與一時(shí)間函數(shù)的乘積。2）對(duì)于定態(tài)，除能量E有確定值外，其幾率分布也不隨時(shí)間變化。第八十五頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日在空間某處體積元dV粒子出現(xiàn)的幾率與

2dV成比。即來到空間某處單位體積的粒子數(shù)與成正比，成正比。粒子在某處附近單位體積出現(xiàn)的幾率與四.波函數(shù)的物理意義第八十六頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日在空間某處體積元dV內(nèi)，粒子出現(xiàn)的幾率與

2dV成比例，波函數(shù)是幾率波。t時(shí)刻在空間（x，y，z）處體積元dV內(nèi)找到粒子的幾率與

2dV

成比例。即大的地方微觀粒子出現(xiàn)的機(jī)會(huì)多，小的地方粒子出現(xiàn)少；波函數(shù)所代表的波是幾率波。第八十七頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日此式稱為歸一化條件。2、如果滿足歸一化條件，表示在t時(shí)刻在空間(x,y,z)處單位體積內(nèi)找到粒子的幾率，稱為幾率密度。五、波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件因?yàn)榱Ｗ釉谌臻g出現(xiàn)是必然事件,在整個(gè)空間找到粒子的幾率等于1，故得到：1、滿足歸一化條件第八十八頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日表示在t時(shí)刻在空間(x,y,z)處單位體積內(nèi)找到粒子的幾率，稱為幾率密度。所以，波函數(shù)還必須滿足以下條件：有限性在空間是有限函數(shù)連續(xù)性在空間是連續(xù)的第八十九頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日波函數(shù)是單值的粒子在空間出現(xiàn)的幾率只可能是一個(gè)值波函數(shù)必須滿足的條件：單值、連續(xù)、有限、和歸一化條件。第九十頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日將波函數(shù)乘上一個(gè)常數(shù)后，所描寫的粒子的狀態(tài)并不改變。表示在空間各處找到自由粒子的概率相同。對(duì)于自由粒子，波函數(shù)為則概率密度為常數(shù)第九十一頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日1、金屬中,自由電子受力為0。勢能EP為常數(shù),可看作0。2、金屬表面：

EP突然增大(x=0,a)為拐點(diǎn)

一.勢阱模型§16-8一維定態(tài)問題a0金屬表面EPx金屬---------第九十二頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日一維無限深勢阱3、一維無限深勢阱0<x<ax≤0及x≥a0EP(x)=0axEP(x)=∞EP(x)=∞EP(x)=0第九十三頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日若是經(jīng)典粒子，粒子如何運(yùn)動(dòng)？理想模型粒子限制在一個(gè)具有理想反射壁的方匣中，方匣中粒子可自由運(yùn)動(dòng)但在匣壁處受到強(qiáng)烈的反射，越出需無限大能量經(jīng)典觀點(diǎn)：能量連續(xù)(E可取任意值),且各處出現(xiàn)的幾率相等,量子力學(xué)的結(jié)果應(yīng)該如何?第九十四頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日為簡單計(jì),設(shè)粒子在場EP中沿x軸做一維運(yùn)動(dòng)。二.粒子的定態(tài)薛定鄂方程粒子無法越過勢阱故只須考慮0<x<a區(qū)間的波函數(shù)：粒子滿足一維定態(tài)薛定諤方程：第九十五頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日三.薛定諤方程的解——波函數(shù)第九十六頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日由歸一化條件求：第九十七頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日第九十八頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日說明:1、粒子的波函數(shù)為駐波形式；

n=1，2，3，……3、粒子的的能量是量子化的,能量最小值不等于零：2、粒子在勢阱中的概率密度：粒子在空間不同的地方出現(xiàn)的幾率是不同的。第九十九頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日E4E3E2E1xa0n=1n=2n=3n=4波函數(shù)曲線概率密度曲線粒子在勢阱中不同地點(diǎn)出現(xiàn)的幾率不一樣，不同于經(jīng)典物理學(xué)中的等幾率分布。第一百頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日表明:第一百零一頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日在勢阱內(nèi)坐標(biāo)x處找到粒子的概率為粒子的能級(jí)：粒子的能量只能取分立的不連續(xù)的值即能量是量子化的，相鄰兩能級(jí)的間隔為第一百零二頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日在寬度為a=10-10m的勢阱中表明電子能級(jí)間隔已達(dá)到可測量范圍電子在寬度為a=1

cm的勢阱中，能級(jí)間隔為表明電子能級(jí)間隔充分小電子的能級(jí)間隔為實(shí)際上可將粒子的能量視為連續(xù)變化的第一百零三頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日薛定諤方程的重要意義:薛定諤方程是量子力學(xué)描述微觀粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律的基本方程,由它得出的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)相符合。通過求解薛定諤方程可以得出描述粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的波函數(shù)。在求解過程中，要考慮波函數(shù)必須滿足的條件：單值、連續(xù)、有限和歸一化條件。不必象經(jīng)典物理那樣，人為地提出量子化條件，求解過程中自然得到量子化條件，這是經(jīng)典物理所無法比擬的。第一百零四頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日薛定諤方程的局限性：沒有反映電子的自旋；不滿足相對(duì)論要求，高速粒子的運(yùn)動(dòng)要用相對(duì)論量子力學(xué)；沒有考慮到粒子的產(chǎn)生和湮滅問題。第一百零五頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日四.粒子的分布情況處，粒子在勢阱中出現(xiàn)的幾率最大。在x=0，x=a處，粒子在勢阱中出現(xiàn)的幾率最小。同理，可討論n=1,n=2,等。第一百零六頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日E1E2E3E4a0Xa0X第一百零七頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日E1E2E3E4a0Xa0X注意：粒子在勢阱中不同地點(diǎn)出現(xiàn)的幾率不一樣，不同于經(jīng)典物理學(xué)中的等幾率分布。第一百零八頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日以上分布可看作物質(zhì)波在勢阱中產(chǎn)生駐波右行波左行波mE0aUXE1E2E3E4a0Xa0X第一百零九頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日mE0aXn

2當(dāng)n時(shí)回到了經(jīng)典情況。a能量可看成連續(xù)的E1E2E3E4a0Xa0X第一百一十頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日n不能為零，且要舍棄負(fù)值。不滿足歸一化條件。n取負(fù)值，只改變一個(gè)符號(hào)，而幾率分布不變。故舍之。mE0aXn

2E1E2E3E4a0Xa0X第一百一十一頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日例：在一維無限深勢阱中，當(dāng)粒子處于時(shí)，求發(fā)現(xiàn)粒子出現(xiàn)幾率最大的位置。第一百一十二頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日例：求寬度a=0.02m的一維無限深勢阱中的電子，有n=3的能級(jí)躍遷到n=1的能級(jí)時(shí)所發(fā)出的光波波長。第一百一十三頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日2設(shè)粒子沿x方向運(yùn)動(dòng)，波函數(shù)求：（1）歸一化常數(shù)A；（2）粒子的概率密度按坐標(biāo)的分布；（3）在何處找到粒子的概率最大？解：（1）根據(jù)歸一化條件有由此得歸一化常數(shù)為第一百一十四頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日（3）很顯然，由上式知x=0處概率密度最大。此時(shí)有：（2）粒子的概率密度為Wx第一百一十五頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日自由粒子的德布羅意波是平面波，有一.自由粒子的波函數(shù)

頻率為v、波長為λ、振幅為a、初相為的沿x軸正向傳播的平面簡諧波的波函數(shù)為§16-7粒子的波函數(shù)薛定諤方程表示為復(fù)數(shù)形式，且令