數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分習(xí)題答案

數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題解答第五章1．設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立都服從,而和分別來自正態(tài)總體X和Y的樣，根據(jù)t分布的定義，本。則統(tǒng)計(jì)量解：由于服從__t____分布，參數(shù)為__16____。~，而~，~2、設(shè)是來自正態(tài)總體的簡單隨機(jī)樣本。，則當(dāng),時(shí)，統(tǒng)計(jì)量x服從分布。其自由度為_____。解：統(tǒng)計(jì)量量x服從，因?yàn)榉植?。只有?dāng)與都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布時(shí)，x才服從，，則有，，[]=20a=1，而從。同理：所以，所以，3、設(shè)是來自正態(tài)總體的簡單隨機(jī)樣本。其中未知，則下面不是統(tǒng)計(jì)量的是（D）A、B、C、D、4、設(shè)A、是的樣本。的期望為，且，則有：（B）B、C、D、5、設(shè)總體，從總體取一個(gè)容量為6的樣本。設(shè)。試決定常數(shù)C，使得隨機(jī)變量CY服從分布。解：因?yàn)閺亩?，所以，，，同理，由分布的性質(zhì)可知：，所以。6、設(shè)總體x任意，期望為，方差為，若至少以95%的概率保證。問：總體樣本容量應(yīng)該多大？解：因?yàn)閚很大時(shí)，近似服從，由題設(shè)有由，反查正態(tài)分布表得，，故樣本容量至少取385才能滿足要求。7、利用切比雪夫不等式求錢幣需拋多少次才能使子樣均值落在0.4到0.6之間的概率至少為0.9？如何才能更精確的計(jì)算使概率接近0.9，而拋得次數(shù)是多少？解：設(shè)需拋錢幣次數(shù)n次，又設(shè)第i次拋錢幣時(shí)則獨(dú)立同分布，分布為是樣本均值，則，，，，，。由切比雪夫不等式所以，即拋250次錢幣可保證，利用中心極限定理：由，反查正態(tài)分布表得，即，只需拋68次即可。8、設(shè)總體為指數(shù)分布，分布密度為，求，，?解：，，，，，第六章1．設(shè)總體X在區(qū)間解：X的概率密度為上服從均勻分布，則未知參數(shù)的矩估計(jì)量為_____。從而，即：，故的矩陣估計(jì)量為。2．設(shè)總體，未知，已知，為使總體均值的置信度為的置信區(qū)間的長度不大于L，則樣本容量n至少應(yīng)為________。解：由題可知，的置信度為的置信區(qū)間為。其長度不大于L，即為，，故填：，為取整函數(shù)。3．設(shè)總體（A）當(dāng)（C）當(dāng)，其中縮小時(shí)，L縮短?？s小時(shí)，L不變。已知，則總體均值的置信區(qū)間長度L與置信度(B)當(dāng)縮小時(shí)，L增大。的關(guān)系是(A)。(D)以上說法都不對。解：由題設(shè)，已知，的置信度為的置信區(qū)間為則其區(qū)間長度為，其中為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)的分位數(shù)，當(dāng)縮小時(shí)，即增大，減小，而不變。故區(qū)間長度L縮短，選（A）。4．設(shè)總體，其中未知，若樣本容量n的置信度均不變，則對于不同的樣本觀測值，總體均值的置信區(qū)間的長度為（D）(A)變長（B）變短（C）不變（D）不能確定解：因?yàn)椋瑒t，故的置信度為的置信區(qū)間是，長度為。由于樣本容量n和置信度不變。故區(qū)間長度僅與s有關(guān)，對于不同的樣本觀察值。S如何變化不確定，因而其長度不能確定。故選（D）。5．設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為，，。是容量為n的子樣，試求的極大似然估計(jì)。解：似然函數(shù)為得，對似然函數(shù)取對數(shù)，并求導(dǎo)數(shù)，令其等于0，可即，故得極大似然估計(jì)為。6、設(shè)是來自參數(shù)為的泊松分布的簡單隨機(jī)樣本，試求的無偏估計(jì)量。解：因x參數(shù)為的泊松分布，故，，即，，用樣本矩。，代替相應(yīng)的總體矩，，使得到的無偏估計(jì)量，，因此，的無偏估計(jì)量7、解：似然函數(shù)為8、解：似然函數(shù)為9、解：設(shè)每次取樣結(jié)果用表示，令似然函數(shù)為10、解：=，令，解得。11、解：似然函數(shù)為，，，（無解），但由，故為極大似然估計(jì)。第七章假設(shè)檢驗(yàn)1、某種產(chǎn)品以往的廢品率為5%，采取某種技術(shù)革新措施后，對產(chǎn)品的樣本進(jìn)行檢驗(yàn)，這種產(chǎn)品的廢品率是否有所降低，取顯著水平，則此，設(shè)題的原假設(shè)：______備擇假設(shè)：______.犯第一類錯(cuò)誤的概率為_______。解：由題意可知原假設(shè)：P=5%。備擇假設(shè)：P<5%。犯第一類錯(cuò)誤是指為真的情況下，把拒絕。這種錯(cuò)誤也稱拒真錯(cuò)誤。其犯第一類錯(cuò)誤的概率為。2、設(shè)總體，方差未知，對假設(shè)：，：，進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，通常采取的統(tǒng)計(jì)量是________，服從_______分布，自由度是________。解：通常采取的統(tǒng)計(jì)量是這里。服從t分布，自由度是n-1。3、設(shè)總體，和均未知。統(tǒng)計(jì)假設(shè)取為：：若用t檢驗(yàn)法進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，則在顯著水平之下，拒絕域是（B）A、B、D、C、4、在假設(shè)檢驗(yàn)中，原假設(shè)，備擇選擇，則稱（B）為犯第二類錯(cuò)誤A、C、為真，接受為真，拒絕B、D、不真，接受不真，拒絕5、一自動(dòng)車床工零件的長度服從正態(tài)分布，車床正常時(shí)加工零件長度均值為10.5，經(jīng)過一段時(shí)間生產(chǎn)后，要檢驗(yàn)這車床是否正常工作正常，為此抽取該車床加工的31個(gè)零件，測得數(shù)據(jù)如下：零件長度10.110.310.611.211.511.812.0若加工零件長度方差不變，問此車床工作是否正常？解：檢驗(yàn)假設(shè)，。這是一個(gè)正態(tài)總體方差未知，對的假設(shè)檢驗(yàn)問題，當(dāng)為真時(shí)，。按，查t分布表，確定臨界值，故的拒絕域?yàn)?。令n=31，計(jì)算出，，所以。查t分布表可知：。因。故拒絕，即可認(rèn)為該車床工作不正常。6．按規(guī)定，設(shè)100g的罐頭番茄汁中Vc的含量不該少于21mg，現(xiàn)從某廠生產(chǎn)的一批罐頭中抽取17個(gè)，得Vc的含量（單位：mg）為：16，22，21，20，23，21，